北京科技大学机械振动-总复习
机械振动和机械波知识点复习及总结
机械振动和机械波知识点复习一 机械振动知识要点1． 机械振动：物体（质点）在平衡位置附近所作的往复运动叫机械振动，简称振动条件：a 、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b 、阻力足够小。
回复力：效果力——在振动方向上的合力 平衡位置：物体静止时，受（合）力为零的位置： 运动过程中，回复力为零的位置（非平衡状态） 描述振动的物理量位移x （m ）——均以平衡位置为起点指向末位置振幅A （m ）——振动物体离开平衡位置的最大距离（描述振动强弱） 周期T （s ）——完成一次全振动所用时间叫做周期（描述振动快慢） 全振动——物体先后两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的过程频率f （Hz ）——1s 钟内完成全振动的次数叫做频率（描述振动快慢） 2． 简谐运动概念：回复力与位移大小成正比且方向相反的振动 受力特征：kx F -= 运动性质为变加速运动 从力和能量的角度分析x 、F 、a 、v 、E K 、E P 特点：运动过程中存在对称性平衡位置处：速度最大、动能最大；位移最小、回复力最小、加速度最小 最大位移处：速度最小、动能最小；位移最大、回复力最大、加速度最大✧ v 、E K 同步变化；x 、F 、a 、E P 同步变化，同一位置只有v 可能不同3． 简谐运动的图象（振动图象）物理意义：反映了1个振动质点在各个时刻的位移随时间变化的规律 可直接读出振幅A ，周期T （频率f ） 可知任意时刻振动质点的位移（或反之） 可知任意时刻质点的振动方向（速度方向） 可知某段时间F 、a 等的变化4． 简谐运动的表达式：)2sin(φπ+=t TA x 5． 单摆（理想模型）——在摆角很小时为简谐振动回复力：重力沿切线方向的分力 周期公式：glT π2= （T 与A 、m 、θ无关——等时性） 测定重力加速度g,g=224T Lπ 等效摆长L=L 线+r6． 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动（减幅振动）——振动中受阻力，能量减少，振幅逐渐减小的振动 受迫振动：物体在外界周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动。
机械振动复习提纲
1、组成振动系统的三个基本元件：质量、弹簧、阻尼。
振动现象（简谐运动）三要素：振幅、频率、初相位。
其中强调频率为0并不代表振动函数为0，只是表示其未振动，没有振荡特性，图线是一根直线而已。
(P9)2、振动问题分类：已知系统模型、外载荷、求系统响应，称为响应计算或正问题;已知外载荷响应，求系统特性，称为系统识别或参数识别，也称为第一类逆问题；已知系统特性响应求载荷称为载荷识别，也称为第二类逆问题。
（P3-P4）3、单（多）自由度线性振动系统运动方程由二阶常系数微分方程（组）表示，且自由振动问题由齐次方程表示，受迫振动问题的运动方程为非齐次方程。
（P8）4、弹簧刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需要施加的力。
在振动系统中通常假定弹簧质量为0；线性振动（微幅振动）的范围内，通常认为弹簧总在线性变形的范围内；两弹簧串联后等效弹簧刚度如何计算？并联？（P12）对于角振动系统，弹簧为扭转弹簧，其刚度系数的物理意义是：使弹簧产生单位角位移所需要施加的力矩。
（P14）5、粘性阻尼系数的特点：阻尼器产生的阻尼力与阻尼器两端的相对速度成正比。
（P32-34)6、什么是二阶线性常系数齐次微分方程的通解？非齐次微分方程的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。
（P20）7、求解无阻尼单自由度系统的自由振动响应，就是确定求系统在给定的初始位移、初始速度下，系统运动方程的一个特解和通解的系数。
8、无阻尼单自由度系统的固有频率，仅取决于系统的刚度、质量，而与系统初始条件、所受外激励无关，是系统的固有属性。
系统的质量越小，刚度越大，固有频率越高。
要求掌握弧度制单位和频率之间的换算关系。
（P10）9、简谐运动的位移、速度、加速度间的关系，速度位移间的相位差为90度，加速度和位移之间的相位差为180度。
其物理意义？（P10）10、两频率不同的简谐振动合成，若两频率比为有理数（可通约）时，合成振动为周期振动；若为无理数，合成振动为非周期振动。
机械振动复习
T = 2π
m k
（二）单摆： 单摆： 1、定义： 定义： 在一条不可伸长的、 在一条不可伸长的、忽略质量的细线下 端拴一可视为质点的小球，上端固定， 端拴一可视为质点的小球，上端固定，构成的 的装置叫做单摆。 的装置叫做单摆。 单摆振动可看作简谐振动的条件：摆角α<10 α<10° 2、单摆振动可看作简谐振动的条件：摆角α<10°
机械振动
机械振动
简谐振 动
