冀教版数学九年级上册(同步练习)《25.3 相似三角形》
04-25.3 相似三角形九年级上册数学冀教版
【归纳总结】（1）若，则有，， ， .书写时要注意对应性，尤其是边，还要注意它们的顺序性.（2）当两个三角形的对应角相等，对应边成比例时，两个三角形相似，相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的一种判定方法.
解：，， ， ., . .为线段 的中点，. .又， .
25.3 相似三角形
过能力 学科关键能力构建
1.[2023陕西中考A卷]如图，是 的中位线，点在上，.连接 并延长，与的延长线相交于点.若 ，则线段 的长为( )
CHale Waihona Puke A. B.7 C. D.8
【解析】 是的中位线，， ，，， ， .
7.[2022连云港中考] 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则 的周长是( )
C
A.54 B.36 C.27 D.21
【解析】 在和 中，长为4的边对应的是长为12的边，设长为2的边对应的边长是，长为3的边对应的边长是， ，，， 的周长是27.
8.如图，已知等边三角形，其边长为，分别取各边的中点，， ，得，则与 相似吗？如果相似，相似比是多少？
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4和，那么 的值( )
B
A.只有1个 B.有2个 C.有3个 D.有无数个
【解析】 一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4和， 可能是斜边长也可能是直角边长，或， 的值有2个．
第3题图
3.[2023重庆中考B卷]如图，已知 ，，若的长度为6，则 的长度为( )
2020-2021冀教版数学九年级上册 25.3 相似三角形
拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 25.3 相似三角形基础闯关全练1．若△ABC ∽△ACD ，AB=1，AD=4，则AC=_________.2．如图所示，已知等腰△ABC ∽△BDC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AC AD 的值等于 ( )A.21B.215-C.1D.215+3．如图，已知AD=3 cm ，AC=6 cm ，BC=9 cm ，∠B= 36°，∠D=117°，△ABC ∽△DAC. (1)求AB 的长；(2)求∠BAD 的度数．能力提升全练1．一个三角形三边长之比为3:5:7．与它相似的三角形的最长边为21 cm ，则其余两边长之和为 ( )A.24 cmB.21 cmC.13 cmD.9 cm2．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8．点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC.若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为__________．3．如图，在△ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是_________.4．如图，△ABC ∽△DEF ，M 是BC 的中点，N 是EF 的中点，AB=4，DE =6，AM=5，求DN 的长．三年模拟全练选择题1．（2019湖北黄冈浠水期末，6，★☆☆）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，31AB AD =，AE=2 cm ，则AC 的长是( )A.2cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm2．（2018河北邯郸二模，10，★★☆）在△ABC中，AB= 24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，以A、D、E三点为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为( ) A．16 B．14 C．16或14 D．16或93．（2019河北沧州南皮四中月考，8，★★☆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4 cm、5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，则它的另两边的长不可能是( )A.cm25、3 cm B.cm512cm58、C.cm35cm34、D.3 cm、4 cm五年中考全练一、填空题1．（2017辽宁本溪中考，17．★☆☆）如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD= ∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC 相似时，线段CE的长为_____．二、解答题2．（2018江西中考，14，★☆☆）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA =6，CD∥AB，BD 是∠ABC的平分线，BD交AC于点E．求AE的长．核心素养全练如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= -x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点⎪⎭⎫⎝⎛3534A，，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标.25.3相似三角形基础闯关全练1.答案 2解析 ∵△ABC ∽△ACD ，∴AB :AC=AC : AD ，∵AB=1，AD=4，∴1：AC ＝AC ：4，∴AC ＝22．B ∵△ABC ∽△BDC ，∴，∴BC ²＝AC ·DC ，∵∠A = 36°，BD 平分∠ABC ，∴∠ABC =21×( 180°-36°) =72°，∠A= ∠ABD = 36°，∠BDC =∠C = 72°，∴BC = BD = AD ，∴AD ²=AC ·DC.设AC= 1 ，AD =x( 0＜x ＜1 ) ，则 x ²+x- 1= 0，解得，∵0＜x ＜1 ，∴，∴，故选 B. 3.解析 ∵ △ABC ∽△DAC ，∴∠DAC =∠B = 36°，∠BAC =∠D=117°，AB : DA=BC : AC.(1) ∵AD= 3 cm ，AC= 6 cm ，BC = 9 cm ，∴AB = 4.5 cm.(2) ∠BAD= ∠DAC+ ∠BAC= 36°+ 117° =153°.能力提升全练1．A 设其余两边的长分别是x cm ，ycm( x ＜y)，由题意得x:y ：21=3：5：7，解得x=9，y= 15，故其余两边的长的和为9+15= 24( cm).2．答案 56或3解析 如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD= 90°，∴10AD AB BD 22=+=．当PD=DA=8时，BP= BD-PD=2．∵△PBE ∽△DBC ， ∴CD PE BD BP =，即6PE 102=． 解得56PE =；当P'D=P'A 时，点P'为BD 的中点，∴P'E'=21CD=3． 故答案为56或3．3．答案3≤AP ＜4解析 如图所示，过P 作PD ∥AB 交BC 于D ，作PE ∥BC 交AB 于E ，则△PCD ∽△ACB ，△APE ∽△ACB ，此时0＜AP ＜4;如图所示，过P 作∠APF= ∠B 交AB 于F ，则△APF ∽△ABC ．此时0＜AP ≤4;如图所示，过P 作∠CPG=∠CBA 交BC 于G ．则△CPG ∽△CBA ．∴ＣＡPG CB CP =， 当点G 与点B 重合时PG= CB ，AP 取到最小值．CB ²= CP ×CA ，即2²= CP ×4， ∴CP=1，AP=3，∴3≤AP ＜4．综上所述，AP 长的取值范围是3≤AP ＜4． 故答案为3≤AP ＜4．4．解析 ∵△ABC ∽△DEF ，M 是BC 的中点，N 是EF 的中点，∴AB ＤＥ＝ＡＭＤＮ，又AB=4，DE=6，AM=5，∴DN= 7.5．三年模拟全练选择题1.C ∵DE//BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴，∵AE=2 cm ，∴AC=6 cm ，故选C ．2．D (1)当△ADE ∽△ACB 时，如图①．