2019_2020学年新教材高中数学第十章概率10.1.3古典概型课件新人教A版必修第二册
2．教材 P234 思考 考虑下面两个随机试验，如何度量事件 A 和事件 B 发生的可能 性大小？
(1)一个班级中有 18 名男生、22 名女生．采用抽签的方式，从 中随机选择一名学生，事件 A＝“抽到男生”；
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，事件 B＝“恰好一次正面朝 上”．
提示：对于问题(1)，班级中共有 40 名学生，从中选择一名学 生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是 一个古典概型．
A．3 B．4 C．5 D．6 解析：事件 A 包含的样本点有 6 个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)， (2,2)，(3,1)，故选 D. 答案：D
2．下列试验中是古典概型的是( ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有 2 个白球和 2 个黑球，这 4 个球除颜色外完全相 同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都 是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中 10 环，命 中 9 环，…，命中 0 环
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一
人，其样本空间
Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
(2)设事件 A＝“抽到两名男生”，则 对于有放回简单随机抽样
A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}． 因为抽中样本空间 Ω1 中每一个样本点的可能性都相等，所以 这是一个古典概型．因此 P(A)＝146＝0.25. 对于不放回简单随机抽样，A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}． 因为抽中样本空间 Ω2 中每一个样本点的可能性都相等，所以 这是一个古典概型．
2．在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这 些基本事件为等可能基本事件．
[教材解难]
1．教材 P233 思考 在 10.1.1 节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币 的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些？
提示：共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
3．教材 P235 思考 在标准化考试中也有多选题，多选题是从 A，B，C，D 四个选 项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确 的)．你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
提示：多选题更难
单选题选对的概率为14 多选题共有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C， D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，(A，B，C， D)共 11 种，选对的概率为111.
跟踪训练 1 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片 中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的所有样 本点数为( )
A.2 B．3 C．4 D．6
解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为 (1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共 4 种可能．故选 C.
4．教材 P236 思考 在例 8 中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子 标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
提示：如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个 点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是 1 点和 2 点，有可能第 一枚骰子的结果是 1 点，也有可能第二枚骰子的结果是 1 点．这样， (1,2)和(2,1)的结果将无法区别．
判断是否为古典概型的关键：试验是否具有有限性和等可能性.
方法归纳 判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个 特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
跟踪训练 2 下列试验是古典概型的为________． ①从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性 大小 ②同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率 ③近三天中有一天降雨的概率 ④10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2， B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)， (G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2， G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
解析：对于 A，发芽与不发芽概率不同；对于 B，任取一球的
概率相同，均为14；对于 C，基本事件有无限个；对于 D，由于受 射击运动员水平的影响，命中 10 环，命中 9 环，…，命中 0 环的 概率不等．因而选 B.
答案：B
3．若书架上放有数学，物理、化学书分别是 5 本、3 本、2 本， 则随机抽出一本是物理书的概率为( )
“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体 放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽 取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少 1.
这两种情况下基本事件总数是不同的．
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间 Ω1＝{(m，n)|m， n∈{1,2,3,4,5,6}，且 m≤n}，则 n(Ω1)＝21.其中，事件 A＝“两个点 数之和是 5”的结果变为 A＝{(1,4)，(2,3)}，这时 P(A)＝221.
5．教材 P236 思考 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
因此 P(A)＝122＝16≈0.167. 因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以 A＝∅， 因此 P(A)＝0.
教材反思
在求解概率问题时，常常遇到这样的情况，即从一堆小球中 抽取几个小球，根据小球的颜色求解概率．解决此类问题时，首先 要分清抽取的方式，即“有放回”与“无放回”．
“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的 物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样 的．
2．概率公式 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点， 事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率
P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点 个数．
状元随笔
1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等 可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的 重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计 算即可．
13 A.5 B.10 C.35 D.12
解析：样本点总数为 10，“抽出一本是物理书”包含 3 个样本 点，所以其概率为130，故选 B.
答案：B
4．在 20 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期．从中任取 1 瓶，取 到已过保质期的饮料的概率是________．
解析：样本点数共有 20 个，事件发生占 2 个，故所求概率为220 ＝110.
