疲劳与断裂 第七章 弹塑性断裂力学简介(1)
11-弹塑性断裂力学1
4 KI 4 GI E s s
2
Dugdale 和Barrennlett 分别通过对中心裂纹薄板拉伸实验研究，提出了 裂纹尖端塑性区呈现尖劈带状特征的假设（简称D－ B模型）：
（1）裂纹尖端区域的塑性区沿裂纹线两边延伸呈尖劈带状； （2）塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区 所包围； （3）塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σ s.
1 n 1
( 6)
式中，I n 仅与n 有关；对I 型、 II 型、混合型、平面应力和 ~ ~、 ij ij ( , n) 、 平面应变情况下的HRR 场 I n 及角分布函数( , n)
~ ui ( , n)
的数据由Symington 给出。
Rice J 积分理论
HRR 场特点: (1) HRR 场中应力的奇异性为 r , 应变的奇 n 异性为 r n 1 。当n=1时，HRR 场退化为K 奇异场。
于是，原模型（见图a）可以用图（b）所示模型代替：它承受远场拉 应力σ作用，裂纹长度从2a延长到2c (其中塑性区尺寸R=c-a),在延伸裂 纹长度上作用有均匀拉应力σs。这是一个线弹性裂纹问题，其裂尖应 力为有限值(要求KI＝0)。在这里，原裂尖的张开位移就是COD.
利用无限大板中心裂纹应力强度因子公式： KI
Rice 的J 积分定义:
u J (Wdy T ds) x
式中： u 是位移矢量； y 是在垂直于裂纹面方向上的距离； s 积分路径的弧长； T 是应力矢量； w 是应变能密度； Γ 是包含裂纹尖端的、始点源于裂纹面下表面、终止于裂 纹面上表面的任一线积分路径。
弹塑性断裂力学
1)回路积分定义，围绕裂尖周围区域的应力、 应变和位移场所组成的围线积分(场强度)。
2)形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对 试样所作的形变功率(实验测定)。
4 J积分
二、J积分回路定义及守恒性
1．J积分回路定义
J Γwdx2Ti u x1i ds
B
G：围绕裂尖一条任意逆时针回 A
2)Paris位移公式
在裂纹面需求张开位移点虚加一对力F1，则
limV
F10 F1 在恒载荷作用下(单位厚度板)
G I V a F V ( F ， F 1 ， ) V 0 ( F ， F 1 ) 0 G I d a
V0(F， F1)为无裂纹体应变能，为裂纹扩展长度
2 基本假定和应用范围
承认结构中含有宏观裂缝，而远离裂缝缝端的广大区域仍假定为均匀连续体。既 均匀性假设仍成立，但仅在缺陷处不连续。断裂力学应用的前提是结构发生低应力脆 断，故其应用范围是，材料本身的微观结构对脆断敏感，且有拉（剪、扭）应力在起 用的带宏观裂缝的缺陷体。可见，断裂力学只处理和裂缝有关的问题，不可代替传统 的强度设计和校核，只是在出现宏观裂缝的条件下对传统理论的补充和发展。
2 裂尖塑性区的形成
➢ 上述塑性区尺寸按Irwin弹性应力 场公式得到， y 0 曲线如右图虚 线ABC所示。实际上，由于材料
y A
塑性变形，导致塑性区内应力重 新分布，产生应力松弛。考虑静
ys D B E
力平衡，应力松弛必然引起塑性
区扩大。对于理想塑性材料
， ymax
ys
如图中实线所示
➢ 根据力平衡，曲线AB下的面积
ys x
塑性区尺寸
R c a a s2 π es c 1 a 2 2 π s 2 π 8 K s I 2
第七讲 弹塑性断裂,疲劳裂纹
