高考数学圆锥曲线常用二级结论
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学圆锥曲线二级结论高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+by y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B aA =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--1111 15.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a x x f x =∝+→)(lim ，b ax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34= 17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29) AC C B B A S z A C y C B x B A ?+?+?==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ac e =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=+- 24.A 、B 、C 三点共线?nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab。
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。
这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。
以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。
证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。
利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。
切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。
同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。
证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。
求出该点处的导数即为切线的斜率。
利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。
离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。
证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。
对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。
以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中的一个重要分支，研究圆锥曲线的性质和特点对于解决实际问题具有重要意义。
在研究圆锥曲线的过程中，我们常常会遇到一些二级结论，它们对于理解和应用圆锥曲线的知识起到了关键的作用。
本文将介绍一些圆锥曲线常用的二级结论，并探讨其应用。
一、椭圆的二级结论椭圆是圆锥曲线中的一种。
通过对椭圆的研究，我们可以得到以下几个常用的二级结论：1. 椭圆的离心率范围为0到1，离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，则椭圆越扁平。
这个结论告诉我们椭圆的形状是由其离心率确定的。
当离心率接近于0时，可以认为椭圆近似于一个圆；而当离心率接近于1时，椭圆则会变得更加扁平。
2. 椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数，等于长轴的长度。
这个结论称为椭圆的焦点定理，它表明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。
这个常数即为椭圆的长轴的长度。
这个结论在许多实际问题中都有着重要的应用，比如卫星轨道的设计等。
3. 椭圆的切线与其法线垂直。
这个结论告诉我们椭圆上任意一点的切线和法线是垂直的。
利用这个性质，我们可以求解椭圆上某一点的切线方程和法线方程，进而研究椭圆曲线的切线和法线的性质。
二、双曲线的二级结论双曲线是圆锥曲线中的另一种。
通过对双曲线的研究，我们可以得到以下几个常用的二级结论：1. 双曲线的离心率范围大于1，离心率越大，则双曲线越扁平。
这个结论与椭圆的结论类似，不同之处在于双曲线的离心率始终大于1。
离心率越大，双曲线越扁平。
2. 双曲线的两个焦点至双曲线上任意一点的距离之差是一个常数，等于双曲线的距离。
这个结论称为双曲线的焦点定理，它表明双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个常数。
这个常数等于双曲线的距离。
3. 双曲线上的切线和法线不垂直。
与椭圆不同的是，双曲线上的切线和法线不垂直。
这个性质给了我们研究双曲线其他性质的线索。
三、抛物线的二级结论抛物线是圆锥曲线中的另一种。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全
本文档总结了高中数学中与圆锥曲线有关的二级结论。
包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆结论
1. 椭圆的定义：椭圆是到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的离心率：椭圆的离心率介于0和1之间。
3. 椭圆的焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
4. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 椭圆的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴的差除以长轴。
双曲线结论
1. 双曲线的定义：双曲线是到两个定点距离之差等于常数的点
的轨迹。
2. 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