∴ACAD AB AE =， ∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE= 16；(2)当△ADE ∽△ABC 时，如图②．∴AB AD AC AE =， ∵AB=24，AC=18，AD=12，∴AE=9.故AE 的长为9或16.故选D ．3．D 分情况讨论：(1)若边长为2 cm 的边与边长为4 cm 的边相对应，则另两边的长分别为25cm 和3cm;(2)若边长为2cm 的边与边长为5 cm 的边相对应，则另两边的长分别为58cm 和512cm ；(3)若边长为2 cm 的边与边长为6 cm 的边相对应，则另两边的长分别为34cm 和35cm ．故选项A ，B ，C 正确．故选D ．五年中考全练一、填空题1．答案3或34解析 ∵△DCE 和△ABC 相似，∠ACD= ∠ABC ，AC=6，AB=4，CD=2，∴∠A= ∠DCE ， 当△ABC ∽△CDE 时，有CE AC CD AB =，即CE 624=，解得CE=3；当△ABC ∽△CED 时，有ＣＤAC CE AB =，即２６＝ＣＥ4，解得34CE =． 故答案为3或34，二、解答题2.解析 ∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ．∵AB//CD ，∴∠D=∠ABD ，∴∠D=∠CBD ，∴BC= CD ，∵BC=4，∴CD=4，∵AB//CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴CE AE CD AB =，∴CE AE 48=∴AE=2CE ， ∵AC=6=AE+CE ，∴AE=4．核心素养全练解析 (1)设直线AD 的解析式为y=kx+b(k ≠0)，把点，D （0，1），代入y=kx+b(k ≠0），得解得∴直线AD 的解析式为y ＝21x+1． (2)∵△BOD 与△BCE 相似，且△BOD 是直角三角形，∴△BCE 也是直角三角形． ∵在△BCE 中，∠EBC 为锐角，∴△BCE 是直角三角形分两种情况：∠BCE= 90°或∠BEC= 90°.①如图1，过点C 作CE ⊥x 轴，交直线BD 于点E ．此时△BOD ∽△BCE ，∠BOD= ∠BCE=90°.图1将y=0代入y= -x+3得-x+3=0，∴x=3，∴C(3，0).将x=3代入y=21x+1，得y=21×3+1=25，∴E(3，25)．②如图2，过点C 作CE ⊥BD ，交直线AD 于点E ，过点E 作EH ⊥x 轴于H ，图2此时△BOD ∽△BEC ，∠BOD= ∠BEC=90°，把y=0代入y=21x+1得21x+1=0，∴x=-2， ∴B(-2，0) ，OB=2．∵D(0，1)，∴OD=1．如图2，OB=2，OD=1，BC=5，BD=5.∵△BOD ∽△BEC ，∴BC EB BD OB =． ∴5EB52=．∴52EB =．∵ OD//HE ，∴△BOD ∽△BHE ，∴ＢＨBO BE BD HE OD ==，∴ ，∴HE=2，BH=4.∵DB=2．∴OH=2．∴E(2，2)．综上所述，当△BOD 与△BCE 相似时，点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛253，或(2，2)．。
冀教版数学九年级上册25.3《相似三角形》教学设计
冀教版数学九年级上册25.3《相似三角形》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第25.3节《相似三角形》是学生在学习了三角形相似性质和相似三角形的判定之后，进一步探讨相似三角形的性质和应用。
本节课的内容包括相似三角形的性质，如对应边成比例，对应角相等，以及如何利用相似三角形解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固相似三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本性质，具备了一定的逻辑思维和分析问题的能力。
但是，对于相似三角形的性质和应用，部分学生可能还存在着理解和应用上的困难。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，通过具体例题和练习，引导学生深入理解相似三角形的性质，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、证明等方法，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及其应用。
2.难点：如何运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生观察、分析、猜想、证明，从而掌握相似三角形的性质。
同时，通过案例分析和小组合作，让学生在实际问题中运用相似三角形的性质，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题，用于引导学生学习和巩固相似三角形的性质。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例分析。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出一个问题：“在现实生活中，你见到过相似三角形吗？它们有什么特点？”引发学生的思考，引出本节课的主题——相似三角形。
2.呈现（15分钟）教师展示一些相似三角形的图片，让学生观察并说出它们的特点。
然后，教师通过讲解相似三角形的性质，如对应边成比例，对应角相等，使学生了解相似三角形的性质。
冀教版九年级数学上册同步练习：25.3 相似三角形-教育文档
25．3 相似三角形知识点 1 相似三角形的定义1．如图25－3－1所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠ADC ＝∠ACB ，∠ACD＝________，∠A ＝∠A ，AC AB ＝AD （ ）＝DC CB时，△ADC ______△ACB . 图25－3－12．教材“大家谈谈”变式下列说法中，错误的是( )A ．两个全等三角形一定是相似三角形B .两个等腰三角形一定相似C .两个等边三角形一定相似D .两个等腰直角三角形一定相似知识点 2 相似比3．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的相似比为k 1，△DEF 与△ABC 的相似比为k 2，则k 1与k 2的关系是( )A ．k 1＝k 2B .k 1＋k 2＝0C .k 1·k 2＝－1D .k 1·k 2＝14．若△ABC ∽△DEF ，AB ＝4 cm ，DE ＝8 cm ，则△ABC 与△DEF 的相似比为________．5．若把△ABC 的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A ′B ′C ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为________．知识点 3 相似三角形定义的应用6．如图25－3－2，已知△ADE ∽△ACB ，那么下列比例式正确的有( )图25－3－2①AD AB ＝AE AC ；②AD AC ＝AE AB； ③BC AB ＝ED AE ；④BC AC ＝ED AD . A ．1个 B .2个 C .3个 D .4个7．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝4，AC ＝8.若△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )A ．A 1B 1＝8，B 1C 1＝10B .A 1B 1＝10，B 1C 1＝8C .A 1B 1＝5，B 1C 1＝8D .A 1B 1＝10，B 1C 1＝48．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且A 1B 1＝6 cm ，AB ＝4 cm ，BC ＝3.2 cm ，∠B ＝58°，∠C ＝72°，则B 1C 1＝________cm ，∠A 1＝________°.9．如图25－3－3，已知△ABC ∽△DAC ，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°.(1)求∠BAD 的度数；(2)求CD 的长．图25－3－310．如图25－3－4，已知△ABC ∽△ADE ，AE ＝5，EC ＝3，BC ＝6，∠A ＝45°，∠C ＝40°.求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数；(2)DE 的长．