2017新湘教版九年级数学上知识点
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湘教版九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点的面积为．图2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成 (的形式，那么进而得出方程的根。
配方式基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成（可作为公式记也可以说AB：DE=BC：EF；推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结教学内容
九上第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、b、c为常数，ax bx ca≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
九年级数学湘教版知识点
九年级数学湘教版知识点九年级数学是中学阶段的最后一年，也是学生学习数学的重要时期。
湖南省教育厅编写的九年级数学教材，即湘教版数学教材，是湖南省中小学教材体系的重要组成部分。
本文将重点介绍九年级数学湘教版的一些重要知识点，以帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
1. 数的性质与运算数的性质是数学的基础，也是进行数学运算的前提。
九年级数学湘教版着重讲解了整数、有理数、实数等数的性质，并对加法、减法、乘法、除法等运算进行了详细的说明和例题讲解。
学生需要掌握数的分类及其性质，并能熟练运用各种运算法则解决实际问题。
2. 代数基础与初等代数九年级数学湘教版还涉及到了代数的基础知识和初等代数的运算。
学生需要学会列方程、解方程、整理方程等基本代数操作，并且能够灵活运用这些知识解决各类代数问题。
此外，还包括了二次根式、分式、指数与幂等内容，学生需要理解其定义和性质，能够进行变形和计算。
3. 几何基础知识九年级数学湘教版也包含了一定的几何基础知识。
学生需要掌握平面图形的性质、平行线与垂直线的判定与性质、三角形的基本概念和性质等内容。
同时，还包括了三角形的相似性质、勾股定理和正弦定理、余弦定理等三角形的定理和公式。
学生需要通过理论学习和实际练习，掌握几何基础知识的应用能力。
4. 统计与概率统计与概率是九年级数学湘教版中的一大内容模块。
学生需要学会收集、整理和处理数据，并进行有效地统计和分析。
此外，还包括了概率的基本概念和计算方法，要求学生能够通过计算和推理，判断事件发生的可能性。
总结九年级数学湘教版涵盖了数的性质与运算、代数基础与初等代数、几何基础知识以及统计与概率等多个知识点。
学生们需要借助教材中的例题和习题进行练习和巩固，并通过课堂学习和老师的指导，加深对这些知识的理解和掌握。
只有通过不断的学习和实践，才能在九年级数学中取得优异的成绩，并为进一步学习更高阶段的数学奠定坚实的基础。
(完整版)新湘教版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点第一章 反比例函数反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．第二章 一元二次方程（1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
1、直接开平方法2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法；3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。
4、公式法（1）根的判别式：24b ac ∆=-，∆>0时，方程有两不等实数根；∆=0时，方程有两相同实数根；∆<0时，方程无实数根。
（2）求根公式 ： 当24b ac ∆=-≥0时，x=aacb b 242-±-（3）韦达定理：12b x x a +=-,12c x x a•= 第三章 图形的相似1、 线段的比一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果a cb d=， 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似.判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
湘教九年级上册数学知识点
湘教九年级上册数学知识点在湘教九年级上册数学课程中，有许多重要的知识点需要我们掌握。
下面我将为大家详细介绍一些重要的数学知识点。
一、代数表达式与运算在数学中，代数表达式是非常重要的概念。
代数表达式由常数、变量、运算符和括号组成。
我们可以通过运用代数表达式来解决各种实际问题。
在课本中，我们学习了代数表达式的展开与因式分解，以及代数等式的证明等内容。
通过这些知识的学习，我们能够更好地理解数学中的运算规律和数学关系，提高解决问题的能力。
二、一次函数与二次函数在九年级上册中，我们学习了一次函数和二次函数。
一次函数是指函数的最高次数为一的函数，其图像是一条直线。
我们学会了如何通过函数的表达式和图像来确定函数的性质和关系。
二次函数是指函数的最高次数为二的函数，其图像是一个抛物线。
我们学习了二次函数的顶点坐标、对称轴以及图像的开口方向等相关知识。
通过对一次函数和二次函数的学习，我们能够更好地理解函数的概念，掌握函数的性质与特点，并能够应用函数来解决实际问题。
三、图形的性质与坐标系在九年级上册中，我们进一步学习了图形的性质和坐标系。
我们了解了平面直角坐标系、平面直角坐标系与图形的关系，懂得如何通过坐标系来表示图形的位置和性质。
我们还学习了如何利用平面直角坐标系来解决实际问题，计算图形的长度、面积以及图形之间的位置关系。
通过对图形的性质与坐标系的学习，我们能够更好地理解几何概念，提高分析和解决几何问题的能力。
四、立体几何与体积在九年级上册中，我们继续学习了立体几何的相关知识。
通过学习立体几何，我们了解了三维空间中的立体图形的性质和特点，并学会了如何计算图形的体积。
我们通过对几何体的分类和性质的学习，能够更好地理解几何体的形状和结构，掌握计算几何体体积的方法，并能够将几何体的概念灵活应用于实际问题的解决。
五、概率与统计在九年级上册中，我们开始学习了概率与统计的知识。
概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
通过学习概率，我们能够了解事件发生的规律和可能性，并学会如何计算事件的概率。