弹簧振子、 弹簧振子、单摆
受迫振动、 受迫振动、共振 现象
一、机械振动 1、定义： 物体在平衡位置附近所做的往复运动。 定义： 物体在平衡位置附近所做的往复运动。 2、条件： 受回复力，阻尼够小. 条件： 受回复力，阻尼够小. （1）回复力： 回复力： 使振动物体返回平衡位置的力叫做回复力.回复 使振动物体返回平衡位置的力叫做回复力. 力时刻指向平衡位置.回复力是以效果命名的力， 力时刻指向平衡位置.回复力是以效果命名的力， 振动物体在振动方向上的合外力， 它是振动物体在振动方向上的合外力 它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几 个力的合力，也可能是某一个力， 个力的合力，也可能是某一个力，还可能是某一 个力的分力，注意回复力不一定等于合外力 回复力不一定等于合外力. 个力的分力，注意回复力不一定等于合外力.例如 单摆的振动. 单摆的振动.
3、描述振动的物理量： 描述振动的物理量： ①位移x： 移的起点在平衡位置。由平衡位置指向 位移x 位移的起点在平衡位置。
振动质点所在位置的有向线段、矢量、 振动质点所在位置的有向线段、矢量、其 最大值等于振幅。 最大值等于振幅。 振动离开平衡位置的最大距离、标量、 振动离开平衡位置的最大距离、标量、 振幅A ②振幅A： 表示振动的强弱。 表示振动的强弱。 全振动： 物体从某一运动状态， ③全振动： 物体从某一运动状态，首次回到这个运动状 态叫完成一个全振动。 态叫完成一个全振动。
机械振动学复习
机械振动复习提纲单自由度系统的自由振动振动系统力学模型三要素：质量、弹性、阻尼 无阻尼自由振动： 固有频率 m k n =ω能量法0)(=+U T dtd等效刚度与等效质量 等效刚度的计算： 根据力和位移之间的关系 等效质量的计算： 根据动能相等来确定阻尼自由振动： 临界阻尼系数 km m c n c 22==ω阻尼比kmc m c c c n c 22===ωζ 对初始条件的响应： ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=−t x xt x e x d d n d t n ωωζωωζωsin cos 000& 阻尼自由振动频率n d ωζω21−=阻尼自由振动准周期221122ζζωπωπ−=−==T T n dd阻尼自由振动的衰减dn d n n T d d T t d t d e T t Xe t Xe T t x t x ζωζωζωϕωϕω=+++=++−−)])(cos[)cos()()()( 对数衰减率πζζπζζωδ212)()(ln2≈−==+=d n d T T t x t x()ln2()n d d x t n n T n x t nT δζωπζ===≈+库仑阻尼（干摩擦）作用下的自由振动：(1) 准周期n f ωπτ/2=；(2) 一个准周期振幅衰减4|F f |/k ；(3) X < |F f |/k ，振动停止。
单自由度系统的谐激励强迫振动基本理论：(1) 运动方程t F kx x c x m ωsin =++&&& (2) 响应ωωic m k FX +−=2 )sin()2()1(1)(222ϕωζ−+−=t r r kF t x p , 2112tan rr−=−ζϕ (3) 频率响应曲线及其特性(4) 共振特性：半功率点、带宽、Q 值 频率响应函数、机械阻抗、导纳粘性阻尼、结构阻尼、库仑阻尼、等效粘性阻尼系数应用： 旋转失衡t me kx x c xM ωωsin 2=++&&& 转子旋曲与临界转速基础激励与隔振 (1) 绝对运动ky y c kx x c xm +=++&&&& 位移传递率、力的传递率222222222)2()1()2(1)()()(r r r c m k c k FF Y XT ζζωωω+−+=+−+==2231)2(12tan r r r ζζϕ+−=− 隔振：2>r ，阻尼对隔振的影响(2) 相对运动t i Ye m ym kz z c z m ωω2=−=++&&&&& 2222)2()1(r r r YZ ζ+−=，2112tan rr−=−ζϕ 位移传感器n ωω>>，r >> 1, Z ≈ Y加速度传感器n ωω<<时，r << 1, Y Y Z nn &&2221ωωω==单自由度系统的瞬态振动系统的响应 = 0输入响应 + 0状态响应阶跃激励的响应，斜坡激励响应，脉冲激励下的响应 任意激励下的响应（杜哈美积分）∫−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=−t d n d t da a t h a F x xt x e x n 0000)()(cos ωζωωζω& )(sin 1)()(a t e m a t h d a t dn −=−−−ωωζω 多自由度系统运动方程的建立：牛顿运动定律、刚度矩阵、柔度矩阵、拉格朗日方程、视察法（链式结构）固有频率与振型（两自由度）： 求固有频率： 02=−M K ω求振型向量：)(2M K i adj ω−两自由度系统的自由振动、强迫振动、频率响应特性、动力吸振器振型向量的正交性、运动方程的解耦、模态分析法求各种响应、阻尼的处理近似方法求基频：瑞利法、邓克列公式。
