数值分析课程第五版课后习题答案

*
[解] = (0.031 × 385.6) 1 × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) 1 × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) 1 × 10 −3 ； 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
ε * (R* ) 1 1 1 从而 ε * ( R * ) = 1% × R * ，故 ε r* ( R * ) = 。 = 1% × = * 3 300 3 R
6 、设 Y0 = 28 ，按递推公式 Yn = Yn −1 − 1 783 (n = 1,2, ) 计算到 Y100 ，若取 100
783 ≈ 27.982 （五位有效数字， ）试问计算 Y100 将有多大误差？ [解]令 Yn 表示 Yn 的近似值， e * (Yn ) = Yn − Yn ，则 e * (Y0 ) = 0 ，并且由 1 1 × 27.982 ， Yn = Yn −1 − × 783 可知， 100 100 1 × (27.982 − 783 ) ，即 Yn − Yn = Yn −1 − Yn −1 − 100 1 2 从 e * (Yn ) = e * (Yn −1 ) − × (27.982 − 783 ) = e * (Yn − 2 ) − × (27.982 − 783 ) = ， 100 100 Yn = Yn −1 − 而 e * (Y100 ) = e * (Y0 ) − (27.982 − 783 ) = 783 − 27.982 ，
而 783 − 27.982 ≤
1 1 × 10 −3 ，所以 ε * (Y100 ) = × 10 −3 。 2 2
使它至少具有四位有效数字 （ 783 ≈ 27.982 ） 7、 求方程 x 2 − 56 x + 1 = 0 的两个根， [解]由 x = 28 ± 783 与 783 ≈ 27.982 （五位有效数字）可知， 。 x1 = 28 + 783 = 28 + 27.982 = 55.982 （五位有效数字） 而 x 2 = 28 − 783 = 28 − 27.982 = 0.018 ，只有两位有效数字，不符合题意。 但是 x 2 = 28 − 783 = 1 28 + 783
ε * (ln x)
ln x
*
=
δ
lБайду номын сангаас x *
。
2、设 x 的相对误差为 2%，求 x n 的相对误差。 [解]设 x * 为 x 的近似值， 则有相对误差为 ε r* ( x) = 2% ， 绝对误差为 ε * ( x) = 2% x * ， 从而 x n 的误差为 ε * (ln x) = ( x n )′ 相对误差为 ε (ln x) =
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
n
ε * (ln x)
(x* ) n
= 2n% 。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单 位，试指出它们是几位有效数字：
* * * * * x1 = 1.1021 ， x 2 = 385.6 ， x 4 = 56.430 ， x5 = 0.031 ， x3 = 7 × 1.0 。 * * * [解] x1 = 1.1021 有 5 位有效数字； x 2 = 0.0031 有 2 位有效数字； x3 = 385.6 有 4 * * 位有效数字； x 4 = 7 × 1.0 有 2 位有效数字。 = 56.430 有 5 位有效数字； x5 * * * * 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中 x1 均为第 3 题所给 , x2 , x3 , x4
N +1
tan α − tan β ( N + 1) − N 1 ， = = 2 1 + tan α tan β 1 + N ( N + 1) N + N + 1
N
1 1 。 dx = α − β = arctan 2 2 N + N +1 1+ x
9、正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 cm 2 ? [ 解 ] 由 ε * ((l * ) 2 ) = [(l * ) 2 ]′ ε * (l * ) = 2l *ε * (l * ) 可 知 ， 若 要 求 ε * ((l * ) 2 ) = 1 ， 则
y = 2 [解]设 y n 为 y n 的近似值， ε * ( y n ) = y n − y n ，则由 0 与 y n = 10 y n −1 − 1
y 0 = 1.41 1 可知， ε * ( y 0 ) = × 10 − 2 ， y n − y n = 10( y n −1 − y n −1 ) ，即 2 y n = 10 y n −1 − 1
1
1 1 × × 10 − 4 = 0.8336 × 10 −6 30 + 29.9833 2
x + 1010 x 2 = 1010 14、试用消元法解方程组 1 ，假定只有三位数计算，问结果是否 x1 + x 2 = 2
dS * * ) ε (t ) = gt *ε * (t ) = 0.1gt * ， dt
ε r* ( S ) =
ε * (S )
S*
=
gt *ε * (t ) 2ε * (t ) 1 = = * ，所以得证。 * 1 t 5t g (t * ) 2 2
11、序列 {y n }满足递推关系 y n = 10 y n −1 − 1 (n = 1,2, ) ，若 y 0 = 2 ≈ 1.41（三位 有效数字） ，计算到 y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
13、 f ( x) = ln( x − x 2 − 1) ，求 f (30) 的值。若开平方用六位函数表，问求对数时 误差有多大？若改用另一等价公式 ln( x − x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1) 计算， 求对数 时误差有多大？ [解]因为 30 2 − 1 = 899 = 29.9833 （六位有效数字） ， ε * ( x) = 1 × 10 − 4 ，所以 2
e * ( f1 ) = ( f1′) * e * ( x) = − =
1 × × 10 − 4 (30 − 30 2 − 1) 2 ，
1
1 1 × × 10 − 4 = 0.2994 × 10 − 2 30 − 29.9833 2
1 × × 10 − 4 x + x −1 2 。
2
e * ( f 2 ) = ( f 2′) * e * ( x) = − =
1 6 1 有一位有效数 × × 10 −1 = 2.65 × 10 −3 < × 10 − 2 ， 4 2 2 (3 + 2 × 1.4)
′ e * ( f 3 ) = f 3 e * (1.4) =
字；
1 1 ′ 对于 f 4 = 99 − 70 2 ，e * ( f 4 ) = f 4 e * (1.4) = 70 × × 10 −1 = 35 × 10 −1 < × 101 ，没有 2 2 有效数字。
′ e * ( f1 ) = f1 e * (1.4) =
对于 f 2 = (3 − 2 2 ) 3 ， 1 1 ′ e * ( f 2 ) = f 2 e * (1.4) = 6(3 − 2 × 1.4) 2 × × 10 −1 = 0.12 × 10 −1 < × 10 −1 ，没有有效数 2 2 字； 对于 f 3 = 1 (3 + 2 2 ) 3 ，
ε (l ) =
* *
ε * ((l * ) 2 )
2l
*
=
1 1 1 ，即边长应满足 l = 100 ± 。 = 2 × 100 200 200
10、设 S =
1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 ± 0.1 秒的误差，证明当 t 2 增加时 S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为 ε * ( S ) = (
N +1 N
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* * 1 * 2 * 4 n
*
* * * （2） x1 x 2 x3 ；
∂f e (x x x ) = ∑ k =1 ∂x k
* * * * 1 2 3 n
* * * * * * * * * * ε ( x k ) = ( x 2 x3 )ε ( x1 ) + ( x1 x3 )ε ( x 2 ) + ( x1 x 2 )ε ( x3 )