3. 双曲线的焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
4. 双曲线的长轴和短轴：双曲线的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。
5. 双曲线的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴
的差除以长轴。
抛物线结论
1. 抛物线的定义：抛物线是到一个定点距离等于定直线距离的
点的轨迹。
2. 抛物线的焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是焦点和准线的交点。
4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴垂直于准线，通过顶点。
5. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c。
以上是高中数学圆锥曲线二级结论的大全。
希望能对你的学习有所帮助！。
圆锥曲线常用二级结论汇总
圆锥曲线常用二级结论汇总以下是圆锥曲线常用的二级结论汇总，包括椭圆、双曲线和抛物线的性质和特点。
详细解析如下：1.椭圆（Ellipse）：-定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：椭圆的焦点到任意点的距离之和等于该点到直径的距离之和。
-长轴和短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度之比，介于0和1之间。
-对称性：椭圆具有x轴对称和y轴对称性。
2.双曲线（Hyperbola）：-定义：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：双曲线的焦点到任意点的距离之差等于该点到直径的距离之差。
-长轴和短轴：双曲线的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度之比，大于1。
-渐近线：双曲线有两条渐近线，与曲线趋于无穷远时相交。
3.抛物线（Parabola）：-定义：抛物线是平面上到定点F的距离等于点P到定直线l的距离的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：抛物线的焦点是位于开口方向上的对称点，与焦点距离相等的两条直线互相平行。
-对称性：抛物线具有顶点对称性，焦点、顶点和直线l三者共线。
-方程形式：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a为常数且不为0。
4.曲线参数方程：-椭圆的参数方程：x=a*cosθ,y=b*sinθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-双曲线的参数方程：x=a*coshθ,y=b*sinhθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-抛物线的参数方程：x=at^2,y=2at，其中a为常数，t是参数。
5.曲线图像和方程：-椭圆的标准方程：(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
-双曲线的标准方程：(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中重要的概念之一，它们的性质和应用广泛存在于各个领域中。
在研究圆锥曲线时，我们常常需要掌握一些基本的二级结论。
本文将介绍一些圆锥曲线常用的二级结论，帮助读者更好地理解和应用这些曲线。
第一，圆是一种特殊的圆锥曲线。
圆的定义是所有离中心点相等距离的点组成的图形。
它的二级结论包括：直径是圆的最长线段，圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径；圆的面积公式为A=πr^2，其中r为半径。
第二，椭圆是另一种常见的圆锥曲线。
椭圆的定义是所有离两个焦点之和相等的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义为两个焦点之间的距离，椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度的比值，离心率小于1时为椭圆；椭圆的周长和面积的计算公式与圆不同，需要通过积分等方法求解。
第三，双曲线是圆锥曲线中的另一个重要概念。
双曲线的定义是所有离两个焦点之差相等的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义与椭圆相同，双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度的比值，离心率大于1时为双曲线；双曲线的周长和面积的计算公式也与圆不同，需要通过积分等方法求解。
第四，抛物线是圆锥曲线中的另一类。
抛物线的定义是所有离焦点距离等于焦距的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义与椭圆和双曲线不同，抛物线的焦距等于焦点到准线的垂直距离；抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点；抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a为焦距。
综上所述，圆锥曲线常用的二级结论包括圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、性质和计算公式等。
通过掌握这些结论，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线，在数学和实际问题中更加准确地计算和分析相关情况。
希望本文能对读者有所帮助，更深入地了解圆锥曲线的奥妙。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
圆锥曲线常用的二级结论(非常实用)
