第14章 弹簧
《大学物理》第14章 振动
a = - 2A cos (t + ) = 2A cos (t + + )
加速度超前位移 amax = 2A = (k/m)A
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相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
其中v为物体 m 距平衡位置 x 处的速度。 忽略摩擦，总机械能 E 保持不变。随着 物体来回振动，势能和动能交替变化。
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§ 14-3简谐振动的能量
在x = A 和 x = - A处，v = 0,
E = m(0)2/2 + kA2/2 = kA2/2 (14-10a) 简谐振子的总机械能正比于振幅的平方。
dx/dt = - A sin (t + ) d2x/dt2 = - 2 A cos (t + ) = - 2 x
0 = d2x/dt2 + (k/m) x = - 2 x + (k/m) x
(k/m - 2) x = 0 只有当 (k/m - 2) = 0 时，x不为零。因此
a = - (410 m/s2) cos(1650t). (c) 在t = 1.0010-3 s 时刻
x = A cos t
= (1.510-4 m) cos[(1650 rad/s)(1.0010-3 s)]
= (1.510-4 m) cos(1.650 rad/s) = -1.210-5 m.
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§ 14-1 弹簧的振动
例题 14-1 汽车弹簧。当一个质量为200公斤的 一家四口步入一辆总质量为1200公斤的汽车 里，汽车的弹簧压缩了3厘米。(a) 假设汽车 里的弹簧可视为单个弹簧，弹簧劲度系数为 多少？ (b) 如果承载了300公斤而不是200公 斤，则汽车将下降多少厘米？
第14章 虚位移原理_例题
弹簧原长 (600 300 )mm
弹簧后来长
(600
300 cos
)mm
弹簧缩短
(
300 cos
300 )mm
弹簧力 F
k
(
300
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱcos
300 )
由虚 位移原理：
M • F •ra F •rB 0 M Frr 0 0
[M
1.5(
1 cos
1)
0.3
sin cos2
0] 0
解： 对系统：建立坐标系和受力分析 解析法：
yK 6l sin yK 6l cos (1)
虚功方程：M W 6l cos 0 (2)
所以： M 6Wl cos
例6： 书14-5
当OC绕轴O摆动时，滑块A沿曲柄滑动，从而带动杆AB在导槽
内移动，不计各构 件自 重与各处摩擦。OC a，OD l
rB 2a (2)
列虚功方程：
M PrD FBxrB 0
(3)
将（1）（2）代入（3），得：
M Pa FBx 2a 0
FBx
1 M 2 a
P
（2）求B 铰的垂直约束力： 解除B 铰的垂直约束，代之以垂直力 FBy 。 杆BCD 的速度瞬心在A
rD 5a
rB 2a
M PrD
F
、F
给出力
P
、
F
处的虚位移 rD、rB
几何法： rC cos rD
C
rC cos(90 2 ) rB cos
A
θ
θ rC D F
Fθ
rB
B
由虚功原理 PrD FrB 0 0
PrC cos F 2sinrC 0 (P cos 2F sin )rC 0
第14章作业分析2007
(2) a点，；
b点，，；
c点，，；
d点，，；
e点，，
(3)各状态的旋转矢量图
分析：这两个题都是第三小问的图出现问题，大多数同学做错！
14.8一质点作简谐振动的振动曲线即部分数据如图，求质点的振动方程。
从振动曲线可知，振幅A=2cm，
在t=0时，位移，初速度(斜率)，故初相
在t=0.5s时，位移，速度(斜率)，故相位，
在t=0到t=0.5s过程中，由，有
故振动方程为
分析：很多同学最后的结果不带单位
14.11一个小球和轻弹簧组成的系统，按
m
的规律振动。
(1)求振动的最大速度及最大加速度；
(2)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
，故最大速度
，故最大加速度
分析：结果书写规范
14.13作简谐振动的小球，速度最大值为vm，加速度最大值为am，若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间，
(1)求振动的周期；
(2)求振动的振幅；
(3)写出振动表达式。
解：(1)振动角频率 ，故周期 ；
(2)ห้องสมุดไป่ตู้动的振幅 ；
(3)按题意
故振动方程为
14.18有一轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸长量为4.9cm。将此弹簧和一质量为80g的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度 。试求振动的周期及振动表达式。
(1)求球受的重力。(提示：球只受其所在处的球面以内的地球质量的引力作用。)
(2)证明球在隧道内在重力作用下的运动是简谐振动，并求其周期。
解：(1)小球在地面受重力_ EMBED Equation.3 ___，小球在x处受重力_ EMBED Equation.3 ___
