概率与统计及部分答案

x, 0 x 1, 1 f ( x) ,1 x 2, 2 其他， 0,
求 X 的分布函数 F(x). 解：x<=0 时，F(x)=0 0
四、综合题(本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分) 28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
cx,0 x 1,0 y 1, f ( x, y) 其他， 0, (c=2)
(1)求常数 c；(2)求(X，Y)分别关于 X,Y 的边缘概率密度；(3)试问 X 与 Y 是否相互独立，为 什么？
29.设随机变量 X 的分布律为
.记 Y=X2，求：(1)D(X)，D(Y)；(2)Cov(X,Y).
五、应用题(10 分) 30. 某电 子元件的使用 寿命 X( 单 位：小时 ) 服从参数 为 的指数分布 ，其概率 密度为
2. 对于任意两事件 A，B， P( A B) =（ C A． P( A) P( B) C.
B. P( A) P( B) P( AB) D. P( A) P( A) P( AB)
P( A) P( AB)
3. 设随机变量 X 的分布律为 P{ X n} a ( ) ， n (1, 2,…) 则 a=（
X
i 1
100
i
10 }近似于(
B
) B. (l) D. (100)
2
10.设 x1，x2，…，xn 是来自正态总体 N( ， )的样本， x ，s2 分别为样本均值和样本方差，
则
( n 1) s 2
2
2
~(
A ) B. (n)
2
A. (n-1)
C.t(n-1) D.t(n) 二、填空题(本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.4，P(B)=0.5，则 P(AB)=___0.2_____. 12.从数字 1,2， …， 10 中有放回地任取 4 个数字， 则数字 10 恰好出现两次的概率为________. 13.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=
得分
评卷人
四、综合题（每题 8 分，共 24 分）
1、设总体 X P , 未知.从总体抽到一样本为 X1 , X 2 ,, X n .求参数 的矩估计， 并证明所求估计为无偏估计.
2、如果一危险情况发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以
提高可靠性， 在危险发生时这些开关每一个都应闭合， 且若至少一个开关闭合， 警报就发出. 每个开关具有 0.96 的可靠度， 如果需要有一个可靠性至少为 0.9999 的系统， 则至少需要用 多少个开关并联？（各开关闭合与否都是相互独立的）. 解：设需要 n 盏灯并联。则： N=3
4、设随机变量 X 的概率密度为：
f
x
x, 0 x 1 2 x ,1 x 2 0, 其他
，求 E ( X ) , D( X )
5、设总体 X N (60, 225) ,从总体 X 中抽取一个样本容量为 100 的样本，求样本均值与总 体均值之差的绝对值大于 3 的概率.（ (1.5) 0.933, (2) 0.977, (2.5) 0.994 ） 解：2(1-t(0))
得分
评卷人
一、 填空题（每小题 2 分，共 20 分）
注： 绿色 为基础题 1、设 A, B, C 为三个事件， A, B, C 都不发生可表示为： 2、若 A 与 B 互不相容，则 P( AB) = . . . .