第七讲 弹塑性断裂力学简介，疲劳裂纹扩展上节回顾常见的复合型裂纹，I 、II 复合型和I 、III 复合型 复合型裂纹要解决的问题 复合型裂纹准则最大切向应力准则，应变能密度因子准则（S 准则），应变能释放率准则（G 准则） 复合型断裂的工程经验公式无限体内埋藏型裂纹的应力强度因子，Irwin 解 半无限大体表面半椭圆裂纹的应力强度因子 有限体中内埋藏型裂纹的应力强度因子 有限体中表面裂纹的应力强度因子1．线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广如裂纹尖端塑性区尺寸比裂纹长度小一个数量级以上，工程中一般仍采用线弹性断裂力学，以修正的应力强度因子计算。
等效模型法Irwin 假设I 型裂纹的弹性应 力场因塑性区的形成发生平移， 想像裂纹向前扩展r y ，使得按裂 纹长y r a a+=可计算线性解BC 部ζyx分，a 称为等效裂纹长度。
等效模型法：以等效裂纹长度代替裂纹原长对应力强度因子进行修正。
等效裂纹长度和应力强度因子令按等效裂纹长度y r a a +=计算的应力场在r = R -r y （B 点）的应力等于ζys ，则 )(2y Iys r R K -=πσ222ysIyK R r σπ-=K：应力松驰后的应力强度因子（等效应力强度因子）)(y I r a K +=πσζys ：y 方向屈服应力，ζys = ζs （平面应力），sysσυσ211-=（平面应变）。
代入上式并作第一次近似IIK K ≈，得平面应力： 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s I y K r σπ平面应变： 22)21(21υσπ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sIy K r 计算步骤 （1）按aY K Iπσ=计算K I 作为K I 0（2）以K I 0计算r y 作为r y 0 （3）)(01y I r a Y K +=πσ（4）以K I 1计算r y 作为r y 1 （5）反复计算至达到精度等效裂纹概念，线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广 2．Dugdale 模型（Dugdale ，1962）Dugdale 模型认为裂纹两端的塑性区为沿裂纹所在平面向两边延伸的带状，并设塑性区为理想塑性（带状模型）。
材料力学中的断裂和疲劳分析
材料力学中的断裂和疲劳分析在工程领域中，对材料的强度和耐久性进行评估和分析是至关重要的。
而在材料力学中，断裂和疲劳分析是两个重要的研究方向。
本文将从理论和应用两个方面，介绍材料力学中的断裂和疲劳分析。
首先，我们来介绍断裂分析。
断裂是指在外部加载下，材料的破坏。
断裂分析的目的是通过研究材料的断裂机制，预测和防止材料的破坏。
断裂分析的核心是断裂力学，它通过分析应力场、应变场和裂纹尖端处的应力强度因子来揭示裂纹扩展的行为。
在断裂力学中，有两个经典理论被广泛应用：线弹性断裂力学和弹塑性断裂力学。
线弹性断裂力学适用于处理材料的线弹性阶段，即只存在弹性变形，不发生塑性变形的情况。
而弹塑性断裂力学则适用于材料同时发生弹性和塑性变形的情况。
对于断裂力学的研究，一个重要的参数是断裂韧性。
断裂韧性是描述材料抵抗裂纹成长的能力，通常通过KIC来表示。
KIC是裂纹尖端处单位断裂韧性的衡量指标，一般情况下，KIC越大，材料的抗裂纹扩展能力越强。
断裂韧性的评估对于确保材料的可靠性和耐久性至关重要。
接下来，我们来了解疲劳分析。
疲劳是指在循环加载下，材料经历应力的反复变化而引起的破坏。
疲劳是材料工程中非常常见的一种破坏模式，因此对于疲劳强度的评估和分析也是非常重要的。
疲劳分析的核心是疲劳强度理论。
常见的疲劳强度理论有极限应力理论、极限变形理论和能量理论等。
这些理论通过对应力和应变历程的分析，确定了材料的疲劳强度边界，从而指导工程实践中的材料选择和设计。
除了理论研究，疲劳分析中还有实验方法。
疲劳试验是评估材料疲劳性能的重要手段。
