专题21：图形的相似-2020-2021学年九年级数学暑假提高训练专题(人教版)

专题21：图形的相似1. 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，下列命题：（1）AB2＝AP⋅PB(2)AP2＝PB⋅AB(3)BP2＝AP⋅AB(4)AP:AB＝PB:AP，中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，已知l1 // l2 // l3，AB=3，DE=2，EF=4，则AC的长为（）A.6B.9C.3D.43. 下列图形中一定相似的是（）A.所有矩形B.所有等腰三角形C.所有等边三角形D.所有菱形4. 如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a:b等于（）A.√2:1B.1:√2C.√3:1D.1:√35. 如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述正确的是（）A.这种变换是相似变换B.这变换是轴对称变换12C.这变换是旋转变换D.这变换是平移变换6. 在比例尺为1:100000的地图上，若A ，B 两地相距20km ，则两地的图上距离为（ ） A.0.2cmB.2cmC.20cmD.200cm7. 美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(√5−12≈0.618)，那么就非常美丽，已知一个女孩身高为155cm ，下半身为94cm ，请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为（ ） A.2∼3cmB.3∼4cmC.4∼5cmD.5∼6cm8. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为（ ） A.6cmB.10cmC.4cmD.8cm9. 如图，直线l 1 // l 2 // l 3，另两条直线分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C 及点D 、E 、F ，且AB =3，DE =4，DF =6，则BC =________．10. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE // BC ，若AD:DB ＝1:2，AE ＝2，则AC ＝________．11. 已知，AB =8，P 是AB 黄金分割点，PA >PB ，则PA 的长为________． 12. 观察下列的图形(a)−(g)，其中哪些是与图形(1)、(2)或(3)相似的．3与图形(1)相似的有________；（填序号） 与图形(2)相似的有________； 与图形(3)相似的有________．13. 在某县地图（比例尺为1:400000）上量得红旗乡与胜利乡之间的距离为3cm ，则两乡之间的实际距离是________km ．14. 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍．________（判断对错）15. 如图，在△ABC 中，DE // BC ，AD BD=23，则DE BC=________．16. 已知x2=y3=z4，那么x 2−2y 2+3z 2xy+2yz+3zx 的值是________．17. 顶角为36∘的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB =1，则DE =________．18. 在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1 286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为________千米．419. 如图所示，已知AD // EF // BC ，FG // CH ．求证：AEAB =DGDH ．20. 两地的实际距离是60千米，在地图上量得距离是3厘米，这张地图的比例尺为多少？21. 如图，点P 在线段AB 上，且APAB =PBAP ，若AB =10cm ，求AP 的长．22. 如图，点C 是AB 的黄金分割点，（1）若AB =1，则AC =________≈________，BC =________≈________； （2）若AC =1，求BC 、AB ； （3）若BC =1，求AC 、AB ．523. 在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD 中，当AB =1+√52BC 时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD ．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．24. 如图，直线L:y =−12x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点N(0, 4)，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动．(1)点A 的坐标： ；点B 的坐标： ；(2)求△NOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；(3)在y 轴右边，当t 为何值时，△NOM ≅△AOB ，求出此时点M 的坐标；(4)在(3)的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，△MGN 沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G 的坐标.25. 三角形中，顶角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36∘．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设BCAC=k，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108∘，且A1B1＝AB，请直接写出BCB1C1的值．