机械振动复习资料
1.振动：指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化2.机械振动：机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动3.激励：外界对振动系统的激励或作用4.响应：系统对外界影响的反应5.振动分类1）按系统振动微分方程分为线性振动和非线性振动2）按振动是否可以预测分为确定振动和随机振动3）按系统自由度个数是有限还是无限分为离散系统和连续系统4）按激励情况分为自由振动和强迫振动5）按响应情况分为确定性振动和随机振动，其中确定性振动分为简谐振动，周期振动和瞬态振动6.离散振动系统三个最基本元件是惯性元件、弹性元件和阻尼元件1）弹性元件忽略其质量和阻尼，在振动过程中储存势能。
弹性力与其两端相对位移成比例，方向相反2）阻尼元件振动过程中消耗振动能量。
阻尼大小与阻尼元件两端相对速度成比例，方向相反，称之为粘性阻尼3）惯性元件完全刚性且无阻尼，振动过程中储存动能。
惯性力与加速度成正比，方向相反7.简谐振动是最简单的周期运动，他是时间的单一正弦或余弦行数8.简谐振动速度、加速度和位移一样，都是简写函数。
三者频率相同，速度、加速度的相位分别比位移超前π/2和π，幅值分别增大ω和ω2倍。
简谐振动加速度大小与位移成正比，方向与位移相反。
9.叠加原理是分析线性振动系统的振动性质的基础10.只有一个自由度的振动系统称为单自由度振动系统11. 1）单自由度系统无阻尼自由振动是简写振动，振幅A、初相位φ取决于初始条件和系统的刚度、质量。
运动的中点就是系统的静平衡位置。
2）振动频率只与系统的刚度，质量有关。
通常称ωn,fn为系统固有频率3）ωn,fn k成正比于m成反比4）振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。
无阻尼自由振动时机械能守恒，机械能大小取决于初始条件和系统参数。
振动时动能势能不断转换，势能有一最小值，此时位置是系统的静平衡位置。
系统有稳定的平衡位置，其动能和势能可以相互转化，在外界激励作用下，才能产生振动。
大学机械振动考试题目及答案
大学机械振动考试题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在简谐振动中，振幅与振动的能量关系是（）。
A. 无关B. 成正比C. 成反比D. 振幅越大，能量越小答案：B2. 下列哪个不是机械振动系统的自由度？（）。
A. 转动B. 平动C. 振动D. 形变答案：C3. 一个单自由度系统在受到初始条件激励后，其振动形式是（）。
A. 简谐振动B. 阻尼振动C. 受迫振动D. 自由振动答案：D4. 在阻尼振动中，如果阻尼系数增加，振动的振幅将（）。
A. 增加B. 不变C. 减小D. 先增加后减小答案：C5. 对于一个二自由度振动系统，其振动模态数量是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个物体做自由振动时，其频率称为______。
答案：固有频率7. 当外力的频率与系统的固有频率相等时，系统发生的振动称为______。
答案：共振8. 阻尼力与速度成正比的阻尼称为______阻尼。
答案：线性9. 振动系统的动态响应可以通过______分析法求解。
答案：傅里叶10. 在转子动力学中，临界转速是指转子发生______振动的转速。
答案：自激三、简答题（每题5分，共20分）11. 简述什么是简谐振动，并说明其运动方程的形式。
答案：简谐振动是一种周期性的振动，其加速度与位移成正比，且方向相反。
在数学上，简谐振动的运动方程可以表示为：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相位。
12. 解释什么是阻尼振动，并说明其特点。
答案：阻尼振动是指在振动系统中存在能量耗散，导致振幅随时间逐渐减小的振动。
其特点包括振幅逐渐衰减，振动频率可能会随着振幅的减小而发生变化，且阻尼力通常与振动速度成正比。
13. 描述什么是受迫振动，并给出其稳态响应的条件。
答案：受迫振动是指系统在周期性外力作用下的振动。
当外力的频率接近系统的固有频率时，系统将发生共振，此时振幅会显著增大。
机械振动复习资料
机械振动全章复习资料一、简谐运动的基本概念1.定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。
表达式为：F回= -kx（判断一个振动是否是简谐运动的方法）⑴振动的位移必须是指偏离平衡位置的位移（实质与位置对应）。
也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。