通过在标准试样上施加循环加载，可以测定材料的疲劳寿命和疲劳强度。
这些试验结果可以为工程实践中的疲劳分析提供可靠的参考。
近年来，随着计算机技术的快速发展，有限元分析成为疲劳分析的重要方法之一。
有限元分析可以通过数值计算模拟材料在复杂载荷下的应力和应变分布情况，从而预测材料的疲劳寿命和破坏位置。
这一方法不仅减少了试验成本和时间，还提高了分析的准确性和可靠性。
混凝土弹塑性断裂力学概述
混凝土弹塑性断裂力学概述与线弹性体不同的是，当含裂缝的弹塑性体受到外荷载作用时，裂缝尖端附近会出现较大范围的塑性区，线弹性断裂力学将不再适用，而需要采用弹塑性断裂力学的方法。
弹塑性断裂力学的主要任务，就是在考虑裂缝尖端屈服的条件下，确定能够定量描述裂缝尖端场强度的参量，进而建立适合工程应用的断裂判据。
目前应用最广泛的包括裂缝尖端张开位移（Crack Opening Displacement，COD）（Wells，1962）理论和J积分理论（Rice，1968a，b）。
一、Orowan对Griffith理论的改进试验证实，Griffith理论只适用于理想脆性材料的断裂问题，实际上绝大多数金属材料在裂缝尖端处存在屈服区，裂缝尖端也因屈服而钝化，使得Griffith 理论失效。
在Griffith理论提出二十多年之后，Orowan（1948）和Irwin（1955）通过对金属材料裂缝扩展过程的研究指出：弹塑性材料在其尖端附近会产生一个塑性区，该区域的塑性变形对裂缝的扩展将产生很大的影响，为使裂缝扩展，系统释放的能量不仅要供给裂缝形成新自由表面所需的断裂表面能，更重要的是需要提供裂缝尖端塑性流变所需的塑性应变能（通常称为“塑性功”）。
所以，“塑性功”有阻止裂缝扩展的作用。
裂缝扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的“塑性功”称为“塑性功率”，假设用Γ表示，则对金属材料应用Griffith理论时，式（2.4b）和式（2.5）应修正为对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因而γ可以忽略不计，则式（2.33）和式（2.34）可改写为以上即为Orowan把Griffith理论推广到金属材料情况的修正公式。
以上是针对平面应力状态讨论的，当平板很厚时，应视为平面应变状态，只要把上述公式中的E用代替即得平面应变状态下相应的解。
二、裂缝尖端的塑性区金属材料裂缝尖端会形成塑性区，裂缝扩展所需要克服的塑性功在量级上可高达断裂表面能的三个数量级。
第七章弹塑性断裂力学简介
利用E(k)的近似表达，Q可写为：
1.64 = + Q [1 1.47(a / c) - 0.212( s / s ys ) 2]1/ 2
s / s ys 越大， Q越小，K越大，裂尖屈服区越大。
18
例7.2 某大尺寸厚板含一表面裂纹，受远场拉应力s 作用。材料的屈服应力为sys=600MPa, 断裂韧 性K1c=50MPam1/2，试估计：
R为：
o rp R a
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
K 1 R= p ( s 1 ) 2 = 2 r p ys
10
依据上述分析，并考虑到平面应变时三轴应力作 用的影响，Irwin给出的塑性区尺寸R为： K1 2 1 1 R=2 rp = ap ( ) a = s ys 2 2 (平面应力) (平面应变)
(7-4)
上式指出： 裂纹尖端的塑性区尺寸R 与(K1/sys)成正比； 平面应变时的裂尖塑性区尺寸约为平面应力 情况的1/3。
11
Most of the classical solution in fracture 一般地说，裂纹前的条件既不是平面
mechanics reduce the problem to two dimensions.
