2019届北京市第四中学高三第三次调研考试数学(文)试题(解析版)

2019届北京市第四中学高三第三次调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合,且,则可以是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以得到且，根据选项可以确定a的值.【详解】解：因为，且集合,所以且,根据选项情况，由此可以判定只能选择C.【点睛】本题考查了集合间的关系、集合中元素的性质，解题时要注意集合元素的互异性这一隐含的条件.2．下列函数中,与函数的单调性和奇偶性相同的函数是A．B．C．D．【答案】D【解析】可以判断函数是定义在R上的奇函数、单调增函数，从定义域角度可以分析出选项A、B、C均不能成立，由此可以得出正确选项。

【详解】解：函数的定义域为R，因为，所以得到为奇函数，又因为恒成立，故在R上为单调递增函数，选项A的定义域为，不成立，选项B的定义域为，不成立，选项C的定义域为，不成立，选项D的定义域为R，由于，所以函数为奇函数，又因为，所以为单调增函数，所以，选项D满足题意。

【点睛】本题考查了函数的基本性质，判断函数性质要遵循“定义域优先”的原则，特别是判断函数的奇偶性时，首先要判断定义域是否关于原点对称；函数的单调性则可以通过图像、导数等等方法进行判断。

3．已知分别为三角形ABC三个内角的对边,且,则三角形ABC中为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以,即选C.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.4．设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A．B．C．D．【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5．等差数列中,前项和为,公差,且,若,则A．B．C．的值不确定D．【答案】B【解析】因为，所以，即，因为，所以=-6，选B.6．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,，故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．已知直线与圆相交于、两点,是线段的中点,则点到直线的距离的最大值为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】直线经过定点（-4,0），设，则点，将点B代入圆的方程，则得到点M的轨迹方程，分析轨迹方程可知点M的轨迹为圆，然后再利用直线与圆的知识解决问题。

【详解】解：直线经过定点（-4,0），设，则点，因为点B在圆上，故有，化简整理得：，所以点M的轨迹是圆心为（-3,0），半径为1的圆，圆心（-3,0）到直线的距离为，所以点M到直线的最大距离为4。

故选B。

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、动点轨迹等问题，解决动点轨迹常见的方法有直译法、定义法、相关点法、参数法等等，解题时应注意灵活应用。

8．已知数列{an}满足当2k－1－1<n≤2k－1(k∈N，n∈N)时，，若数列{an}的前n 项和为Sn，则满足Sn>10的n的最小值为()A．59 B．58 C．57 D．60【答案】A【解析】分析：根据题意，分别得到各段上数列的通项公式及和的值，进而求得的的范围，即可求解的最小值.详解：由题意可得：当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以；当时，，即，则，所以，则，设在第到第中，则有项的和为，令，解得，所以使得时，，所以的最小值为，故选A.点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.二、填空题9．如果复数（其中是虚数单位）是实数,则实数______.【答案】【解析】将复数转化为的形式，然后再根据复数为实数这一条件，解决的值。

【详解】解：，因为复数为实数，所以，故。

【点睛】本题考查了复数乘法的运算、定义，解决本题的关键是要将复数转化为的标准形式，进而根据题意进行解题。

10．已知数列的前项和为，，若数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】分析：由，求得数列是公差的等差数列，再求得，即可利用等差数列的通项公式，即可求解.详解：由可知，当时，，当时，，符合上式，所以对任意的均有，则， 因而数列是公差的等差数列，，，则，得，所以数列的通项公式为.点睛：本题考查了等差数列的前项公式以及等差数列的通项公式的应用，在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现有时经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.11．许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有k 块砖板拼在一起,则k 的所有可能取值为__________． 【答案】3,4,5,6【解析】由题意知只需这k 块砖板的角度之和为360︒即可，显然3k ≥,因为任意正多边形内角小于180︒;且6k ≤,因为角度最小的正多边形为正三角形,360660︒︒=.当3k =时, 3个正六边形满足题意;当4k =时, 4个正方形满足题意;当5k =时, 3个正三角形与2个正方形满足题意;当6k =时, 6个正三角形满足题意.综上,所以k 可能为3,4,5,6，故答案为3,4,5,6.12．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____． 【答案】22【解析】设只会乒乓球、篮球、排球分别为.会乒乓球和篮球，篮球和排球，乒乓球和排球分别为,由题意可知,求。

把第一个式子的2倍减去后三个式子得，填22.【点睛】本题考查的是集合元素个数的关系，13．设函数对于任意x∈[－1,1]，都有成立，则实数a＝________.【答案】1【解析】函数对任意，都有成立，首先要确保函数在有意义，即恒成立，分离变量求最值可得；其次恒成立，可采取“分类讨论+分离变量”的策略进行求解。

【详解】解：因为函数在有意义，所以在恒成立，故，即；又因为函数对任意，都有成立，，当时，恒成立，，当时，有，即，两边平方得：，分离变量得：，即求函数的最小值，而，当且仅当，即时，取“=”，所以，综上：。

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，恒成立问题常见方法是通过分类讨论、分离变量等方法转化为函数最值的问题，解题时应注意转化过程中的等价性。

14．团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.【答案】7040【解析】根据990不能被13整除，得两个部门人数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组进行求解即可．【详解】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得a+b＝110 ③由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b＝1290 ④，解③④得：a＝70人，b＝40人，故答案为：70，40．【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力．三、解答题15．已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）1；；（2）.【解析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出，利用成等差数列求出参数，从而可得数列的通项公式；（2）把变形为，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前项和．详解：（1）（法一）由，令，得到∵是等差数列，则，即解得：由于∵，∴（法二）∵是等差数列，公差为，设∴∴对于均成立则，解得，（2）由点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．17．苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取箱富士苹果进行检验，①从产地共抽取箱,求的值；②从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地的市场份额将增加，产地的市场份额将减少，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱元，明年苹果的平均批发价为每箱元，比较的大小.（只需写出结论）【答案】（1）0.60；（2）；（3）【解析】（1）价格低于元的概率等价于价格低于元的市场占有率之和；（2）①根据分层抽样的计算公式进行计算，可得出从产地共抽出的箱数；②将5箱进行编号，列举出选择两箱的所有可能，然后根据古典概型计算公式进行求解；（3）根据平均值计算公式进行估算。