数学建模第七章作业

第七章作业
1解：
对于不允许缺货的确定性静态库存模型，我们引入了以下记号 Q ~订货量（货物件数）
； *Q ~不允许缺货时的最优订货量；
T ~订货周期长度（单位时间）
； *T ~不允许缺货时的最优订货周期；
r ~需求率（件/时间单位）
； 0p ~每件货物的价格（货币单位/件）
； 1p ~每次订货的固定费用（货币单位）；
2p ~每单位时间每件货物的存货费用（货币单位/（件.单位时间））； C ~每单位时间的总费用；
*C ~不允许缺货时，每单位时间的总费用的最小值；
解得
*1
22p T p r =
（1） *12
2p r
Q p =
（2） *0122C p r p p r =+ （3）
现对上面所求式子做灵敏度分析，先讨论12p p r 、和的微小变化对最优订货策略的影响
（一）的微小变化1p 对最优订货策略的影响
现定义*
T 对1p 的灵敏度**
1
1*
1p (,p )p dT S T d T
= 由（1）得
*122p T p r =
∴ *1121
p 2dT d p p r
=
∴
*
*111*1121
2p 1
1
(,p )0.5
p 24
2p dT S T d T p p r
p p r
==
=
= 这一计算结果可这样解释：如果每次订货的固定费用1p 增加1%，不允许缺货时的最优订货周期*T 就延长0.5%。

定义*
Q 对1p 的灵敏度**
1
1*
1p (Q ,p )p dQ S d Q
= 由（2）得*12
2p r
Q p =
∴ *112
p 2dQ r
d p p =
∴**
111*112
12
p 1
(Q ,p )0.5p 24
2p dQ r
S d Q p p p r p =
==
= 这一计算结果可这样解释：如果每次订货的固定费用1p 增加1%，不允许缺货时的最优订货量*Q 就增加0.5%。

（二）2p 的微小变化对最优订货策略的影响
现定义*
T 对2p 的灵敏度**
2
2*
2p (T ,p )p dT S d T =
由（1）得
*122p T p r =
∴ *
13
22p 2p dT d rp =-
∴**
2
122*3
221
2p 1
(,p )0.5p 24
2p p dT S T d T rp p p r
=
=-=-
=-
这一计算结果可这样解释：如果每单位时间每件货物的存货费用2p 增加1%，不允许缺货时的最优订货周期*T 就缩短0.5%。

现定义*
Q 对2p 的灵敏度**
2
2*
2p (Q ,p )p dQ S d Q =
由（2）得*12
2p r
Q p =
∴ *
13
222p r dQ dp p =-
∴**
2
122*3
2212
p 1
(Q ,p )0.5p 24
2p r p dQ S d Q p p r p =
=-=-
=- 这一计算结果可这样解释：如果每单位时间每件货物的存货费用2p 增加1%，不允许缺货时的最优订货量*Q 就减少0.5%。

（三）r 的微小变化对最优订货策略的影响
现定义*T 对r 的灵敏度**
*
(T ,r)dT r
S dr T
= 由（1）得
*122p T p r =
∴ *
122p dQ dr
p r
=
∴**
1*3
21
21
(,r)0.5242p dT r r S T dr T p r p p r
=
=-=-=-
这一计算结果可这样解释：如果需求率r 增加1%，不允许缺货时的最优订货周期*T 就缩短0.5%。

现定义*Q 对r 的灵敏度*
*
*
(Q ,r)dQ r
S dr Q
=
由（2）得*12
2p r
Q p =
∴ *
122p dQ dr p r
=
∴**
1*212
1
(Q ,r)0.5242p dQ r r S dr Q p r
p r
p =
===
这一计算结果可这样解释：如果需求率r 增加1%，不允许缺货时的最优订货量
*Q 就增加0.5%。

4.解：
假设清洗店每x 天上门收取脏毛巾并换成洗好的干净毛巾，每平均旅馆每天花费的总费用是y ，本题的目标是求y 的最小值，根据题意建立模型
（1）min (1)[600600(1)]
2500.126002502301170x x x
y x x x
-+-+⨯+⨯==++
S.t. 04x <≤
（2）min (1)[600600(1)]
2500.1 1.96002502301110x x x
y x x x
-+-+⨯+⨯==++
S.t. 5x ≥
上面的x 均为正整数，而无论是函数250
301170y x x
=++还是
250
301110y x x
=
++都是在53(0,)3单调递减，在53[,)3+∞上单调递增的函数，我们可以知道：
（1）当x 为04x <≤的整数时，y 的最小值为3x =时的值，此时1343.33y =，此时旅馆每天用于清洗毛巾的平均费用是1343.33元
（2）当x 为5x ≥的整数时，y 的最小值为5x =时的值，此时1310y =，此时旅馆每天用于清洗毛巾的平均费用是1310元。

由于1343.331310>，故选择每5天使用一次清洗店的取送服务，每天平均费用为1310元。

6.解
本题需要确定内、外墙涂料的日产量，所以决策变量可以定义为
12x x ==外墙涂料的日产量，内墙涂料的日产量
公司打算最大化两种涂料的日总利润，已知每吨内、外墙涂料的利润分别是5千元和4千元，所以两种涂料的日总利润是：1245z x x =+，公示的目标为求z 的最大值：
max 1245z x x =+ （1）图解法
根据题意可以建立线性规划模型：
max 1245z x x =+ s.t. 126424x x +≤ 1226x x +≤
121x x -+≤ （1） 22x ≤ 12,0x x ≥ 线性规划模型的可行域如下：
如下图所示，向量（4,5）是目标函数1245z x x =+的梯度向量，指向z 增加的最快的方向，并且垂直于1245z x x =+的任一条直线，最优解在点C （3,1.5），相应
的目标函数最大值为z=19.5。

（2）单纯形算法
函数M文件mysimplex.m
function M=mysimplex(A,b,c)
[m,n]=size(A);c=-c(:).';b=b(:);
M=[[A,eye(m),b];[c,zeros(1,m+1)]];
iter=0;
maxiter=factorial(n+m)/factorial(m)/factorial(n); while iter<=maxiter %设立迭代最多次数，防止死循环%检查最优性条件
t=0;a=0;
for j=1:n+m
if M(end,j)<a
a=M(end,j);t=j;
end
end
if t==0
break%已达到最优解
end
%检查可行性条件
s=0;b=inf;
for i=1:m
if M(i,t)>0
c=M(i,end)./M(i,t);
if c>=0&&c<b
b=c;s=i;
end
end
end
if s==0
break%没有可行解
end
%变换单纯形表
M(s,:)=M(s,:)./M(s,t);
for i=1:m+1
if i~=s
M(i,:)=M(i,:)-M(i,t).*M(s,:);
end
end
iter=iter+1;
end
执行以下命令，求解线性规划模型：
A=mysimplex([6,4;1,2;-1,1;0,1],[24,6,1,2],[4,5])
运行结果如下：
A =
分析：由最优单纯形表可以看出，最优值为19.5.。