向量的数量积和向量积
向量的数量积与向量积
2
z
b +b +b
2 x y
z
(二)、两向量的向量积 二、 1、定义 、
c = a × b，它的模为 | c |=| a || b | sinθ
c 的方向既垂直于 又垂直于b，指向符合右手系 a .
2、向量积的坐标计算式
a × b = (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
1 a 例 已知 = i + j , b = i + k,求a ⋅ b,cos(a, b)及ab.
解
a ⋅ b = {1,1,0} ⋅ {1,0,1} = 1 + 0 + 0 = 1,
1 a⋅b = cos(a, b) = 2 + 12 + 02 12 + 02 + 12 a⋅b 1 1 = 2 1 2 . ab = a cos(a, b) = 2 ⋅ = 2 2
= (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
向量积还可用三阶行列式表示
i bx
按第一行展开就得到
j by
k az bz
a ×b = ax ay
a × b = (aybz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (axby − aybx )k
仅就下图所示的情形给出证明， 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c;
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
7-2数量积和向量积
|
cos
a
| b | cos Pr jab,
| a | cos Pr jba,
a b | b | Pr jba | a | Pr jab.
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积.
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
(1)
证
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
a// b
ax ay az
bx by bz
bx 、by 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
例如， ax a y az 0 0 bz
ax 0,
ay 0
补充
|
a
b
0
[(a c)b (b c )a]c
二、两向量的向量积
实例 设O 为一根杠杆L的支点，有一力F 作用
于这杠杆上
P
点处．力F
与O P
的夹角为
，力
F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模
F
| M || OQ || F |
O
P
L
| OP || F | sin
Q
M 的方向垂直于OP 与F 所决
=
=
_______, __________
；
8、设a =2i 3 j k ,b i j 3k 和c i 2 j,则
(a b)c (a c)b =_____________ ,
(a (a
二、 a已
b知bb)) acc,(bb=0, c_c，)__计为__算___单__a___位_b_____向_b_____c量_____c，.,a
向量的数量积和向量积
向量的数量积和向量积向量是数学中一个重要的概念，它具有大小和方向两个属性。
在向量运算中，有两种主要的运算：数量积和向量积。
一、向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角以及它们的长度之积。
设有两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)数量积有许多应用，例如用来计算向量的投影、判断两个向量是否垂直、计算力的功等。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个向量，其方向垂直于参与运算的两个向量所构成的平面，并遵循右手定则。
设有两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示向量a和b的向量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角，n为单位向量，其方向垂直于向量a和b所构成的平面，并符合右手定则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：(λa)×b = λ(a×b)向量积也有许多应用，例如用来计算向量的面积、判断两个向量是否平行、计算力矩等。
综上所述，向量的数量积和向量积是两种不同的运算。
数量积的结果是一个标量，表示了夹角及长度之间的关系，而向量积的结果是一个向量，表示了向量所在平面的法向量。
矢量的乘法
矢量的乘法
矢量的乘法可以分为两种情况：数量积（又称点乘）和向量积（又称叉乘）。
1. 数量积（点乘）：
数量积是两个矢量相乘得到一个标量的运算，用符号"."表示。
对于两个矢量a和b的数量积，可以表示为a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角。
2. 向量积（叉乘）：
向量积是两个矢量相乘得到一个新矢量的运算，用符号"×"表示。
对于两个矢量a和b的向量积，可以表示为a×b。
计算公
式为：
a×b = |a| |b| sinθ n
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角，n为垂直于a和b所在的平面上的单位法向量。
矢量的乘法在物理学和工程学中有广泛的应用，例如力的乘法可以得到力矩，电场强度的乘法可以得到电场感应强度等。
向量的数量积与向量积的区别
向量的数量积与向量积的区别向量的数量积与向量积是线性代数中两个重要的概念。
虽然它们都涉及向量的运算，但是它们在定义、计算方法和几何意义上存在着显著的区别。
数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