26. 如图，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG // BD，GF // DC．（1）求证：EF // BC；（2）当AEBE =35时，求S△EFGS△BCD的值．6参考答案与试题解析专题21：图形的相似1.【答案】B【考点】黄金分割【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，∵ 根据线段黄金分割的定义得：AP2＝PB⋅AB，AP:AB＝PB:AP，∵ 只有∵∵正确．【点评】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．2.【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解答】解：∵ l1 // l2 // l3，∵ DEEF =ABBC，∵ AB=3，DE=2，EF=4，∵ BC=6，∵ AC=AB+BC=9．故选B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．7【考点】相似图形【解答】解：A、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、所有等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、所有等边三角形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；D、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误．故选C．【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．4.【答案】A【考点】比例线段比例的性质【解答】=a:b，解：∵ b:a2∵ a2=2b2，∵ a=√2b，则a:b=√2:1．故选A．【点评】能够根据题意正确写出比例式，再根据比例的基本性质表示两个字母之间的关系，即可求解．5.【答案】A【考点】相似图形8解：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，他们在形状上没有发生变化，只是大小发生了变化．所以，这种变换是相似变换．故选A．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键是要联系实际，根据相似图形的定义得出．6.【答案】C【考点】比例线段【解答】解：20km=2000000cm，=20cm；2000000×1100000故选C．【点评】此题考查了比例线段，掌握图上距离、比例尺和实际距离三者的关系是本题的关键．7.【答案】C【考点】黄金分割【解答】=0.618，解：设高跟鞋的高度是xcm，则94+x155+x解得：x≈4.69，即高跟鞋的高度应为4∼5cm．故选C．【点评】9此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值，进一步根据黄金比的值求解．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．8.【答案】D【考点】黄金分割【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，解得：y≈8cm．故选D．【点评】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．9.【答案】32【考点】平行线分线段成比例【解答】解：如图，∵ DE=4，DF=6，∵ EF=DF−DE=2．∵ l1 // l2 // l3∵ ABBC =DEEF，又∵ AB=3，DE=4，EF=2，∵ 3BC =42，则BC=32．10故答案是：32．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理找准对应线段是解题的关键．10.【答案】6【考点】平行线分线段成比例【解答】∵ DE // BC，∵ ADDB =AEEC，∵ ADDB =12，AE＝2，∵ EC＝4，∵ AC＝AE+EC＝2+4＝6．【点评】此题主要考查学生对平行线分线段成比例这一知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线分线段成比例求出EC，难度不大，是基础题．11.【答案】4√5−4【考点】黄金分割【解答】解：由于P为线段AB=8的黄金分割点，且PA>PB，则PA=8×√5−12=4√5−4．11故本题答案为：4√5−4．【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．12.【答案】a,d,g【考点】相似图形【解答】解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：与图形(1)相似的有a；与图形(2)相似的有d；与图形(3)相似的有g．【点评】本题考查的是相似形的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．13.【答案】12【考点】比例线段【解答】解：设两乡之间的实际距离是xcm，则：1:400000=3:x，∵ x=1200000，∵ 1200000cm=12km，∵ 两乡之间的实际距离是12km．故答案为12．【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，解答本题的关键是单位的换算．1214.【答案】√【考点】相似图形【解答】解：∵ 相似三角形各边长的比和角平分线的比都等于相似比，∵ 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍，正确．故答案为：√．【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似比的定义是解题的关键．15.【答案】25【考点】平行线分线段成比例【解答】解：∵ ADBD =23，∵ ADAB =25，∵ 在△ABC中，DE // BC，∵ DEBC =ADAB=25．