第五章-测量误差基本知识(测)PPT课件
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第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第5章-测量误差的基本知识(091023)
[例6-8]
∴ m A = ± 1.64 = ±1.28(m)
已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角 α=15°00′00″±30″ 2 ′ m D = [(c o s α ) ⋅ m D ′ ] 2 求：水平距离D 及其中误差 m + [( D ′ ⋅ s in α ) α ] 2 解：1.函数式 D = D′ cos α , ρ 2.全微分 = [(c o s 1 5 o ) ⋅ 0 .0 5 ] 2 dα dD′ = (cos α ) dD′ + ( D′ ⋅ sin α ) o 3 0 ′′ 2 + [(5 0 ⋅ s in 1 5 ) ] ρ ρ 3.化为中误差
四、线性函数 线性函数 Z = K1 X 1 ± K 2 X 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± K n X n ，则有
mZ = ± K1 m X1 + K 2 m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + K n m X n
2 2 2 2 2 2
[例6-5] 设对某一个三角形观测了其中α、β两 个角，测角中误差分别为mα=±3.5″，mβ =±6.2″， 现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中 = 误差mγ。 解：
2 2 2 2 mZ = m X1 + m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m X n
n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观 测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差， 与观测值个数n的平方根成正比，即 m = m n
Z
m读 ≈ ±2mm [例6-4] 已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为 (包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)， 若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n 站所得高差闭合差的容许误差。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
第5章 测量误差的基本知识
第5章
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
第5章 误差基本知识
②仪器构造本身也有一定误差。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
第5章 测量误差理论的基础知识
第五章 测量误差理论的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
第五章 测量误差
（2）水准路线高差的中误差
如果在这段水准路线当中一共观测了n站，则总高 差为： 设每站的高差中误差均为m站 ，则 mh = 取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为： m容= 3
2.水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左 盘右观测同一方向的中误差为±6” ，即 =±6”。 假设盘左瞄准A点时读数为A左，盘右瞄准A时读数 为A右，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为
求真误差的方差： 由方差的性质可得：
中误差为标准差σ的估计值，而标准差的平方就等 于方差，故
二、线性函数
1、倍数函数 设有函数 Z=Kx 式中 x—直接观测值，其中误差为mx； K—常数 Z—观测值x的函数 若对x作n次同精度观测，其真误差列为 设对应的函数的真误差列为 。 观测值与函数间的真误差关系式为：
三、非线性函数 设有非线性函数 z=f（x1、x2、…、xn） 式中，x1、x2、…、xn为独立观测值，其相应的中
误差分别为m1、m2、…、mn，对其全微分得到
四、误差传播定律的应用 1.水准测量的误差分析
（1）一个测站的高差中误差 每站的高差为：h=a-b；a、b为水准仪在前后水准 尺上的读数，读数的中误差m读，m读≈±3mm，则 每个测站的高差中误差为
二、中误差（均方差）
1.测量工作中，用标准差来衡量观测的精度，我 们称之为中误差，用ｍ表示。 设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立 观测，观测值为:l1,l2,…,ln,其真误差为Δ １,
Δ ２,…,Δ n ,则真误差的方差
式中当ｎ→∞，E(Δ ) ＝ 0 ，根据数学期望的定义 E(Δ 2)就是Δ 2的算术平均值。
将上式平方，得 按上式求和，并除以n，得
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
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偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不 能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下， 对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性， 称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差 的规律性表现得更加明显。
例如，在相同的观测条件下，对358个三角形的内角进行 了观测。由于观测值含有偶然误差，致使每个三角形的内 角和不等于180°。设三角形内角和的真值为X，观测值 为L，其观测值与真值之差为真误差Δ。用下式表示为：
测量误差主要来源： (1) 外界环境 主要指观测环境中气温、气压、
空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的 不断变化。
