【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2
排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=
2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2
3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+
(2-x)dx.(
1
2
)
2 2
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形面积为 (4-x2)dx.(
)
【解析】(1)错误，当x∈[π， ]时，y=sin x<0，曲线y=
sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为 sin xdx 3 2 2
3 2
3 2
2
sin xdx.
(2)正确，曲线y=x3与直线x+y=2交点为(1，1)，所以围成的图
形面积为
1
x3dx+
0
a b
【变式训练】设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x=a，
x=b，y=0围成图形的面积为(
A. f(x)dx
a b b a
)
B.| f(x)dx|
C. |f(x)|dx
a
b
D.以上都不对
b a
【解析】选C.当f(x)在[a，b]上满足f(x)<0时， f(x)dx<0，
0
1
2
1
2
(2)直线y=2x与抛物线y=x2-3围成平面图形的面积是多少？
【解题探究】1.题(1)中，x轴下方的图形面积如何用定积分表 示？ 2.用积分求两曲线围成平面图形的面积时，如何确定积分上限 与下限？ 【探究提示】1.可以求|f(x)|的积分值，也可表示为： 2-1)dx. (x
0 1
2
)
A．y=±ax C．y=-ax
B.y=ax D．y=-5ax
【解析】选B.设直线l的方程为y=kx(k≠0)，
y kx， 2). 由 得交点坐标为 (0 ， 0) ， (2a+k ， 2ak+k 2 y x 2ax，
图形面积S=
2a k
0
［kx-(x2-2ax)］dx
围成的图形的面积为
2 2
cos xdx.
2.曲线y=sin x与直线y=0，x= ，x=-
2 2
围成的图形的面积为 S= |sin x|dx= =2(-cos x | )=2. 答案：2
2 0
2 2
2 0
sin xdx
1 1 3.由于曲线y=x2(x＞0)与y= 1 的交点为( ， )，
3 32 答案： 3
32 . 3
(2)曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为
1
(x-x3)dx+
0
0
1
(x3-x)dx
1 2 1 4 1 x - x ) |0 = 1 . 2 2 4 1 答案： 2
=2(
2 y x 1 ， (3)由 得交点(-1，0)，(1，0)，则围成的图形的面 y1 0， 1
值时，且直线x=a，x=b，y=0与曲线y=f(x)
围成的各个小曲边形的面积S1，S2，S3(如图
所示)，那么f(x)在积分区间[a，b]上的定积分等于这些小曲
边形面积的代数和，即有 a f(x)dx=S1-S2+S3.
b
2.两条曲线f(x)和g(x)，直线x=a，x=b(a<b)所围成的平面图 形的面积 (1)若f(x)>g(x)，曲线f(x)，g(x)，直线x=a，x=b围成的面积 S=
答案：1
4
【题型示范】 类型一 计算简单的平面图形的面积
【典例1】(1)由曲线y=x2-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭 图形的面积(如图)是( A. 0 (x2-1)dx B.| (x2-1)dx|
0 2 2
)
C. 0 |x2-1|dx D. (x2-1)dx- (x2-1)dx
【微思考】
(1)当f(x)<0时，f(x)与y=0，x=a，x=b围成的面积如何表示?
提示：S=- a f(x)dx.
b
(2)如果x∈[a，c]，f(x)>0，x∈[c，b]，f(x)<0，那么f(x)
与y=0，x=a，x=b围成的面积怎么表示?
提示：S=
f(x)dx- f(x)dx.
a
积是S= |x2-1|dx= (1-x2)dx
1 1
4 =(x- 1 x3)|1 = . 1 3 4 答案： 3 3
【要点探究】
知识点
定积分在几何中的应用
1.一条曲线y=f(x)和直线x=a，x=b(a<b)及y=0所围成的平面图
形的面积
如果f(x)在[a，b]上有时取正值，有时取负
(2)曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为__________.
(3)抛物线y=x2-1与x轴围成图形的面积是_________.
【解析】(1)直线y=2x与抛物线y=3-x2的交点为(-3，-6)和(1，
2-2x)dx 2)，设阴影部分面积为S，则S= (3-x
3 1
=3x- 1 x3-x2 |1 = 3
c
b
c
【即时练】 1.曲线y=cos x与直线y=0，x= ，x=- 围成的图形的面积为
2 2
( A.
