线性规划及对偶问题
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线性规划对偶问题
线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
第一节 线性规划的对偶问题
7
2.非对称形式的对偶规划 2.非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为非 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 (1)将模型统一为 max， 将模型统一为“ min， (1)将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的 形式，对于其中的等式约束按下面（ ）、（3 形式，对于其中的等式约束按下面（2）、（3） 中的方法处理； 中的方法处理； (2)若原规划的某个约束条件为等式约束 若原规划的某个约束条件为等式约束， (2)若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对 偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负 限制； 限制； (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 制，则 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。
12
影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 这样可以用较少的局部努力， 这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效 益。 需要指出，影子价格不是固定不变的， 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条 产品利润等发生变化时， 件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格 发生变化。 发生变化。 影子价格的经济含义是指资源在一定范围内增加 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“ 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“一定 的范围” 的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价 格给出的数值线性地增加。 格给出的数值线性地增加。
2.非对称形式的对偶规划 2.非对称形式的对偶规划
一般称不具有对称形式的一对线性规划为非 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 对称形式的对偶规划。对于非对称形式的规划， 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 可以按照下面的对应关系直接给出其对偶规划。 (1)将模型统一为 max， 将模型统一为“ min， (1)将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的 形式，对于其中的等式约束按下面（ ）、（3 形式，对于其中的等式约束按下面（2）、（3） 中的方法处理； 中的方法处理； (2)若原规划的某个约束条件为等式约束 若原规划的某个约束条件为等式约束， (2)若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对 偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负 限制； 限制； (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 (3)若原规划的某个变量的值没有非负限 制，则 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。 在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。
12
影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力， 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。 这样可以用较少的局部努力， 这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效 益。 需要指出，影子价格不是固定不变的， 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条 产品利润等发生变化时， 件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格 发生变化。 发生变化。 影子价格的经济含义是指资源在一定范围内增加 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“ 时的情况，当某种资源的增加超过了这个“一定 的范围” 的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价 格给出的数值线性地增加。 格给出的数值线性地增加。
第1章线性规划及对偶问题
s.t.
n j1
pj xj
j1
(或，）b
xj
0( j 1,2,L
, n)
（4）矩阵形式：
a1 j
pj
a2 j M
,
(
j
1,
2,L
,n)
a mj
b1
b
b
2
M
bm
M ax(M in)ZC X
x1
a11 a12 L a1n
AX (或，）b
s.t.
X 0
X
x
2
M
解:
MaxZ
(70,
65)
x1 x2
7 3
210
4
2
5
4
x1 x2
200
180
设: X (x1,x2)T
C(c1,c2)(70,65)
a11 a12 7 3
A a21
a22
4
5
a31 a32 2 4
b1 2 1 0
b
b
2
2
0
0
b3 1 8 0
M axZCX
x1
2 1
1 1
1 0
0
1
x2Biblioteka x310 8
x4
