2009-2013年北京高考真题--数列试题汇编
北京市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(4)数列
北京市各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（4）数列 一、选择题:（7）(北京市东城区2013年4月高三综合练习一文）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 7 4 5 8 1 3 5 2 6数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数)x 的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++Λ的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400 【答案】A2. (北京市房山区2013年4月高三第一次模拟理)已知{}n a 为等差数列，n S 为其前项和.若19418,7a a a +==，则10S = ( D ) A. 55 B. 81 C. 90 D. 1004．(北京市西城区2013年4月高三一模文)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2-U （B ）1(,0)(0,1)2-U （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞U（D ）1(,)(1,)2-∞-+∞U【答案】B3. （北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一文）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】B（5）（北京市昌平区2013年1月高三期末考试理）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】因为124,,S S S 成等比数列，所以2142S S S =，即2111(46)(2)a a d a d +=+，即2112,2d a d d a ==，所以211111123a a d a a a a a ++===，选C. 二、填空题:（9）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习理)在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .【答案】2,10（11）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文)在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，若{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .【答案】2,1014．(北京市西城区2013年4月高三一模文)已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231, ,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =， 则1a =______；3n S =______. 【答案】 5，722n +．10. (北京市海淀区2013年4月高三第二学期期中练习理)等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 【答案】14三、解答题:20. (北京市房山区2013年4月高三第一次模拟理)（本小题满分13分）对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示．例如811.20.2 1.20.877=-==,,.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件： 1a a =，11000n n nn a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,,其中123n =L ,,,.（Ⅰ）若2=a ，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （Ⅲ）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．20（本小题满分13分） （Ⅰ）1221a == ，2111212121a a ===+=- ……….2分若21k a =-，则112121k k a a +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以21n a =- ……………………………………3分 （Ⅱ）1a a a ==Q ，14a >所以114a << ，从而114a<< ①当112a <<，即112a<<时，211111a a a a a ===-=所以210a a +-= 解得：15a -+=（151,12a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，舍去） ……………….4分但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾. 故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a . 从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对于大于q 的自然数n ，都有0=n a ……………………………………………13分20．（北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一文）（本题14分）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++=L ； ②1231n a a a a ++++=L .（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某个2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =L ，试证：21≤k S .∴（20）（北京市昌平区2013年1月高三期末考试理）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a L ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =L ，设j j k k k b +++=Λ21(1,2,3)j =L ，12()100m g m b b b m =+++-L (1,2,3).m =L（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a L 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=L ，求函数)(m g 的最小值． （20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- …………………4分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① 当且仅当1100m b +=时取等号.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (理科) word解析版
2013北京高考理科数学试题及解析第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
第一部分一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( )． A ．{0} B ．{－1,0} C ．{0,1} D ．{－1,0,1} 答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．3．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1 B.23 C.1321 D.610987答案 C解析 执行一次循环后S ＝23，i ＝1，执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )．A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1 答案 D解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程y ＝±bax ，y ＝±2x .7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )．A.43 B ．2 C.83 D.1623 答案 C解析 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)．∴直线l 的方程为y ＝1.∴所求面积S ＝4－⎠⎛2－2x 24 d x ＝4－⎪⎪x 3122－2＝83.8．设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )．A .⎝⎛⎭⎫－∞，43B .⎝⎛⎭⎫－∞，13C .⎝⎛⎭⎫－∞，－23D .⎝⎛⎭⎫－∞，－53答案 C 解析作不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有m<1－2m.若可行域存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则可行域内含有直线y ＝12x －1上的点，只需边界点(－m,1－2m)在y＝12x －1上方，且(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m<1－2m ，1－2m>－12m －1，m<－12m －1.