2 2 0
2 2 0 0 2
)
cos xdx cos xdx cos xdx- cos xdx
0
B. C.
D.
cos xdx-
2 2 0
2.将直线方程与抛物线方程联立方程组求出交点的横坐标即为
积分上下限，将平面图形的面积转化为定积分计算 .
【自主解答】(1)选C.y=x2-1将x轴下方阴影反折到x轴上方，
此时在[0，1]上定积分为正，故应选C.
(2)由
y 2x，
2 y x 3
消去y，得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，这是
直线与抛物线交点的横坐标，如图，直线y=2x与抛物线y=x2-3
围成平面图形的面积是 S=
2-3)］dx= ［ 2x-(x
1 3
2)dx (3+2x-x 1
3
=(3x+x2- 1 x3)|3 1 =(3×3+32- 1 ×33)-[-1×3+(-1)2- 1 ×(-1)3]
3 1 =9+2- = 32 . 3 3 3 3
cos xdx
2.曲线y=sin x与直线y=0，x= ，x=- 围成的图形的面积为
2 2
________.
3.如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y= 1 所围成的图形(阴影部
4
分)的面积为______.
【解析】1.选A.因为当- ≤x≤ 时，y=cos x>0， 2 所以曲线y=cos x与直线y=0，x= ，x=2 2 2
而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y= 1 所围成的图形(阴影部分)的
4
4
2 4
面积为
S
1 2 0 1 1 1 2 ( x )dx 1 (x 2 )dx 4 4 2
1 1 3 1 1 1 2 ( x x ) |0 ( x 3 x) |11 4 3 3 4 2 1 1 1 1 1 1 1 . 8 24 3 4 24 8 4
1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用
1.利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条
问题 件? 引航 2.两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面 积?
ห้องสมุดไป่ตู้
定积分与平面图形面积的关系 (1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y=0，x=a， x=b与曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表： f(x)的符号 f(x)≥0 f(x)<0 平面图形的面积与定积分的关系
y 2x x 2， 【自主解答】(1)由 得x1=0，x2=2，由图可知，所 2 y 2x 4x
求图形的面积为
2 0
S= (2x-x2)dx+| (2x2-4x)dx|
1.7定积分在几何学上的应用1
直角坐标情形） 平面图形的面积 （直角坐标情形） (1)一条曲线y = f ( x)和直线x = a, x = b(a < b)及y = 0、
所围成的平面图形上的面积S
y y a
o o
a
b
b
b
x
b
x
S上 = ∫ ( f ( x) − 0)dx
a
S下 = ∫ (0 − f ( x))dx
a
= − ∫ f ( x)dx
b
o x x +d x a x
小结： 求曲边多边形的面积的步骤 1、作图 2、确定上，下限（解方程组） 确定上，下限（解方程组） 3、确定被积函数 4、写出定积分表达式 5、用定积分原理计算定积分，求出结果 用定积分原理计算定积分， 作业：P60 Ａ１ Ｂ３
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4). − 选 y 为积分变量 y ∈[−2, 4]
y = x −4
2
y S = ∫ ( y + 4 − )dy −2 2 = 18
4
y2 = 2x
思考
（） 1∫
a −a
a − x dx =
2 2
(2) 求椭圆
所围图形的面积 .
y
定积分在几何学上的应用
----------平面图形的面积 平面图形的面积
复习
b
定积分的几何意义
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
y
f ( x) > 0, ∫a f ( x)dx = A b f ( x) < 0, ∫a f ( x)dx = − A
y
oห้องสมุดไป่ตู้o
a b x
a
1.7.1 定积分在几何中的应用
因此所求图形的面积
S=
5 2
(x+3)dx-
5 2
(x2-6x+13)dx
=
5 2
(-x2+7x-10)dx=
-
1 3
������3
+
7 2
������2-10������
5 2
=92.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用定积分求不需分割型图形面积的步骤: (1)画出草图,在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)解方程组求出直线与曲线的交点坐标,以确定积分区间. (3)结合图形利用定积分表示图形的面积. (4)利用微积分基本定理求定积分,即得面积.
������
2
|13
=23
+
1 6
+
2������-
1 3
������
2
|13
=56+6-13×9-2+13
=163.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
(方法二)若选积分变量为 y,
则三个函数分别为 x=y2,x=2-y,x=-3y.
因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).