线弹性分析给出的应力强度因子误差越大。
16
3. 小范围屈服时表面裂纹的K修正
无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：
M f s p a 前表面修正系数通常取为Mf=1.1； K1 = E(k)是第二类完全椭圆积分。 E(k)
考虑裂尖屈服，按Irwin塑性修正， 1.1 s p (a + rp) 用a+ rp代替原裂纹尺寸a，故有： K1 = E(k) 无限大体中半椭圆表面裂纹最深处处于平面应变状 态，故由(7-4)式知： K1 2 1 rp = ( ) 4 2p s ys
弹塑性断裂力学
A
A
x
R
2a R
2c
COD参量及其计算
利用弹性化理论分析方法证明：
原裂纹尖端的张开位移（COD）
8a s ln sec( )
E
2 s
裂纹开始扩展的临界张开位移：
E E 平面应力
E
1
E
2
平面应变
c
8 sa E
ln
s
ec
2
c s
D-B模型塑性区宽度：
R a(sec 1) 2 s
适用情况：
弹塑性断裂力学
COD方法
J积分方法
阻力曲线等方法
主要内容
线弹性断裂力学的局限性 COD参量及其计算 J积分原理及全塑性解 各断裂参量之间的关系 断裂分析在有限元软件中处理方法 思考题
COD参量及其计算
COD的定义和基本思想 小范围屈服条件下的COD D-B带状屈服模型的COD 全屈服条件下的COD判据
极好的量度。
•英国、日本焊接验收标准 •我国压力容器缺陷验收标准
y R
o
O
a 2 v
COD参量及其计算
COD的基本思想
把裂纹体受力后裂纹尖端的张开位移作为一个参量， 建立这个参量与外加应力（或应变e）和裂纹长度a的 关系，计算弹塑性加载时裂纹尖端的张开位移，然后 把材料起裂时的c值作为材料的弹塑性断裂韧性指标。 利用＝c作为判据判断是够是否发生破坏。
y R
o
O
a 2 v
是裂纹开始扩展的判据,不是 裂纹失稳扩展的断裂判据
应力松弛引起的裂纹体刚度下降与裂纹 长度增加的效果是一样的
COD参量及其计算
小范围屈服条件下的COD
等效裂纹长度 a*=a+ry
知识资料弹塑性断裂力学(1)
应变能密度 作用于路程边界上的力
J
(Wdx 2
Ti
ui x1
dS) (i 1,2)
与积分路径无关的常数。即具有守恒性。
闭合回路：ABDEC
在裂纹面上BD、AC上：Ti 0 dx2 0
设 n1 ，n2 为弧元dS的外法线元的方向余弦
n1
cos
dx2 dS
n2
sin
dx1 dS
微元dS上三角形体元的力的平衡条件
在平面应力条件下，Irwin提出小范围屈服的COD计
算公式
4 K2I 4 1I Es s
J=G1I
K
2 I
E'
4 J s
二.D-B带状塑性区模型导出的J和COD关系
形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的 形变功率给出。
根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。
设一均质板，板上有一穿透裂纹、裂纹表面无力作
用，但外力使裂纹周围产生二维的应力、应变场。围绕
裂纹尖端取回路下。始于裂纹下表面、终于裂纹上表面。
按逆时针方向转动
J
(Wdy
T
u x
dS)
路程边界上的位移矢量
当 a 时， KIF 0
8 sa E '
ln sec(
2 s
)
—无限大板的COD利用D－B模型计算结果
D－B模型不适用于全面屈服（ s ）。有限无计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 s 0.6 时，上式的 预测是令人满意的.
D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力
问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性
2 2
2
T
Ti
ui x1
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dx
x
则 形状与
尺寸
s
这里仅简单讨论沿裂纹线上屈服区域的大小。
在裂纹线上(=0)，注意到 K = s pa ，有；
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
h
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
(s
1
-
s
2
)
2
+
(
s
2
-
s
3
)2
h
+
(
s
3
-
s
1)
2=2
sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
第七章 弹塑性断裂力学简介
7.1 裂纹尖端的小范围屈服 7.2 裂纹尖端张开位移 7.3 COD测试与弹塑性断裂控制设计
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h
1
第七章 弹塑性断裂力学简介
线弹性断裂力学 (LEFM )
用线弹性材料物理模型，按照弹性力学方法，研究 含裂纹弹性体内的应力分布，给出描述裂纹尖端应 力场强弱的应力强度因子K，并由此建立裂纹扩展 的临界条件, 处理工程问题。
in size in order to carry these forces.