得m<－23.第二部分二、填空题9．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 答案 1解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1.10．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.11. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.12．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案 96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种类共有4A 44＝96.13. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.14. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．答案 255解析 取B 1C 1中点E 1，连接E 1E ，D 1E 1，过P 作PH ⊥D 1E 1，连接C 1H .∴EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，PH ∥EE 1，∴PH ⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴P 到C 1C 的距离为C 1H .当点P 在线段D 1E 上运动时，最小值为C 1到线段D 1E 1的距离．在Rt △D 1C 1E 1中，边D 1E 1上的高h ＝2×15＝255.三、解答题15．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A∴cos A ＝63.(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去． 故c 的值为5.16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 (1)在3月1日到3月13日这13天中，5日，8日这两天空气重度污染．∴此人到达当日空气重度污染的概率P ＝213.(2)依题意X ＝0,1,2P (X ＝0)＝513，P (X ＝1)＝413，P (X ＝2)＝413.∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－12132×513＋⎝⎛⎭⎫1－12132×413＋⎝⎛⎭⎫2－12132×413＝116169. (3)由图知，从3月5日开始连续三天空气质量指数方差最大．17. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求证二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．(1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC . (2)解在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＝03y 1－4z 1＝0∴取向量n 1＝(0,4,3)由⎩⎪⎨⎪⎧B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0.取向量n 2＝(3,4,0)∴cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625.(3)证明 设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. ∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0则λ＝925，因此BD BC 1＝925.18．设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．(1)解 由y ＝ln xx ，得y ′＝1－ln x x 2，x >0.∴k ＝y ′|x ＝1＝1－ln 112＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.(2)证明 要证明，除切点(1,0)外，曲线C 在直线l 下方．只要证明，对∀x >0且x ≠1时，x －1>ln xx.设f (x )＝x (x －1)－ln x ，x >0，则f ′(x )＝2x －1－1x ＝(2x ＋1)(x －1)x因此f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增． ∴f (x )>f (1)＝0，即x (x －1)>ln x故当x >0且x ≠1时，x －1>ln xx成立．因此原命题成立．19．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形． 因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2因为M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．20．已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n}为公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1,2,3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为 1.(1)解d1＝1，d2＝1，d3＝3，d4＝2.(2)证明充分性：若{a n}为公差为d的等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d.于是A n＝a n＝a1＋(n－1)d，B n＝a n＋1＝a1＋nd.因此d n＝A n－B n＝－d(n＝1,2,3，…)．必要性：因为d n＝－d≤0，∴A n＝B n＋d n≤B n∵a n≤A n，a n＋1≥B n∴a n≤a n＋1，于是A n＝a n，B n＝a n＋1.因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d.故数列{a n}是公差为d的等差数列．(3)证明1°首先{a n}中的项不能是0，否则d1＝a1－0＝2，矛盾．2°{a n}中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n}中有超过2的项，设a k是第一个大于2的项．{a n}中一定存在项为1，否则与d1＝1矛盾；当n≥k时，a n≥2，否则与d k＝1矛盾；因此存在最大的i在2到k－1之间，使得a i＝1，此时d i＝A i－B i＝2－B i≤2－2＝0，矛盾．综上{a n}中没有超过2的项．所以由1°，2°知，{a n}中的项只能为1或2.∵对任意n≥1，a n≤2＝a，∴A n＝2，故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对任意正整数n，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}中有无穷多项为1.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷)
2013北京高考理科数学试题 第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤ x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件S 值为A.1B.23 C.1321D.610987 5.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1e x - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =C.12y x =±D.y x = 7.直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 B.2 C.83D.38.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 . 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于 D.若PA=3，916PD DB =：：，则PD= ；AB=.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ= .14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，1B三、解答题共6小题，共80分。
2013北京高考数学真题(理科)及答案
解：（Ⅰ）因为 AA1C1C是正方形 ，所以 AA1⊥AC ．
因为 平面ABC 平面AA1C1C ，且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC，
所以 AA1 ⊥平面 ABC ．
z A1
B1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AA1⊥AC ， AA1 ⊥ AB ．
gx
1
f
x=
x2
1 x2
ln
x
．
当 0＜x＜1 时， x2 1＜0，ln x＜0，所以 g x＜0，故 g x 单调递减；
当 x＞1 时， x2 1＞0，ln x＞0，所以 g x＞0，故 g x 单调递减．
所以 g x＞g 1 =0x 0，x 1.
