三角函数的积化和差与和差化积-课件
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人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43
2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
2018-2019学年人教B版必修43.3三角函数的积化和差与和差化积课件(35张)
������+������ ������-������ ������+������ ������-������
剖析 由已知,得 P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β). 由于 M 为������������的中点,则 M cos 2 ,sin 2 又 N 为 OM 与 PQ 的交点,
如把 -cos α 化为积的形式,可将 看作 cos ,再化为积的形式.
1 2
1 2
π 3
2.教材中的“探索与研究” 用向量运算证明和差化积公式. 如图所示,作单位圆,并任作两个向量 ������������=(cos α,sin α),������������=(cos β,sin β).取������������ 的中点 M,则有 M cos 2 , sin 2 . 连接 PQ,OM,设它们相交于点 N,则点 N 为线段 PQ 的中点且 ON⊥PQ.∠xOM 和∠QOM
������+������ ������-������ 分别为 2 , 2 . ������+������ ������+������
探索三个向量������������, ������������, ������������之间的关系,并用两种形式表达点 N 的坐标,以此导出和差化积公式 cos α+cos β=2cos 2 cos 2 ; sin α+sin β=2sin 2 cos 2 .
=
2+1 . 4
2+1
答案: 4
1
2
2.和差化积公式 设 α+β=x,α-β=y,则 α= 2 ,β= 2 .这样,上面的四个式子可以写 成 sin x+sin
������+������ ������-������ y=2sin 2 cos 2 ;
剖析 由已知,得 P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β). 由于 M 为������������的中点,则 M cos 2 ,sin 2 又 N 为 OM 与 PQ 的交点,
如把 -cos α 化为积的形式,可将 看作 cos ,再化为积的形式.
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1 2
π 3
2.教材中的“探索与研究” 用向量运算证明和差化积公式. 如图所示,作单位圆,并任作两个向量 ������������=(cos α,sin α),������������=(cos β,sin β).取������������ 的中点 M,则有 M cos 2 , sin 2 . 连接 PQ,OM,设它们相交于点 N,则点 N 为线段 PQ 的中点且 ON⊥PQ.∠xOM 和∠QOM
������+������ ������-������ 分别为 2 , 2 . ������+������ ������+������
探索三个向量������������, ������������, ������������之间的关系,并用两种形式表达点 N 的坐标,以此导出和差化积公式 cos α+cos β=2cos 2 cos 2 ; sin α+sin β=2sin 2 cos 2 .
=
2+1 . 4
2+1
答案: 4
1
2
2.和差化积公式 设 α+β=x,α-β=y,则 α= 2 ,β= 2 .这样,上面的四个式子可以写 成 sin x+sin
������+������ ������-������ y=2sin 2 cos 2 ;
高中数学人教B版必修四3.3 三角函数的积化和差与和差化积.pptx
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
17
规律方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，将实际问题 转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解 过程中，要注意角的范围.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
18
跟踪演练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块 一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出 的长方形桌面的最大面积(如图). 解 连接OC，设∠COB＝θ， 则0°<θ<45°，OC＝1. ∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ
x 2.
∴原式成立.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
15
要点三 三角恒等变换的实际应用
例3 点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，
∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解 如图所示，∵AB为直径，
∴∠APB＝π2，又 AB＝1，
∴PA＝cos α，PB＝sin α.
第三章——
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
[学习目标]
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化 积两组公式的过程. 2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所 起的作用.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
＝sin32xcos2x3－x cosx32xsin2x＝sin332xx－2xx
cos 2 cos2
cos 2 cos2
高中教育数学必修第二册《4.2.4 积化和差与和差化积公式》教学课件
α＋β ∴③÷④得 tanα＋2 β＝32，∴sin(α＋β)＝1＋2tatann2α2＋2 β＝1123.
方法归纳 在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可 能不同，但最终结果应该是相同的，因此选择合适的公式是解决此类 题目的关键，应尽量避开函数值正负不能确定的情况．
跟踪训练 1 已知 sinθ＋π6sinθ－π6＝2110，求 tan θ.
