数学建模-第七章背包问题.
数学模型——背包问题
写出程序&运行求值
品 需要带走
所带物品 的最大价 值是495 元，箱子 还有 160ml的 剩余空间
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数学模型
装箱问题
题目：
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、 1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必 带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、 190 （单位毫升）．尚有 10 件可带可不带物品，如果不带将在目的地购 买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）．这些物品 的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个 旅行包里．
400+300+150+250+450760+190=2500 那么就把容量为1000和1500的箱子用来装这7件必带物品。 现在问题就转化为了，把10件物品选择性的装在容积为2000的箱子里，
使购买未带商品的钱数最少。 设 Vi表示第i件物品的体积； Pi表示第i件物品的价格； Xi表示是否装入第i件物品(装入：1，不装：0)
i=1,2,...,10
建立模型
现在目标函数就可以写为：max M=
PX
i 1 i
10
i
箱子体积有限：
V X
i 1 i
10
i
≤2000
分别把数据代入，得：
max M=15X1+45X2+100X3+70X4+50X5+75X6+200X7+90X8+20X9+30X10
200X1+350X2+500X3+430X4+320X5+120X6+700X7+420X8+250X9+100X10≤2000 Xi=0, 1
数学建模-第七章背包问题.
ps 1 . 重量超出 ws C , 而此时价值密度值最小的是 w s 1
U 1 是此情形的上界 .
0 1 U max U , U 从而 是 z ( KP) 的上界 . 2
§2
ps Up jU 要证 ，只需 U C 1 0 1 ws 2、 U U1 是显然的； j 1 and 证 U0 U U U1 s 1 1 ps s 1 zopt (C ( KP)) 0 p j C ps 1 C(KP) 的最优解值 U p j w j 1 sC s p j 1 ws 1 p (w C ) s (*)
缺点：需要更多的分支运算 .
第七章 背包问题
考虑 KP 的松弛问题 ：?
x j 0,1 x j 0,1
max
z pj xj
j 1
n
C((KP KP)) s.t.
w x
j 1 j
n
C(KP)如何求解？
j
C
第一个放不下的
0 x j 0,1 1 x j N 1,2,, n j
算法吗？
若
w x
j
j
,
则
xk 1 ，
否则 xk 0 ； step 3 若 k n , 则结束;
s 1
表示不超过 的最大整数.
Go on
第七章 背包问题
Theorem 2.1 的证明 Proof :
*
Go back
( p j 0)
要证 x* x
显然 C(KP) 的最优解必满足
w x
j 1 j
n
j
C
* x 设 是其最优解， 若存在 k s 使 xk 1
数学建模——背包问题——优化
日期：年月日学号：姓名：成绩：
数学模型实验抽测试题
实验抽测内容
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190（单位毫升）．尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）．这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里．
表1 物品相关数据
要求：说明决策变量的含义；建立模型；计算结果并说明结果数据的含义。
背包问题带课程设计
背包问题带课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生理解背包问题的定义，掌握其数学模型及基本概念；2. 学生掌握贪心算法和动态规划在解决背包问题中的应用；3. 学生能够运用所学知识解决实际生活中的优化问题。
技能目标：1. 学生通过分析背包问题，培养逻辑思维能力和问题解决能力；2. 学生能够运用计算机编程实现背包问题的算法；3. 学生学会运用数学工具对问题进行建模和分析。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对计算机科学和数学建模的兴趣，激发探究精神；2. 学生在解决问题过程中，形成合作、分享、尊重他人意见的良好品质；3. 学生通过解决实际问题，增强对科学知识应用于生活的认识，培养创新意识。
课程性质：本课程为信息技术与数学相结合的跨学科课程，以实际问题为背景，培养学生的计算思维和数学建模能力。
学生特点：六年级学生已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对计算机编程有初步了解，对解决实际问题充满好奇心。
教学要求：结合学生特点，注重启发式教学，引导学生主动探究，强调理论与实践相结合，提高学生的动手操作能力和问题解决能力。
在教学过程中，关注学生的情感态度价值观的培养，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
通过本课程的学习，使学生在知识、技能和情感态度价值观方面均取得具体、可衡量的学习成果。
二、教学内容1. 背包问题基本概念：介绍背包问题的定义、分类及数学模型，结合教材相关章节，让学生理解背包问题在实际中的应用。
