第3章土体中应力计算
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土力学3.土中应力计算
h1
γ1 γ2 γ′3
γ1 h 1
h2
水位面
γ1 h 1 + γ 2 h 2
1.地下水位以上土层 地下水位以上土层 采用天然重度， 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3
三、水平向自重应力
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F + G = pmax × 3 − e b 2 2
p max
2 (F + G ) = l 3 − e b 2
三、基底附加压力 基底附加压力：作用于地基表面， 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
附加应力分布规律 距离地面越深， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大， 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上， →∞， 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加， 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
I o o
III IV II
σ z = (K c Ⅰ− K c Ⅱ − K c Ⅲ + K c Ⅳ ) p
垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解 积 分
σ σ
z1
= K t1 p = K t2 pt
z2
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数， 应力系数，均 为m,n的函数 , 的函数
γ1 γ2 γ′3
γ1 h 1
h2
水位面
γ1 h 1 + γ 2 h 2
1.地下水位以上土层 地下水位以上土层 采用天然重度， 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3
三、水平向自重应力
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F + G = pmax × 3 − e b 2 2
p max
2 (F + G ) = l 3 − e b 2
三、基底附加压力 基底附加压力：作用于地基表面， 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
附加应力分布规律 距离地面越深， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大， 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上， →∞， 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加， 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
I o o
III IV II
σ z = (K c Ⅰ− K c Ⅱ − K c Ⅲ + K c Ⅳ ) p
垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解 积 分
σ σ
z1
= K t1 p = K t2 pt
z2
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数， 应力系数，均 为m,n的函数 , 的函数
第三章 土体中的应力计算(1-3节)
4
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土力学与地基基础-(第三章-土的自重应力计算)
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在初始应力场。初始应力场常与土体自重、 地基土地质历史以及地下水位有关。在工程应用上，计算初始应力场时常 假设天然地基为水平、均质、各向同性的半无限空间，土层界面为水平面。 于是在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
应力泡
一、竖向集中力下的地基附加应力
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
z
F
d
z
3z3
2
p(x, y)dd F ((x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
二、均布矩形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
p c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力
/
2
p0
[1
(r02
z3 z
2
)3
/
2
p 0 [1
(
p0[1 (
1
1
z
] r p0
z3 R5
1
R (r 2 z2 )2 整理得：
z
3P
2 z2
1
1
r z
5
2 2
则：
z
P z2
z
tzyபைடு நூலகம்
tzx txz
tyz
y
tyx
txy
x
M点处的微单元体
令α为附加应力系数,计算时查表
3
2
1
1 r z
2
5
2
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应 力
一、竖向集中力下的地基附加应力
土力学课件 第3章 土中应力分布及计算.
计算如图所示水下地基土中的自重应力分布
水面 a 8m
粗砂 r=19KN/m3 rsat=19.5KN/m3
黏土r=19.３KN/m3 4m rsat=19.４KN/m3 W=20%,WL=55%,WP=24%
b 76KPa 176KPa c 253.2KPa
解：水下的粗砂层受到 水的浮力作用， 其有效重度： r , rsat rw 19.5 10 9.5 KN / m 3 粘土层因为W WP , 所以I L 0, 故认为土层 不受到水的浮力作用， 土层面上还受到 上面的静水压力作用。 a点：Z 0， CZ 0 KPa； b点：Z 8m, 该点位于粗砂层中，
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力 学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学 中则规定剪应力以逆时针方向为正。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
土中的自重应力计算
土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。
自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
二.成层土自重应力计算 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公 式为：
cz i hi
i 1
n
z hi
i 1
n
n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。 成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值 发生变化的土层界面上。
◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的 浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受 到水浮力作用来考虑。
四．存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应 考虑其上的静水压力作用。
第3章-土应力计算
z z1 z 2
2 均布荷载时， p0 2kN / m
2 三角形荷载时， p0max 98 2 96kN / m
35/74
A点附加应力计算表格
均布荷载时 p0=2.000kN/m2 Kz1 3 0.6 0.234 z1 (kN/m2) 0.468 三角荷载时
Z(m)
z
3/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
沿水平面均匀分布，且与z成正比，即随深度 按直线规律分布。
天然地面 σcz
cz
cz z
σcz= z
z
cy
cx
1 1
z
4/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
cz i hi
i 1
n
天然地面
2/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
研究目的：确定土体的初始应力状态。 研究方法：土体简化为连续体，应用连续体 力学(例如弹性力学)方法来研究土中应力的 分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质 均匀，天然重度为 (kN/m3)，则在天然地面下任 意深度z(m)处的竖向自重应力 cz (kPa)可取作用于 该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量 z l 计算 即： cz
p II I z M
III IV
o
