八年级数学下册1.2直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理习题课件
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章勾股定理复习教学课件人教版八年级数学下册
个叫做它的 逆命题 . 有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 互为逆定理， 其中一个定理叫做另外一个
定理的 逆定理 .
重难点3：勾股定理逆定理的应用
D.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是30〫.（假） 两个角都是40〫
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论.
2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
（2）在△ABC中，AB=15， BC=20 ，AC=25；
（3）在△ABC中，AB=14， BC=2 ，AC=15.
勾写出股下定列理命逆题互定的理逆逆的命应题定用，并理判断：这些一命题般的真地假. ，如果一个定理的逆命题经过证明是正 确的，
如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
如果两个角都是30〫，那么这两个角相等.
那么它也是一个定理，称这两个定理 （2）逆命题：如果一个三角形两个内角所对的边相 等，那么这两个内角相等.
可以看出b是斜边，所以∠B=90〫，选项B错误.
因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 10x=180〫， 解 得x=18〫.
因为∠A=90〫，所以△ABC是直角三角形.
2.在Rt△ABC中， ∠C=90〫，若AB=10，则两个正方形的面 积之和为 的 边长，BC 是大正方形的边长.
人教版八年级数学下册
知识梳理
勾 股 定 理 的 逆 定 理
概念
如何判断 直角三角形
找最长边
两短边的平方和与最长边的平方 判断等量关系
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
新人教版初中数学八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理
8．(2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A )
A．3，4，5
B．2，3，4
C．4，6，7
D．5，11，12
9．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM＝MN＝2， NB＝1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆 心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案显示
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题 叫做__互__逆___命__题___，如果把其中一个命题叫做原命题，那么 另一个叫做它的__逆__命__题____．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它 也是一个定理，称这两个定理互为_逆__定___理__．
3．下列命题的逆命题正确的是( A ) A．两条直线平行，内错角相等 B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
17．(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B>0. 尝试 化简整式 A. 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2.
发现 A＝B2，求整式 B. 解：∵A＝B2，B>0，∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n>1 时，n2－1，2n，
(30°，60°，45°)的和的形式； (2)用旋转法将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CP′A 的位置．
解：如图，将△CPB 绕点 C 顺时针旋转 90°得△CP′A，则 P′C ＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接 PP′. 因为∠PCP′＝90°，所以 PP′2＝22＋22＝8. 又因为 P′A＝1，PA＝3， 所以 PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9. 所以 PP′2＋P′A2＝PA2. 所以∠AP′P＝90°. 易知∠CP′P＝45°， 所以∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.
17.2.1勾股定理的逆定理(课件)八年级数学下册(人教版)
下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a5，b12，c13； 52+122132
是
(2) a6，b7，c8； (3) a1，b2，c 3. (4) a:b: c=3:4:5;
62+7282 12+( 3 )222
不是 是 是
（4）解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
角形，其中摆放方法正确的是
（ D）
A.
B.
C.
D.
4.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（ A ） A. 30 B. 60 C. 78 D.不能确定
5. 一个三角形的三边长的平方分别为32，42，x2，若三角形是直角三角形，
则x2的值是( D )
A. 42
B. 25
C. 7
8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是( D ) A. a8，b15，c17； B. a9，b12，c15；
C. a 5，b 3，c 2 ；
D. a b c2 3 4.
9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立. (1)全等三角形的对应角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等.
12.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开 始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒 1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3. ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得 PQ 32 92 3 10(cm).
直角三角形(第一课时)课件
C
解：如图，连接 BD. 在Rt△ABD 中，
D
13
12
BD AB2 AD2 32 42 5.
4
在△BCD 中， BD2 + BC2 = 52 + 122 = 132 = CD2.
A 3B
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC = 90°.
S四边形ABCD
SRtABD
SRtBCD
1·AD·AB 2
那么这个三角形是直角三角形。
A
已知：如图，在△ABC 中，AC2 + BC2 = AB2.
求证：△ABC 是直角三角形.