2. 贪心算法：讲解贪心算法的基本思想及其在求解背包问题中的应用，分析贪心算法的优缺点，并通过实例进行讲解。
3. 动态规划：介绍动态规划的基本原理，讲解如何将背包问题转化为动态规划问题，分析动态规划在解决背包问题中的优势。
4. 编程实践：结合教材内容，引导学生运用编程语言（如Python）实现贪心算法和动态规划解决背包问题，巩固所学知识。
5. 实际案例：分析生活中的背包问题实例，让学生学会运用所学知识解决实际问题，提高问题解决能力。
数学建模背包问题
背包问题背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP 完全问题。
问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W 的前提下，总价值是否能达到V ？它是在1978年由Merkel 和Hellman 提出的一、定义：背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：我们有n 种物品，物品i 的重量为w i ，价格为p i 。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W 。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,ni i i S T w x W =≤∑ {}0,1i x ∈如果限定物品i 最多只能选择b i 个，则问题称为有界背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,n i i i S T w xW =≤∑ {}0,1,,i i x b ∈⋅⋅⋅如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。
二、基本模型的建立方法1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）分类：0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。
特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
1.1 一维背包问题问题：一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。
设有n 件物品可供他选择，编号为1,2,...,n 第i 件物品重量为i w 千克，价值为i p 元，他能携带的最大重量为w 千克。
他应该装入哪几件物品价值最大。
解：引入变量i x ，且设1,(1,2,,)0,i i x i n i ⎧==⎨⎩表示将第种物品装入包中表示不将第种物品装入包于是此问题的数学模型为：1max ni i i f p x ==∑1122.....01,1,2,...,.n n iw x w x w x W S T x i n +++≤⎧⎨==⎩或 1.2 二维背包问题一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V ，并设第i 件物品的体积i v ，问如何携带可使总价值最大。
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法
全国大学生数学建模竞赛赛题基本解法全国大学生数学建模竞赛是中国高校中最具权威和影响力的学科竞赛之一。
该竞赛由教育部、中共中央组织部、中国科学院及其他部门共同主办。
该竞赛旨在促进青年学生对于数学和工程的综合应用，培养学生的创新能力和实践能力。
竞赛模式全国大学生数学建模竞赛一般分为两个阶段：第一阶段为选拔赛，第二阶段为决赛。
选拔赛一般在当年11月份进行，由各高校数学系作为考场。
每个参赛队伍由3名学生组成，比赛时间为两天。
选手可以使用任何工具，比如计算器、软件、读者，但是不得使用互联网。
决赛一般在翌年1月份或2月份举行，由主办单位确定比赛地点。
决赛选手数量有限制，根据各省市选手数量的比例确定。
赛题解法全国大学生数学建模竞赛的赛题涵盖的面非常广，包括应用数学、工程数学、运筹学、优化理论等多个领域。
以下是该竞赛可能出现的赛题及其基本解法：1. 背包问题背包问题是计算机科学和数学中的一个经典问题，指在给定约束条件下，从若干种物品中选择若干件物品装入背包，使得背包能够承载的重量最大或体积最大。
解法：背包问题可以用动态规划、贪心算法、分支定界等算法解决。
2. 最优路径问题最优路径问题也就是指在一个有向加权图中，找到从起点到终点的最短路径或者最长路径。
解法：最优路径问题通常可以用Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法等解决。
3. 线性规划问题线性规划问题是运筹学中的一个重要问题，由一个线性目标函数和多个约束条件组成，目的是找出一组变量，使得目标函数最大或最小，并同时满足全部的约束条件。
解法：线性规划问题可以使用单纯性算法、内点法等算法进行解决。
4. 工程优化问题工程优化问题是指如何在给定资源的限制之下，设计和生产最符合要求的产品或系统。
工程优化问题常常包含多个目标和多个变量，并且这些变量之间具有复杂的相关性。
解法：工程优化问题可以使用遗传算法、蚁群算法、模拟退火等高级优化算法进行解决。
数学建模背包问题
背包问题一、问题的提出有一组物品S ，共有9件，其中第i 件重i w ，价值i v ，从S 中取出一些物品出来装背包，使总价值最大，而不超过总重量的给定上限15kg ，应选取哪些物品，试建立该问题的数二、问题分析与模型的假设这是一个典型的最优化问题，优化目标是总价值最大，决策是决定装哪些物品，而装载物品又受到背包所能承受重量15kg 的限制。
