电磁学第四章(1、2)

环面的轴以 沿逆时针方向旋转。环上带电+Q ，求环心
O 处的磁感应强度。
解：环的面电荷密度： Q
Q
(b2 a2 )
a
在r处取宽为dr的环，带电为 dq 2rdr dr r O b
以旋转时,相当于(等效于)电流
di dq / T dq 2rdr rdr
3) 磁感应强度叠加原理。
根据 实验基础，可以把任何载流导体分成无限多个电流元 Id先l 求出每个电流元在周围空间某场点产生的 ，再根据
d B B
场叠加原理，求 得整个载流导体在该点产生的 选电流元 Idl ，在P 点产生的 磁感应 强度dB
。
Idl
Idl dB
B dB
dB ? rP
L
2、毕奥─萨伐尔定律：
dBsinθ
μ0 4π
Idl r2
R r
μ0 4π
IRdl r3
B Bx
L dBX
sin dB
L
L
μ 0 R IdL 4π r r 2
IRμ 0
4π L
dL r3
μ
0 IR 2r 3
2
2
μ 0 IR2 R2 x2
3 2
方向沿X轴正向
讨论：
B
0 IR 2
2 R2 x2
dB
k
Idl sin
r2
dB的方向与Idl
r同向，标在图上。
3、若所有dB 同向， 则 B dB
若方向不同, 则先取分量。dBx dBcos dBy dBcos
Bx dBx By dBy
4、选取适当积分变量，方便计算 。
5、由 Bx , By 求出 dB dBxi dBy j
§4-2 毕奥─萨伐尔定律
讨论电流和运动电荷在真空中产生的磁场。 一、毕奥─萨伐尔定律
1、毕奥─萨伐尔定律的实验基础
1)实验验证长直载流导线在周围空间某点Ｐ产生的磁感应强度
Ｂ与I 成正比，与Ｐ 到导线的距离r成反比，即 B I
2)折线电流实验：P点处的磁感强度
B折
k折
I r
tg
2
I
r
rP
由上述两个实验，应用数学方法得到电流元产I 生磁场的规律。
直的方向上出现横向电势差──霍耳效应。
实验证明：
U AA
K IB d
2、经典解释：
K 1 nq
K 为霍耳系数
若电量为q 的粒子以速率v 运动,则受磁场力为:
A
大小： fm qvB
f
v
B
方向： 竖直向上。
I
A
在磁场力的作用下，带电粒子在导体板内发生偏转，在A、
A′面上分别聚集了等量异号的电荷，从而形成霍尔电场。
d 0I arctg a
a
2y
dx
dx
a dI
x
讨论：
B 0I arctg a
a
2y
(1)a y, arctg a a B 0I a 0I
2y 2y
a 2 y 2y
无限长直导线
(2)a y, arctg a
2y 2
B
0 I
2a
1 2
0
j
无限大载流平面
y
dB
P r
dB r
dx
r2
(1)
统一积分变量
r a a
sin sin
x actg actg a d
dx sin2
将以上各式代入（1）式，得：
y
dB P
ar
1 O
I
x
dx
2
x
B 0I 2
4 1
Isin d
a
B
0I 4a
cos1
cos2
讨论： (1)方向:垂直纸面向外(由右手螺旋法则来定)
(2)L>>a
1
0, 2
时,
B
0I 2a
时, (3)半无限长
1
2
, 2
时B
0I 4a
(4)注
意
a,1
,
的
2
意
义
。
无限长
[例3]无限长载流平铜片，厚度忽略，宽度为a ，电流为I 。
求：铜片中心线正上方P点的B。 解：坐标系如图。将铜片分为无限多个宽度为dx 的窄条，
每个窄条可看成载有电流dI的无限长直导线
dI Idx / a
dB
0 4
Idl r
r3
0 4
Idl
rˆ
r2
整个载流导线产生的磁感应强度：
B dB
0
L
L 4
Idl
rˆ
r2
说明：1）毕—萨定律的正确性是不能用实验验证的。因为 电流元不可能单独存在。
2）毕—萨定律的正确性是通过计算载流导体产生的 B
与实验测定的结果相符合而验证的。
3、关于毕奥─萨伐尔定律的说明：
(2)安培实验
动电生磁。
(3)磁铁对运动电荷有力的作用。