(2)这个试验包含的样本点的总数是 8； (3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下 3 个样本点： (正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正). 1.将样本点一一列举即可. 2.然后找出符合题意的样本点.
方法归纳 要写出所有的样本点通常有列举法、列表法、树形图法．但不 论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．
答案：110
题型一 基本事件的计数[经典例题] 例 1 连续掷 3 枚硬币，观察这 3 枚硬币落在地面上时是正面 朝上还是反面朝上．
(1)写出这个试验的所有样本点； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
【解析】 (1)这个试验包含的样本点有(正，正，正)，(正，正， 反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)， (反，反，正)，(反，反，反)；
提示：可以发现，36 个结果都是等可能的；而合并为 21 个可 能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型 特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此 P(A)＝221是错误的．
[基础自测]
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含的样本点数是( )
Ω＝{(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)， (0,0,0)}，
共有 8 个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一 个古典概型．
事件 B 发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样 本空间包含的样本点中所占的比例大小．因此，可以用事件包含的 样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量．因为 B＝ {(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)}，所以事件 B 发生的可能性大小为38.
知识点一 概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率 (probability)，事件 A 的概率用 P(A)表示．
知识点二 古典概型 1．古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间 有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模 型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概 型．
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的 比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．显然， 这个随机试验的样本空间中有 40 个样本点，而事件 A＝“抽到男 生”包含 18 个样本点．因此，事件 A 发生的可能性大小为1480＝290.
2019-2020学年新教材人教A版必修第二册 第十章 10.1.3 古典概型 课件(22张)
b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），即A由4个样本点组成，所以P（A）＝
4 6
2 3
.
（2）有放回地连续取两件，所有的样本点共有9个，分别是（a1，a1），（a1，a2）， （a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）. 由于每一件产品被取到的机会相等，因此这些样本点的出现是等可能的.用B表示“取出
共6种，两次都是奇数有（1，3），（1，5），（3，1），（3，5），
（5，1），（5，3），共6种，故P（A）＝ 12 2
30 5
（2）根据题意，设“两个号码至少有一个为偶数”为事件B，抽取一张后放回， 再抽取一张，共有如下表所示的36种结果.两次都为奇数的情况有（1，1）， （1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
二 古典概型的概率
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含
其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝
k n
＝
n( A) n()
.
其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
们不重不漏地列出所有的可能结果）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件 A的概率.
常考题型 题型一 古典概型的判断
例1.判断下列试验是不是古典概型：
（1）口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，观察 颜色后放回，直到取出红球； （2）从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生 代表； （3）射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数. 【解题提示】 运用古典概型的两个特征逐个判断即可.
新教材人教A版高中数学必修第二册 第十章 概率 精品教学课件(共213页)
事件的运算 盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设 事件 A＝{3 个球中有 1 个红球 2 个白球}，事件 B＝{3 个球中有 2 个红球 1 个白球}，事件 C＝{3 个球中至少有 1 个红球}，事件 D＝{3 个球中既有红球又有白球}． 求：(1)事件 D 与 A、B 是什么样的运算关系？ (2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件？
【解】 (1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2， 2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)， (4，2)，(4，3)，(4，4)}． (2)样本点的总数为 16. (3)“x＋y＝5”包含以下 4 个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)， (1，4)；“x<3 且 y>1”包含以下 6 个样本点：(1，2)，(1，3)， (1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)． (4)“xy＝4”包含以下 3 个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x ＝y”包含以下 4 个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
互斥事件与对立事件的判定 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加 演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判 别它们是不是对立事件． (1)恰有 1 名男生与恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生与全是男生； (3)至少有 1 名男生与全是女生； (4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生．
交事件(积事件) A 与 B 同时发生
互斥(互不相容) A 与 B 不能同时发生
互为对立
A 与 B 有且仅有一个发 生
符号表示
A⊆B A∪B 或 A＋B
10-1-3古典概型(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修 第二册
2．古典概型的概率计算
知识梳理
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本
点，事件A包含其中的k个样本点，
k
n（A）
则 定 义 事 件 A 的 概 率 P ( A ) ＝ _ _n_ _ _ ＝ _ _n_（_Ω_ _）_ _ ，
其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样 本点个数．
2．求基本事件总数的常用方法： (1)列举法：适合于较简单的问题． (2)列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数． (3)树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求．
配套练习
袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的 黑球，这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次 从中摸出1个球，求基本事件的个数． 解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树 形图表示如下图，共24个基本事件．
P（A）＝ A所包含的基本事件的个数 ＝ 2
基本事件的总数
21
5
因为(1,1)和(2,1)发生的可能性不相等, 这不符合古典概型
解：将两个红球编号为 1 , 2 ，三个黄球编号为 3 , 4 , 5 ．第一次摸 球时有 5 种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二 次摸球都有4种等可能的结果。将两次摸球的结果配对，组成20种等 可能的结果，如下表：
已知某多项选择题的正确答案是AC.某某同学不会做该题,他只想 得2分,就按单项选择题处理,随机填写了一个答案,求他得2分的概率.