简谐运动的位移随时间变化的规律是正弦函数（判断一个振动是否是简谐运动的方法）。
⑵回复力是一种效果力。
是振动物体在沿振动方向上所受的合力。
⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。
（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）⑷F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。
凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。
例1.简谐运动的判断方法。
两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。
试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。
设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx.所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。
要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。
然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。
7《机械振动》复习要点
《机械振动》复习要点一、机械振动的描述：1、定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置（平衡位置）两侧所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动。
2、条件：（1）每当离开平衡位置，就受到回复力作用；（2）摩擦阻力足够小。
二、简谐振动：1、定义：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫做简谐振动。
2、特征：（1） 回复力：F= –k x（2） 加速度：x mk a -= （3） 振子速度：物体处于最大位移处时速度最小（等于零），处于平衡位置时速度最大。
三、描述振动的物理量：1、振幅（A ）：振动物体离开平衡位置的最大距离。
单位：米（m ）意义：表征振动强弱的物理量，振幅越大，振动能量越大；2、周期（T ）：物体完成一次全振动所经历的时间。
单位：秒（S ）频率（f ）：振动物体一秒钟内完成全振动的次数。
单位：赫兹（Hz ）意义：T 、f 表征振动快慢的物理量关系：f = T 1 ； T = f1 T 越小，f 越大，振动越快。
说明：物体的振动频率是由振动物体本身的性质决定的，与振幅的大小无关，所以又叫固有频率。
振动的周期叫做固有周期。
例如：单摆周期公式：T = 2g lπ四、振动分类：1、按振幅有无变化分：（1）：阻尼振动与无阻尼振动：(A)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动。
(B)无阻尼振动：振幅不变的振动叫做无阻尼振动。
2、按振动的形成原因分：1）自由振动：不受其它外力，只在系统内部的弹力或重力作用下的振动叫做自由振动；2）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动。
(A)驱动力：作用于质点的周期性的外力叫做驱动力；(B)受迫振动特点：(1)物体做受迫振动达到稳定时的振动频率等于驱动力的频率，而与物体的固有频率无关；(2)物体做受迫振动的振幅与驱动力的频率和物体的固有频率有关，二者相差越小，物体做受迫振动的振幅越大。
五、共振：1、作受迫振动的物体的振幅随驱动力的频率变化曲线如图所示：（横坐标为驱动力的频率）2、条件：当驱动力的频率跟物体的固有频率相等（固驱f f =）时，受迫振动物体的振幅最大，这种现象叫做共振。
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4.2 自由振动的求解
• 固有频率 • 振幅比/主振型
• 自由振动的响应
4.3 拍振 4.4 坐标耦联与主坐标
第5章 两自由度系统的强迫振动
5.1 强迫振动的求解
5.2 动力吸振技术
重要的工程应用及理论基础
结构设计和校核中动应力的计算： 无阻尼自由振动
（对初始条件的响应）
• 两自由度系统的自由振动：运动微分方程、固有频率、主振型
• 两自由度系统的强迫振动：动力吸振原理的应用
已知机器质量 m1=90kg ，减振器质量 m2=2.25kg ，机器上有一 偏心质量m’=0.5kg，偏心矩e=1cm，机器转速n = 1800 r/min。 k1=100kN/m，试问∶ (1) 减振器的弹簧刚度k2多大， 才能使机器振幅为零? (2) 此时减振器的振幅B2为多大? (3) 若使减振器的振幅B2不超过2mm， 应如何改变减振器的参数?
