数学竞赛平面几何重要知识点绝对精华
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)
初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)初中数学竞赛中，平面几何是一个重要的考点。
以下是一些重要的定理、公式和结论。
三角形面积公式（包括海伦公式）：三角形的面积S可以用以下公式计算：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，$a$，$b$，$c$分别为三角形的三条边长。
另外，三角形的面积也可以用以下公式计算：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，其中$a$，$b$为两边，$C$为两边之间的夹角。
还有一个海伦公式：$S=\frac{1}{2}ah_a$，其中$h_a$为三角形顶点$A$到边$BC$的垂线长度，$a$为边$BC$的长度。
XXX定理：对于三角形$\triangle ABC$及其底边上的一点$D$，有$AB^2\cdot DC+AC^2\cdot BD-AD^2\cdotBC=BC\cdot DC\cdot BD$。
XXX定理：对于一个内接四边形，其对角线之积等于两组对边乘积之和，即$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$。
逆命题也成立。
同时还有广义托勒密定理：$AB\cdotCD+AD\cdot BC\geq AC\cdot BD$。
蝴蝶定理：如果$AB$是圆$O$的弦，$M$是$AB$的中点，弦$CD$，$EF$经过点$M$，$CF$，$DE$交$AB$于$P$，$Q$，则$MP=QM$。
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：对于一个直角三角形，锐角对边的平方等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍；钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍。
同时还有广义勾股定理。
中线定理（巴布斯定理）：对于一个三角形$\triangleABC$，如果$BC$的中点为$P$，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$。
同时，中线的长度可以用以下公式计算：$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$。
数学竞赛平面几何重要知识点绝对精华
数学竞赛平面几何重要知识点梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACE FC BF DB AD 。
斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅222西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
6、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆与圆有关的重要定理4.四点共圆的主要判定定理（1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆；（2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆；（3）若PA •PC=PB •PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆；三角形的五心三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。
三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。
三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。
此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。
当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。
与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题例1.设M 是任意ABC ∆的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AFAC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛）例 2. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为_________________.例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．例4. 三角形ABC 为锐角三角形,AD 为该三角形的一条高.设P 为线段AD 上一点,直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，证明：DA 平分∠EDF 。
八年级几何竞赛知识点总结
八年级几何竞赛知识点总结几何学是数学的一部分，但它与其他数学学科的联系并不是特别紧密，因为几何学有自己的特点和特殊性。
几何竞赛是一种全面考查学生几何知识和解题能力的数学竞赛。
在八年级几何竞赛中，学生需要掌握一定的几何知识点和解题技巧。
下面对八年级几何竞赛知识点进行总结。
一、平面几何基础知识1. 点、线、面的基本概念点：几何学的基本概念之一，它是没有长度、宽度和高度的物体，通常用大写字母表示。
线：由无数个点连成的，没有宽度和高度的东西。
面：有长度和宽度，但没有高度的物体。
2. 点、线、面的关系和性质点与点之间是不同的，但有联系的，两点间只有一条线相连；两点确定一条直线；三点确定一个平面。
在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，或者平行无交点。
同一个平面内的两条直线交于一个点。
3. 角的概念及性质角是由两条射线的公共端点分割而成的图形。
两条射线称为角的两边，公共端点称为角的顶点。
角的性质：顶角相等，对顶角相等，余角相等，相对顶角相等。
4. 直线、线段、射线直线：无限延伸并且无限多个点连成的线。
线段：直线上有限的长度部分叫线段。
射线：一端起点，另一端无限延伸的射线。
5. 多边形多边形是平面内由有限个顶点和边组成的封闭图形。
多边形的顶点和边的条数分别称为多边形的顶点数和边数。
最小的三角形，最大的四边形、五边形等。
6. 几何作图利用尺规作图，判断各种角、面积大小，利用尺规作图，解答一些几何问题。
包括平移、旋转、镜像等作图方法。
二、图形的面积和周长1. 图形的周长图形的周长是指图形的边的长度之和。
2. 矩形和正方形的面积和周长正方形的周长=4a (a为正方形的边长) 正方形的面积=a^2矩形的周长=2(a+b) (a、b分别为矩形的长和宽) 矩形的面积=ab3. 三角形的面积三角形的面积S=1/2bh (b为底，h为高)4. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr (r为圆的半径) 圆的面积S=πr^25. 复合图形的周长和面积复合图形的周长和面积需要根据具体的题目分析计算。
平面几何知识点总结(已整理)
平面几何知识点总结(已整理)本文档旨在总结和概述平面几何的主要知识点，为读者提供一个简明扼要的参考。
以下为平面几何的重要知识点：1. 点和线- 点：平面几何中最基本的元素，不占据空间，没有大小和形状，用大写字母表示，如A、B、C等。
- 直线：由无限个相连的点构成，没有宽度和长度，用小写字母表示，如ab、cd等。
- 线段：由两个点确定的部分，有特定的长度，用AB、CD表示。
2. 角- 角度：由两条射线构成的图形，以一个为顶点，另两条为腿，用大写字母表示顶点，如∠ABC。
- 直角：角度为90度的角。
- 锐角：角度小于90度的角。
- 钝角：角度大于90度但小于180度的角。
3. 三角形- 三角形是由三条线段组成的图形。
- 根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
- 根据角度，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
- 根据边与角的关系，三角形可以分为正弦三角形、余弦三角形和正切三角形。
4. 四边形- 四边形是由四条线段组成的图形。
- 根据边的属性，四边形可以分为平行四边形、矩形、菱形和正方形。