图25－3－4知识点 4 利用平行线判定三角形相似11．如图25－3－5，点F 在平行四边形ABCD 的边CD 上，射线AF 交BC 的延长线于点E .∵AD ∥BC ，∴△EFC ∽△________．∵AB ∥CD ，∴△EFC ∽△________．图25－3－512．如图25－3－6所示，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，有下列三个结论：①DE ＝12AB ；②△CDE ∽△CAB ；③△CDE 与△CAB 的相似比为2.其中正确的结论有( ) 图25－3－6A ．0个B .1个C .2个D .3个13．如图25－3－7，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是()图25－3－7A．AB2＝BC·BDB.AB2＝AC·BDC.AB·AD＝BD·BCD.AB·AD＝AD·CD14．如图25－3－8所示，在▱ABCD中，BE分别交AC，CD于点G，F，交AD的延长线于点E，则图中的相似三角形有()图25－3－8A．3对B.4对C.5对D.6对15．如图25－3－9所示，△PQR是等边三角形，△P AQ∽△BPR.(1)请写出两个相似三角形对应边的比例式；(2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系．图25－3－916．如图25－3－10，在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，G为AC边上一点，∠1＝∠2.求证：△AFG∽△ABC.图25－3－1017．如图25－3－11，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝2DE，连接BE并延长交AC于点F.(1)求证：AF＝FC；(2)求BFEF的值．图25－3－1118．如图25－3－12，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，动点P从点B 出发以2 cm/s的速度向点C移动，动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若动点P，Q同时出发，则经过多少秒时，PQ∥AB.图25－3－121．∠B AC ∽2．B3．D [解析] 相似比有顺序性．4.125.156．C 7.B 8.4.8 509．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°.(2)∵△ABC ∽△DAC ，∴AC DC ＝BC AC .又AC ＝4，BC ＝6，∴CD ＝AC ·AC BC ＝4×46＝83. 10．解：(1)因为△ABC ∽△ADE ，所以∠AED ＝∠C ＝40°，所以∠ADE ＝∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－45°－40°＝95°.(2)因为△ABC ∽△ADE ，所以AC AE ＝BC DE， 所以DE ＝AE AC ·BC ＝AE AE ＋EC ·BC ＝55＋3×6＝154. 11．AFD EAB12．C13．A14．D [解析] 由AD ∥BC ，AB ∥CD ，可知△AGE ∽△CGB ，△DFE ∽△CFB ，△ABC ∽△CDA ，△ABG ∽△CFG ，△ABE ∽△CFB ，△EDF ∽△EAB .共有6对．故选D.15．解：(1)P A BP ＝PQ BR ＝AQ PR. (2)∵△PQR 是等边三角形，∴PQ ＝QR ＝PR .由(1)知PQ BR ＝AQ PR，∴PQ ·PR ＝BR ·AQ ，∴QR 2＝BR ·AQ .16证明：∵CF ⊥AB ，ED ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠ADE ＝90°，∴CF ∥DE ，∴∠1＝∠BCF .又∵∠1＝∠2，∴∠BCF ＝∠2，∴FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC .17． 解：(1)证明：过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G .∵DG ∥AC ，AD 是△ABC 的中线，即BD ＝DC ，∴DG ＝12FC . ∵DG ∥AC ，∴△DEG ∽△AEF ，∴DG AF ＝DE AE. 又∵AE ＝2DE ，∴DG AF ＝12， 则DG ＝12AF ，∴AF ＝FC . (2)∵DG ∥AC ，AD 是△ABC 的中线，即BD ＝DC ，∴BF ＝2GF .由(1)知△DEG ∽△AEF ，∴GE EF ＝DE AE ＝12， ∴GE ＝12EF . 设EF ＝2x ，则GE ＝x ，GF ＝3x ，∴BF ＝2GF ＝6x ，则BF EF ＝6x 2x＝3. 18．解：设经过t s 时PQ ∥AB ，则BP ＝2t cm ，QC ＝t cm ，PC ＝(4－2t )cm. 根据题意，得Rt △ABC ∽Rt △QPC ，所以AC BC ＝QC PC ，即34＝t 4－2t，解得t ＝1.2. 由于点P 在BC 边上的运动速度为2 cm/s ，点Q 在AC 边上的运动速度为1 cm/s ，可知t 的取值范围为0＜t ＜2，所以t ＝1.2满足题目要求．所以，经过1.2 s 时，PQ ∥AB .。
新冀教版九年级数学上册同步测试卷：《25.3 相似三角形》
新冀教版九年级数学上册同步测试卷：《25.3 相似三角形》一、填空题1．若△AED∽△ABC，AD=6cm，AC=12cm，则△AED与△ABC的相似比为______．2．△ABC与△A′B′C′的相似比AB：A′B′=1，则△ABC与△A′B′C′的关系是______；若△ABC与△A′B′C′的相似比是2：5，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______．3．已知△ABC的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______．4．（12分）根据图中所给的条件，判定两三角形的关系填空．（1）如图①，已知DE∥AB，则△CDE______△CBA，∠A=______，∠B=______，=______=______．（2）如图②，已知∠A=∠D，则△AOB______△DOC，______=______．5．如图，若△ABC∽△AED，AD=10cm，BD=12cm，AC=12cm，则AE=______cm．二、选择题6．下列各组图形有可能不相似的是（）A．各有一个角是50°的两个等腰三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．各有一个角是50°的两个直角三角形D．两个等腰直角三角形7．如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为（）A．30°B．50°C．100°D．以上都不对8．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A．AB2=BC•BD B．AB2=AC•BD C．AB•AD=BD•BC D．AB•AD=AD•CD9．在△ABC中，BC=54，CA=45，AB=63，另一个和它相似的三角形的最短边为15，则最长边一定是（）A．18 B．21 C．24 D．19.510．若△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则有（）A．k1=k2B．k1+k2=0 C．k1•k2=﹣1 D．k1•k2=111．如图，若△ABC∽△ACD，∠A=60°，∠ACD=40°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．30°或50°12．如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m13．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE 交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对三、解答题14．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为=，若AB=6，BC=5，AC=4，求△A′B′C′的周长．15．如图所示，△ABC∽△ACD，且AD=5，BD=4，求△ACD与△ABC的相似比．16．如图，已知AB∥CD，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，∠AOB=72°，求AB，OC的长及∠C的度数．四、综合运用题17．如图，在△ABC中，D，E在AB上，EF∥BC，EF交AC于点F，∠ADF=∠C，△ABC∽△AFD．若AF=6cm，CF=AD=4cm，求AB和AE的长．。
