勾股定理专题(附答案,全面、精选)

勾股定理

一、探索勾股定理

【知识点1】勾股定理

定理内容：在RT△中，

勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角

典型题型

1、对勾股定理的理解

（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）

A、c²- a²=b²

B、c²- b²=a²

C、a²- c²=b²

D、a²+b²= c²

（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）

A、BC²- AB²=AC²

B、BC²- AC²=AB²

C、AB²+AC²= BC²

D、AC²+BC²= AB²

2、应用勾股定理求边长

（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.

（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足

√α2−6α+9+|b−4|=0，则该直角三角形的斜边长为．

3、利用勾股定理求面积

（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）

A、6

B、8

C、10

D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S

12

、、

S S S S S S

341234

、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证

推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）

拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。

（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。

问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？

（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，

论证勾股定理：

2

2

2c

b

a=

+

3、运用勾股定理进行计算（重难点）

（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米

处,旗杆折断前有多高？

25

7

（13）两棵之间的距离为8m ，两棵树的高度分别为8m 、2m ，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？

【基础检测】

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ）

A.5

B.12

C.13

D.18 2、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b

a cm ，

10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（

）

A . 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 2 3、若△ABC 中，∠C=90°，

（1）若a = 5，b =12，则c = ； （2）若a =6，c =10，则b = ；

（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = 。 4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 。（π不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3 : 4，求两直角边的长。

6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？

【培优突破】 1、折叠问题

（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm 、BC=8cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）

A 、4cm

B 、5cm

C 、6cm

D 、10cm

（2） 如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求线段EC 的值

2、运用勾股定理解决生活中的实际问题

（3）如图，为了测得小水坑两边A 点和B 点之间的距离，一个观测者在C 点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC=20m ，BC=16m,则A 、B 两点之间的距离是对少?

3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）

（4）在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，则BC 的值为（ ）

A 、25

B 、7

C 、25或7

D 、不能确定 （5）已知3, 4，a 是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则2

a 的值是多少？

（6）在直角△ABC 中，AB=15， AC=20，BC 边上的高AD=12，则BC 的值为多少？

4、利用方程解题

（7）如图，△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 上的一点，已知BD=7，AB=20，AD=15， 求AC 的长.

（8）如图，已知△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长。

【培优训练】

一、选择题

1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ）

A 、36

5

B 、12

25

C 、94

D 、

3√3

4

2．若三角形ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则下列等式中，成立的是（ ）

A ．

a 2+

b 2=

c 2 B ． a 2=2c 2 C ． c 2=2a 2 D ． c 2=2b 2 3． 如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．若OD=8，OP=10，则PE 的长为（ ）

A 、 5

B 、6

C 、 7

D 、8

4．如图在直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为（ ）

A 、 16

B 、15

C 、 14

D 、13

5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）

A 、 1

B 、3

4

C 、 2

3

D 、2

6．已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为（ ）

A 、 21

B 、15

C 、 6

D 、以上答案都不对 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，已

知BC=8，AC=6，则斜边AB 上的高是（ ）

A 、 10

B 、5

C 、

524 D 、512 8．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（ ）

A 、

25cm

B 、2

3cm C 、

24cm D 、25cm

9．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m ，接着又向正南走了40m ，此时他离家的距离为（ ）m A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 70 10．如图在△ABC 中∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=64，且BD ：CD=9：7，则点D 到AB 边的距离为（ ）

A 、18

B 、32

C 、28

D 、24

11．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法： ①x 2+y 2=49， ②x ﹣y = 2， ③2xy+4=49， ④x+y=9． 其中说法正确的是（ ）

A 、①②

B 、①②③

C 、①②④

D 、①②③④ 二．填空题（共2小题）

12．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高，若AB=5cm ，BC=6cm ，则AD= _____ cm ．

13．如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 _________ ．

14、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5． 求线段EF 的长。