2020版新一线高考物理(人教版)一轮复习教学案：第14章 第1节 机械振动 含答案
第1节机械振动知识点一| 简谐运动的特征1．简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型[(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。
(×)(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。
(3)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。
(√)简谐运动的“五个特征”1．动力学特征：F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x 、F 、a、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征(1)相隔T 2或(2n ＋1)2T (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。
5．能量特征：振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
[典例] (多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O 点为中心点，在C 、D 两点之间做周期为T 的简谐运动。
结构力学教案 第14章 结构的稳定计算
P第十四章 结构的稳定计算14.1 两类稳定问题概述一、结构设计应满足三方面的要求1、强度2、刚度3、稳定性。
二、基本概念1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称“失稳”。
工程中由于结构失稳而导致的事故时有发生，如加拿大魁北克大桥、美国华盛顿剧院的倒塌事故，1983年北京某科研楼兴建中的脚手架的整体失稳等，都是工程结构失稳的典型例子。
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。
3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
三、结构失稳的两种基本形式1、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。
2、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。
c rc r14.2 确定临界荷载的静力法和能量法一、静力法1、临界状态的静力特征（1）体系失稳前在弹性阶段工作a 、应力、应变成线性关系。
b 、挠曲线近似微分方程成立。
（2）静力特征临界荷载具有“平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状态过渡到不稳定状态的极限状态。
2、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。
3、步骤：（1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。
（2）列静力平衡方程。
（3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳定方程。
（4）解稳定方程，求临界荷载。
4、举例 试求图示结构的临界荷载。
x解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）：2、图解法：以αl 为自变量，分别绘出z= αl 和 z=tg αl 的图形，求大于零的第一个交点， 确定αl 。
取最小根αl =4.493例14−1 图14−6（a ）所示一端固定、一端自由的杆件，BC 段为刚性，A B 段弯曲刚度为EI 。
试建立临界荷载的稳定方程。
解：任一截面的弯矩为稳定方程为展开次行列式得((二、能量法1、用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）（1）三种平衡状态a 、稳定平衡： 偏离平衡位置，总势能增加。
第十四章 弹簧
F D2/2
压缩弹簧最大切应力
max
8CF K d 2
F D2 2
T'' N
M A
Q F B
T=F D2 2 m d F n
剖面B-B
K——曲度系数
4C 1 0.615 K 4C 4 C
A
F
max=K =F+T T F
BB
m
n
三、弹簧的刚度计算
有关因素
许用应力
弹簧类型、材料、钢丝直径、载荷性质
注: 弹簧材料的许用扭转切应力 [] 和许用弯曲应力 [b] 的大 小和载荷性质有关，静载荷时的 [] 和 [b] 较变载荷时的大。
二、弹簧制造
弹簧是由板材、棒材、线材或者管材经过各种塑性加工而形 成所需要的形状。 螺旋弹簧是用弹簧丝卷绕制成的，由于制造简便，所以应用 最广。在一般机械中，最常用的是圆柱螺旋弹簧。 螺旋弹簧的制造过程主要包括：
解： （1） 选材料，确定许用应力 [τ]。根据弹簧所受的载荷特性在表14-5中选用
C级碳素弹簧钢丝，则由表14-5可知[τ]=0.5σb 。弹簧钢丝的抗拉强度σb与弹簧钢丝 直径d有关 。先假设d=6mm，查表14-6，则对应的σb=1420MPa。
[τ] = 0.5σb = 0.5×1420MPa = 710MPa
F F1 O 1 d p