（9）1
（10）2
2n1 2
（11） 9 5
（6）B 4
（7）C
（8）C
（12）96 （13）4
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）
（14） 2 5 5
解：（Ⅰ）因为 a 3 ， b 2 6 ， B 2A ，
所以在△ABC 中由正弦定理得 3 2 6 ． sin A sin 2A
指指指指指指
250 200 150 100 86 50
220 160
143
57
217 160 158
121 86 79
25
37
0 1指
2指
指指 3指 4指 5指 6指 7指 8指 9指 10指 11指 12指13指 14指
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列
2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在数列{}n a 中,21nn a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j == )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-【答案】C3 ．（2013年高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n = ,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n nn nn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3【答案】B5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是( )A.数列{}n b 为等差数列,公差为m qB.数列{}n b 为等比数列,公比为2mq C.数列{}n c 为等比数列,公比为2mq D.数列{}n c 为等比数列,公比为mmq【答案】C6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a(A)31 (B)31-(C)91 (D)91-【答案】C7 ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m =( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p【答案】D9 ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A二、填空题10．（2013年高考四川卷（理））在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.【答案】解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得 ()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n s n =或232n n n s -=11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.【答案】49-12．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式: 三角形数 ()211,322N n n n =+正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________. 选考题【答案】100013．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________. 【答案】1214．（2013年高考湖南卷（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2nn n nS a n N *=--∈则(1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】116-;10011(1)32-15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））当,1x R x ∈<时,有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=-两边同时积分得:1111122222211.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+ 16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =【答案】6417．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和n =S __________.【答案】25766n n -18．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【答案】2019．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-照此规律, 第n 个等式可为___)1(2)1-n1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ ____.【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（20．（2013年高考新课标1（理））若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.【答案】n a =1(2)n --.21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,互不-相同的点12,,,n A A X和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n ∈-=22．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________.【答案】2,122n +-23．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知等比数列{}n a 是递增数列,nS 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =____________.【答案】63 三、解答题24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明: (Ⅰ)对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; (Ⅱ)对任意np N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.【答案】解: (Ⅰ) 224232224321)(0nx x x x x x f nx y x n n n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一xxx xxxx x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n nnn n n x x x x x x x f综上,对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕)(Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+nx x x x x x f x x nn n n n n n n p n n0)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x nx x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x nx x x x x nx x x x x pn pn n pn np n p n p n p n p n nn n n n n ++++++++++=++++++++++++++ ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnnp n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ nx x npn np n n 1-111<⇒<+-=+.法二:25．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,;(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=, 3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n a a c +-≥(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a > 此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意;若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意; 综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.26．