湘教版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点答案第一章一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。
（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。
3、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。
4、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=a acb b24 2-±-(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
命题与证明二、知识要点梳理知识点一：定义要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．知识点二：命题要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）知识点三：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．知识点四：公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结一、反比例函数反比例函数及其图象的性质k 第一章反比例函数y=—1.函数解析式：X (k-:t:-0)2.自变量的取值范围：x;t=O3.图象：(1)图象的形状：双曲线．l k l I叶越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据X 1= x, -4 , X 2 = X2 -0 , …，x,』=x,.-a,那么.s =—f(入,+x2+---+式）］－了2 I立，2（此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方）(3)新数据法：原数据X i,X1,···,X11,的方差与新数据x\= x1 -a , x'2 = x�-a. …,x',. = x,1 -a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'i,x'i ,···,x'11, 的方差就等千原数据的方差。
3、标准差：方差的算数平方极叫做这组数据的标准差，用"s"'表示，即s=N =J如－守+(X1三）l+…+(x,, -x)2]（方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定）识点用样本平均数、方差估计总体平均数、方差由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差．统计的简单应用1 . 从统计的观点看，一个“卑”就是总伈中共有某些特牲的个休在总休中所占的百分比2· 在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的�去估计总体相应的率．3· 通过科学调查，在取得真实可靠的数据后，我们可以运用正确的统计方法来推断总体，除此之外，还可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出皿和预测，为正确的决策提供服务．。
湘教九年级数学上册知识点
湘教九年级数学上册知识点湘教九年级数学上册是学生在初中阶段数学学习的重要部分，掌握其中的知识点对于学生的学习成绩至关重要。
本文将围绕湘教九年级数学上册的几个重点知识点进行介绍和讲解。
一、线性方程式在数学上，线性方程式是学习代数的基础。
在湘教九年级数学上册中，线性方程式的学习是一个重要的部分。
学生需要掌握如何解一元一次方程、一元一次方程的应用以及解二元一次方程等内容。
通过理论的学习和大量的练习，学生可以逐渐掌握解方程的方法和技巧，并能够灵活运用到实际问题中。
二、因式分解与整式运算因式分解与整式运算是代数学习中的重点内容。
在湘教九年级数学上册中，学生需要掌握如何进行整式的加减乘除、整式的因式分解等操作。
这些知识点不仅在数学中有广泛的应用，也会对学生的逻辑思维和数学能力有较大的提升。
三、平方根与勾股定理平方根与勾股定理是湘教九年级数学上册中的几个重要知识点之一。
学生需要了解平方根的定义和性质，并能够运用平方根解决一些实际问题。
此外，勾股定理作为数学中的重要定理之一，学生需要熟练掌握勾股定理的表达形式，并能够运用勾股定理解决直角三角形相关的问题。
四、统计初步在湘教九年级数学上册中，学生也会接触到统计学的初步内容。
学生需要了解统计学的基本概念和统计图表的绘制方法，并能够利用统计学的方法进行数据的分析和总结。
这些知识点对于学生提高数据分析和解决实际问题的能力具有重要意义。
五、平面向量与坐标系平面向量与坐标系是湘教九年级数学上册的重点内容之一。
学生需要了解平面向量的定义和性质，并能够进行平面向量的加减、数乘等运算。
此外，学生还需要熟练掌握直角坐标系和极坐标系的基本概念和相关运算。
综上所述，湘教九年级数学上册的知识点包括线性方程式、因式分解与整式运算、平方根与勾股定理、统计初步以及平面向量与坐标系等内容。
这些知识点不仅为学生的中学数学学习打下了坚实基础，也对于学生在高中数学和大学数学的学习中具有重要的指导作用。
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湘教版九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义:如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、b、c为常数，ax bx ca≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2、把20++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a ax bx c为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。
（二）一元二次方程的解法1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成?(p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。
2、配方法：配方式基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式，右边化为一个常数；两边开方求其根。