D1 D2 D
H0 H1 H2 F3 F max U 2 max 3 H3
等节距圆柱螺旋弹簧的特性曲线
第五节
圆柱螺旋压缩、拉伸弹簧的设计
一、基本参数及其选择
圆柱螺旋弹簧的主要参数有： 弹簧丝直径d、弹簧圈外径D、内径D1、中径D2、弹簧节距p和 螺旋升角α、弹簧指数C（旋绕比） C D2 d 簧工作 圈数 n和自由高度H0、 弹
人教版《第14章_压强和浮力》计算题分类总结及强化练习
压强和浮力计算题分类总结及强化练习【1】固体压强涉及到的公式主要为：F 压=G=mg (水平面) P=F/S m=Ρv f=F 牵（匀速直线运动） V=S/t一、与人或者动物有关的题目，注意：受力面积是一只脚还是两只脚，无论是单脚站立还是双脚站立对地面的压力都不变例1、小理同学的质量为50kg ，他站立在承平地面时，双脚鞋底与地面接触面积约为0．04m 2．求：（1)小理同学的重力；(2)小理同学对地面的压强。
（3）小理同学单脚站立时对地面的压强。
解：已知：m=50kg S 双=0．04m 2 S 单=1/2 S 双=0．02m 2 g=10N/kg (1)G=mg=50kg ×10N/kg=500N(2)F=G=500N P=F/S=500N/0．04m 2=1.25×104 Pa(3)方法一： 由于小理同学单脚站立时，重力未变，压力也没变即F=500N/ 0．02m 2 =2.5×104 Pa 方法二：由于小理同学单脚站立时，重力未变对地面的压力也没变，即：P 单/P 双=S 双/S 单 P 单/1.25×104 Pa =0．04m 2//0．02m 2 P 单=2.5×104 Pa例2、一头大象的质量为3t ，大象一只脚掌与地面接触面积为0.2 m 2，求：（1)该大象的重力（2）大象抬起一只脚对地面的压力和压强二，与物体有关的考题例1、建设工地的压桩机常会用到一种如图12所示长方体混凝土块。
求：(1)混凝土块的体积。
(2)混凝土块的质量。
（3）混凝土块受到的重力。
(4)混凝土块平放时对地面的压强。
(混凝土的密度为2.8×103kg/m 3)例2、杨丹同学对实验室的显微镜发生了浓厚的兴趣，他用台秤测量出它的质量为2kg ，用直尺测量并经过简单计算得出它的底面积为0.04m 2，当显微镜放在水平桌面上时．求：(1)显微镜所受的重力多大?(2)它对水平桌面的压强有多大?三、与车辆有关的题目，注意题目中车轮的受力面积是否是全部车轮的面积例1、我国自行研发的纯电动中巴车的质量约为2000kg ，静止时轮胎与路面接触的总面积约0.2m 2，以30m/s 的速度沿水平路面匀速行驶时牵引力为2400N 。
第14章 虚位移原理_例题
，
b
b kb x d (1) 故弹簧力 T k x d a a a
当 AC 有： x x a , l b
b a 时，弹簧长度为l ：
l b a b xdFra bibliotek 3、给虚位移 x C 、 求各虚位移间的关系(解析法简单)
2、正确进行受力分析： 画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦
力和待求的约束反力或内力。
3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。 可以用几何法(几何或物理关系、瞬心法、虚位移投影法)； 也可以用解析法(写出坐标约束方程进行变分)。
4、应用虚位移原理建立方程。
5、解虚功方程求出未知数。
选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。
re
300 cos
300 sin cos
2
rr re tan
ra re
rB
F
rr
去掉弹簧，暴露出弹簧力 F 和 F
弹簧原长 ( 600 300 ) mm 300 弹簧后来长 ( 600 cos ) mm 300 弹簧缩短 ( cos 300 ) mm
C A θ
θ D F Fθ
rD
rC
B
rB
P
应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点： 1、正确选取研究对象： 以理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。 若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计
入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。
若要求解约束反力(或内力)，需解除相应的约束，代之以 约束反力，并计入主动力(或暴露出内力) 。应逐步解除约束， 每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动 力，增加一个自由度。
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14.2 弹簧的材料和制造
14.2.1 弹簧材料
材料要求——具有较高的弹性极限、疲劳极限、冲击韧性、 塑性和良好的热处理工艺性等，冷拔钢有均匀的硬度和良 好的塑性。
SEU-QRM
14.3.6 受静载荷弹簧的设计计算
① 选择簧丝材料，弹性模量G就确定了。 ② 根据弹簧的空间条件初步选择弹簧的中径D2 。 ③ 参考表14.6初步确定弹簧指数C与弹簧丝直径d 。
注意两点：第一，C 、d 两个参数是同时确定的， 第二，初步选择弹簧指数C时，宜在表14.6中取居中的数值。 ④ 计算弹簧工作圈数n，继而算出 其他参数。 ⑤ 如果算出的弹簧圈数n符合产品的空间条件，弹簧参数的选 择即告完成； 若出现矛盾，适当调整弹簧指数C等参数，再试算一二次， 即可符合要求。