(2) 仪器误差 仪器在加工和装配等工艺过程 中，不能保证仪器结构能够满足各种几何关系。
(3)观测误差 观测者的自身条件，观测者的 感官鉴别能力，技术熟练程度，会在仪器对中、 整平和瞄准等方面产生误差。 由于以上原因，使得观测值偏离观测量的真值或 理论值而产生真误差或闭合差，统称测量误差， 简称误差。
粗差剔除：有些粗差可以通过分析观测值中的异常值加以 发现；有些粗差可以通过检核(如进行多余观测)计算加以 发现；而有些小粗差很难发现，对测量成果的精度影响极 大，已引起人们的高度重视，形成了现代误差理论中一个 重要内容，叫做“粗差探测”。
在进行测量工作时，测量人员只要有高度的责任 感和认真负责的态度，较完善地组织好观测方法 和记录工作，加强检核，严格执行“规范”等，
在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹
角时，对水准尺的读数所产生的误差为D*i″/ρ″
（ρ″=206265″是一弧度对应的秒值)，它与水准仪至水 准尺之ห้องสมุดไป่ตู้的距离D成正比，所以这种误差按某种规律变化。
这些误差都属于系统误差，在测量成果中具有累 积性，对测量成果的影响较为显著，但由于这些 误差具有一定的规律性，所以，我们可以采取措 施来消除或尽量减少其对测量成果的影响。
粗差 ：粗差是测量中的疏忽大意而造成的错误或电子测 量仪器产生的伪观测值。
例如，观测者由于判断错误而瞄错目标；量距时不细心， 将钢尺上的6字看成9；观测者吐字不清或记录者思想不集 中，导致听错或记错数据等。粗差非常有害，它不仅影响 测量成果的可靠性，造成返工浪费，严重的甚至会对工程 造成难以估量的损失，所以，应尽量将粗差剔除。
如前所述，系统误差有明显的规律性，容易发现， 也较易控制，所以在测量过程中总可以采取各种办法消 除其影响，使其处于次要地位。而偶然误差则不然，不 能完全消除，故本章中所讨论的测量误差，均系指偶然 误差而言的。
第五章 测量误差的基本知识
三、 偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如
果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶 然误差，又称为随机误差。 例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数 误差等，都属于偶然误差。
通常有以下三种处理方法： （1）检校仪器：把仪器的系统误差降低到最小程度。例 如，在测量工作开始前，对仪器进行检验和校正，可以使 系统误差减少。 （2）求改正数：对观测成果进行必要的改正，如钢尺经 过检定，求出尺长改正数。 （3）对称观测：使系统误差对观测成果的影响互为相反 数，例如：水准测量采用中间法，水平角测量采用盘左盘 右观测等，都是为了达到削弱系统误差的目的。
测量误差按性质可分为系统误差和偶然误差(又称 随机误差)两类。 二、系统误差（又称累积误差）
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果 误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种 误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。 例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺 的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的 误差，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误 差与所丈量的距离成正比。
第五章 测量误差的基本知识
5-1 概述 一、 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、 观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原 因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪 器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合 起来，称为观测条件。通常把观测条件相同的各 次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次 观测，称为不等精度观测。
真误差：设某一观测量的真值或理论值为X，在等精度观 测条件下对该量进行了n次观测，其观测值为li（i= 1,2,3,…n),则相应的误差Δi 定义为
Δi=li –X 称为真误差。
闭合差：例如闭合水准测量的闭合差：全线高差观 测值之和与其理论值（0）之差不为0；三角形闭 合差，三内角观测值之和与理论值（1800）之差不 为0；往返距离丈量的闭合差：同一距离往返观测 值之差与理论值（0）之差不为0。等均说明观测 中存在误差。
N
坐标作直方图，yd
k
为图中任一长条矩形的面积称为
频率。
N
此图称为偶然误差分布直方图（在统计学上称为频率直方 图）：
偶然误差的统计规律的四个特性： ① 在一定的观测条件下，
偶然误差的绝对值不会超过 一定的限值；（有界性）
② 绝对值小的误差比 绝对值大的误差出现的机 会多(密集性)；
③ 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（对称 性） ④ 在相同观测条件下，当观测次数n无限增大，
系统误差具有明显的规律性和累积性，其误差 的大小和符号有一定的规律，所以可以采取适当 措施加以消除或削弱。
当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响， 或者与偶然误差相比系统误差处于次要地位后，占主导 地位误差就是偶然误差。
在观测过程中，系统误差和偶然误差总是相伴而生。 当系统误差占主导地位时，观测误差就呈现一定的系统 性；反之，当偶然误差占主导地位时，观测误差就呈现 偶然性。
Δi=Li-X
（i=1,2,…,358） （6-1） 由 （ 6-1 ）
式计算出358个三角形内角和的真误差，并取误差区间为
dΔ= 3″，以误差的大小和正负号，分别统计出它们在各
误差区间内的个数k和频率k/n，结果列于表中。
四、偶然误差的特性：
为了更直观地表示偶然误差的分布情况，以△为横坐标
轴，以 y k / d （即真误差在各区间的分布密度）为纵
例如，在相同的观测条件下，对358个三角形的内角进行 了观测。由于观测值含有偶然误差，致使每个三角形的内 角和不等于180°。设三角形内角和的真值为X，观测值 为L，其观测值与真值之差为真误差Δ。用下式表示为：