3、公式法x =（注意在找a 、b 、c 时须先把方程化为一般形式）4、分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式” 和“十字相乘”）（三）一元二次方程根的判别式判别式⊿=b 2-4ac 与根的关系：当b 2-4ac>0时，则方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根； 当b 2-4ac ≥0时，则方程有两个实数根； 当b 2-4ac<0时，则方程无实数根（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数a ≠0）（四）一元二次方程根与系数的关系：1、根与系数关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x 1、x 2，则有：1212,bc x x x x aa+=-⋅=.（韦达定理）2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称代数式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+-②12121211x x xx x x ++=③22121212()()4x x x x x x -=+-④12||x x-⑤2212121212(||||)()22||xx x x x x x x +=+-+⑥33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式。
（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：12212()0xx x x x x -++=，（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程12212()0xx x x x x -++=的两根。
（五）一元二次方程的应用1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：20ax bx c ++=（a ≠0）（两边同时除以a 得）20b c x x a a++=（一次项系数ba除以2并写成完全平方式得）（可作为公式记忆）。
2、二次代数式配方可以求最值（应用题常考）：二次代数式2ax bx c ++提取二次项系数a 得2()ba xx c a=++（不能同时除以二次项系数a ）合并常数项得224()24b ac b a x a a-=++（作为公式记忆，一步化到位）此时可知当2b x a=-时，2ax bx c ++有最大值（0a <）最大值为244ac b a - 当2b x a=-时，2ax bx c ++有最小值（.0a >）最小值为244ac b a -3、平均增长率问题:（设月增长率为x ）①一月产量为a ，二、三月平均增长率为x ，三月产量为b ，则有2(1)a x b += ②一月产量为a ，二、三月平均增长率为x ，第一季度产量为b ，则有2(1)(1)a a x a x b ++++=4、翻几番增长率问题：（设年增长率为x ） ①两年翻一番，则2(1)2a x a +=，解得141.4%x =≈（次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量a 变成2a ） ②两年翻两番，则2(1)4a x a +=，解得100%x =（次数2是指两年翻了两次，翻一番指起初数量a 变成2a ，再翻一番就变成了4a ）5、互相握手、互相送礼问题：①互相握手：1(1)2n n -=握手次数（n 是指人数） ②互相送礼：(1)n n -=礼物总数（n 是指人数） 6、涨价总利润问题：（设涨价x 元）总利润=（定价+上涨价格x —进价）（原销量—xg 每上涨的价格相应减少的销量每上涨的价格）7、降价总利润问题：（设降价x 元）总利润=（定价—降价价格x —进价）（原销量+xg 每下降的价格相应增加的销量每下降的价格）第三章图形的相似（一）比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线 段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cb b a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2、比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）d bc a =（交换内项） ⇒=dc b a a cb d =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒= （4）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇒=（5）等比性质：ban f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++⇒≠++++====ΛΛΛΛ)0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例n m b a =d c b a =中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点值得关注的近似数：假设AB=1则AC ≈0.618BC=AD ≈0.382） ACB 定义：510.6182AC CB AB AC -==≈(510.6182-==≈较长最短最长较长) （二）平行线分线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图：如图，因为AD∥BE ∥CF ，所以AB ：BC=DE ：EF ；AB ：AC=DE ：DF ；BC ：AC=EF ：DF 。
也可以说AB ：DE=BC ：EF ；AB ：DE=AC ：DF ；BC ：EF=AC ：DF推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
（三）相似图形1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。
2、相似多边形：（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方 （四）相似三角形的判定和性质 1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。