III IV
o
II I
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
25/74
均布矩形荷载下任意点的应力计算
计算点在基底边缘 II I
o
o
z K cⅠ KcⅡ p
计算点在基底边缘外
o III I
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
2021/1/5
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa
n
cz1h12h2nhn ihi i1
194.1kPa
第三节 基底压力分布和计算
基底压力：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，也是地 基作用于基础底面的反力，因此又称为地基反力。为计算上部荷载 在地基土层中引起的附加应力，必须首先研究基础底面处接触面的 压力大小与分布情况。
l
l/2-e e>l/6
2021/1/5
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
合力作用线重合
FG1 2pma x32l eb
pmax
2F G
3 l eb
2
三、基底附加压力
• 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加的压力 称为基底附加压力。
• 建筑物建造前，土中早已存在自重应力，天然土层在自重应力作用 下的变形早已结束，只有基底附加应力才能引起地基的附加应力和 变形
有集中力的，但它在土的应力计算中是一个基本公式，应用集中力的解 答，通过叠加原理或者数值积分的方法可以得到各种分布荷载作用时的 土中应力计算公式。
• 集中荷载作用下的附加应力 • 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力
基本解 叠加原理
2021/1/5
砂性土： 应考虑浮力作用。 液性指数 IL >=1 流动状态，自由水，考虑浮力；
粘性土： 液性指数 IL <=0 固体状态，结合水，不考虑浮； 液性指数 0<IL <1塑性状态，难确定，按不利状态。
液性指数 IL <=0，认为是不透水层（坚硬粘土或岩层），对于不 透水层，由于不存在水的浮力，所以层面和层面以下的自重应力按 上覆土层的水土总重计算。
第3章土中应力计算
n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。
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ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij =
x 0xy xz 0yx y 0yz
zx 0zy z
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面;
上次课授课内容回顾：
2.5 土的物理状态指标
1、粗粒土的密实状态指标: 相对密度Dr
引入 定义 判别标准
Dr
emaxe emaxemin
2、细粒土的稠度状态指标: 液性指数IL
稠度状态 土中水的形态
含水量
稠度界限
液性指数 塑性指数
引入 定义 判别标准
IL
w wp wL wp
Ip wLwp
反映粘性土结构性的指标:(1)灵敏度;(2)触变性. A Ip
A
B
cA cB
二. 地基中常见的应力状态 4.侧限应力状态——一维问题
▪应变条件
▪应力条件
y x 0;
xyyzzx0; x y;
xyyzzx0
x E xE yz 0;
xy1zK0z;
▪独立变量 z,z F(z)
K0：侧压力系数
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
0zx 0 zy z
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 有侧限应变条件一维问题
计算：地下水位以上用天然重度； 地下水位以下用浮重度。
天然地面
γz
σcz σcz 线
z
σcz
1
σcz=γz
z
1.计算公式
均质地基 成层地基
竖直向：cz z
cz W A zA A z
水平向：cxcyK0cz
Δσ
线弹性体
成层土 各向异性
③ 均匀一致各向同性体 （土层性质变化不大时）
E、 与(x, y, z)无关
与方向无关
卸载
εp
εe
理论 ——弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法 ——解析方法优点：简单，易于绘成图表等
加载
ε
3.2 土体自重应力的计算
水平地基中的自重应力:
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
H1 44.0 41.0 3.0 m； cz1 1H1 17.0 3.0 51.0 kPa 2）▽40.0m 处。 H2 41.0 40.0 1.0 m
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
二. 地基中常见的应力状态
1.一般应力状态——三维问题
z
zx
o x
xy
x
y yz
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
z y
应变张量矩阵形式:
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
二. 地基中常见的应力状态 2. 轴对称三维问题
▪应变条件
▪应力条件
z
x y; z
x y; z
zx
xy,yz,zx 0 xy,yz,zx 0
▪独立变量： x y , z ; x y, z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
y
z z
变形。
y 0;
yx yz 0;
zx z
zx
xy
x
zx 0
x xz
y yz
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
▪应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
▪应力条件
y
y
E
E
x
z
0
yxz
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x,z)
zLeabharlann σy3.1 概述z
一. 土力学中应力符号的规定
zx
∞
地基：半无限空间
o
y z
∞
xy
x
y yz
∞
x
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
应力张量矩阵形式
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
- zx
z +
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
第3章 土体中的应力计算
3.1 概述 3.2 自重应力 3.3 基底压力计算 3.4 地基附加应力 3.5 有效应力原理
o
x
y x
z
y
σz
τzx
τzy τxy
τyxτyz Mτxz σx
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
二. 地基中常见的应力状态
3. 平面应变条件——二维问题
垂直于y轴切出的任意断面的几 何形状均相同，其地基内的应力 状态也相同；
o x
沿长度方向有足够长度，
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在x, z平 面内可以变形，但在y方向没有
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
三. 土的应力-应变关系的假定
1、室内测定方法及一般规律
轴对称问题
特殊应力状态
一维问题
常规三轴试验 侧限压缩试验
三. 土的应力-应变关系的假定
2、应力计算时的基本假定
碎散体
非线性 弹塑性
① 连续介质 （宏观平均）
② 线弹性体 （应力较小时）
均质地基
1 (1 2)
2
2
成层地基
【例题 3-1】计算并绘制出地基中的自重应力 σcz 沿深度的分布曲线，其中
1 17.0 kN/m3、 sat1 19.0 kN/m3、 sat2 18.5 kN/m3、 sat3 20.0 kN/m3。
【解】 1）▽41.0m 处（地下水位处）。
2.6 土的压实性
p 0.002
2.7 土的工程分类
St
qu qu
第三章
土体中的应力计算
第三章 土体中的应力计算
地基中的应力状态
应力应变关系
土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系 自重应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
附加应力 基底压力计算 有效应力原理
K0
1
竖直向： cz iHi c z 1 H 12H 23 H 3 ;
γ1
Z γ2
γ3
H 1 水平向： c x c yK 0c zK 0 iH i
H2 思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间 的饱和土层用什么容重？
H3
2. 分布规律
▪自重应力分布线的斜率是容重； ▪自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； ▪自重应力在成层地基中呈折线分布； ▪在土层分界面处和地下水位处发生转折。