25.3 相似三角形 预学检验+课堂导学(含答案)冀教版数学九年级上册
第二十五章图形的相似25. 3 相似三角形1．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，点B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5 cm，BF＝7 cm，则EC的长为________cm.2．如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在AD上取一点E，连接CE.若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为________．1．对应角__________、对应边__________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比叫做它们的__________．2．三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形可以看成是相似比为__________的相似三角形．3．平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形__________．4．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2，则()A．∠A是∠A′的2倍B．∠A′是∠A的2倍C．AB是A′B′的2倍D．A′B′是AB的2倍5．[2023福州鼓楼区模拟如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC ＝45°，则∠E＝()A．75°B．105°C．60°D．45°(第5题)(第6题) 6．[2023成都双流区期末]如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝________．知识点1 相似三角形的概念及其相似比如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝108°，求AB，OC的长和∠D的度数．变式1如图，D是AB的中点，△ABC∽△ACD，且AD＝2，∠ADC ＝65°.(1)写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式；(2)求AC的值及∠ACB的度数．3知识点2 平行线判定两三角形相似[2023哈尔滨香坊区月考]如图，在平行四边形ADBC 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线AB 于点F ，则CFEF 的值为________．变式2如图，已知BC 交AD 于点E ，AB ∥EF ∥CD ，那么图中相似的三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案第二十五章 图形的相似25. 3 相似三角形1．3 2.45°－α1．相等；成比例；相似比 2.1 3.相似 4．C 5.A 6.2 6例1 解：∵OA ＝2，AD ＝9，∴OD ＝9－2＝7.∵△AOB ∽△DOC ，∴OA OD ＝OB OC ＝ABCD ，∠D ＝∠A ＝108°. ∴27＝5OC ＝AB 12，解得OC ＝352，AB ＝247. 变式1.解：(1)AD AC ＝AC AB ＝CDBC .(2)由(1)得AD AC ＝ACAB .∵D 是AB 的中点，AD ＝2，∴AB ＝4， ∴2AC ＝AC4，解得AC ＝2 2(负值舍去)． ∵△ABC ∽△ACD ， ∴∠ACB ＝∠ADC ＝65°. 例2 2 变式2.C。
冀教版初中数学九年级上册《25.3 相似三角形》同步练习卷
冀教新版九年级上学期《25.3 相似三角形》同步练习卷一．选择题（共18小题）1．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比k＝2，AB＝6，则对应边A′B′的长为（）A．3B．2C．12D．242．若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为（）A．15B．10C．9D．33．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，AD＝2，DB＝8，AC＝5．若△ADE与△ABC 相似，则AE的长为（）A．1.25B．1C．4D．1或44．根据你对相似的理解，下列命题中，不正确的是（）A．相似三角形的对应角相等B．相似三角形的对应边成比例C．相似三角形的周长比等于相似比D．相似三角形的面积比等于相似比5．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为线段AE上一点，若△ADE∽△BF A，AE＝4，BF＝3，则该正方形的面积为（）A．12B．8C．6D．26．两相似三角形对应边的比为1：4，则它们面积的比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：167．已知△ABC～△DEF，相似比为，且△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．8．如果两个相似三角形的相似比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是（）A．2：1B．1：C．1：2D．1：49．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．4：25B．4：5C．2：25D．2：510．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝3，A′B′＝4．若S△ABC＝18，则S△A′B′C′的值为（）A．B．C．24D．3211．两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和1cm，如果它们的面积之和为40cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．32cm2C．30cm2D．24cm212．两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：16D．113．一个直角三角形两条直角边的长分别为4，8，另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12，则另一条直角边的长为（）A．6B．24C．6或24D．6或14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为1：2，则△ABC与△DEF对应的角平分线之比为（）A．2：1B．1：2C．1：4D．1：15．如图所示是小明做的一个风筝的支架，AB＝40cm．BP＝60cm，且△ABC∽△APQ，则它们的相似比是（）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：516．已知△ABC的三边长2，4，5，△A'B'C'其中的两边长分别为1和2，若△ABC∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长应该是（）A．2.5B．2C．1.5D．117．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个18．下列三种方法：①相似三角形对应高的平分线的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于周长比；③周长之比等于1的两个三角形全等，其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．0个二．填空题（共26小题）19．两个相似三角形面积比为2，周长比为K，则＝．20．两个相似三角形的一对对应边的长分别是20cm，8cm，它们的周长差为60cm，则这两个三角形的周长分别为．21．已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为cm．