补充两个计数原理
分类加法计数原理是指完成一件事有几类不同的方案， 在第1类方案中有m1种不同的的方法， 在第2类方案中有m2种不同的的方法…… 在第n类方案中有mn种不同的的方法， 那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种方法。
10.1.3古典概型课件高一下学期数学人教A版2
1
（1，1） （1，2） （1，3）（1，4） （1，5） （1，6）
2
（2，1）（2，2）（2，3） （2，4）（2，5） （2，6）
3
（3，1）（3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（4，1）（4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6）
5
（5，1）（5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
P( A) 2 1 12 6
③按性别等比例分层抽样(先抽1名男生,再抽1名女生)的样本空间：P( A) 0 Ω3= {(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}
END
(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}
16 4
②不放回简单随机抽样的样本空间：
Ω2= {(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2), (G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}
(4) 抽到J或Q或K；
(5) 抽到的牌既是红心又是草花；
(6) 抽到的牌比6大比9小；
(7) 抽到的牌是红花色；
(8) 抽到的牌是红花色或黑花色.
解：(1) 1 ; 13
(2) 12 ; 13
(3) 1 ; 4
(4) 3 ; 13
(5) 0;
(6) 2 ; 13
(7) 1 ; 2
(8)1.
3. 从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率:
分层抽样的样本空间.
设事件A= “抽到两名男生”
高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.3古典概型课件新人教A版必修第二册
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．(多选)下列试验是古典概型的是(
)
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中
√
任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
√
BD
[A不是等可能事件，C不满足有限性．]
有限性 等可能性
—______和________，二者缺一不可．
[跟进训练]
①②
1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率．
①②
[①②是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是
【例3】 从含有两件正品a1 ，a2 和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任
意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的
概率．
[解]
按照题意，取产品的过程可以用
如图所示的树形图直观表示．
因此样本空间可记为Ω＝{(a1 ，a2)，(a1 ，b)，(a2 ，a1)，(a2 ，b)，(b，a1)，
16个样本点，且这16个样本点出现的可能性是相等的．
A＝{(1，1)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，
1)，(4，2)，(4，4)}，包含10个样本点.
10
5
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝ ＝ ，故有放回地选取2封信，
16
8
5
这2封信上数字为不相邻整数的概率为 .
2019-2020学年新教材人教A版必修第二册 10.1.3 古典概型 课件(46张)
[答案] (1)C (2)见解析
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
答案
样本点的两个探求方法 (1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的 试验问题． (2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法， 树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种 分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
口袋中有 2 个白球和 2 个黑球，这 4 个球除颜色外完全相同，4 个人按 顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．
解 把 2 个白球和 2 个黑球分别编号为 1,2,3,4，所有可能结果如树状图 所示，共 24 个样本点．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
(2)设事件 B 为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件 B 包含 9 个 样本点，所以 P(B)＝294＝83.