边形的面积就等于上边界对应的函数与下边界对应的函数的差在
[a,b]上的积分.
课前篇自主预习
【做一做2】 曲线y=3x2-12与x轴围成的图形的面积为
.
解析:如图,所求面积
| S=
2 -2
[0-(3x2-12)]dx=
2 -2
(12-3x2)dx=(12x-x3
高中数学 1.7.1定积分在几何中应用 新人教A版选修2-2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 pp t课4 件x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
三、小结
如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象 2.求交点 3.用定积分表示所求的面积 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
( 0 ,0 )( , 2 ,4 )( ,3 ,9 ).
y x2
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
yx36x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
说明：
y x2
b
a f2(x)dx
b
a f1(x)dx
b
a [ f2(x) f1(x)]dx
ppt课件
例 1计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
解
y y
x x2
x0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S=S曲 边 梯 形 OABC-S曲 边 梯 形 OABD
1.7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
2.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
a bf(x ) d x a b F '(x ) d x F (x )|b a F ( b ) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 3.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
人教版高中数学第一章1.7-1.7.1定积分在几何中的应用
[变式训练] 如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 3 B．－2 3
32
35
C. 3
D. 3
解析：S＝∫1－3(3－x2－2x)dx＝
3x－13x3－x2|1－3＝332. 答案：C
类型 2 分割型图形面积的求解
[典例 2] 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围 成图形的面积．
得曲线与直线的交点坐标为
y＝x－2
A(1，－1)、B(4，2)，
选取
y
为积分变量，有
S
＝
∫
2 －1
[(y
＋
2)
－
y2]dy
＝
12y2＋2y－13y3|2－1＝2＋4－83－12－2＋13＝92. 答案：92
1．数形结合、化归与转化思想：定积分的几何应用 突出表现在求曲线与直线所围成的图形的面积，通过作 图可将问题转化为定积分问题解决．
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
一、听要点。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
2015年高考数学第一轮复习资料16(定积分与微积分基本定理)
学案16 定积分及其简单的应用自主梳理1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分的几何意义是直线_______________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质 (1)ʃb a kf (x )d x ＝__________________ (k 为常数)； (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝_____________________________________； (3)ʃb a f (x )d x ＝_______________________________________. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F (b )－F (a )记成__________________，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．4．定积分在几何中的应用(1)当x ∈[a ，b ]且f (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(2)当x ∈[a ，b ]且f (x )<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(3)当x ∈[a ，b ]且f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝______________________.(4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. 5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )(单位：m)，则力F 所做的功W ＝__________________________.自我检测1．计算定积分ʃ503x d x 的值为 ( ) A.752 B ．75 C.252D ．25 2．定积分ʃ10[1－(x －1)2－x ]d x 等于 ( ) A.π－24 B.π2－1 C.π－14 D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3534．(2010·湖南)ʃ421xd x 等于 ( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 25．若由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝________.探究点一 求定积分的值 例1 计算下列定积分： (1)2111()ex dx x x++⎰；(2)20sin 2cos )x x dx π-⎰（；(3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ；(4)ʃ20|x 2－1|d x .解 (1)ʃe 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝ʃe 1x d x ＋ʃe 11x d x ＋ʃe 11x 2d x ＝12x 2|e 1＋ln x |e1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11＝12e 2－1e ＋32. (2)ʃπ20(sin x －2cos x )d x ＝ʃπ20sin x d x －2ʃπ20cos x d x ＝(－cos x )|π20－2sin x |π2＝－cos π2－(－cos 0)－2⎝⎛⎭⎫sin π2－sin 0＝－1. (3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ＝2ʃπ0sin x d x －3ʃπ0e x d x ＋ʃπ02d x ＝2(－cos x )|π0－3e x |π0＋2x |π0＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(e π－e 0)＋2(π－0)＝7－3e π＋2π.(4)∵0≤x ≤2，于是|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，1<x ≤2，1－x 2，0≤x ≤1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝2.变式迁移1 计算下列定积分：(1)ʃ2π0|sin x |d x ；(2)ʃπ0sin 2x d x .探究点二 求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2所围成的平面图形的面积S .解 作出函数y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝3－(x －1)2，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝29或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以两曲线交点为A ⎝⎛⎭⎫－23，29，B (2,2)． 所以S ＝ʃ2－23[3－(x －1)2]d x －ʃ2－2312x 2d x ＝ʃ2－23(－x 2＋2x ＋2)d x －ʃ2－2312x 2d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋2x 2－23－⎪⎪16x 32－23＝⎝⎛⎭⎫－83＋4＋4－⎝⎛⎭⎫881＋49－43－16×⎝⎛⎭⎫8＋827＝42027. 