- 根据角度，四边形可以分为梯形、直角梯形和平行梯形。
5. 圆- 圆是由一条曲线构成的图形，所有点到圆心的距离相等。
- 圆的重要元素有半径、直径和周长。
6. 同位角和内错角- 同位角：两条直线被一条直线切割时，在同一边的两个对应角。
- 内错角：两条平行线被一条直线切割时，在两条直线之间的内部所成的对应角。
以上为平面几何的主要知识点总结。
希望本文档能对读者理解平面几何有所帮助。
个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲
个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集1.梅涅劳斯定理出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/D C)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。
如百科名片中图。
※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
个人精心整理高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何根本要求：驾驭高中数学竞赛大纲所确定的全部内容。
补充要求：面积与面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点间隔之与最小的点--费马点。
到三角形三顶点间隔的平方与最小的点--重心。
三角形内到三边间隔之积最大的点--重心。
几何不等式。
简洁的等周问题。
理解下述定理：在周长肯定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积肯定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数在一试大纲的根底上另外要求的内容：周期函数与周期，带肯定值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简洁的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简洁的函数方程。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简洁的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简洁的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的根本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、外表绽开图。
4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线与法线。
圆的幂与根轴。
5、其它抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。
赛瓦定理及其逆定理。
高中数学联赛平面几何基础知识
CF FA
1．
因为 AD BE CF 1，所以有 AD AD/ ．由于点 D、D/都在线段 AB 上，所以点 D 与
DB EC FA
DB D/ B
D/重合．即得 D、E、F 三点共线．
注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．
四、托勒密定理
5．托勒密定理及其证明
4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在 ABC 的边 AB、BC 上各有一点 D、E，在边
AC 的延长线上有一点 F，若 AD BE CF 1， DB EC FA
那么，D、E、F 三点共线．
证明：设直线 EF 交 AB 于点 D/，则据梅涅劳斯定理有
AD/ D/ B
BE EC
AD DE ，即 AD BC AC DE ————（1） AC BC
由于 DAE = BAM，所以 DAM = BAE，即 DAC = BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE∽ ACD．即得
AB BE ，即 AB CD AC BE ————（2） AC CD
因此，
A/ B/
A/ D
，
B/C/
C/D ．
AB BD BC BD
可得 A/ B/ B/C / AB A/ D BC C / D . BD
另一方面，
A/C /
A/ D ，即
A/C /
AC A/ D
．
AC CD
CD
AB A/ D BC C/ D AC A/ D
即证 CD C / D AD A/ D ，这是显然的．所以， A/ B/ B/C / A/C / ，即 A/、B/、C/
高中数学竞赛中平面几何涉及的定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
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数学竞赛平面几何重要知识点
梅涅劳斯定理：
设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EA
CE FC BF DB AD 。
斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则
BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅222
西摩松定理：
设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
6、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC '
'⋅''⋅='''∆∆
与圆有关的重要定理
4.四点共圆的主要判定定理
（1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆；
（2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆；
（3）若PA •PC=PB •PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆；
三角形的五心
三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。
三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。
三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。
此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。
当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。
与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题
例1.设M 是任意ABC ∆的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF
AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛）
例 2. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为_________________.
例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．
⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
例4. 三角形ABC 为锐角三角形,AD 为该三角形的一条高.设P 为线段AD 上一点,直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，证明：DA 平分∠EDF 。
例5.正方形ABCD 中，E 为其内部的一点，且∠EAB =
∠EBA=15°，连DE 、CE ，求证：三角形DCE 为正三角形。
例6．设六边形ABCDEF 是凸六边形,且AB=BC,CD=DE,EF=FA.证明:23≥++
FC
FA DA DE EB BC ,并指出等号成立条件.(第38届IMO 预选题)
B
B B
C C C A
A A D P
E ① ② ③
(第27题)
例7.已知等腰三角形2,=∆AB ABC ，设i P 是底边BC 上任一点，)1003,2,1(K =i 记C P BP AP m i i i i ⋅+=2，则=+++10021m m m K （ ）。