(3)设事件 C 为“这四人恰好有 1 位坐在自己席位上”，则事件 C 包含 8 个样本点，所以 P(C)＝284＝13.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
(1)当样本点个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时， 我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状 图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的 情况．
核心概念掌握
核心素养形成
2019_2020学年新教材高中数学第十章概率10.3频率与概率课件新人教A版必修第二册
解析：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89， 0.91.
(2)由于频率稳定在常数 0.89 附近，所以这个射手射击一次， 击中靶心的概率约是 0.89.
提示：降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推 断得到的．对“降水的概率为 90%”比较合理的解释是：大量观察 发现，在类似的气象条件下，大约有 90%的天数要下雨．
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性．如果 在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有 90% 确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所 占的比例与 90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确．
解析：设共进行了 n 次试验， 则1n0＝0.02，解得 n＝500. 答案：500
题型一 概率的稳定性[教材 P253 例 1] 例 1 新生婴儿性别比是每 100 名女婴对应的男婴数．通过抽 样调查得知，我国 2014 年、2015 年出生的婴儿性别比分别为 115.88 和 113.51. (1)分别估计我国 2014 年和 2015 年男婴的出生率(新生儿中男 婴的比率，精确到 0.001)； (2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个 判断可靠吗？
提示：利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为
20,100,500 时各做 5 组试验，得到事件 A＝“一个正面朝上，一个
反面朝上”发生的频数 nA 和频率 fn(A)(如下表) 序号 n＝20 频数 频率 n＝100 频数 频率 n＝500 频数 频率
高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.3古典概型课件新人教A版必修第二册
预学案
共学案
预学案
古典概型❶ 1．定义：一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有__有_限__个___； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相__等____． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古 典概型． 2．计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样 本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝
2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随
机抽出一本是物理书的概率为( )
A．15 C．35
B．130 D．12
答案：B
解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率 为130.故选B.
微点拨❶ (1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两 个特征． (2)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件 发生的概率． (3)由于观察的角度不同，样本点的个数可能也不同，因此样本点总 个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上，否则会 引起混淆导致错误．
学霸笔记：判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征： 有限性和等可能性．
跟踪训练1 下列试验中是古典概型的是( ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中 任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9 环，…，命中0环
共学案
【学习目标】 (1)理解古典概型的概念及特点．(2)掌握利用古典概 型概率公式解决简单的概率计算问题．
题型 1 古典概型的定义 【问题探究1】 试验1：抛掷一枚质地均匀的硬币一次，观察朝上
高中数学第10章概率10-1随机事件与概率10-1-3古典概型课件新人教A版必修第二册
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
[分析] 紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判
断．
[解析] ①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征．③不是古 典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
[归纳提升] 判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特 征——有限性和等可能性．
图2 ∴事件 B 发生的概率 P(B)＝1386＝12.
(3)事件C：“两个数均为偶数”，C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)， (4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，事件A与事件C至少有一个发生包含的 样 本 点 有 11 个 ， 如 图 3 所 示 ， 即 A ＋ C ＝ {(2,2) ， (2,4) ， (2,6) ， (3,5) ， (4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，
[解析] (1)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (2,4) ， (2,5) ， (2,6) ， (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ， (3,4) ， (3,5) ， (3,6) ， (4,1) ， (4,2) ， (4,3) ， (4,4) ， (4,5) ， (4,6) ， (5,1) ， (5,2) ， (5,3) ， (5,4) ， (5,5) ， (5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点， 事件A：“两数之和为8”，如图1所示，A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)， (5,3)，(6,2)}，A包含5个样本点，
2019_2020学年新教材高中数学第十章概率10.1.3古典概型学案新人教A版必修第二册
10．1.3 古典概型问题导学预习教材P233－P238的内容，思考以下问题： 1．古典概型的定义是什么？ 2．古典概型有哪些特征？ 3．古典概型的计算公式是什么？1．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． ■名师点拨 古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能． ②样本点个数无限，但等可能． ③样本点个数无限，也不等可能． 2．古典概型的概率公式一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率P (A )＝k n ＝n （A ）n （Ω）.其中，n (A )和n (Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本点个数．同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的基本事件数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.