给定两个n维向量a和b，它们的数量积定义为它们对应分量的乘积之和。
即：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn其中，ai和bi分别表示向量a和向量b的第i个分量。
数量积的计算方法非常简单直观，它返回的是两个向量之间的标量（一个实数）。
数量积具有如下性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(ka)·b = k(a·b)，其中k是实数3. 结合律：(a+b)·c = a·c + b·c，其中a、b和c均为向量另一方面，向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种叉乘运算。
给定两个三维向量a和b，它们的向量积定义为一个新的向量，该向量与a和b均垂直，并且模长等于a和b构成的平行四边形的面积。
向量积的计算方法如下：c = a × b = |a| |b| sinθ * n其中，θ为a和b之间的夹角，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的计算稍显复杂，需要借助向量叉乘的性质和行列式的计算方法来求解。
向量积返回的是一个新的向量，该向量与原来的两个向量都垂直。
向量的数量积与向量积在几何意义上有明显的区别。
数量积返回的是一个实数，可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断两个向量是否垂直。
向量积返回的是一个新的向量，该向量的模长表示原向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所在的平面。
在物理学和工程学中，向量的数量积和向量积都有广泛的应用。
数量积可以用来计算物体的功和能量，并且在力学和热力学中也有重要的作用。
向量积则常用于计算力矩、磁场以及电磁感应等问题。
平面向量的数量积和向量积的定义和性质
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
数量积 向量积 混合积
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
数量积和向量积的关系(数量积与向量积的区别)
数量积和向量积的关系（数量积与向量积的区别）
数量积是一种乘积，它有两个参与乘积的量，可以是两个数量的乘积或者某个因素的n次方。
通常，数量积的结果也是一个数量。
向量积是一种积，它有两个参与积的向量，并且它的结果也是一个向量。
向量积主要分为点积和叉积。
点积可以用来表示二个向量的夹角，叉积可以用来表示两个向量的垂直夹角。
总之，数量积是一种乘积，它有两个参与乘积的量，并且它的结果也是一个数量。
而向量积是一种积，它有两个参与积的向量，并且它的结果也是一个向量。
- 1 -。
向量的数量积与向量积
向量的数量积与向量积向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍向量的数量积和向量积的定义、性质和应用。
一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。
给定两个向量a和b，向量的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a·b = b·a，即数量积满足交换律。
2. 对于任意向量a，a·a = |a|^2，其中|a|^2表示向量a的长度的平方。
3. 如果两个向量a和b垂直（夹角为90度），则a·b = 0，即垂直向量的数量积为零。
4. 对于任意向量a和b，有a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
数量积的应用非常广泛，例如在力学中，可以通过计算向量的数量积来求解两个力的合力和共线力。
在几何学中，可以利用数量积的性质来证明两个向量是否垂直或平行。
二、向量的向量积向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，向量的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位法向量。
向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a×b = -b×a，即向量积满足反交换律。
2. 对于任意向量a，a×a = 0，即向量与自身的向量积为零。
3. 对于任意向量a和b，有|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角，|a×b|表示向量a和b的向量积的长度。
向量积在物理学、几何学和工程学等领域中被广泛应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i a1
b1
j a2 b2
k a3 b3
➢ 几何意义
a b a b sin(a,b)
a ,b 为邻边的
平行四边形面积
外积 a b 方向与 a ,b
均正交，且成右手系
ab
b a
当 a (a1, a2), b (b1, b2) 为二维向量
以 a , b 为邻边的平 行四边形的面积为
A a1 a2 b1 b2
（结合律）
(3) a (b c ) a b a c （分配律）
➢ 向量的夹角
将向量 a , b 平移到同一起点，表示它们的
有向线段间的夹角 (0 )
称为向量 a 与 b 的夹角
记为 (a, b )
b
a
零向量与任一向量的夹角规定为任意的
可据需要取0到之间的任何值
若
(a, b )
M2，力F 所作的功为W
位移 s M1M2
F 在位移 s 方向分量
F cos
从而
F
M1
|F|
cos
s
M2
W F cos s W F s
H.W 习题7 13 (2) (3)
2
14（提示：a b (a b , a b ) )
17 18(1) 20 21
7.3.2 向量的向量积
➢ 向量积
例 设 l1与l2 是异面直线, l1过点P1，方向与
向量 s1 平行，l2过点P2，方向与向量 s2 平行，
试求 l1与l2 之间的距离.