各阶固有频率及主振型）
动力吸振技术：两自由度系统的强迫振动（主系统+
辅助系统）
MATLAB在振动分析中的应用
单自由度系统的自由振动：
• 不同初始条件下无阻尼系统的自由振动响应特性
• 不同阻尼比下的自由振动响应特性
单自由度系统的强迫振动：
• 无阻尼系统：自由振动的伴随振动问题、共振及拍振 • 有阻尼系统：不同阻尼比下的幅频特性及相频特性 • 不同激励形式下的稳态响应特性
• 一般谐波激励下的动力系数
• 偏心质量引起的强迫振动 • 支承运动引起的强迫振动 • 振动的隔离
3.2 周期激励下的强迫振动
• 谐波分析法
3.3 任意激励下的强迫振动
• 杜哈梅积分
第4章 两自由度系统的自由振动
4.1 振动微分方程的建立
• 牛顿运动定律
• 柔度影响系数法 • 拉格朗日方程法
度系统的自由振动：能量法求固有频率（无阻尼） • 单自由度系统的自由振动：对数衰减率求阻尼（有阻尼） • 单自由度系统的强迫振动：简谐激励下（支承运动/隔振） • 单自由度系统的强迫振动：任意激励下（杜哈梅积分）
• 单自由度系统的自由振动：求初始条件下的响应幅值（无阻尼）
阻尼比的确定：有阻尼自由振动（对数衰减率） 惯性式测振传感器（位移计和加速度计）： 简谐
激励下的强迫振动（支承运动引起的）
振动的隔离（保护基础或保护设备）： 简谐激励
下的强迫振动
重要的工程应用及理论基础
结构的动态设计：两/多自由度系统的自由振动（计
算各阶固有频率及主振型）
共振法： 两/多自由度系统的强迫振动（试验中测定
《机械振动》考试安排
考试时间：5月9日（周六）下午2:00-4:00
考试地点：逸夫楼207
答疑时间：5月6日（周三）下午1:30-3:30 答疑地点：机电楼808
《机械振动》讲授内容
绪论
单自由度系统的自由振动
单自由度系统的强迫振动
两自由度系统的自由振动
两自由度系统的强迫振动
机械工程学院
机械装备与控制工程系
第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 振动系统的模型及其简化
• 能量法 • 组合刚度的等效计算
2.2 无阻尼的自由振动
• 固有频率的计算
• 振幅及动张力的计算
2.3 有阻尼的自由振动
• 阻尼系数、阻尼比、有阻尼固有频率 • 振幅衰减规律
第3章 单自由度系统的强迫振动
3.1 谐波激励下的强迫振动
第1章 绪论
1.1 振动系统的分类
激励 (输入) 动载荷
振动系统
响应 (输出) 动响应
• 按系统的输入：自由振动、强迫振动、自激振动 • 按系统的自由度：单自由度、多自由度、连续体
1.2 系统模型的分类
• 离散、线性、有阻尼/无阻尼
• 确定性、定常系统
1.3 振动运动的描述
• 简谐振动： x(t ) A sin(t ) a 0 • 周期振动： x(t ) An sin(nn t n ) 2 n1
MATLAB在振动分析中的应用
两自由度系统的自由振动：
• 特殊初始条件下系统的自由振动响应（主振动）
• 任意初始条件下系统的自由振动响应（两阶主振动的叠加） • 拍振特性
两自由度系统的强迫振动：
• 激励频率与某阶固有频率一致时的共振响应特性 • 动力吸振的响应特性（激励频率满足某种条件时）