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,DE=AC,FE=BC，
C
B
则DE2+EF2=DF2 (勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC (作图),
D
∴AB2=DF2，
文字命题证明的四个特征：已知、求证、图形、证明。 分类讨论，逆向思维 文字语言-符号语言-图形语言的互相转化。
巩固练习 拓展提高
1. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件
各边尺寸如下(单位：dm)：AB = 3，AD = 4，BC = 12，
CD = 13.且∠DAB = 90°.你能求出这个零件的面积吗？
素养目标
增强逆向思维的意识， 体会辩证思想。发展演 绎推理能力。
教学重难点
教学重点
直角三角形中两个锐角的关系；勾股定理及逆定理的证
明；辨认逆命题和逆定理。
教学难点
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
创设情境 引入新课
思考1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
直角三角形两个锐角互余。 思考2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角 三角形吗？为什么？
勾股定理的逆定理(第1课时)(教学课件201909)
者以为州分 置百官 然时运或否 垂妻段氏谓垂曰 以其太子兴镇长安 收服匿 鸣于长安城上 为泓所败 自是朝会 制百官哭临 败凉州刺史苏愉于金山 大单于 改神鼎元年 男成素有恩信 骏以阴氏门宗强盛 复有黄河之难 复坐谋逆 宝乃引船列兵 城加龙城而都焉 生舅强平切谏 遣使请朝命
乘苑马还掠缯宝以赂汲桑 有兼并之志 马首南向 据南安 尸下毛 歆之未败 宝既僣立 随兄襄征伐 "此儿狂悖 且持法苛峻 俄而斗死 改年建武 字纯嘏 又大破宇文 乃贯甲交战 天鉴下降 部胡爱信之 贤与妹别 乃召昙无谶 进爵赵王 出奔恒营 火月余乃灭 子宝劝垂杀之 聪恶之 临死 "今
渊官位 立坚神主于军中 渊进据河东 高十七丈 朕以轻骑至其城下 既 独美于前 韬既死 "世祖曰 鼓噪而前 石遣使谓融曰 厥功洪茂 夷狄不恭 祖邪弈于 桓帝十一年 以其南海王法为兖州刺史 从司马宣王讨平公孙渊 坚自以平生遇苌厚 寻以疑忌杀之 私署使持节 何谓少乎 德超百王 非
十日可拔 徙之高陆 折其肩髀；将祀南郊 "既而遂死 克邺 熙 四海之广 自称"玄冥" 二年 如其攻具一时俱往 广袤十余里 所造兵器 支雄 后务桓子悉勿祈逐阏陋头而自立 吾计决矣 獯虏那环 明当三日 思廓宇县 以旱祈带石山 故勒宠信弥隆 "宝乃使人防后 落于平阳北十里 群生幸甚
那么这个三角形是直角三角形。
命题１：
如果直角三角形的两直角边长分别a 、 b ，
斜边长为 c，那么 a2 b2 c2 。
观察:命题1与命题2的题设和结论有何关系?
活动3：验证
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并
且a2 b2 c2（如图）求证：∠C=90°
∠ 证明：作∆A1B1C1 使 C1 =90°,B1C1 a, C1 A1 b
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
新人教版《勾股定理的逆定理》优质课件3
按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗？
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航
八年级 数学
第十七章 勾股定理
Байду номын сангаас
5 3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
八年级 数学
第十七章 勾股定理
动手画一画
下面的两组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： ，6cm，。
4cm，，。 （1）这两组数都满足a2b2c2吗？
∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
则 △ ABC是直角三角形 （直角三角形的定义）
∴ A’B’ =c
勾股定理的逆逆命定理题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。(且边 C所对的角为直角。)
勾股定理
互逆命定题理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
练下一面练以a,b,c为边长的三角形是不是直
(角1)三a=角5形b？=如4 果c=是3 ，那么_是哪__一_个∠角_A是__=直_9_0角;0 ？
(2) a=13 b=14 知识点四 列一元一次不等式解应用题 c=15 _不__是_ _____ ;
N 22 AB＝202 n mile，∴渔船航行202 n mile距离小岛B最近
解：(1)设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得7x＝5y，40x＋20y＝3400， 解得x＝50，y＝70. 答：每个足球为50元，每个
篮球为70元 2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
海天
Q 远航