h
9
为满足静力平衡条件，由于AB部分材料屈服而少 承担的应力需转移到附近的弹性材料部分，其结果将 使更多材料进入屈服。因此，塑性区尺寸需要修正。Biblioteka 设修正后的屈服区尺寸为R；
sy H
假定线弹性解答在屈服区外仍然
适用，BK平移至CD，为满足静
虚线为弹性解，r0，sy。
sy H
由于sy>sys，裂尖处材料屈服，
塑性区尺寸为rp。
sys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为sys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大
于sys的应力。
h
8
TAhBeHs区im域pl表e a示na弹ly性sis材as料ab中o存ve在is
materials, however, stress at the crack tip are
finite because the crack tip radius must be
finite. Inelastic material deformation, such as
plasticity in metal , leads to further relaxation
o rp
x
to satisfy equilibrium.
a
T上h述e r简eg单ion分A析BH是以rep裂re纹se尖nt端s fo弹rc性es解th为at基w础ou的ld，be故 present in an elastic material but cannot be carried i并n t非he严el格as正tic确-p的las。tic屈m服at发er生ial后be，ca应us力e t必he需st重re分ss 布， c以an满no足t e平xc衡ee条d 件yie。ld. The plastic zone must increase
sy H
n的ot力st，ric但tl因y c为or应re力ct 不be能cau超se过it屈was
b服as，ed在o弹n a塑n性ela材st料ic 中cra却ck不t能ip承
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于
无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不
可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的
材料必然要进入塑性，发生屈服。
h
2
Linear elastic fracture mechanics predicts
infinite stresses at the crack tip. In real
sx、sy和剪应力xy的线弹性解为：s
sx=s 2arcos2[1- sin2sin32] sy=s 2arcos2 [1+sin2sin32] (5-1)
y
sy xy
dy
sx
r
dx
2a
x
xy=s 2arsin2 cos2 cos32
s
当r0时，s ，必然要发生屈服。
因此，有必要了解裂尖的屈服及其对K的影响。
h
4
线s弹x=s 2裂arc尖os附2[1近- sin2一sin点32]
性断 裂sy力=s
2任 的arcs一oxs、点2 [s1处+ysin2的力sin应状32]
学
xy=s
2axry，sin2
cos 2
co态s3 2
计 算 主 应 力
s
屈 服 准
裂 端纹 屈y 尖 服dsyy
xy sx
(5区-1)域2a的r
K
平面应力时：r p =
1
2p
(
K1 s ys
)2
o rp aR
x
积分后得到，平面应力情况下裂尖的塑性区尺寸
R为：
R=
1 p
sys
B A
C
力平衡条件，修正后ABCD曲线
D
下的面积应与线弹性解HBK曲线 o rp
K x
下的面积相等。
aR
由于曲线CD与BK下的面积是相等的，故只须AC下
的面积等于曲线HB下的面积即可。
h
10
于是得到：
sy
H
rp
R s ys
= 0
s
y (x)dx
sys
BC A
D
注意到式中：sy=K1 / 2p r ,
of the crack tip stress.
线弹性断裂力学预测裂纹尖端应力无穷大。然而
在实际材料中，由于裂尖半径必定为有限值，故
裂尖应力也是有限的。非弹性的材料变形，如金
属的塑性，将使裂尖应力进一步松弛。
h
3
7.1 裂纹尖端的小范围屈服
1. 裂尖屈服区
无限大板中裂纹尖端附近任一点(r,)处的正应力
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
(平面应力) (7-3)
(平面应变)
式中，sys为材料的屈服应力，为泊松比。
对于金属材料，0.3，这表明平面应变情况下裂
尖塑性区比平面应力时小得多。
h
7
当=0时(在x轴上)，裂纹附近区域的应力分布及裂 纹线上的塑性区尺寸如图。