故答案为：25．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握线段的对应关系．16.【答案】1727【考点】比例的性质13【解答】解：设x=2k、y=3k，z=4k，则原式=4k 2−18k2+48k26k2+24k2+24k2=1727．故答案为：1727．【点评】本题考查了比例的性质．用一个常数表示x、y是解答本题的关键．17.【答案】3−√52【考点】黄金分割【解答】解：∵ △ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，AB=1∵ AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE // AB∵ 设DE=x，则CD=BE=x，AD=BC=1−x，DEAB =ECBC∵ EC=BC−BE=1−x−x=1−2x∵ x1=1−2x1−x解得：DE=3−√52．【点评】此题考查了相似三角形的性质与方程思想，相似三角形的对应边的比相等；解题时要注意方程思想的应用．18.【答案】3858【考点】比例线段相似图形【解答】14解：根据图上距离，发现：飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的图上距离是飞机从台湾直飞上海的图上距离的3倍，所以飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离设为x（千米），x5.4+3.6=12863，解得x=3858（千米），故答案为：3858．【点评】注意：图上距离的比=实际距离的比．19.【答案】证明：∵ AD // EF // BC，∵ AEAB =DFDC，∵ FG // CH，∵ DFDC =DGDH，∵ AEAB =DGDH．【考点】平行线分线段成比例【解答】证明：∵ AD // EF // BC，∵ AEAB =DFDC，∵ FG // CH，∵ DFDC =DGDH，∵ AEAB =DGDH．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应线段是解题的关键．20.【答案】解：∵ 60千米=6000000厘米，∵ 比例尺=3:6000000=1:2000000，故这张地图的比例尺为1:2000000．15【考点】比例线段【解答】解：∵ 60千米=6000000厘米，∵ 比例尺=3:6000000=1:2000000，故这张地图的比例尺为1:2000000．【点评】本题考查了比例尺的概念，注意单位要统一．21.【答案】解：∵ AB=10cm，∵ PB=AB−AP=10−AP，∵ APAB =PBAP，∵ AP10=10−APAP，解得：AP=5√5−52，（负值舍去）．【考点】比例线段【解答】解：∵ AB=10cm，∵ PB=AB−AP=10−AP，∵ APAB =PBAP，∵ AP10=10−APAP，1617解得：AP =5√5−52，（负值舍去）．【点评】本题考查了比例线段，线段的和差，正确理解线段之间的数量关系是解题的关键．22.【答案】√5−12,0.618,3−√52,0.382（2）∵ AC =√5−12AB ，∵ AB =√5+12，BC =AB −AC =1；（3）∵ BC =3−√52AB ，∵ AB =3+√52，AC =AB −BC =√5+12．【考点】黄金分割【解答】解：（1）∵ 点C 是AB 的黄金分割点，AB =1，∵ AC =√5−12≈0.618，BC =3−√52≈0.382；（2）∵ AC =√5−12AB ，∵ AB =√5+12，BC =AB −AC =1；（3）∵ BC =3−√52AB ，∵ AB =3+√52，AC =AB −BC =√5+12．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值√5−12叫做黄金比．23.【答案】证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵ AE=BC，DF=BC，∵ AE=DF=BC=AD，又∵ ∠ADF=90∘，∵ 四边形AEFD是正方形．BE=AB−AE=1+√52BC−BC=√5−12BC，∵ BEBC =√5−12，∵ 矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∵ 黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．【考点】黄金分割【解答】证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵ AE=BC，DF=BC，∵ AE=DF=BC=AD，又∵ ∠ADF=90∘，∵ 四边形AEFD是正方形．1819BE =AB −AE =1+√52BC −BC =√5−12BC ， ∵ BEBC =√5−12， ∵ 矩形BCFE 的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE 是黄金矩形．∵ 黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．【点评】 此题考查了黄金分割比的意义．本题中将已知黄金矩形ABCD 分割成一个以较短边AD 为边的正方形和一个较小矩形是解决问题的关键．24.【答案】(4,0),(0,2)(2)∵ N(0, 4)，A(4, 0)，∵ ON =OA =4.当0≤t ≤4时，OM =OA −AM =4−t ，S △OCM =12×4×(4−t)=8−2t ； 当t >4时，OM =AM −OA =t −4，S △OCM =12×4×(t −4)=2t −8.综上，S ={8−2t(0≤t ≤4)，2t −8(t >4).(3)由题可得，OA =ON =4，∠AOB =∠NOM =90∘.当在y 轴右边，即M 在OA 上时，OB =OM =2时，△NOM ≅△AOB ．∵ AM =OA −OM =4−2=2，∵ 动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟，故M(2, 0).