22．已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．23．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝8，CA＝7，延长BC至P，使△P AB∽△PCA，则PC ＝．24．如图表示△COD和它放大后得到的△AOB，则它们的相似比是．25．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为．26．想一想：△ABC与△A′B′C′的相似比和△A′B′C′与△ABC的相似比相等吗？有无特殊情况？请你填一填：若△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则＝＝＝，k2＝＝＝，因此k1，k2一般不相等，其关系是，当且仅当它们全等时，才有k1＝k2＝．27．如图，已知△AEF是△ABC经过相似变换所得的像，且AE＝EB＝2，AF＝4，则FC ＝．28．已知△ABC∽△DEF，且BC＝5cm，EF＝3cm，若S△ABC＝25cm2，则S△DEF＝．29．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，则△ABC与△A1B1C1的面积比为．30．如图，P是△ABC边AB上一点，且AP＝4，BP＝5，若使△ACP∽△ABC，则边AC的长应为．31．一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，则这个三角形的周长扩大为原来的倍．32．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D，E，F分别在AC，AB，BC边上，△BEF沿着直线EF翻折后与△DEF重合，若△DFC与△ABC相似，则CD的长为．33．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，△ABC的周长为18厘米，则△DEF的周长为厘米．34．如图中两三角形相似，则x＝．35．若相似三角形面积比是1：2，则它们对应中线的比是．36．已知△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为1：2，则△ABC与△DEF的面积之比为．37．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是．38．已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝4cm．若△ADE与△ABC相似，则AE＝cm．39．已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC周长的一半，AB＝8cm，则AB边上高等于．40．在△ABC中，D为AB的中点，AB＝4，AC＝7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE＝．41．两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为．42．如图，△ABC∽△ADE，则∠BAD＝＝．43．两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．44．等边三角形ABC和△A′B′C′相似，相似比为5：2，若AB＝10，B′C′边上的高是．三．解答题（共6小题）45．如果一个三角形的底边长是3厘米，高是2厘米，把它按1：5的比例放大，得到的图形面积是多少？46．已知两个相似三角形的一对对应边长为20cm，35cm，若它们的周长差为63cm，求这两个三角形的周长．47．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．48．附加题：（1）一元二次方程x2﹣1＝0的解为．（2）已知△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，则∠A的对应角∠A′＝度．49．如图．BD∥AC，AB与CD相交于点O，已知△OBD∽△OAC，＝，OB＝2，求AB的长．50．若△ABC∽△ADE，AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长．冀教新版九年级上学期《25.3 相似三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比k＝2，AB＝6，则对应边A′B′的长为（）A．3B．2C．12D．24【分析】根据相似三角形的性质得到AB：A′B′＝k，即6：A′B′＝2，然后利用比例的性质求解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AB：A′B′＝k，即6：A′B′＝2，∴A′B′＝3．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．2．若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为（）A．15B．10C．9D．3【分析】首先设它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：设它相似的三角形的最短边的长为x，∵一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21，∴，解得：x＝9．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．3．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，AD＝2，DB＝8，AC＝5．若△ADE与△ABC 相似，则AE的长为（）A．1.25B．1C．4D．1或4【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．【解答】解：①若∠AED对应∠B时，＝，即，解得AE＝4；②当∠ADE对应∠B时，＝，即＝，解得AE＝1．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边成比例．4．根据你对相似的理解，下列命题中，不正确的是（）A．相似三角形的对应角相等B．相似三角形的对应边成比例C．相似三角形的周长比等于相似比D．相似三角形的面积比等于相似比【分析】根据相似三角形的性质，即可求得答案．【解答】解：A、相似三角形的对应角相等，故本选项正确；B、相似三角形的对应边成比例，故本选项正确；C、相似三角形的周长比等于相似比，故本选项正确；D、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故本选项错误．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应角相等，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的周长的比等于相似比与相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．5．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为线段AE上一点，若△ADE∽△BF A，AE＝4，BF＝3，则该正方形的面积为（）A．12B．8C．6D．2【分析】设正方形的边长是a．根据相似三角形的对应边的比相等，得到关于a的方程即可求解．【解答】解：设正方形的边长是a．∵△ADE∽△BF A，AE＝4，BF＝3，∴．即a2＝3×4＝12，即正方形的面积是12．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的性质和正方形的性质．6．两相似三角形对应边的比为1：4，则它们面积的比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】利用相似三角形性质面积的比等于相似比的平方即可得出．【解答】解：∵对应边的比为1：4∴它们面积的比为（1：4）2＝1：16故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，面积的比等于相似比的平方．7．已知△ABC～△DEF，相似比为，且△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△DEF，∴△ABC与△DEF对应中线的比等于相似比，即相△ABC与△DEF对应中线的比为．