事件A 包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )A.15B.310C.35D.12解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为310，故选B. (2019·河北省石家庄市期末考试)将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( )A.23B.56C.2936D.34解析：选B.由题意，连续抛掷两次骰子共有6×6＝36种情况；绝对值大于3的有(1，5)，(1，6)，(2，6)，(5，1)，(6，1)，(6，2)共6种，所以绝对值不大于3有：36－6＝30种，故所求概率P ＝3036＝56.故选B.下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．答案：③样本点的列举一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)“2个都是白球”包含几个样本点？【解】(1)法一：采用列举法．分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．法二：采用列表法．设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：共有10个样本点．(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．样本点的三种列举方法(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数．解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：共24个样本点．古典概型的概率计算(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【解析】(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝410＝25.(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为3 10 .【答案】(1)C (2)310求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n .(3)算出事件A 中包含的样本点个数m . (4)算出事件A 的概率，即P (A )＝m n.在运用公式计算时，关键在于求出m ，n .在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O ，A )，(O ，B )，(O ，C )，(O ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10种．选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种．故所求概率为610＝35.数学建模——古典概型的实际应用已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【解】(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．(ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝521.如何建立概率模型(古典概型)(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等．(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．(2019·高考天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．②由表格知，符合题意的所有可能结果为(A ，B )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共11种．所以事件M 发生的概率P (M )＝1115.1．下列是古典概型的是( )①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小． ②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率． ③近三天中有一天降雨的概率．④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为 ( )A.13B.14C.15D.16解析：选A.甲乙两人参加学习小组，若以(A ，B )表示甲参加学习小组A ，乙参加学习小组B ，则一共有如下情形：(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P ＝13.3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A.25 B.15 C.310D.35解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310.4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．解析：可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为416＝14.答案：145．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：(1)2只球都是红球的概率； (2)2只球同色的概率；(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？解：记两只白球分别为a 1，a 2；两只红球分别为b 1，b 2；两只黄球分别为c 1，c 2. 从中随机取2只球的所有结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 2，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(c 1，c 2)共15种结果．(1)2只球都是红球为(b 1，b 2)共1种， 故2只球都是红球的概率P ＝115.(2)2只球同色的有：(a 1，a 2)，(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，共3种， 故2只球同色的概率P ＝315＝15.(3)恰有一只是白球的有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 2，c 2)，共8种，其概率P ＝815；2只球都是白球的有：(a 1，a 2)，1种，故概率P ＝115，所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．[A 基础达标]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B.35 C.25D.15解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A ，B ，C ，另2只兔子为a ，b ，从这5只兔子中随机取出3只，则样本点共有10种，分别为(A ，B ，C )，(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(A ，a ，b )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，(B ，a ，b )，(C ，a ，b )，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，因此所求的概率为610＝35，选B.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析：选D.将两位男同学分别记为A 1，A 2，两位女同学分别记为B 1，B 2，则四位同学排成一列，情况有A 1A 2B 1B 2，A 1A 2B 2B 1，A 2A 1B 1B 2，A 2A 1B 2B 1，A 1B 1A 2B 2，A 1B 2A 2B 1，A 2B 1A 1B 2，A 2B 2A 1B 1，B 1A 1A 2B 2，B 1A 2A 1B 2，B 2A 1A 2B 1，B 2A 2A 1B 1，A 1B 1B 2A 2，A 1B 2B 1A 2，A 2B 1B 2A 1，A 2B 2B 1A 1，B 1B 2A 1A 2，B 1B 2A 2A 1，B 2B 1A 1A 2，B 2B 1A 2A 1，B 1A 1B 2A 2，B 1A 2B 2A 1，B 2A 1B 1A 2，B 2A 2B 1A 1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P ＝12，故选D.3．(2019·福建省三明市质量检测)同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a ，b ，则方程2x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根的概率为( )A.15B.14C.13D.12解析：选B.