本章讨论恒定电流在真空中产生的磁场， 稳恒磁场: 恒定电流激发的磁场。也称为静磁场。
即在空间的分布不随时间变化的磁场。
二、主要内容： （1）电流及运动电荷产生磁场的规律。 （2）磁场对电流或对运动电荷的作用力。 （安培力，洛仑兹力）
磁场在研究方法上与静电场有许多类似之处，在学习中 要注意和静电场的类比。
第四章 稳恒磁场 Static( Steady ) Magnetic Field
一、磁研究的演变
1、基本磁现象：天然磁石对铁的吸引。 磁体的应用与指南针的发明 磁极：N极与S极，同性相斥异性相吸。
2、电现象和磁现象的联系
1820年丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。
(1)通电导体 磁针受到力的作用。
B1 0
I
R
3
BO B1 B2 B3
B 30I 0I 8R 4R
方向：⊙
B2
3 4
0I
2R
B3
0I 4R
O
三、运动电荷的磁场
由经典电子理论，金属导体中的电流是由大量电子作定向
运动形成的，所以电流产生的磁场本质上是运动电荷在其周围
激发的磁场。
设导体中载流子的数密度 为n ，载流 S
r2
一个以速度 v 运动的电荷 q 产生的磁场为
B
dB N
0 4
qv r
r2
r 为运动电荷到场点的距离。
rˆ 为运动电荷到场点的单位矢量。
与电流元的磁场公式比较：
dB
0 4
Idl r
r3
0 4
Idl
rˆ
r2
B
dB N
0 4
qv
r
r2
[例5]内外半径分别为a,b的均匀带电圆盘，绕过圆心O且垂直于
1、规定：
磁感应线上任意一点沿其正向的切向为该点 B 的方向；
切线表示方向
垂直于 B 的单位面积上通过的磁感应线的条数等于该处
B 的大小。 密疏表示强弱
根据毕奥─萨伐尔定律可以判定磁感应线必定是闭合曲线。
2、根据毕奥─萨伐尔定律可以判定磁感应线应具有下列性质： 任何磁场中，磁感应线都不会相交； 每一条磁感应线都是闭合曲线。 ③每一闭合曲线都与电流相套连,二者相互嵌套时服从有 右手定则。磁场是有旋场。
F
在SI中，B 的单位为特斯拉(T)。
1T 1N / C m / s
三、洛伦兹力 F
大小： F qvBsin
q
v
B v
方向： 即垂直 v又垂直 B,垂直于 v和 B所确定的平面.
F
qv
B
当 q>0 时，三者满足右手螺旋
——洛仑兹力 关系。
四、带电粒子在均匀磁场中的运动（自学，是考试内容）
1）大小： dB 0 4
Idl sin
r2
dB Idl dB sin
dB
k
Idl sin
r2
dB
1 r2
在SI中 k 107Tm / A 107 N / A7
k 0 4
0 真空中的磁导率
0 12 . 57 10 7 H m1 ( 亨利 /
2）方向： 由毕奥─萨伐尔定律
可知 dB 既垂直 Idl 又垂直
方向:规定该点处小磁针 N 极所指的方向。
当试探电荷 q 以速度 v 通过 P点时，实验发现磁场对运
动电荷有如下的作用规律：
q 所受的磁场力与v 的大小和方向都有关。 当q 以相同的速率沿不同的方向通过P 点时，q 所受的磁场
力大小不同。
当v 与磁场方向在同一直线上时，q 所受的磁场力为零。
当v 垂直磁场方向时，q 所受的磁场力最大。
[例1]求长为L ，电流为 I 的载流直导线外P 点的B 。
y
解：取坐标系如图
取电流元Idx，该电流元 在P点产生的 dB的大小为：
dB P
dB μ 0 4π
Idxsin
r2
方向：垂直纸面向外
a
1 O
r
I
x
dx
2
x
由于导线上各电流元在P点激发的磁场方向相同，所以：
B dB 0
L
4
L
Isin dx
3、应用： 1）K 与载流子的浓度 n 有关。 霍尔效应为研究半导体载流子浓度的变化提供重要的方法。
2）K 的正负取决于载流子电荷的正负。 根据 K 的正负，可以判断半导体的载流子的类型。
P型，k>0，载流子为带正电的空穴。 n型，k<0，载流子为带负电的电子。AfvB
I
A
A
f
v
B
I
A