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．8．如果两个相似三角形的相似比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是（）A．2：1B．1：C．1：2D．1：4【分析】直接根据似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．【解答】解：这两个相似三角形的面积比＝12：（）2＝1：2．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．9．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为（）A．4：25B．4：5C．2：25D．2：5【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，又∵S△ABC：S△DEF＝4：25＝（2：5）2，∴△ABC与△DEF的相似比为2：5．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．10．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝3，A′B′＝4．若S△ABC＝18，则S△A′B′C′的值为（）A．B．C．24D．32【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，且已知了两个相似三角形的对应边AB、A′B′的长，即可根据△ABC的面积和两个三角形的面积比求出S△A′B′C′的值．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝（）2＝；∵S△ABC＝18，∴S△A′B′C′的值32；故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．11．两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和1cm，如果它们的面积之和为40cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．32cm2C．30cm2D．24cm2【分析】首先设较大三角形的面积是xcm2，由它们的面积和为40cm2，即可求得较大三角形的面积，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，列方程即可求得答案．【解答】解：设较大三角形的面积是xcm2，根据题意得：x：（40﹣x）＝9：1，解得：x＝36，∴较大三角形的面积是36cm2．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．注意方程思想的应用．12．两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：16D．1【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4，∴它们的面积比是1：16．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．13．一个直角三角形两条直角边的长分别为4，8，另一个和它相似的直角三角形的一条直角边为12，则另一条直角边的长为（）A．6B．24C．6或24D．6或【分析】设另一直角边为x，然后分两种情况利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：设另一直角边为x，∵两三角形相似，∴＝或＝，解得x＝6或x＝24．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为1：2，则△ABC与△DEF对应的角平分线之比为（）A．2：1B．1：2C．1：4D．1：【分析】利用相似三角形对应的角平分线的比等于相似比即可得到答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF的周长之比为1：2，∴两三角形的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF对应的角平分线之比为1：2，故选：B．【点评】本题考查对相似三角形性质．注意相似三角形对应角的平分线的比等于相似比．15．如图所示是小明做的一个风筝的支架，AB＝40cm．BP＝60cm，且△ABC∽△APQ，则它们的相似比是（）A．3：2B．2：3C．2：5D．3：5【分析】根据△ABC∽△APQ，可求AB：AP的值．【解答】解：∵△ABC∽△APQ，∴AB：AP＝＝2：5．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质．相似比就是对应线段的比值．16．已知△ABC的三边长2，4，5，△A'B'C'其中的两边长分别为1和2，若△ABC∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长应该是（）A．2.5B．2C．1.5D．1【分析】先找出两相似三角形的对应边，然后根据对应边成比例求出第三边．【解答】解：∵△ABC的三边长2，4，5，△A′B′C′其中的两边长分别为1和2∴2，4与1，2分别是对应边设△A′B′C′的第三边长是x则2：1＝5：x解得：x＝2.5．故选：A．【点评】注意三角形相似，分清对应边是解决本题的关键．17．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由相似求全等，即在相似的基础上，再得出其对应边相等即可，而题干中只有当面积与周长相等时，才可得出其对应边相等，而（1）中叙述并不是对应边，所以叙述错误．【解答】解：（1）中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以（1）说法不正确；（2）中由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1，所以全等；（3）中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同．这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形及全等三角形的性质及判定问题，能够熟练掌握这两类三角形的性质及区别，在以后的解题过程中能够熟练求解．18．下列三种方法：①相似三角形对应高的平分线的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于周长比；③周长之比等于1的两个三角形全等，其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．0个【分析】根据相似三角形的性质进行判断，从而得出结论．【解答】解：因为：（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．所以②正确，①错误，③正确．故选：B．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．二．填空题（共26小题）19．两个相似三角形面积比为2，周长比为K，则＝．【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形面积比为2，∴它们的相似比为，∴周长比为K＝，∴＝．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．20．两个相似三角形的一对对应边的长分别是20cm，8cm，它们的周长差为60cm，则这两个三角形的周长分别为100cm，40cm．【分析】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为60cm，即可求出两三角形的周长．【解答】解：∵两相似三角形的一组对应边为20cm，8cm，∴两相似三角形的周长比为20：8，即5：2，设较小的三角形的周长为2a，则较大三角形的周长为5a，依题意，有：5a﹣2a＝60，a＝20，∴5a＝100cm，2a＝40cm，因此这两个三角形的周长分别为100cm，40cm．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．21．已知：△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边之比为3：4：5．若△A′B′C′的最长边为20cm，则它的最短边长为12cm．