测量误差主要来源： (1) 外界环境 主要指观测环境中气温、气压、
空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的 不断变化。
(2) 仪器误差 仪器在加工和装配等工艺过程 中，不能保证仪器结构能够满足各种几何关系。
(3)观测误差 观测者的自身条件，观测者的 感官鉴别能力，技术熟练程度，会在仪器对中、 整平和瞄准等方面产生误差。 由于以上原因，使得观测值偏离观测量的真值或 理论值而产生真误差或闭合差，统称测量误差， 简称误差。
粗差剔除：有些粗差可以通过分析观测值中的异常值加以 发现；有些粗差可以通过检核(如进行多余观测)计算加以 发现；而有些小粗差很难发现，对测量成果的精度影响极 大，已引起人们的高度重视，形成了现代误差理论中一个 重要内容，叫做“粗差探测”。
在进行测量工作时，测量人员只要有高度的责任 感和认真负责的态度，较完善地组织好观测方法 和记录工作，加强检核，严格执行“规范”等，
在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹
角时，对水准尺的读数所产生的误差为D*i″/ρ″
（ρ″=206265″是一弧度对应的秒值)，它与水准仪至水 准尺之ห้องสมุดไป่ตู้的距离D成正比，所以这种误差按某种规律变化。
这些误差都属于系统误差，在测量成果中具有累 积性，对测量成果的影响较为显著，但由于这些 误差具有一定的规律性，所以，我们可以采取措 施来消除或尽量减少其对测量成果的影响。
粗差 ：粗差是测量中的疏忽大意而造成的错误或电子测 量仪器产生的伪观测值。
例如，观测者由于判断错误而瞄错目标；量距时不细心， 将钢尺上的6字看成9；观测者吐字不清或记录者思想不集 中，导致听错或记错数据等。粗差非常有害，它不仅影响 测量成果的可靠性，造成返工浪费，严重的甚至会对工程 造成难以估量的损失，所以，应尽量将粗差剔除。
如前所述，系统误差有明显的规律性，容易发现， 也较易控制，所以在测量过程中总可以采取各种办法消 除其影响，使其处于次要地位。而偶然误差则不然，不 能完全消除，故本章中所讨论的测量误差，均系指偶然 误差而言的。
第五章 测量误差的基本知识
三、 偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如
果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶 然误差，又称为随机误差。 例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数 误差等，都属于偶然误差。
通常有以下三种处理方法： （1）检校仪器：把仪器的系统误差降低到最小程度。例 如，在测量工作开始前，对仪器进行检验和校正，可以使 系统误差减少。 （2）求改正数：对观测成果进行必要的改正，如钢尺经 过检定，求出尺长改正数。 （3）对称观测：使系统误差对观测成果的影响互为相反 数，例如：水准测量采用中间法，水平角测量采用盘左盘 右观测等，都是为了达到削弱系统误差的目的。
测量误差按性质可分为系统误差和偶然误差(又称 随机误差)两类。 二、系统误差（又称累积误差）
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果 误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种 误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。 例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺 的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的 误差，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误 差与所丈量的距离成正比。
第五章 测量误差的基本知识
5-1 概述 一、 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、 观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原 因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪 器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合 起来，称为观测条件。通常把观测条件相同的各 次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次 观测，称为不等精度观测。
真误差：设某一观测量的真值或理论值为X，在等精度观 测条件下对该量进行了n次观测，其观测值为li（i= 1,2,3,…n),则相应的误差Δi 定义为
Δi=li –X 称为真误差。
闭合差：例如闭合水准测量的闭合差：全线高差观 测值之和与其理论值（0）之差不为0；三角形闭 合差，三内角观测值之和与理论值（1800）之差不 为0；往返距离丈量的闭合差：同一距离往返观测 值之差与理论值（0）之差不为0。等均说明观测 中存在误差。
N
坐标作直方图，yd
k
为图中任一长条矩形的面积称为
频率。
N
此图称为偶然误差分布直方图（在统计学上称为频率直方 图）：
偶然误差的统计规律的四个特性： ① 在一定的观测条件下，
偶然误差的绝对值不会超过 一定的限值；（有界性）
② 绝对值小的误差比 绝对值大的误差出现的机 会多(密集性)；
③ 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（对称 性） ④ 在相同观测条件下，当观测次数n无限增大，
系统误差具有明显的规律性和累积性，其误差 的大小和符号有一定的规律，所以可以采取适当 措施加以消除或削弱。
当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响， 或者与偶然误差相比系统误差处于次要地位后，占主导 地位误差就是偶然误差。
在观测过程中，系统误差和偶然误差总是相伴而生。 当系统误差占主导地位时，观测误差就呈现一定的系统 性；反之，当偶然误差占主导地位时，观测误差就呈现 偶然性。
Δi=Li-X
（i=1,2,…,358） （6-1） 由 （ 6-1 ）
式计算出358个三角形内角和的真误差，并取误差区间为
dΔ= 3″，以误差的大小和正负号，分别统计出它们在各
误差区间内的个数k和频率k/n，结果列于表中。
四、偶然误差的特性：
为了更直观地表示偶然误差的分布情况，以△为横坐标
轴，以 y k / d （即真误差在各区间的分布密度）为纵