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1-1k k k k k个（），，（）,即当1122k kk k n -+<≤（）（）()k N +∈时,11k nak -=（-）,记12n n S a a a =++ ()n N+∈,对于l N+∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a ∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,511-=S∴111a S ∙=,440a S ∙=,551a S ∙=,662a S ∙=,11111a S ∙-= ∴集合11P 中元素的个数为5(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+∙-==+S S i i 故原式成立② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+∙-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m )32)(1()352(2++-=++-=m m m m综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2i 1-i 231=+++）（于是当）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2+ 又471312312000++⨯⨯=）（ 故集合2000P 中元素的个数为100847312=+27．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d dd dd a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d <时,11n a n =-, ①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ; 28．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥ ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105ma a a +++=-或,不存在这样的正整数m ;若3q =,12111919110310mma a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,不存在这样的正整数m . 29．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}na的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n项和n R .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d = 因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n n n R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414nnn -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-30．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c为实数.(1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和∴d n n na S n 2)1(-+=(1)∵0=c ∴d n a nS b n n 21-+==∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-dad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21=∴a d 2=∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+=∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222= ∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b n n +=2得:11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d由①式得:d d 211=∵ 0≠d ∴ 01≠d由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)cn ad n n cn nS b n n ++-=+=22222)1(,cn ad n ca d n cad n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1(cn ad n c ad n ++--+-=222)1(22)1(. (※)若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-ad n c,而22)1(ad n +-≠0,故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.31．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】32．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1nn nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.【答案】33．（2013年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a+=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦. 由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+.于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =. (2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+.则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦.222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.34．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n+=---,*n ∈N .(Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174na a a +++<.【答案】.(1) 解:2121233n n S a n n n+=---,n N *∈.∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a =,24a ∴= (2)解:2121233n n S a n n n+=---,n N *∈.∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-①∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=-()()1211n n n a na n a n n +∴=---+ 111n na a n n +∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列. ()()2111,2n n a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立.②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立.③当3n ≥时, ()()()()221111,11n n n nn n >-⋅+∴<-⋅+()()()2221211111111111121324211na a a nn n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭ 1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174na a a +++<.35．（2013年高考北京卷（理））已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n项之后各项1n a +,2n a +,的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(I)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,4n n a a +=),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值; (II)设d 为非负整数,证明:d n =-d (n =1,2,3)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列; (III)证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3,),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I)12341, 3.d d d d ====(II)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以12.n a a a ≤≤≤≤ 因此n n A a =,1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-= . (必要性)因为0(1,2,3,)n d d n =-≤= ,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为n n a A ≤,1n n a B +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =,1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=,即{}n a 是公差为d 的等差数列.