2.4 积化和差与和差化积公式
[教材要点]
要点一 积化和差公式 cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
解析：原式＝21sin α(cos 2α－cos 120°) ＝21sin αcos 2α＋14sin α ＝41(sin 3α－sin α)＋41sin α ＝41sin 3α.
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明——师生共研 例 3 求证：cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
＝2cos α2cos β2.
答案：(1)21sin198°－41
αβ (2)2cos 2cos 2
题型一 利用积化和差与和差化积公式求值——师生共研 例 1 若 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，求 sin(α＋β)的值．
解析：已知 cos α－cos β＝12，①
sin α－sin β＝－13，② 将①②两式左边和差化积，得－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12，③ 2cosα＋2 βsinα－2 β＝－31，④ 由④得 cosα＋2 β≠0，sinα－2 β≠0，
高中数学人教B版必修四3.3《三角函数的积化和差与和差化积》ppt课件
课堂讲练互动 中小学课件
α tan ＝± 2
x＋y 2 2．若 α＋β＝x，α－β＝y，则 α＝________ ，β x－y 2 ＝__________.
1＋cosα
sinα 1－cosα 1－cosα 1＋cosα ＝ ＝____________
sinα
课堂讲练互动 中小学课件
5π π (2)sin cos 12 12 1 5π π 5π π ＝ [sin( ＋ )＋sin( － )] 2 12 12 12 12 1 π π ＝ (sin ＋sin ) 2 2 3 1 3 1 3 ＝ (1＋ )＝ ＋ . 2 2 2 4
课堂讲练互动 中小学课件
思考感悟
1．和差化积公式的适用条件是什么？
提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，
才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正
弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成
同名函数后再运用公式．
课堂讲练互动 中小学课件
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1 1 例1 已知 cosα－cosβ＝ ，sinα－sinβ＝－ ， 2 3 求 sin(α＋β)的值．
【思路点拨】
解答本题利用和差化积公式，
对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件 求解．
课堂讲练互动 中小学课件
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3x x sin － 2 2 sinx ＝ ＝ 3x x 3x x cos cos cos cos 2 2 2 2 2sinx ＝ . cosx＋cos2x 2sinx sinx 法二： ＝ 3x x cosx＋cos2x cos cos 2 2 3x x sin － 2 2 ＝ 3x x cos cos 2 2
【点评】 证明三角恒等式，一般是从左证右或 从右证左或是两边分头化简得同一结果．
高中数学人教B版必修四33《三角函数的积化和差与和差化积》同步PPT课件
C.12sin(α＋β)＋12sin(α－β)
D.12cos(α＋β)＋12cos(α－β)
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解析 sinπ4＋αcosπ4＋β ＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 答案 B
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2．cosx－π4－cosx＋4π化为积的形式是(
)
A. 2cosx
B. 2sinx
C．－ 2sinx
D．－ 2cosx
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解析 cosx－π4－cosx＋4π＝－2sinx·sin－4π＝ 2sinx. 答案 B
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3．函数 y＝sin3π＋2x·sin3π－2x的最大值为(
)
3 A.4
B．－14
1 C.4
自学导航 1.积化和差公式 cosαcosβ＝ 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)] ． sinαcosβ＝ 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] ． cosαsinβ＝ 12[sin(α＋β)－sin(α－β)] ．
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(3)sin78°－sin42°＝2cos78°＋2 42°·sin78°－2 42° ＝2cos60°·sin18°＝sin18°. (4)cos75°－cos23°＝－2sin75°＋2 23°·sin75°－2 23° ＝－2sin49°sin26°.
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解析 ①不正确，右边的角应是5θ＋2 3θ＝4θ 与5θ－2 3θ＝θ. ②也不正确，右边应是 2sin4θsinθ. ③的右边应是－2cos4θsinθ，故③不正确． ④的左边不是同名函数，不能直接用和差化积的公式，应 先用诱导公式化为同名再化积． ∴①②③④均不正确．故选 A. 答案 A
2018-2019学年人教B版数学必修四 3.3 三角函数的积化和差与和差化积课件
12
【做一做 1-1】
函数 y=cos xcos
������-
π 3
的最小正周期是(
)
A.2π
B.π
C.π2
D.π4
解析:cos xcos
������-
π 3
=12
cos
������
+
������-
π 3
+cos ������-
������-
π 3
=12cos
2������-
π 3
+ 12cosπ3
=12cos
2������-
π 3
+ 14,
故最小正周期为 π.