【分析】设△A′B′C′的最短的边是x，根据相似三角形的性质，可得x：20＝3：5，解方程即可．【解答】解：设△A′B′C′的最短的边是x，根据相似三角形的对应边的比相等，得到x：20＝3：5，解得：x＝12cm．它的最短边长为12cm．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．22．已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为3和6或和8或和2．【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，注意分情况进行分析．【解答】解：设另外两边为x、y题中没有指明边长为4的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为4的边与边长为8的边相对应，＝＝，则另两边为3和6；（2）若边长为4的边与边长为6的边相对应，＝＝，则另两边为和8；（3）若边长为4的边与边长为12的边相对应，＝＝，则另两边为和2．故三角形框架的两边长可以是3和6或和8或和2，故答案为：3和6或和8或和2．【点评】本题考查相似三角形的判定定理和性质定理的应用，注意：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．23．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝8，CA＝7，延长BC至P，使△P AB∽△PCA，则PC ＝12．【分析】先设P A＝x，PC＝y，由于△P AB∽△PCA，可得P A：AB＝PC：CA，PB：AB＝P A：CA，从而可得关于x、y的方程组，解即可．【解答】解：设P A＝x，PC＝y，∵△P AB∽△PCA，∴P A：AB＝PC：CA，PB：AB＝P A：CA，∴x：9＝y：7①，（y+8）：9＝x：7②，解关于①②的方程组得x＝，y＝，故PC＝＝12．故答案是12．【点评】本题考查了相似三角形的性质、解方程的知识．24．如图表示△COD和它放大后得到的△AOB，则它们的相似比是．【分析】三角形的相似比及相似三角形对应边长的比．【解答】解：由图可知，，即为三角形的相似比．【点评】理解相似三角形的性质，能够运用相似三角形解决一些线段的比例问题．25．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为1：4．【分析】根据相似三角形的相似比求面积比．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，∴它们的相似比为1：2，∴它们的面积比为1：4．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．26．想一想：△ABC与△A′B′C′的相似比和△A′B′C′与△ABC的相似比相等吗？有无特殊情况？请你填一填：若△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则＝＝＝k1，k2＝＝＝k2，因此k1，k2一般不相等，其关系是k1＝，当且仅当它们全等时，才有k1＝k2＝1．【分析】△ABC与△A′B′C′的相似比就是AB：A′B′，而△A′B′C′与△ABC的相似比是A′B′：AB．【解答】解：∵＝＝＝k1，k2＝＝＝k2，∴k1，k2一般不相等，其关系是k1＝，当且仅当它们全等时，才有k1＝k2＝1．【点评】本题主要考查了相似比的概念，讲三角形的相似比时一定要说明是哪两个三角形的相似比，分清两个三角形的顺序．27．如图，已知△AEF是△ABC经过相似变换所得的像，且AE＝EB＝2，AF＝4，则FC＝4．【分析】根据题意，易得△AEF∽△ABC，根据对应边成比例即可得出FC的长．【解答】解：△AEF是△ABC经过相似变换所得的像∴△AEF∽△ABC且AE＝EB＝2∴AB＝4∴∴AF＝8∴FC＝4．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．28．已知△ABC∽△DEF，且BC＝5cm，EF＝3cm，若S△ABC＝25cm2，则S△DEF＝9cm2．【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的面积比，计算即可．【解答】解：△ABC∽△DEF，且BC＝5cm，EF＝3cm，∴△ABC和△DEF的相似比为5：3，∴△ABC和△DEF的面积比为25：9，∵S△ABC＝25cm2，∴S△DEF＝9cm2，故答案为：9cm2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．29．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，则△ABC与△A1B1C1的面积比为9：1．【分析】由△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N＝1，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，即可求得其相似比，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的角平分线AM＝3，△A1B1C1的角平分线A1N ＝1，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为3：1，∴△ABC与△A1B1C1的面积比，9：1．故答案为：9：1．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．30．如图，P是△ABC边AB上一点，且AP＝4，BP＝5，若使△ACP∽△ABC，则边AC的长应为6．【分析】根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求解．【解答】解：∵△ACP∽△ABC，∴AP：AC＝AC：AB，即4：AC＝AC：9，解得AC＝6．故答案为6．【点评】本题考查相似三角形的性质，用到的知识点：相似三角形的对应边的比相等．31．一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，则这个三角形的周长扩大为原来的6倍．【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的6倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的6倍．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．32．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D，E，F分别在AC，AB，BC边上，△BEF沿着直线EF翻折后与△DEF重合，若△DFC与△ABC相似，则CD的长为或．【分析】分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC两种情况讨论，根据相似三角形的性质求出CD的长．【解答】解：设CD＝x，①当△DFC∽△ABC时，∠DFC＝∠B＝∠C，∴BF＝DF＝CD＝x，CF＝4﹣x，则＝，即＝，解得，x＝；②当△DFC∽△BAC时，∠FDC＝∠B＝∠C，∴BF＝DF＝CF＝BC＝2，则＝，即＝，解得，x＝，∴CD的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．33．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，△ABC的周长为18厘米，则△DEF的周长为54厘米．【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：1：3，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF的周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝1：9，∴△ABC与△DEF的相似比为：1：3，∴△ABC与△DEF的周长比为：1：3，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为54厘米．故答案为：54．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．34．如图中两三角形相似，则x＝2．【分析】根据相似三角形对应边成比例进行求解．