(III)因为112,1a d ==,所以112A a ==,1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=. 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项.设m 为满足2n a >的最小正整数,则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤,. 又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>.于是211m m m B A d =->-=,{}1min ,2m m m B a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. 因此对任意1n ≥,12n a a ≤=,所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=. 因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1.36．（2013年高考陕西卷（理））设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}na +不是等比数列.【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211 时，当.上面两式错位相减: .)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- （qq a qqa a S nnn -1)1(.-111-=-=⇒.③综上,⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q qq a q na S n n(Ⅱ) 使用反证法.设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则①当1*+∈∃n a N n ，使得=0成立,则{1}n a +不是等比数列.②当01*≠+∈∀n a N n ，使得成立,则恒为常数=++=++-+11111111n nn n qa q a a a1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a qa q a n n 时当.这与题目条件q ≠1矛盾.③综上两种情况,假设数列{1}n a +是等比数列均不成立,所以当q ≠1时, 数列{1}na +不是等比数列.。
2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编
_________高考题库，荣誉出品__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编5年高考真题分类汇编-教师卷题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为：2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
i.、解答题（本大题共5小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
【答案解析】解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x 因为曲线()y f x 在点(,())a f a 处的切线为y b 所以'()0()f a f a b ，即22cos 0sin cos a a a a a a a b ，解得01a b （2）因为2cos 0x 所以当0x 时'()0f x ，()f x 单调递增当0x 时'()0f x ，()f x 单调递减所以当0x 时，()f x 取得最小值(0)1f ，所以b 的取值范围是(1,)2.（2012年北京高考真题数学(文)）。
十年高考真题汇编之专题06 数列(新课标1)(教师版)
一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C【解析】∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=.∴m ＝5.故选C. 2. 【2012全国，理5】已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 【答案】D3. 【2008全国1，理5】已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．23【答案】C.【解析】由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=. 4. 【2013课标全国Ⅰ，理14】若数列{a n }的前n 项和2133n n S a =+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________. 【答案】(－2)n －1 【解析】∵2133n n S a =+，①∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2.∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.5. 【2009全国卷Ⅰ，理14】设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=___________. 【答案】24【解析】∵2)(972219a a S +==,∴a 1+a 9=16. ∵a 1+a 9=2a 5,∴a 5=8.∴a 2+a 4+a 9=a 1+a 5+a 9=3a 5=24.6. 【2011全国新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1{}nb 的前n 项和． (2)31323(1)log log log (12)2n n n n b a a a n +=+++=-+++=-故12112()(1)1nb n n n n =-=--++， 121111111122(1)()()22311n nb b b n n n ⎡⎤+++=--+-++-=-⎢⎥++⎣⎦. 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+. 7. 【2010新课标，理17】（12分）设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】 (1)由已知，当n≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n －1. ① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n ＋1. ② ①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]． 8. 【2005全国1，理19】设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…） （1）求q 的取值范围；（2）设,2312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小.解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）由得1223++-=n a n a a b .)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n).2)(21(-+=q q S n.,0,2,21;,0,0221;,0,2211,,001,0n n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S T q q S T S T q q q q S ==-=-=<<-≠<<->>->-<<-><<->即时或当即时且当即时或当所以或且又因为 9. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 10.【2016高考新课标理数3】已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.二．能力题组1. 【2011全国，理4】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】 D2. 【2006全国，理10】设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80则a 11+a 12+a 13＝（ ） （A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 【答案】 B 【解析】3. 