因此可以建立该问题的最优化数学模型，而且是0－1整数规划模型。
设i x 表示是否装载第i 件物品，如果0i x =表示不装载该物品，如果1ix =表示装载该物品()1,2,,9i =。
由于装载物品的总价值最大，目标函数为：123456789max 10453010015090200180300z x x x x x x x x x =++++++++装载的物品不超过总重量的给定上限15kg ，有约束条件：1234567892 2.510654315x x x x x x x x x ++++++++≤0-1变量约束：01,1,2,3,,9.i x i ==或三、模型的建立与求解我们得到该问题的0—1型整数规划模型为：123456789max 10453010015090200180300z x x x x x x x x x =++++++++1234567892 2.510654315;01,1,2,3,,9.ix x x x x x x x x x i ++++++++≤⎧⎨==⎩或 用数学软件Lingo 求得最优解为： 1235647890, 1.x x x x x x x x x =========最优值 z =780。
所以，选取第4, 7, 8, 9件物品时，总价值最大，最大总价值为780元。
Lingo 程序代码如下：max=10*x1+45*x2+30*x3+100*x4+150*x5+90*x6+200*x7+180*x8+300*x9; 2*x1+x2+x3+2.5*x4+10*x5+6*x6+5*x7+4*x8+3*x9<=15;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);@bin(x6);@bin(x7);@bin(x8);@bin(x9);。
任何背包问题状态转移方程
任何背包问题状态转移方程什么是背包问题？背包问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和数学领域被广泛研究和应用。
背包问题的基本形式是：给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值，在限定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化。
背包问题有多种变种，其中最常见的是0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
这些问题的区别在于物品是否可以被分割、是否可以重复选择以及每个物品的可选数量是否有限制。
0/1背包问题0/1背包问题是最基本的背包问题之一。
在这个问题中，每个物品要么被选择放入背包，要么不被选择放入背包，不能选择部分放入。
每个物品有自己的重量和价值，背包有一个固定的容量限制。
目标是找到一种选择方案，使得背包中物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量限制。
状态转移方程0/1背包问题可以使用动态规划的方法来解决。
动态规划是一种将问题分解为子问题，并保存子问题的解以避免重复计算的方法。
假设有n个物品，背包的容量为C，物品的重量分别为w1, w2, …, wn，物品的价值分别为v1, v2, …, vn。
令dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能达到的最大价值。
对于第i个物品，有两种选择：放入背包或不放入背包。
如果选择放入背包，那么背包中的总重量将增加wi，总价值将增加vi；如果选择不放入背包，背包中的总重量和总价值不变。
因此，可以得到状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)其中dp[i-1][j]表示不选择第i个物品时的最大价值，dp[i-1][j-wi] + vi表示选择第i个物品时的最大价值。
代码实现下面是使用Python编写的0/1背包问题的动态规划解法：def knapsack_01(weights, values, capacity):n = len(weights)dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for j in range(1, capacity + 1):if weights[i-1] <= j:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[n][capacity]其中，weights是物品的重量列表，values是物品的价值列表，capacity是背包的容量。
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j 1 s 1
最优解值为
j N 1,2,, n
第七章 背包问题
极大（小）化问题
上（下）界 §2 背包问题的分支定界法
分支定界法 ( Branch and Bound Method ) 的基本 思想在运筹学课程中已介绍，它的重要在于它提出了一
类新的思路（隐枚举法），使得许多原来不好解决的问
题有了解决的可能性。（具有普适性） 这两个原则不易统一，所以可选择不同的松弛问题 △ 确定问题（子问题）的最优值的界 通常是通过求解松弛问题，用松弛问题的解作为界 Note : 松弛问题选择的原则 1、松弛问题要与原问题的最优值尽量接近； 2、松弛问题要尽量容易解 .
max z
jN N
x j y j p j p j w j wj
则原问题化为：
p j yj
jN N 1
pj
s.t.
jN N
wj yj C
jN N 1
wj
y j 0 or 1,
j N N
§1
背包问题的描述
缺点：需要更多的分支运算 .