【解答】解：由图形可得＝，解得x＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够熟练掌握．35．若相似三角形面积比是1：2，则它们对应中线的比是：2．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．【解答】解：∵相似三角形面积比是1：2，∴这两个相似三角形的相似比是：2，则它们对应中线的比是：2，故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．36．已知△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为1：2，则△ABC与△DEF的面积之比为1：4．【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为1：2，∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．37．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，则另一个三角形的周长是9．【分析】由在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8．另一个三角形的最小边长是2，即可求得其中一个三角形的周长，由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵一个三角形三边的长是4，6，8，∴这个三角形的周长为：4+6+8＝18，∵在相似三角形中，另一个三角形的最小边长是2，∴它们周长的比为：4：2＝2：1，∴另一个三角形的周长是9．故答案为：9．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．38．已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝4cm．若△ADE与△ABC相似，则AE＝3或cm．【分析】分①AD与AB是对应边，②AD与AC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：①AD与AB是对应边时，如图1，∵△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得AE＝3cm；②AD与AC是对应边时，如图2，∵△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得AE＝cm，综上，AE＝3cm或cm．。
冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》说课稿1
冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》说课稿1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《25.3 相似三角形》是整个初中数学的重要内容，也是学生对几何学习的一个转折点。
本节课主要通过探讨相似三角形的性质和判定方法，使学生能够理解和运用相似三角形的知识。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，对图形的观察和推理能力有一定的基础。
但是，对于相似三角形的性质和判定方法，学生可能存在一定的困难，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解相似三角形的性质和判定方法，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、推理和练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。
四. 说教学重难点1.重点：相似三角形的性质和判定方法。
2.难点：理解和运用相似三角形的知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生主动探究和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解和掌握相似三角形的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对相似三角形的思考，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍相似三角形的定义和性质，引导学生通过观察和推理来理解和掌握。
3.案例分析：通过具体的例题，讲解相似三角形的判定方法，让学生在实践中学习和运用。
4.练习与讨论：学生分组进行练习，讨论解题方法，教师给予指导和点拨。
5.总结与拓展：总结相似三角形的性质和判定方法，引导学生思考相似三角形的应用和拓展。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出相似三角形的性质和判定方法。
可以采用流程图、图示和关键词的形式，帮助学生直观地理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是对学生的学习效果的评价，包括知识掌握程度和解题能力的评估；二是对教师的教学过程的评价，包括教学方法的有效性和教学内容的适切性的评估。
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《25.3 相似三角形》同步练习
一、基础过关 1.如图，正五边形
是由正五边形
经过位似变换得到的，若
，
则下列结论正确的是( )
A.2DE=3MN
B.3DE=2MN
C.3∠A=2∠F
D.2∠A=3∠F
2.若△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为1∶2,则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（ ） A. 1∶2
B. 2∶1
C. 1∶4
D. 4∶1
3.已知四条线段是成比例线段，即
d
c
b a =，下列说法错误的是（ ） A ．ad=b
c B.
b
a
d b c a =++ C. d b
c b
d a -=-
D ．22
22d
c b a =
4..如图，已知//
，
//
，
分别交
于点
，则图中共有相似三角
形（ ）
A.4对
B.5对
C. 6对
D.7对
5.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（）
A.3
2B.7
6
C. 23
6
D.
6.下列四组图形中，不是相似图形的是（）
7.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为( )
A.48 cm
B.54 cm
C.56 cm
D.64 cm
8.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）
二、综合训练
9.如图，在△ABC中，DE∥BC,
2
3
DE
BC
,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为。
10.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________。
11.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 。
12.若
0234x y z ==≠，则23x y z
+= 。
13.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙
的顶端处，已知
，
，且测
得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙的高度是_____。
14.已知五边形
∽五边形A ′B ′C ′D ′E ，∠A =120，∠B ′=130,∠C =105,∠
D ′=85°,则∠
E = 。
15.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 边上的点，∠AED =∠C ,AB=6,AD=4,AC=5,则
_______。
三、
16.如图，△
三个顶点的坐标分别为A(2,2)B(4,0)C(6,4)，以原点为位似中心， 将△ABC
缩小，位似比为1：2，则线段AC 的中点变换后对应点的坐标为_________。
三、拓展应用
17.已知ABC ∆与DEF ∆相似，ABC ∆三边为2,3,4，DEF ∆最大边为8， (1)求其余两边；
(2)若改为DEF ∆一边为8，求其余两边。