【2012全国，理16】数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为__________． 【答案】1 830【解析】：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋ (234)15(10234)18302⨯+=．4. 【2014课标Ⅰ，理17】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数， （I ）证明：2n n a a λ+-=；（II ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）存在，4λ=.5. 【2009全国卷Ⅰ，理20】 在数列{a n }中， a 1＝1,a n+1＝（n 11+）a n +n n 21+. （Ⅰ）设na b nn =，求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n . 【解析】（Ⅰ）由已知得b 1=a 1=1,且n n n n a n a 2111+=++,即n n n b b 211+=+. 从而2112+=b b ,22321+=b b , (1)121--+=n n n b b (n≥2).于是1121212212121---=++++=n n n b b (n≥2).又b 1=1.故所求的通项公式1212--=n n b .(Ⅱ)由（Ⅰ）知1122)212(---=-=n n n nn n a .令∑=-=nk k n kT 112,则∑=-=nk k n kT 1222.于是T n =2T n -T n =∑-=---111221n k n k n =1224-+-n n .又)1()2(1+=∑=n n k nk ，所以422)1(1-+++=-n n n n n S . 6.【2016高考新课标理数1】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 .【答案】64【考点】等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.7.【2017新课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.三．拔高题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【答案】B 【解析】2. 【2011全国，理20】设数列{a n }满足a 1＝0且111111n na a +-=--.(1)求{a n }的通项公式； (2)设11n n a b n+-=，记1nn kk S b==∑，证明：S n ＜1.【解析】(1)由题设111111n na a +-=--，即{11na -}是公差为1的等差数列． 又111n a =-，故11nn a =-. 所以11n a n=-. (2)由(1)得1111111n n a n n b nn n n n +-+-===-+⋅+， 11111()1111nnn k k k S b k k n ====-=-<++∑∑. 3. 【2006全国，理22】（本小题满分12分）设数列｛a n ｝的前n 项和,3,2,1,32313421=+⨯-=+n n nn a S …。
2013年高考理数真题试卷(北京卷)及解析
2013年高考理数真题试卷（北京卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A.{0}B.{﹣1，0}C.{0，1}D.{﹣1，0，1}2.“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12xD.y=±√22x4.设关于x，y的不等式组{2x−y+1＞0x+m＜0y−m＞0表示的平面区域内存在点P（x， y），满足x﹣2y=2，求得m的取值范围是（）A.(−∞,43)B.(−∞,13)C.(−∞,−23)D.(−∞,−53)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）答案第2页，总12页……装…………○…………订………○…………线……※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题……装…………○…………订………○…………线……5.在极坐标系中，点（2， π6 ）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．6.若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = ．7.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA=3，PD ：DB=9：16，则PD= ， AB= ．8.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．9.向量 a →， b →， c → 在正方形网格中的位置如图所示，若 c →=λa →+μb →（λ，μ∈R），则 λμ = ．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 ．三、解答题（题型注释）11.在△ABC 中，a=3，b=2 √6 ，∠B=2∠A．（1）求cosA 的值； （2）求c 的值．12.如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天…………○…………订…………○…………线…………○…：___________班级：___________考号：___________…………○…………订…………○…………线…………○…（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 13.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求证二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；（3）证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD⊥A 1B ，并求 BDBC 1的值．14.设l 为曲线C ：y=lnxx在点（1，0）处的切线． （1）求l 的方程；（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方． 15.已知A ，B ，C 是椭圆W ： x 24+y 2=1 上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．16.已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ， 第n 项之后各项a n+1 ， a n+2…的最小值记为B n ， d n =A n ﹣B n ． （1）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N * ， a n+4=a n ），写出d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值；（2）设d 是非负整数，证明：d n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第4页，总12页…………线……………线…参数答案1.B【解析】1.解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选B【考点精析】认真审题，首先需要了解集合的交集运算(交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立)．2.A【解析】2.解：φ=π时，曲线y=sin （2x+φ）=﹣sin2x ，过坐标原点． 但是，曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点，即O （0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π． 故“φ=π”是“曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件． 故选A ． 3.B【解析】3.解：由双曲线的离心率 √3 ，可知c= √3 a ， 又a 2+b 2=c 2 ， 所以b= √2 a ，所以双曲线的渐近线方程为：y= ±ba x =± √2 x ．故选B ． 4.C【解析】4.解：先根据约束条件 {2x −y +1＞0x +m ＜0y −m ＞0画出可行域，要使可行域存在，必有m ＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= 12 x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线y= 12 x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y= 12 x ﹣1的下方，故得不等式组 {m ＜−2m +11−2m ＞−12−1m ＜−12m −1，解之得：m ＜﹣ 23 ．…外…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…学校:___________姓名_________班级：___________考号：_______…内…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…故选C ．5.1【解析】5.