0, x 1 0.4, 1 x 1 4、 设随机变量 X 的分布函数为：F ( x) ， 则 P 1 X 3 0.6,1 x 3 5、若 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 的相关系数 = . 1, x 3 6、 D( X ) 2 , D(Y ) 4 ,且 X 与 Y 相互独立，则 D(3 X Y ) . 0.3 , P AB 0.2 ,则 P AB 3、 A, B 为两事件， P A 0.5 , P B
3、某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占 20% ，以 X 表示在随机抽 取的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出 X 的概率分布； （2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多余 30 户的概率近似值. （ (1.5) 0.933, (2) 0.977, (2.5) 0.994 ）(0.927)
5.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布， 且满足 P{ X 1} A.1 C.3 B.2 D.4
2 P{ X 3} ， 则 =( 3
C
)
6.设随机变量 X～N(2,32)， (x)为标准正态分布函数，则 P{2<X≤4}=(
A
)
2 1 A. ( )3 2 2 C. 2 ( )-1 3
e x , x 0, 测得其平均使用寿命 x =1000， 求 f ( x; ) 0. 现抽取 n 个电子元件， 0, x 0,
的极大似然估计. 解：λ=
1 X
一、 单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题目的 括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设 A、B 为随机事件，且 A B ，则 AB =（ A． A B. B C. A B ） B ） D. AB
得分
评卷人
三、应用题（每题 8 分，共 16 分）
1、从自动车床加工的一批零件中随机抽取 16 件，测得各零件的长度，经计算得 x 2.125
s 2 0.000293 ，设零件长度服从正态分布，试求零件长度方差 2 的置信度为 0.95 置信区
2 2 2 2 间.（ 0.025 (15) 27.488 ， 0.975 (16) 28.845 ， 0.975 (15) 6.262 ， 0.025 (16) 6.908 ）
Y P （2）不独立
-1 0.375
0 0.250
1 0.3ห้องสมุดไป่ตู้5
一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1.设 A，B 为随机事件，则(A-B)∪B 等于( A.A C. AB 2.设 A，B 为随机事件，B A，则( A.P(B-A)=P(B)-P(A) C.P(AB)=P(A) D D B.AB D.A∪B ) B.P(B|A)=P(B) D.P(A∪B)=P(A) C ) )
7、若 X N ( , ) ， Y aX b(a 0) ，则 Y 服从
2
. .
8、二维随机变量 ( X , Y ) ~ N (1,0, 4,10,0.2) ，则随机变量 X ~ 9、若 F ( x) 为随机变量 X 的分布函数，则 lim F ( x)
x
.
10、10件产品，有2件次品，从中随机取两次，每次任取一件，作不放回抽样，则至少一件 是正品的概率为： 得分 评卷人 .
x 为 的无
i 1 i
n
偏估计，则常数 c=______1/n_________. 23.在单边假设检验中，原假设为 H0： ≤ 0，则其备择假设为 H1：_u>u0______________. 24.设总体 X 服从正态分布 N( ， 2)，其中 2 未知，x1，x2，…，xn 为其样本.若假设检验 问 题 为 H0 ： =
3、已知 ( X , Y ) 的联合分布律为：
X
-1 0 1
Y
-1 0.125 0.125 0.125
0 0.125 0 0.125
1 0.125 0.125 0.125
（1） 求 X 与 Y 的边缘分布； （2） X 与 Y 是否独立？ 解： （1） X P -1 0.375 0 0.250 1 0.375
2 、某厂生产的螺杆直径服从正态分布 N (, ) , 现从中抽取 5 件，测得直径，经计算
2
2 得 , x 21.8 ， s 0.367 ， 若 未 知 ， 试 在 显 著 性 水 平 0.05 下 ， 检 验 假 设
H0 : 21 ; H1 : 21.（ t0.025 (5) 2.5706 ， t0.025 (4) 2.776 ）
17.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则 E(2X)=_____4__________.
18.设随机变量 X～N(1，4)，则 D(X)=____4___________. 19.设 X 为随机变量， E(X)=0， D(X)=0.5， 则由切比雪夫不等式得 P{|X|≥1}≤____0.5_______. 20.设样本 x1， x2， …， xn 来自正态总体 N(0， 9)， 其样本方差为 s2， 则 E(s2)=_____9__________. 21.设 x1，x2，…，x10 为来自总体 X 的样本，且 X～N(1，22)， x 为样本均值，则 D( x )= _______________. 22.设 x1，x2，…，xn 为来自总体 X 的样本，E(X)= ， 为未知参数，若 c
1 e2 x , x 0, 则 P{X 2 }=_______________. x 0, 0,
14.设随机变量 X～N(1，1)，为使 X+C～N(0,l)，则常数 C=___-1____________. 15.设二维随机变量(X，Y)的分布律为
则 P{Y=2}=0.5 16.设随机变量 X 的分布律为 则 E(X2)=___1____________.