P2 s2
[s1, s2 , P1P2 ] d
s1 s2
p1 s1
s1 s2 P1P2
s1 s2
H.W 习题7
22 (2)(3) 23 24 25 26 28
a1 a2 a3
[a ,b ,c ] b1 b2 b3
c1 c2 c3
例 求与向量 a (1,0, 2), b (1,3, 4)
均正交的单位向量 c ，且求以 a ,b ,c 为同顶点
三条棱的平行六面体的体积
➢ 几个结论
(1) a ,b ,c 成右手系，[a ,b ,c ] 0 a ,b ,c 成左手系，[a ,b ,c ] 0
(a b 充分必要条件 a b 0)
例 若 a = (4,7, 1), b = (1, 2, 2)，试求
a b
与
(
a
,b
)
例 若向量 a 3b 垂直于向量 7a 5b
且向量 a 4b 垂直于向量 7a 2b ，试求 a, b 的夹角
显然
i (1, 0, 0), j (0,1, 0), k (0, 0,1)
cos2 cos2 cos2 1
a 单位化后，三个坐标就是其方向余弦
➢ 向量的投影
若 a 0 向量 b 在 a 上的投影
def
b a b cos(a,b)（ Nhomakorabea数）A
b
B
A1
a
B1
l
图中l 上的A1B1的长 度是投影的绝对值
向量A1B1称为 b 在 a
的投影向量,记为
Prj b a
是两两正交的，故称为标准正交基
➢ 方向余弦
方向角 ＝(a, i ) ＝(a, j) ＝(a,k)
方向余弦 cos , cos , cos
k
a
j
i
若向量 a (a1,a2,a3),
方向余弦的表示
cos
cos
a1 a12 a22 a32
a3 a12 a22 a32
cos
a2
a12 a22 a32
Prj b b a0
a
a
➢ 数量积的几何解释
ab a b （投影的放大或缩小） a
因此
当 a 1, a b b a b ba0 a
例 向量
a (2,2 2,2) ,
b （3,12, 4）
求 a 的模和方向余弦及 b 在 a 上的投影
➢ 一个物理解释
物体在力 F 作用下沿直线从点M1移动到点
根据内积定义
[a ,b , c ] a b c cos(a b, c)
➢ 混合积的几何意义
由于 c cos(a b, c) c a b
[a ,b ,c ] a b c ab
a b c
h
b
a
[a ,b ,c ] a b c
是以a ,b ,c 为同顶点三条
棱的平行六面体的体积
向量混合积的坐标表示
➢ 运算律
(1) a b b a (2) ( a ) b a ( b ) (a b ) (3) ( a b ) c a c b c
容易验证 i i 0, j j 0 , k k 0
i j k , j k i , k i j
➢ 向量的混合积
a b c 记为 [a ,b ,c ]
2
，称向量
a
与
b
正交，记为
a b
显然 定理
(a, b ) 0, a // b
a b a b cos(a,b)
用内积表示模和夹角 若 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3)
a a a a12 a22 a32
cos(a, b)
ab
ab
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) a ,b ,c 共面 充分必要条件 [a ,b ,c ] 0
(3) a b c b c a c a b c a b a b c b c a
例 试判别 A(1,0,2), B(3,-1,1),C(0,-2,-1), D(-1,2,3) 是否共面？若不共面，求以这四点为 顶点的四面体的体积
若 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3)，定义
def
a b (a2 b3 a3b2, a3 b1 a1 b3,a1 b2 a2 b1)
称为向量 a , b 的向量积或外积
可表达为
a b ( a2 b2
a3 , a3 b3 b3
a1 , a1 b1 b1
a2 ) b2
Chap7 ―3
向量的数量积和向量积
7.3.1 向量的数量积
➢ 数量积 若 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3)，定义 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3
为向量 a , b 的数量积或内积
➢ 运算律
(1) a b b a
（交换律）
(2) (a ) b (a b )