变式迁移2 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．探究点三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．解 方法一 由速度—时间曲线易知．v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ∈[0，10)，30，t ∈[10，40)，－1.5t ＋90，t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得：s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t ＝32t 2|100＋30t |4010＋⎝⎛⎭⎫－34t 2＋90t |6040＝1 350 (m)． 答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m. 方法二 由定积分的物理意义知，汽车1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x 轴围成梯形的面积，∴s ＝12(AB ＋OC )×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.变式迁移3 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点时速度达24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离； (3)电车从A 站到B 站所需的时间．函数思想的应用例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列值等于1的积分是 ( )A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d x D ．ʃ101d x 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于 ( )A.13B.176 C ．6 D ．17 3．已知f (x )为偶函数且ʃ60f (x )d x ＝8，则ʃ6－6f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．164曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为 ( )A ．ʃπ20(sin x －cos x )d xB ．2ʃπ40(sin x －cos x )d xC ．ʃπ20(cos x －sin x )d xD ．2ʃπ40(cos x －sin x )d x5．(2011·临渭区高三调研)函数f (x )＝ʃx0t (t －4)d t 在[－1,5]上 ( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值二、填空题(每小题4分，共12分)6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J.7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则ʃ30f (x )d x ＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)计算以下定积分：(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(3)ʃπ30(sin x －sin 2x )d x ； (4)ʃ21|3－2x |d x .10．(12分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．11．(14分)求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积．。
高中数学1.7.1 定积分在几何中的应用
1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用课后篇巩固提升1.在下面所给图形的面积S及相应的表达式中,正确的有()A.①③B.②③C.①④D.③④应是S=-dx,②应是S=d x-(2x-8)d x,③和④正确.故选D.2.直线x=-1,x=1,y=0与曲线y=sin x所围成的平面图形的面积表示为()sin x d x B.sin x d xA.-sin x d x D.2sin x d xC.-y=sin x是奇函数,由对称性得平面图形的面积为2sin x d x.3.如图,两曲线y=3-x2与y=x2-2x-1所围成的图形面积是()A.6B.9C.12D.3---解得交点(-1,2),(2,-1),所以S=-----d x=-(-2x2+2x+4)d x=--=9.4.边界在直线y=0,x=e,y=x及曲线y=上的封闭图形的面积为()A.1B.C.2D.e,直线y=0,x=e,y=x及曲线y=所围成的封闭图形如图所示.直线y=x与曲线y=的交点为(1,1),所以阴影部分的面积为x d x+d x=x2+ln x+1=,故选B.5.由y=x2,y=,y=1所围成的图形的面积为()A. B. C.2 D.1,y=1与y=x2交点A(1,1),y=1与y=交点B(2,1),由对称性可知面积S=2.6.P(a,b)为函数f(x)=x2(x>0)图象上一点,当直线x=0,y=b与函数的图象围成区域的面积等于时,a的值为()A. B. C.1 D.b=a2.直线x=0,y=b与函数的图象围成区域的面积S=(b-x2)d xa3=,=-∴a=1,故选C.7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图,则图中阴影部分的面积为()A. B. C.- D.-由,则T=2π,∴ω==2.当x=时,f=2,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,令k=0,则φ=-,∴f(x)=2sin-,令f(x)=2sin-=0,x=,∴图中阴影部分的面积为S=-2sin-d x=cos=cos--cos-=1-,-故选A.8.若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成的图形的面积是,则c=.y=x2与y=cx3的交点为..解得c=.由题意知(x2-cx3)d x=-9.求由曲线y=x2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=(x2+4-5x)d x+(5x-x2-4)d x=---=+4-×42-×43-4×4-+4=.10.在区间[0,1]上给定曲线y=x2,试在此区间内确定点t的值,使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小.=(t2-x2)d x=-=t3-t3=t3,1S2=(x2-t2)d x=-t3-t2+.故阴影部分的面积S=S1+S2=t3-t2+ 0≤t≤1 .所以S'(t)=4t2-2t.令S'(t)=0,得t=0或t=.又S(0)=,S=,S(1)=,故当t=时,S有最小值S min=.。
高中数学1.7.1定积分在几何中的应用
1. 7.1 定积分在几何中的应用课前预习学案【预习目标】1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 【预习内容】1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用3．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．24．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在5．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 6．求定分322166x x -+-⎰d x ．7．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S课内探究学案一、学习目标：2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、学习重点与难点：3. 定积分的概念及几何意义4. 定积分的基本性质及运算的应用三、学习过程（一）你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负 （二）新课例1．求椭圆12222=+b y a x 的面积。
例2．求由曲线3324,16y y x y y x -=-=所围成的面积。
练习：P58面例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
1.7定积分在几何中应用(1)
2
(4
y
1 2
y
2
1 6
y3
)
|04
4 4 1 42 1 43 40
26
3
练习：计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
y 2x
S1 S1
2
S2
y x4
8
y2 2x
2
8
S 2S1 S2 2 0
y x2
y
x2
(0,0),(2,4),(3,9).