答案:B
12
【做一做1-2】 sin 37.5°cos 7.5°=
.
解析:sin 37.5°cos 7.5°
=12[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]
=12(sin 45°+sin 30°)=12
2 2
+
1 2
= 24+1.
答案:
2+1 4
12
2.和差化积公式
设 α+β=x,α-β=y,则 α=������+2������,β=������2-������.这样,上面的四个式子可以写 成
sin x+sin y=2sin������+2������cos������2-������;
sin x-sin y=2cos������+2������sin������2-������;
+
π 4
+cos
������-
高中数学 3-3 三角函数的积化和差与和差化积课件 新人教B版必修4(共34张PPT)
• [点评] 对于给式求值问题，一般思路是 先对条件化简，之后看 能否直接求结果； 若不能，则再对所求化简，直到找到两者 的联系为止．“走一走，看一看”对解此 类问题是非常必要的．试图利用已知等式 及平方关系分别求取cosα，cosβ，sinα， sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解．
化简下列各式： cosA＋cos120° ＋B＋cos120° －B (1) ； sinB＋sin120° ＋A－sin120° －A sinA＋2sin3A＋sin5A (2) . sin3A＋2sin5A＋sin7A
[解析]解法一：Βιβλιοθήκη 为 40° ＝30° ＋10° ，于是
原式＝sin210° ＋cos2(30° ＋10° )＋sin10° cos(30° ＋10° )＝ sin
2
10° ＋
3 1 2 cos10° － sin10° ＋sin10° 2 2
3 3 3 1 2 2 ＋cos 10° )＝4. －2sin10° ＝4(sin 10° 2 cos10°
＋tanC＝0 矛盾． 由 tanB＋tanC＋ 3tanB· tanC＝ 3， tanB＋tanC 得 ＝ 3. 1－tanB· tanC ∴tan(B＋C)＝ 3， ∵B、C 是△ABC 的内角，∴B＋C＝60° ，∴A＝120° . 故△ABC 为钝角三角形．
• [例4] 求sin210°＋cos240°＋ sin10°cos40°的值．
[解析]
cosA＋2cos120° cosB (1)原式＝ sinB＋2cos120° sinA
A＋B B－A cosA－cosB 2sin 2 sin 2 A＋B ＝ ＝ ＝tan 2 ； sinB－sinA A＋B B－A 2cos 2 sin 2 sinA＋sin5A＋2sin3A (2)原式＝ sin3A＋sin7A＋2sin5A 2sin3Acos2A＋2sin3A 2sin3Acos2A＋1 sin3A ＝ ＝ ＝sin5A. 2sin5Acos2A＋2sin5A 2sin5Acos2A＋1
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•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/27பைடு நூலகம்021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
答：将非特殊角化为特殊角，不 能化成特殊角的经过化简后抵消 或约分.
题型二：求角
合作探究：（5分钟） 要求：1.通过小组合作，达成共识，总结 应该注意的问题，准备展示与点评。
2.合作完成两个小问题。
合作探究：
1.如何解决给值求角问题？
答：转化为先求角的某个三角函数值， 再求出角。 2.求角时应注意的问题是什么？
答：由三角函数值得出角时要注意角的 取值范围。
题型三：化简 化简时常用的化简方法有哪些？ 1.倍角、半角公式（降幂公式） 2. 切化弦。 4.积化和差与和差化积
当堂检测： 答案：1.C
2.B
3.T=π， ymax=1， ymin=-1
4. 1 8
课堂总结：
本节课我们主要复习了倍角，半角公 式和积化和差、和差化积。利用公式可 以解决求三角函数值的问题，求角的问 题，化简证明恒等式的问题。
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标： 1.掌握倍角、半角公式，并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差，和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一：求三角函数值
问题：求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢？
布置作业：
请同学们根据自己的不同情况， 课后选择性的完成A案中的内容。
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 12:17:28 PM