解：在极坐标系中，点 (2,π6) 化为直角坐标为（ √3 ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（ √3 ，1），到y=2的距离1，即为点 (2,π6) 到直线ρsinθ=2的距离1，所以答案是：1．【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式，需要了解点到直线的距离为：才能得出正确答案．6.2；2n+1﹣2【解析】6.解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，∴ {a 1q +a 1q 3=20a 1q 2+a 1q 4=40，解得 {a 1=2q =2 ．∴ S n =a (q n −1)1q−1= 2×(2n −1)2−1 =2n+1﹣2．所以答案是：2，2n+1﹣2．【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n 项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；前项和公式：才能正确解答此题．7.95；4【解析】7.解：由PD ：DB=9：16，可设PD=9x ，DB=16x ． 2答案第6页，总12页外…………○…………装…………○…………订※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内内…………○…………装…………○…………订∴32=9x•（9x+16x ），化为 x 2=125 ，∴ x =15．∴PD=9x= 95 ，PB=25x=5．∵AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，∴AB⊥PA． ∴ AB =√PB 2−PA 2 = √52−32=4． 故答案分别为 95 ，4．8.96【解析】8.解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4× A 44=96种．所以答案是：96． 9.4【解析】9.解：以向量 a →、 b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得 a →=（﹣1，1）， b →=（6，2）， c →=（﹣1，﹣3） ∵ c →=λa →+μb (λ,μ∈R)→ ∴ {−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ=﹣2且μ=﹣ 12因此， λμ = −2−12=4 所以答案是：4【考点精析】通过灵活运用平面向量的基本定理及其意义，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使即可以解答此题．10.2√55【解析】10.解：如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1 ， ∴CC 1∥EF，又EF ⊂平面D 1EF ，CC 1⊄平面D 1EF ，………订…………○…………线…………○…___________考号：___________………订…………○…………线…………○…∴CC 1∥平面D 1EF ．∴直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离． 过点C 1作C 1M⊥D 1F ，∵平面D 1EF⊥平面A 1B 1C 1D 1 ． ∴C 1M⊥平面D 1EF ．过点M 作MP∥EF 交D 1E 于点P ，则MP∥C 1C ． 取C 1N=MP ，连接PN ，则四边形MPNC 1是矩形． 可得NP⊥平面D 1EF ，在Rt△D 1C 1F 中，C 1M•D 1F=D 1C 1•C 1F ，得 C 1M =√22+11=2√55． ∴点P 到直线CC 1的距离的最小值为 2√55． 所以答案是2√5511.（1）解：由条件在△ABC 中，a=3， b =2√6 ，∠B=2∠A， 利用正弦定理可得 a sinA =b sinB ，即 3sinA =2√6sin2A = 2√62sinAcosA ． 解得cosA= √63 ．（2）解：由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2﹣2bc•cosA，即 9= (2√6)2+c 2﹣2×2 √6×c× √63 ， 即 c 2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°， △ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2=b 2，故舍去． 当c=5时，求得cosB= a 2+c 2−b 22ac = 13 ，cosA= b 2+c 2−a 22bc = √63 ，∴cos2A=2cos 2A ﹣1= 13 =cosB ，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．【解析】11.（1）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值．（2）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值，再进行检验，从而得出结论．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:答案第8页，总12页…………○线…………○)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．12.（1）解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i=1，2，…，13） 依据题意P （A i ）= 113 ，A i ∩A j =∅（i≠j）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P （B ）= 613（2）解：X 的所有可能取值为0，1，2 P （X=0）= 513 ，P （X=1）= 413 ，P （X=2）= 413 ∴X 的数学期望为E （X ）= 1213（3）解：从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大【解析】12.（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2，得出P （X=0），P （X=1），p （x=2）及分布列与数学期望；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【考点精析】通过灵活运用极差、方差与标准差，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差即可以解答此题． 13.（1）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC∩平面AA 1C 1C=AC ， ∴AA 1⊥平面ABC ．（2）解：由AC=4，BC=5，AB=3． ∴AC 2+AB 2=BC 2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），∴ BC 1→=(4,−3,4) ， BA 1→=(0,−3,4) ， BB 1→=(0,0,4) ．设平面A 1BC 1的法向量为 n 1→=(x 1,y 1,z 1) ，平面B 1BC 1的法向量为 n 2→=（x 2，y 2，z 2）．………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班………○…………装…………○则 {n 1→⋅BC 1→=4x 1−3y 1+4z 1=0n 1→⋅BA 1→=−3y 1+4z 1=0，令y 1=4，解得x 1=0，z 1=3，∴ n 1→=(0,4,3) ．{n 2→⋅BC 1→=4x 2−3y 2+4z 2=0n 2→⋅BA 1→=4z 2=0，令x 2=3，解得y 2=4，z 2=0，∴ n 2→=(3,4,0) ．cos〈n 1→⋅n 2→〉 = n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|= √25⋅√25 = 1625 ．∴二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为 1625 ．（3）证明：设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，∴ AD → = (t,34(4−t),t) ， A 1B →=（0，3，﹣4），∵ AD →⊥A 1B → ，∴ AD →⋅A 1B →=0 ， ∴ 0+94(4−t)−4t =0 ，解得t= 3625 ．∴ BD BC 1=DE CC 1=925 ．【解析】13.（1）利用AA 1C 1C 是正方形，可得AA 1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（2）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（3）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与答案第10页，总12页相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题． 14.