因为方程2x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根，所以Δ＝a 2－8b >0， 又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a ，b ，则共包含36个样本点，满足a 2－8b >0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，所以方程2x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根的概率为936＝14.故选B.4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选B.所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以P ＝26＝13.故选B.5．(2019·河北省沧州市期末考试)定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A.16B.110C.112D.120解析：选D.由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率为P ＝6120＝120.故选D.6．(2019·湖北省四地七校联考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于________．解析：掷两颗均匀的骰子，共有36个样本点，点数之和为6的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)这五种，因此所求概率为536.答案：5367．(2019·广西钦州市期末考试)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为________．解析：从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为410＝25. 答案：258．某城市有8个商场A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A 前往商场H ，则他经过市中心O 的概率为________．解析：此人从商场A 前往商场H 的所有最短路径有A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条，其中经过市中心O 的有4条，所以所求概率为23.答案：239．(2019·广西钦州市期末考试)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x ，y .(1)若记“x ＋y ＝5”为事件A ，求事件A 发生的概率；(2)若记“x 2＋y 2≤10”为事件B ，求事件B 发生的概率．解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果， 抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，因为骰子共抛掷2次，所以共有6×6＝36种结果.(1)事件A 发生的样本点有(1，4)、(2，3)、(4，1)、(3，2)共4种结果，所以事件A 发生的概率为P (A )＝436＝19. (2)事件B 发生的样本点有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共6种结果，所以事件B 发生的概率为P (B ) ＝636＝16. 10．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．解：记甲厂派出的2名男职工为A 1，A 2，1名女职工为a ；乙厂派出的2名男职工为B 1，B 2，2名女职工为b 1，b 2.(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，b 1)，(A 1，b 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，b 1)，(a ，b 2)，共12种．其中选出的2名职工性别相同的选法有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(a ，b 1)，(a ，b 2)，共6种．故选出的2名职工性别相同的概率P ＝612＝12. (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有(A 1，A 2)，(A 1，a )，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，b 1)，(A 1，b 2)，(A 2，a )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，b 1)，(A 2，b 2)，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，b 1)，(a ，b 2)，(B 1，B 2)，(B 1，b 1)，(B 1，b 2)，(B 2，b 1)，(B 2，b 2)，(b 1，b 2)，共21种．其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有(A 1，A 2)，(A 1，a )，(A 2，a )，(B 1，B 2)，(B 1，b 1)，(B 1，b 2)，(B 2，b 1)，(B 2，b 2)，(b 1，b 2)，共9种．故选出的2名职工来自同一工厂的概率为P ＝921＝37. [B 能力提升]11．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35 解析：选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)共10种等可能发生的结果，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 12．(2019·江西省上饶市期末统考)图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是( )A.34B.12C.14 D ．1解析：选A.由题意，可得样本点的总数为n ＝4，又由题图1中的正方形放在题图2中的①处时，所组成的图形不能围成正方体；题图1中的正方形放在题图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体， 所以将题图1中的正方形放在题图2中的①②③④的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率为P ＝34.故选A. 13．设a 是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a ，b )．记“这些样本点中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．解析：事件E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的样本点是满足log b a ≥1，可以列举出所有的样本点，当b ＝2时，a ＝2，3，4，当b ＝3时，a ＝3，4，共有3＋2＝5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是512. 答案：51214．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了1名女同学、2名男同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A ，B ，C ，其中A 为女同学，B ，C 为男同学，选出的3名高二乙班同学为D ，E ，F ，其中D 为男同学，E ，F 为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，(D ，E )，(D ，F )，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率P ＝915＝35. (2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为49. [C 拓展探究]15．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1，4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．解：样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}共16个样本点．(1)记“获得飞机玩具”为事件A ，事件A 包含的样本点有(2，3)，(3，2)，(3，3)共3个．故每对亲子获得飞机玩具的概率为P (A )＝316. (2)记“获得汽车玩具”为事件B ，记“获得饮料”为事件C .事件B 包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个．所以P (B )＝616＝38， 事件C 包含的样本点有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(2，0)，(3，0)共7个，所以P (C )＝7 6. 所以P (B )<P (C )，即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率．。