第七章 背包问题
考虑 KP 的松弛问题 ：?
x j 0,1 x j 0,1
max
z pj xj
j 1
n
C((KP KP)) s.t.
w x
Hale Waihona Puke j 1 jnC(KP)如何求解？
j
C
第一个放不下的
0 x j 0,1 1 x j N 1,2,, n j
j 1 j 1
j N 1,2,, n
y j 0 or 1
n
j N 1,2,, n
令
q wj C
j 1
min
s.t.
u pj yj
j 1
j
n
该问题的实际意义 是求不放在包中的物
w
j 1
n
yj q
品的价值和最小 .
y j 0 or 1
( General Knapsack Problem )
j N 1,2,, n
第七章 背包问题
为讨论方便，总可假定（相当于标准化）：
1、wj 0, p j 0
j 1 ~ n；
2、 wj C
3、
j 1~ n;
实际问题 并非满足
wj C
j 1
n
pn p1 p2 4、 w1 w2 wn 即按价值密度从大到小排列.
§2
背包问题的分支定界法
△ 划分方法的选择 原则是希望分出来的子问题容易被查清，可加快计算 . △ 选哪个活问题先检查 1、先检查最大上界（极大化问题）的活问题 优点：检查子问题较其他规则为少； 缺点：计算机储存量较大 选择的不同，提供了发挥的余地 . 2、先检查最新产生的最大上界的活问题
优点：计算机储存量较少 ；
此时，最优解中 x j 0 所以，该物品事先可去掉;
令 N 1 j N p j 0, w j 0
此时，最优解中 x j 1 所以，该物品事先可去掉;
第七章 背包问题
(3) 若 p j 0 且 wj 0
令 N j N p j 0, w j 0
§1
背包问题的描述
KP Z NP C重量 w
j
背包问题的数学模型：
max
z pj xj
j 1
n
pj Z
CZ
价值 容量
( KP )
s.t.
w x
j 1 j
n
j
C
x j 0 or 1
j N 1,2,, n
因为决策变量 x j 0 or 1 ,所以也称 0-1 背包问题. 一般背包问题: x j Z 0
只需在模型中，令 x j 1 y j ，则系数即为大于零了. 综上，对不满足（1）、（2）、（3）的假定，可
作如下处理，使之满足：
对 jN 对 jN
令 x j 1 y j p j p j w j w j
N \ (N 0 N 1 N ) 令
§1
背包问题的描述
容量取
对 4 只需 O(nln n)次运算即可； 对3若
C1 C wj
w
j 1
n
j
C
，最优解为 x1 x2 xn 1;
对 2 若 w j C ，则最优解中 x j 0, 事先可去掉; 对 1 分三种情况讨论: (1) 若 p j 0 且 wj 0 (2) 若 p j 0 且 wj 0 令 N 0 j N p j 0, w j 0
方面有应用，而且常以子问题形式出现在大规模优化问
题中，它的理论与算法具有一定的代表性.
§1 背包问题的描述
背包问题的一般描述为：设有物品集 U u1, u2 ,, un
是一个准备放入容量为 C Z 的背包中的 n 项物品的集
合. 如何选择 U 中的一些物品装入背包，使这些物品的 总重量不超过 C ，且使总价值达到最大？
s min j wi C i 1
j
物品的序号
……
思路：将物品按价值密度从大到小的顺序放入包内, 记 —— 关键项
§2
背包问题的分支定界法
Theorem 2.1
C(KP) 最优解为
x j 1 j 1 s 1
xs C ws
x j 0 j s 1 n
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第七章 背包问题
第七章
背包问题
§1 背包问题的描述 §2 背包问题的分支定界法 §3 背包问题的近似算法 §4 0-1背包问题的一些相关问题
第七章 背包问题
物品u j 的重量为 w j Z
价值为 p j Z
背包问题 ( Knapsack Problem ) 是一个有着广泛应 用的组合优化问题，它不仅在投资决策、装载、库存等
n n( KP )
max
如果在（KP）中，令
max
s.t.
j 1 j 1
x j 1 y j
z pj xj
j j
n
Go back
j 模型的意义 1
z p j p j y j s.t.
n n j j j
w x
j 1
n
C
0 or 1 j C w w y x