(4)∵OM=2, ON=4，∴MN=√22+42=2√5.∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴OGNG =OMMN，且NG=ON−OG，∴OG4−OG =2√5，解得OG=√5−1，G(0,√5−1).【考点】一次函数的综合题运动产生相似翻折变换（折叠问题）点的坐标【解答】解：(1)对于直线L:y=−12x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=4，则A、B两点的坐标分别为A(4, 0)，B(0, 2).故答案为：(4,0)，(0,2).(2)∵ N(0, 4)，A(4, 0)，∵ ON=OA=4.当0≤t≤4时，OM=OA−AM=4−t，2021S △OCM =12×4×(4−t)=8−2t ；当t >4时，OM =AM −OA =t −4，S △OCM =12×4×(t −4)=2t −8.综上，S ={8−2t(0≤t ≤4)，2t −8(t >4).(3)由题可得，OA =ON =4，∠AOB =∠NOM =90∘.当在y 轴右边，即M 在OA 上时，OB =OM =2时，△NOM ≅△AOB ．∵ AM =OA −OM =4−2=2，∵ 动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟，故M(2, 0).(4)∵OM =2, ON =4，∴MN =√22+42=2√5.∵△MGN 沿MG 折叠，∴∠NMG =∠OMG ，∴OG NG =OM MN ，且NG =ON −OG ，∴OG 4−OG =2√5，解得 OG =√5−1，G(0,√5−1).【点评】此题考查了同学们根据函数图象求坐标，通过动点变化求函数关系式．25.【答案】如图所示；△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵ 点D在AB的垂直平分线上，∵ AD＝BD，∵ ∠ABD＝∠A．∵ ∠A＝36∘，AB＝AC，∵ ∠ABC＝∠C＝72∘，∵ ∠ABD＝∠DBC＝36∘．又∵ ∠BDC＝∠A+∠ABD＝72∘，∵ ∠BDC＝∠C，∵ BD＝BC，∵ △BCD是黄金三角形．设BC＝x，AC＝y，由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．∵ ∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∵ △BDC∽△ABC，∵ BCAC =DCBC，即xy=y−xx，整理，得x2+xy−y2＝0，解得x=−1±√52y．因为x、y均为正数，所以k=xy =√5−12．3−√52．理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．∵ ∠A＝36∘，AB＝AC，∵ ∠ACB＝∠B＝72∘，∵ ∠ACE＝180∘−72∘＝108∘，∵ ∠ACE＝∠B1A1C1．∵ A1B1＝AB，∵ AC＝CE＝A1B1＝A1C1，∵ △ACE≅△B1A1C1，22∵ AE＝B1C1．由（3）知，∵ BCAB =BCAC=√5−12，ABAE=√5−12，∵ BCB1C1=BCAE=BCAB×ABAE=√5−12×√5−12=3−√52．【考点】黄金分割【解答】如图所示；△BCD是黄金三角形．证明如下：∵ 点D在AB的垂直平分线上，∵ AD＝BD，∵ ∠ABD＝∠A．∵ ∠A＝36∘，AB＝AC，∵ ∠ABC＝∠C＝72∘，∵ ∠ABD＝∠DBC＝36∘．又∵ ∠BDC＝∠A+∠ABD＝72∘，∵ ∠BDC＝∠C，∵ BD＝BC，∵ △BCD是黄金三角形．设BC＝x，AC＝y，由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．23∵ ∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∵ △BDC∽△ABC，∵ BCAC =DCBC，即xy=y−xx，整理，得x2+xy−y2＝0，解得x=−1±√52y．因为x、y均为正数，所以k=xy =√5−12．3−√52．理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．∵ ∠A＝36∘，AB＝AC，∵ ∠ACB＝∠B＝72∘，∵ ∠ACE＝180∘−72∘＝108∘，∵ ∠ACE＝∠B1A1C1．∵ A1B1＝AB，∵ AC＝CE＝A1B1＝A1C1，∵ △ACE≅△B1A1C1，∵ AE＝B1C1．由（3）知，∵ BCAB =BCAC=√5−12，ABAE=√5−12，∵ BCB1C1=BCAE=BCAB×ABAE=√5−12×√5−12=3−√52．【点评】此题考查的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三24角形进行分析计算．26.【答案】∵ EG // BD，∵ AEEB =AGGD，∵ GF // DC，∵ AGGD =AFFC，∵ AEEB =AFFC，∵ EF // BC；∵ EF // BC，∵ ∠AEF＝∠ABC，∵ EG // BD，∵ ∠AEG＝∠ABD，∵ ∠AEF−∠AEG＝∠ABC−∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∵ △EGF∽△BDC，∵ AEBE=35，∵ EFBC =38，∵ S△EFGS△BCD =(EFBC)2=964．【考点】25平行线分线段成比例【解答】∵ EG // BD，∵ AEEB =AGGD，∵ GF // DC，∵ AGGD =AFFC，∵ AEEB =AFFC，∵ EF // BC；∵ EF // BC，∵ ∠AEF＝∠ABC，∵ EG // BD，∵ ∠AEG＝∠ABD，∵ ∠AEF−∠AEG＝∠ABC−∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∵ △EGF∽△BDC，∵ AEBE=35，∵ EFBC =38，∵ S△EFGS△BCD =(EFBC)2=964．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常26考题型．27。