（1）解：∵ y =lnx x∴ y ′=1−lnxx 2∴l 的斜率k=y′|x=1=1 ∴l 的方程为y=x ﹣1（2）证明：令f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0）曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ＞0，则f′（x ）=2x ﹣1﹣ 1x =(2x+1)(x−1)x∴f（x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）=0 ∴x∈（0，1）时，f （x ）＞0，即 lnxx＜x ﹣1 x∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即lnxx＜x ﹣1 即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方【解析】14.（1）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论． 15.（1）解：∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0） ∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x=1 设A （1，t ），得 124+t 2=1 ，解之得t= √32 （舍负）∴A 的坐标为（1， √32 ），同理可得C 的坐标为（1，﹣ √32 ） 因此，|AC|= √3 ，可得菱形OABC 的面积为S= 12 |AC|•|B0|= √3 ；（2）解：∵四边形OABC 为菱形，∴|OA|=|OC|， 设|OA|=|OC|=r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2=r 2 与椭圆W: x 24+y 2=1 的公共点，解之得 3x 24 =r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足 x 1=x 2=2√33• √r 2−1 ，或x 1=2√33• √r 2−1 且x 2=﹣2√33• √r 2−1 ，①当x 1=x 2= 2√33• √r 2−1 时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）；②若x 1=2√33• √2−1 且x 2=﹣ 2√33• √2−1 ，则x 1+x 2=0，第11页，总12页…………线……………………线…………可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【解析】15.（1）根据B 的坐标为（2，0）且AC 是OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标，从而得到线段AC 的长等于 √3 ．再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC 的面积；（2）若四边形OABC 为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A 、C的横坐标满足 3x 24 =r 2﹣1，从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形． 16.（1）解：若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d 1=A 1﹣B 1=2﹣1=1，d 2=A 2﹣B 2=2﹣1=1，d 3=A 3﹣B 3=4﹣1=3，d 4=A 4﹣B 4=4﹣1=3．（2）证明：充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ， ∴A n =a n =a 1+（n ﹣1）d ，B n =a n+1=a 1+nd ，∴d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．必要性：若 d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k ﹣a k ﹣1＜0的项， 则d k =A k ﹣B k =a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与d n =﹣d≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列． ∴d n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，故{a n }是公差为d 的等差数列．（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），首先，{a n }的项不能等于零，否则d 1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n }的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过2的，设a m 是第一个大于2的项，由于{a n }的项中一定有1，否则与d 1=1矛盾．当n≥m 时，a n ≥2，否则与d m =1矛盾．因此，存在最大的i 在2到m ﹣1之间，使a i =1，此时，d i =A i ﹣B i =2﹣B i ≤2﹣2=0，矛盾． 综上，{a n }的项不能超过2，故{a n }的项只能是1或者2． 下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为1．若a k 是最后一个1，则a k 是后边的各项的最小值都等于2，故d k =A k ﹣B k =2﹣2=0，矛盾， 故{a n }的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第12页，总12页………○…………线………※※题※※………○…………线………【解析】16.（1）根据条件以及d n =A n ﹣B n 的定义，直接求得d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值．（2）设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，从而证得d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．若d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．可得{a n }是一个不减的数列，求得d n =A n ﹣B n =﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，即{a n }是公差为d 的等差数列，命题得证．（3）若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，再用反证法得到{a n }的项不能超过2，从而证得命题．【考点精析】关于本题考查的等差关系的确定和等比关系的确定，需要了解如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N ）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断才能得出正确答案．。
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2009-2013年北京高考真题--数列试题汇编
5年高考真题分类汇编-教师卷
△注意事项：
1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为： 2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
i. 、填空题（本大题共4小题，共20分）
1.（2013年北京高考真题数学(文)）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公
比q =；前n 项和n S =。
【答案解析】2，1
2
1n +-
2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．
若11
2
a =，23S a =，则2a =；
n S =．
【答案解析】1
1
(1)4
n n + 3.（2011年北京高考真题数学(文)）在等比数列{a n }中，a 1=
12
，a 4=4，则公比q=______________；a 1+a 2+…+a n = _________________. 【答案解析】2 2
12
1
-
-n
4.（2009年北京高考真题数学(文)）若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a =；
前8项的和8S =
.（用数字作答）
【答案解析】16 255
姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
ii.
、选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
5.（2012年北京高考真题数学(文)）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是
【答案解析】B
6.（2010年北京高考真题数学(文)）在等比数列中，，
公比.若，则m=
（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案解析】C
{}n a 11a =1q ≠12345m a a a a a a =（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a >。