AX b
N
2 1 1 0 A 1 1 0 1
B
设:N12
1 1 1,B0
0 1
XN
x1 x2
,
XB
x3 x4
10 b8,CN(3,2),CB(0,0)
则 :A Xb (N ,B ) X X B N N X NB X Bb
MaxZCX
am1
运筹学04-线性规划的对偶问题
生产计划问题
总结词
生产计划问题是线性规划对偶问题的另一个重要应用，主要研究如何安排生产 计划，以满足市场需求并实现利润最大化。
详细描述
在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最小化生产成本并最大化利润。 通过线性规划对偶问题，可以确定最优的生产计划，使得生产过程中的资源得 到充分利用，同时满足市场需求。
对偶理论的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
混合整数对偶
随着混合整数规划问题的日益增多，对偶理论在 处理这类问题中的研究将更加深入。
大数据优化
随着大数据技术的不断发展，如何利用对偶理论 进行大规模优化问题的求解将成为一个重要研究 方向。
人工智能与优化
人工智能和机器学习方法为优化问题提供了新的 思路，与对偶理论的结合将有助于开发更高效的 算法。
THANKS
感谢观看
线性规划问题的数学模型
目标函数
通常是一个线性函数，表示要优化的目标。
约束条件
通常是一组线性等式或不等式，表示决策变 量所受到的限制。
可行解集合
满足所有约束条件的解的集合，称为可行解 集合。
02
对偶问题概念
对偶问题的定义
线性规划的对偶问题是通过将原问题 的约束条件和目标函数进行转换，形 成与原问题等价的新问题。
对偶理论与实际问题的结合
01
02
03
供应链管理
在供应链优化问题中，对 偶理论可以用于协调供应 商和零售商之间的利益， 实现整体最优。
金融风险管理
在金融领域，对偶理论可 以用于评估和管理投资组 合的风险，提高投资效益。
交通调度
在交通调度问题中，对偶 理论可以用于优化车辆路 径和调度计划，提高运输 效率。
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
线性规划及其对偶
（不吃亏原则）
yj 0， j=1,2,3,4
（定价必为正） (目标函数，使收费最低)
§1 对偶问题的现实来源（5）
把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会
发现一个有趣的现象。
表2 原问题与对偶问题对比表
甲（x1） 乙（x2）
A（y1） 2 2
B（y2） 1 2
C（y3） 4 0
D（y4） 0 4
= bi
当iI2
其中，I1，I2是整集I中的拆集，I=I1∪I2={1,2,…，m}。
自变量限制xj≥0 当 j J1
J1 J ={1,2,…,n}
若J1为空集，则无符号约束（即自变量无限制） 若J1=J，则所有xj≥0 目标函数
§2原问题与对偶问题的对应关系（7）
则，相应的对偶问题定义为：
令对偶变量 约束条件
则增加剩余变量zi, 使“≥”变为“=”得
xj≥0，zi≥0
§5 线性规划的标准型及其转换（3）
2．若出现xj不限，即－∞<xi<∞,(jJ2) 则令
xj=uj－vj
(jJ2),uj≥0，vj≥0
这样，便使所有约束变为等式，且自变量全大于或等于0。
综合上述，线性规划主要有三种表达形式：便于从实际问
12
8
16
12
2 3
minω
max z
表2，直接去看是原问题，将它转900看便是对偶问题。当 然，对偶是相互的，若把表转900看成是问题，则原表亦可 看成是相应的对偶问题。
§2原问题与对偶问题的对应关系（1）
1、原问题表达式(结合实例)，不对称 例如，给定一线性规划为
(约束)
x10，x2 0， x3 0
1、问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多 少件才能获得最大利润？试列出相应线性规划数学模型。
yj 0， j=1,2,3,4
（定价必为正） (目标函数，使收费最低)
§1 对偶问题的现实来源（5）
把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会
发现一个有趣的现象。
表2 原问题与对偶问题对比表
甲（x1） 乙（x2）
A（y1） 2 2
B（y2） 1 2
C（y3） 4 0
D（y4） 0 4
= bi
当iI2
其中，I1，I2是整集I中的拆集，I=I1∪I2={1,2,…，m}。
自变量限制xj≥0 当 j J1
J1 J ={1,2,…,n}
若J1为空集，则无符号约束（即自变量无限制） 若J1=J，则所有xj≥0 目标函数
§2原问题与对偶问题的对应关系（7）
则，相应的对偶问题定义为：
令对偶变量 约束条件
则增加剩余变量zi, 使“≥”变为“=”得
xj≥0，zi≥0
§5 线性规划的标准型及其转换（3）
2．若出现xj不限，即－∞<xi<∞,(jJ2) 则令
xj=uj－vj
(jJ2),uj≥0，vj≥0
这样，便使所有约束变为等式，且自变量全大于或等于0。
综合上述，线性规划主要有三种表达形式：便于从实际问
12
8
16
12
2 3
minω
max z
表2，直接去看是原问题，将它转900看便是对偶问题。当 然，对偶是相互的，若把表转900看成是问题，则原表亦可 看成是相应的对偶问题。
§2原问题与对偶问题的对应关系（1）
1、原问题表达式(结合实例)，不对称 例如，给定一线性规划为
(约束)
x10，x2 0， x3 0
1、问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多 少件才能获得最大利润？试列出相应线性规划数学模型。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
算例三
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
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1.1 线性规划(Linear Programming)模型
1.1.1 问题的提出
产品甲 产品乙
生产能力 (小时)
设备A
7
3
210
设备B
4
5
200
设备C
2
4
180
计划利润 (元/件)
70
65
目标函数 约束条件
max z 70x1 65x2
7x1 3x2 210
s.t.
