北师大版数学必修二课件：空间图形的基本关系与公理
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高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理
理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； 无数条直线． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
B
（2）点在平面外
记作： 点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作： 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l
A
a
a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1， 判断下 列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无 数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；
北师大版高中数学必修2空间图形的公理_课件6
2．公理4是证明两直线平行的重要方法，应用的关键 在于寻找与所证直线平行的“中间直线”．
图 1－4－10 已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AA1、 CC1 的中点，如图 1－4－10 所示．求证：BF ED1.
【证明】 如图所示，取 BB1 的中点 G.连接 GC1、GE. ∵F 为 CC1 的中点，∴BG C1F. ∴四边形 BGC1F 为平行四边形．
【思路探究】 观察图形→证明MN∥A′C′ 且MN≠A′C′
【自主解答】 如图，连接 AC.
∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN
1 2AC.
由正方体的性质可知 AC A′C′，∴MN 12A′C′，
∴四边形 MNA′C′是梯形．
1．解答本题易出现“只证MN∥A′C′”，而忽视 “证明MN≠A′C′”的错误．
图1－4－12
【证明】 ∵E、F、G 分别是正方体的棱 CC1、BB1、DD1 的中点，
∴CE GD1，BF GD1， ∴四边形 CED1G 与四边形 BFD1G 均为平行四边形．
∴GC∥D1E，GB∥D1F，
∵∠BGC 与∠FD1E 的方向相同， ∴∠BGC＝∠FD1E.
求异面直线所成的角
如图1－4－13所示，空间四边形ABCD中，AB ＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB 所成的角．
【自主解答】 连结 EE1，∵E，E1 分别是 AD，A1D1 的 中点，∴A1E1 AE，
∴四边形 A1E1EA 为平行四边形，
∴A1A E1E. 又 A1A B1B， 由公理 4 知 B1B E1E， ∴四边形 E1EBB1 为平行四边形，
∴E1B1∥EB.
同理 E1C1∥EC.
图 1－4－10 已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AA1、 CC1 的中点，如图 1－4－10 所示．求证：BF ED1.
【证明】 如图所示，取 BB1 的中点 G.连接 GC1、GE. ∵F 为 CC1 的中点，∴BG C1F. ∴四边形 BGC1F 为平行四边形．
【思路探究】 观察图形→证明MN∥A′C′ 且MN≠A′C′
【自主解答】 如图，连接 AC.
∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN
1 2AC.
由正方体的性质可知 AC A′C′，∴MN 12A′C′，
∴四边形 MNA′C′是梯形．
1．解答本题易出现“只证MN∥A′C′”，而忽视 “证明MN≠A′C′”的错误．
图1－4－12
【证明】 ∵E、F、G 分别是正方体的棱 CC1、BB1、DD1 的中点，
∴CE GD1，BF GD1， ∴四边形 CED1G 与四边形 BFD1G 均为平行四边形．
∴GC∥D1E，GB∥D1F，
∵∠BGC 与∠FD1E 的方向相同， ∴∠BGC＝∠FD1E.
求异面直线所成的角
如图1－4－13所示，空间四边形ABCD中，AB ＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB 所成的角．
【自主解答】 连结 EE1，∵E，E1 分别是 AD，A1D1 的 中点，∴A1E1 AE，
∴四边形 A1E1EA 为平行四边形，
∴A1A E1E. 又 A1A B1B， 由公理 4 知 B1B E1E， ∴四边形 E1EBB1 为平行四边形，
∴E1B1∥EB.
同理 E1C1∥EC.
北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)
条直线叫作相交直线，记作 a∩b＝P.
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
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3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
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提示
课堂互动探究
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课堂合作研究
随堂基础巩固
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例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
课后课时精练
提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
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随堂巩固训练
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提示
2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
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4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
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3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
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提示
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例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
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提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
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提示
2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.