圆锥曲线常用的二级结论如图，直线l过焦点F1与椭圆相交于A, B 两点.则△ABF2的周长为4a.（即F2 A +F2 B +AB = 4a）如图，直线l过焦点F1与双曲线相交于A, B两点.则F2A +F2B -AB = 4a.倾斜角为的直线l过焦点F与椭圆相交于A, B两点.2ab2焦点弦长AB =(a2-b2)sin2+b2.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线l过焦点F与双曲线相交于A, B两点.2ab2焦点弦长AB =(a2+b2)sin2-b2.. .AF与BF 数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于A, B两点，1 1 2a则+=.AF BF b2直线l过焦点F与双曲线相交于A, B两点1 1 2a，则+=.AF BF b2已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则b ≤PO ≤a.已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则PO ≥a.焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知∠F1PF2 =，∠PF1F2 =，∠PF2F1=，则（1）S =b2 tan；△PF1F2 2sin（2）离心率e =.sin+ sin如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知∠F1PF2 =，∠PF1F2 =，∠PF2F1=，则2b2（1）S△PF1F2=b cot2=；tan2sin（2）离心率e =.sin- sin垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于A, B两点，点M为AB的中点，O为原点，则b2kOMkAB=-a2如图，已知直线l与双曲线相交于A, B两点，点M为AB的中点，O为原点，则b2kOMkAB=a2（注：直线l与双曲线的渐近线相交于A, B两点，其他条件不变，结论依然成立）.周角定理如图，已知点 A , B 椭圆长轴端点（短轴端点）， P 是椭圆上异于 A , B 的一点，b 2则 k PA k PB = - a2.推广：如图，已知点 A , B 是椭圆上关于原点对称的两点， P 是椭圆上异于 A , B 的一点，若直线 PA , PB 的斜率存在且不为零 ，b 2k PA k PB = - a2如图，已知点 A , B 双曲线实轴端点， P 是双曲线上异于 A , B 的一点，b 2则 k PA k PB = a2.推广：如图，已知点 A , B 是双曲线上关于原点对称的两点， P 是双曲线上异于 A , B 的一点，若直线 PA , PB 的斜率存在且不为零，b 2 k PA k PB =a2直线l 过焦点 F (c , 0)与椭圆相交于 A , B ⎛ a 2 ⎫两点，点 P c , 0 ⎪，⎝ ⎭则∠APF = ∠BPF （即 k PA + k PB = 0）.直线l 过焦点 F (c , 0)与双曲线相交于⎛ a 2 ⎫A ,B 两点，点 P c , 0 ⎪，⎝ ⎭则∠APF = ∠BPF （即 k PA + k PB = 0）.切线方程已知点 P (x 0 , y 0 )是椭圆上一点，则椭圆x x y y 在点 P 处的切线方程为0 + 0 = 1. a 2b 2已知点 P (x 0 , y 0 )是双曲线上一点，则双 曲线在点 P 处的切线方程为x 0 x - y 0 y = 1. a 2 b2双曲线的结论1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：x 2 y 2设斜率为 k 的直线l 过定点 P (0, t )(t ≠ 0)，双曲线方程为 a 2 - b2 线相切时的斜率为 k 0.b= 1(a > 0, b > 0)，过点 P 与双曲（1）当0 ≤ k b<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； a（2）当 k b =时，直线l 与双曲线只有一个交点；a（3）当 < k a< k 0 时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；（4）当 k（5）当 k = k 0> k 0 时，直线l 与双曲线只有一个交点；时，直线l 与双曲线没有交点.x 2 y 22．如图， F (c , 0)是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)的焦点，过点 F 作 FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为 H ， O 为原点，则OH = a , FH = b .x 2 y 2 3．点 P 是双曲线-a2b 2= 1(a > 0, b > 0)上任意一点，则点 P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值a 2b 2a 2 +b 2.x 2 y 2 4．点 P 是双曲线-a2b 2= 1(a > 0, b > 0)上任意一点，过点 P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐ab 近线相交于 M , N 两点， O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值.21 ⎪ 1 2． =p 2抛物线的结论 如图，抛物线方程为 y = 2 px (p > 0)，准线 x = - p与 x 轴相交于点 P ，过焦点 F⎛ p, 0 ⎫的直线l 与 22 ⎪ ⎝ ⎭抛物线相交于 A (x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 )两点， O 为原点，直线l 的倾斜角为.⎧x x = p , ⎨ 4 ⎪⎩ y 1 y 2 = - p 2 .pp 2．焦半径： AF = x 1 + 2， BF = x 2 + 2， AB = x 1 + x 2 + p .2 p3．焦点弦： AB . sin 211 2p 24． AF , BF 的数量关系：+=， AF ⋅ BF = .AF BF psin 225．三角形 AOB 的面积 S △ AOB =2 sin.6．以焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径 AF 为直径的圆与 y 轴相切.7．直线 PA , PB 的斜率之和为零（ k PA + k PB = 0），即∠APF = ∠BPF .8．点 A , O , N 三点共线；点 B , O , M 三点共线.9．如图，点 A , B 是抛物线 y = 2 px (p > 0)， O 为原点，若∠AOB = 90o ，则直线 AB 过定点(2 p , 0).。
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