4 2
x1 x1
5x2 4x2
200 180
x1, x2 0
设：产品甲生产x1，产品乙生产x2
目标：Max z=70x1+65x2 约束条件：
设备A生产能力限制：7x1+3x2≤210
设备B生产能力限制：4x1+5x2≤200
设备C生产能力限制：2x1+4x2≤180 产量非负限制： x1，x2≥0
决策变量
三要素：
决策变量
1.决策变量 2.目标函数
n
（2）集合形式： Max(Min)Z c j x j
s.t.
n j 1
aij x j
j 1
(或 ，）bi (i
1, 2,
, m)
x
j
0(
j
1, 2,
, n)
n
（3）向量形式： Max(Min)Z c j x j
s.t.
n j 1
pjxj
(或
j 1
，）b
x j 0( j 1, 2,
第1章 线性规划及对偶问题
课时：8学时 主讲：关文忠
教学要求与主要内容：
教学要求： 通过本章的学习，了解线性规划及其对偶问题的基本理论；
掌握线性规划求解的基本方法——单纯形法,了解对偶单 纯形方法，熟悉灵敏度分析的方法；会建构线性规划模型， 并会用“规划求解”模板进行求解。 主要内容： 1.1 线性规划模型 1.2 线性规划求解基本方法 1.2.1 图解法 1.2.2 单纯形法简介 1.3 线性规划对偶问题 1.4 线性规划应用举例 本章小结
4.决策变量为自由变量:
令x j u v u 0, v 0
5.约束右端项为负:
两端乘-1:
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
【例4】将线性规划模型转化为标准式
MinZ 3x1 5x2 x3
4
3
X4
x5
Min z=2x1+6x2+5x3+4x4+3x5
0.50x1+2.00x2+3.00x3+1.50x4+0.80x5≥85
0.10x1+0.06x2+0.04x3+0.15x4+0.20x5≥5
0.08x1+0.70x2+0.35x3+0.25x4+0.02x5≥18
x1~x5≥0
由决策变量、目标函数和约束条件构成的问题称为规划问题，如果决策变量为可
, n)
（4）矩阵形式：
a1 j
pj
a2 j
,
(
j
1, 2,
, n)
b1
b
b2
amj
bm
Max(Min)Z CX
x1
a11 a12
a1n
AX (或 ，）b
s.t.
X 0
C (c1, c2 ,
X
x2
, cn )
xn
A a21 am1
a22 am2
a2n amn
【例3】 将线性规划模型一般表达式化为矩阵形式。
MaxZ 70x1 65x2
7x1 3x2 210
s.t.
42xx11
5x2 4 x2
200 180
x1 0, x2 0
解:
MaxZ
(70, 65)
x1 x2
7 3
210
4 2
5 4
x1 x2
200 180
设: X (x1, x2 )T
a1n xn (或 ，）b1 a2n xn (或 ，）b2
amn xn (或 ，）bm
xj ( j 1, 2, , n) cj ( j 1, 2, , n)
——决策变量； ——目标函数系数、价值系数或费用系数；
bi (i 1, 2, , m) ——右端项或资源常数；
aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ——称为约束系数或技术系数。
C (c1, c2 ) (70, 65)
a11 a12 7 3
A a21
a22
4
5
a31 a32 2 4
b1 210
b
b2
200
b3 180
MaxZ CX
s.t
AX X 0
bபைடு நூலகம்
1.1.3 线性规划标准形式
线性规划标准模型的一般表达式：
MaxZ c1x1 c2x2 cn xn
j 1
j 1
2.约束条件为不等式:
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 引进松驰变量xs:
ai1x1 ai2 x2 ain xn xs bi
3.约束条件为不等式:
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi 引进剩余变量xs:
ai1x1 ai2 x2 ain xn xs bi
3.约束条件
1.1.2 线性规划模型
1.适用条件： （1）优化条件:问题目标最大化、最小化的要求； （2）约束条件:问题目标受一系列条件的限制； （3）选择条件:实现目标存在多种备选方案； （4）非负条件的选择:根据问题的实际意义决定是否非负。 2. 构建线性规划模型的步骤 （1）科学选择决策变量 （2）根据实际问题的背景材料，找出所有的约束条件 （3）明确目标要求 （4）确定是否增加决策变量的非负条件
例2
饲料 营养甲(克/公斤) 营养乙(克/公斤) 营养丙(克/公斤) 成本(元/公斤) 设
1 2 3 4 5 需要
0．50 2．00 3．00 1．50 0．80 85克
0．10 0．06 0．04 0．15 0．20 5克
0．08 0．70 0．35 0．25 0．02 18克
2
X1
6
X2
5
X3
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ≥0
s.t.
a21x1
a22
x2
a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2, xn 0
非标准形式标准化方法：
1.目标函数
令Z ' Z
n
MinZ c j x j j 1
n
n
MaxZ ' c j x j (c j )x j
控连续变量，目标函数和约束条件则是决策变量的线性函数，则称为线性规划问
题。（P12例1.3）
3. 线性规划模型表示形式
（1）一般形式：
Max(Min)Z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12 x2
s.t.
a21x1
a22
x2
am1x1 am2 x2
x1, x2, , xn 0