A1
0 2
(x3 6x x2 )dx
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
y x3 6x
于是所求面积 A A1 A2
A
0
( 2
x
3
6x
x2
)dx
3
0
(x2
x3
6
x)dx
253. 12
y x2
A1
A2
y x3 6x
知识回顾:
求F(x)所作的功. 40J
2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为 m/s)的速度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.
5
S 3 (2t 3)dt 22m
3. 一物体以速度v=3t2+2t(m/s)作直线运动，计算 它在t=0到t=3s这段时间内的平均速度。
12m/s
定积分在物理中的应用
2xdx ( 2x x 4)dx 2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
42 3
3
x2
1.7.1 定积分在几何中的应用
从而所求图形的面积
3
3
S＝ (x＋3)dx－ (x2－2x＋3)dx
0
0
3
＝0[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
3
＝0(－x2＋3x)dx
＝－13x3＋32x2| 30＝92.
•题型分类探究
不分割图形面积的求解
求正弦曲线y＝sin x，x∈0，32π和直线x＝32π及x轴 所围成的平面图形的面积．
1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理. 2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型
及方法. （重点、难点）
探究点1 定积分在几何中的应用 类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 及x轴所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x
封闭图形的面积(如图)是( )
A．02 (x2－1)dx C．02|x2－1|dx
B．|02 (x2－1)dx| D．01(x2－1)dx＋21(x2－1)dx
解析： 分为两块，(0,1)为一块此时积
分值为负，(1,2)对应另一块，积分值为正，
1
2
2
∴有－0 (x2－1)dx＋1 (x2－1)dx＝0|x2－1|dx.
2cos xdx
＝12x2＋2x| 0－2＋2sin x| ＝0－12×－22＋2×－2＋2sin π2－2sin 0 ＝2＋2＝4.
用定积分求平面图形的面积
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所
b
围成的平面图形(如图所示)的面积为 S，则 S＝__a_[_f(_x_)－__g_(_x_)_]d_x_.
人教版高一数学课件-定积分在几何中的简单应用
求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟
證明：如圖建立平面直角坐標系，可設拋物線方程為
定
y -ax2 (a 0) 代拋物線上一點入方程
積 分
則有 - h -a(b)2
2
得
a
4h b2
y 0
的 簡
所以拋物線方程為
y
-
4h b2
x2
x
hS
單 於是，拋物線拱的面積為 2S 應
用
2s 2b2 h
b 2 0
單 應 用
S S1 S2
O
x
42
S1
4 cosx dx -
0
4 sin x dx
0
S2
2
s
in
x
dx
-
2
c
os
x
dx
S1有=S其2他
方法嗎？
4
4
六、小結
1．本節課我們做了什麼探究活動呢？ 2．如何用定積分解決曲邊形面積問題呢？ 3．解題時應注意些什麼呢？ 4．體會到什麼樣的數學研究思路及方法呢？
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
yf (x) bx
當f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成 的曲邊梯形位於 x 軸的下方，
一、復習回顧
2、牛頓—萊布尼茨公式
定理 （微積分基本定理）
如果f(x)是區間[a,b]上的連續函數,
並且F’(x)=f(x),則ab f (x)dx F(b) - F(a)
七、作業 1、書本P60 習題A組1 B組3 2、全優設計P48－49 3、思考B組1，2