曲率和切向力对扭应力的影响。
K 0.615 4C 1 C 4C 4
一定条件下簧丝直径
KFC d 1.6
SEU-QRM[ T ]
A
D2/2
14.3.4 弹簧的变形和刚度
8FD23n 8FC 3n
Gd 4
Gd
n——弹簧的有效圈数； G——弹簧的切变模量，表14.2
弹簧的圈数及刚度分别为
SEU-QRM
14.3.5 弹簧的稳定性计算
长径比b(=H0/D2)小于下述值时 视为稳定： 弹簧两端均为回转端时b≤2.6； 均为固定端时b≤5.3； 一端固定而另一端回转时b≤3.7。
nt (n0 n 1)d ground
nt (2n 1)d 两端并紧不磨平
H0 td
D D2
D1
弹簧螺旋升角(pitch angle)——
通常取=5~9
弹簧丝长度(entire length)——
SEU-QRM
tan1
t
D2
L D2n0 cos
21
14.3.2 弹簧特性曲线 按照结构型式不同，常见的弹簧特性曲线有四种。
弹簧的特性曲线应绘制在弹簧的工作图上，作为检验与试 验的依据之一。同时还可在设计弹簧时，利用特性曲线进22 行载荷与变形关系的分析。
SEU-QRM
压 缩 弹 簧 的 特 性 曲 线
SEU-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱRM
螺
旋
拉
伸
弹
簧
的
特
性
曲
线
SEU-QRM
14.3.3 弹簧的受力和应力
T WT
FQ A
FD2 / 2 F
钢是最常用的弹簧材料。
当受力较小而又要求防腐蚀、防磁等特性时，可以采用有 色金属。
此外，还有用非金属材料制做的弹簧，如橡胶、塑料、软 木及空气等。
SEU-QRM
16
20.2.3 弹簧制造
螺旋弹簧的制造工艺过程——①绕制；②钩环制造；③端部 的制作与精加工；④热处理；⑤工艺试验等，重要的弹簧还 要进行强压处理。
螺旋弹簧的绕制方法——冷卷法与热卷法 冷卷——簧丝直径d8mm。卷成后只须低温回火以消除内 应力。 热卷——簧丝直径较大(d>8mm)。卷成后必须进行淬火、中 温回火等处理。
为提高弹簧的承载能力，可强压处理(受载6～48h)。
对于重要的弹簧，还要进行工艺检验和冲击疲劳等试验。
SEU-QRM
SEU-QRM
D D2
D1
SEU-QRM
H0 td
H0 td
D2
D1 D
弹簧的自由长度(free length) ——
H0 n n0 0.5d
nt (n0 n 0.5)d nt (2n 0.5)d
Both ends closed and ground
两端并紧磨平
H0 n n0 1d
Closed ends, not
主要弹簧材料及其使用性能——表14.2 许用应力与B有关
实践中应用最广泛的材料——弹簧钢，其品种又有碳素弹 簧钢、低锰弹簧钢、硅锰弹簧钢和铬钒钢等。
碳素弹簧钢丝的抗拉强度极限, B——表14.3 与弹簧丝直
径d有关
SEU-QRM
14.2.1 材料选择
应考虑的因素——弹簧的用途、重要程度与所受的载荷性 质、大小、循环特性、工作温度、周围介质等使用条件， 以及加工、热处理和经济性等，以便使选择结果与实际要 求相吻合。
圆柱压簧端部形式
A variety of end treatments or Types of ends——
Plain ends ground. 磨平
(端部并紧不磨平)
Both ends squared.
Closed and
ground ends. 端部并紧磨平
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14.3 圆柱螺旋压缩和拉伸弹簧的设计
n Gd 4 Gd
8FD
3 2
8FC 3
k F Gd 4 Gd
8D23n 8C 3n
SEU-QRM
讨论： ① 在D2 、d相同时，弹簧刚度k与有效圈数n成反比，即圈数越少 弹簧越“有劲”，而圈数越多 的弹簧越“软”。 ② 在D2 、n相同时，弹簧刚度k与簧丝直径的四次方d4成正比。因 此，簧丝直径只有少许增加，弹簧刚度就有相当大的提高。 ③ 在d 、n相同时，弹簧刚度k与弹簧中径的三次方D23成反比。因 此，弹簧中径略有增加，弹簧刚度就会有可观的下降。
14.3.1 圆柱弹簧的参数及几何尺寸
圆柱弹簧的主要尺寸——
弹簧丝直径(wire dia.), d 弹簧圈外径(outside dia.), D 弹簧圈内径(inside dia.), D1 弹簧圈中径(mean dia.), D2 节距(pitch), t
螺旋升角(pitch angle),
自由长度(free length), H0
d 3 / 16 d 2 / 4
8FD2
d 3
1
1 K 2C
8FD2
d 3
[ T ]
C=D2/d ——旋绕比是最重要的参数之一。
max
C愈小，其刚度愈大，弹簧愈硬，弹簧内 外侧的应力相差愈大，材料利用率低；反 之弹簧愈软。常用弹簧指数的选取参见表 14.6。
引入曲度系数K——考虑了弹簧丝
第14章 弹簧
Springs
14.1 14.2 14.3
概述 弹簧的材料及制造 圆柱拉簧的设计
SEU-QRM
14.1 概述
SEU-QRM
SEU-QRM
SEU-QRM
弹簧在产品中的应用示例
a)汽车底盘上的叠板弹簧 b)气门弹簧 c)棘轮机构里的片簧 d)条盒转动式发条弹簧 e)电表中的测量弹簧 f)弯片弹簧触点 g)压注油杯 h)油路阀门 i)弹簧夹子