1412《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(123)》(北师大版必修2)PPT课件
三、解答题（每题8分，共16分） 7.（2010·西安高一检测）正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长 为8 cm，M,N,P分别是AB,A′D′,BB′棱的中点. （1）画出过M,N,P三点的平面与平面A′B′C′D′及平面 BB′C′C的交线，并说明画法的依据； （2）设过M,N,P三点的平面与B′C′交于点Q，求PQ的长. 【解析】（1）如图，延长MP、 A′B′相交于点E，连接NE,交 B′C′于点Q，连接QP，则NE为 平面MNP与平面A′B′C′D′的 交线，PQ为平面MNP与平面 BB′C′C的交线.
【解析】由公理1知（1）正确；由公理3知（2）正确.由公理 2知（4）正确.对于（3），若l α,则有可能l∩α=A.此时 A∈l,也有A∈α.故（3）不正确. 答案：3
6.如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线GH、MN是异面直线的图形是______.
【解析】①中GH∥MN,②中MN与GH异面，③中MN与GH 相交，④中MN与GH异面. 答案：②④
2.a，b是异面直线，b,c是异面直线，则a、c的位置关系
是( )
（A）相交、平行或异面
（B）相交或平行
（C）异面
（D）平行或异面
【解析】选A.如图所示在正方体中，
a与b异面，直线c可在图中c1、c2、 c3三个位置,与a分别平行、异面、 相交.
3.平面α∩平面β=l,点A∈α,B∈α,C∈β,且C l,AB∩l=R,
理由：∵E∈直线MP， 且E∈直线A′B′,∴E∈平面MNP， 且E∈平面A′B′C′D′,易知，N∈平面MNP， 且N∈平面A′B′C′D′，所以，NE为平面MNP与平面A′B′C′D′ 的交线，显然，PQ为平面MNP与平面BB′C′C的交线; （2）由已知和（1）得MB=B′E=4 cm,又△EB′Q∽△EA′N，
高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)
自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)
Ï 如图①，B∈b,Ba.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①，
思考交流 1.观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、 线、面的位置关系的例子. 2.观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面 的位置关系.
探究点2：空间图形的公理 思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
§4空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、 面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间 图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的 基本构成----点、线、面的基本位置关系.（难点） 2.掌握空间图形的三个基本公理.（重点）
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．
高中数学第一章4空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3课件北师大版必修2
考点三 点共线问题 [典例] 已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分 别交平面 α 于 P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R 三点共线．
[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.∴由公理 3 可知， 点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上．同理可证 Q，R 也在 平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P，Q，R 三点共线．
第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3
一、预习教材·问题导入 预习课本P22～25，思考并完成以下问题
(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？ (2)空间图形的公理 1，公理 2，公理 3 的内容是什么？各有
什么作用？
二、归纳总结·核心必记
1．空间中点、线、面的位置关系 (1)点与直线的位置关系 ①点B在直线l上： B∈l ； ②点B在直线l外： B∉l . (2)点与平面的位置关系 ①点A在平面α内：A∈α ； ②点B在平面α外： B∉α . [点睛] 通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直 线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于 将图形视为点集．
2．空间图形的公理
公理
内容
过不___在__一__条__直__线___上_
公理1 的三点，有且只有 一个平面
如果一条直线上的
公理2
_两__点___在一个平面 内，那么这条直线
在此平面内
图形
符号
作用
A，B，C三点 用来确 不共线⇒存在
定一个 唯一的α使 平面 A，B，C∈α
A__∈__l，B∈l， 且A∈α，B∈α
[点睛] 公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．
三、基本技能·素养培优
北师大版4.2空间图形的基本关系与公理精品课件
18
空间四边形的有关概念： （1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
19
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
想一想：下图中有那些异面直线？
D A C
B
D’
C’
A’
B’
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
16
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
4
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
思考一 1.直线a,b相交吗？ 不相交 2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？
不平行
a'
a b
b'
找不到一个平面使得 3. 能否找到一个平面, 直线a,b在 使得a,b两条直线都在这个平面内？ 同一共面内！
)
当堂练习2：列图形中不一定是平面图形的（ ）
A、三角形 C、梯形
B、菱形 D、四边相等的四边形
25
当堂练习3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段 所成的角： 1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1. 1）AB与CC1所成的角 等于90° 2）A1 B1与AC所成的角 等于45° 3）A1B与D1B1所成的角 等于60°