【2014高考通关】难点2:圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题(扫描版,以2013年真题为例)

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高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

高考圆锥曲线中的定点定值问题定点问题是常见的考题形式,解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式,代入直线方程即可类型一:“手电筒”模型例题、已知椭圆C :13422=+y x 若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标。

解:设1122(,),(,)A x y B x y ,由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-, 1212122y yx x ∴⋅=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++, 整理得:2271640m mk k ++=,解得:1222,7k m k m =-=-,且满足22340k m +-> 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾;当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2(,0)7综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0).7◆方法总结:本题为“弦对定点张直角”的一个例子:圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ,则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题

课题:圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题教学目标:会处理动曲线(含直线)过定点的问题;会证明与曲线上动点有关的定值问题;会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.(一) 主要知识及主要方法:1.在几何问题中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果;另一种是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,然后再进行一般性证明或计算,即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式,证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现,特殊方法往往比较奏效.2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,设该直线(曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标满足的方程(组),求出相应的直线(或曲线),然后再利用直线(或曲线)过定点的知识加以解决.3.解析几何的最值和范围问题,一般先根据条件列出所求目标的函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.(二)典例分析:问题1.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO(Ⅰ)求AOB △得重心G 的轨迹方程;(Ⅱ)AOB △若不存在,请说明理由.问题2.已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点M ⎛ ⎝,MF ,QF 成等差数列.()1求证:线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ;()2设点A 关于原点O 的对称点是B ,求PB 的最小值及相应的P 点坐标.问题3.已知抛物线24x y =的焦点为F ,A 、B 是抛物线上的两动点,且AF FB λ=(0λ>).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M .(Ⅰ)证明FM AB ⋅为定值;(Ⅱ)设ABM △的面积为S ,写出()S f λ=的表达式,并求S 的最小值.问题4.直线m :1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点,直线l 过点()2,0P -和线段AB的中点M ,求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.(四)课后作业:1.已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为F ,过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点,若有2BF AF =,求椭圆离心率的取值范围.2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB 求证:AB 交抛物线的对称轴上一定点.3.如图,在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y ,()2,6B x ,()33,C x y ,它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值;()2证明:线段AC 的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.4.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ,双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点,而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.(Ⅰ)求双曲线2C 的方程;(Ⅱ)若直线l :y kx =1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点,且l 与2C 的两个交点A 和B 满足6<⋅(其中O 为原点),求k 的取值范围.5.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点,,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为 .A 6 .B 7 .C 8 .D 96.如图,中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ,右准线l 的方程为:12x =.()1求椭圆的方程;()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ,使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠证明:123111FP FP FP ++为定值,并求此定值.7.已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OA OB + 与(3,1)a =-共线。

专题:圆锥曲线中的最值、范围、定点和定值问题(二合一版)

专题:圆锥曲线中的最值、范围、定点和定值问题(二合一版)

专题:圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题题型一:定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PN 交椭圆C 于另一点E ,求直线PN 的斜率的取值范围;(3)在(2)的条件下,证明直线ME 与x 轴相交于定点.解析:(1)2214x y +=;(2)0k <<或0k <<(3)(1,0)例2、在直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F ,)2,0F 的距离之和是4,点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q . (1)求轨迹C 的方程;(2)当0AP AQ ⋅=时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点.解析:(1)2214x y +=;(2)k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点例3、已知椭圆C 中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,短轴长为 (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l :()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、(M N 、不是椭圆的左、右顶点),且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A .求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.解析: (1)22143x y +=(2)直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,过定点2(,0)7题型二:定值问题在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题时,一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒定的.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索. 例1、已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点,)1,3(-=+与共线.(1)求椭圆的离心率;(2)设M 为椭圆上任意一点,且),(R ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值. 解析:(1)36=e (2)122=+μλ例2、已知,椭圆C 过点A 3(1,)2,两个焦点为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆C 的方程;(2)E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.解析:(1)22143x y += (2)12例3、已知椭圆的中心在原点,焦点F 在y 轴的非负半轴上,点F 到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.(1)求椭圆的标准方程和离心率e ;(2)若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点,动点M 满足MF e MF ||='||,问是否存在一个定点A ,使M 到点A 的距离为定值?若存在,求出点A 的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.解析:(1)椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==(2)存在一个定点7(0,)3A ,使M 到A 点的距离为定值,其定值为2.3题型三:最值、范围问题例1、设椭圆E :x a y ba b 222210+=>>()的左、右焦点分别为F F 12、,如果椭圆上存在点M ,使∠=︒F PF 1290(1)求离心率e 的取值范围;(2)当离心率取最小值是,点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为 ①求椭圆E 的方程;②设斜率为(0)k k ≠的直线与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,Q 为AB 的中点,问A 、B 两点能否关于过点(0,3P -、Q 的直线对称. 解析:(1)1e ∈) 解法1:利用椭圆自身的范围求解 解法2:利用根的判别式求解 解法3:利用三角函数有界性求解 解法4:利用焦半径公式求解 解法5:利用基本不等式求解 解法6:利用平面几何知识求解解法7:利用椭圆中的焦点三角形求解 解法8:利用椭圆中的焦点三角形面积公式(2)①2213216x y +=②((0,22-⋃例2、设椭圆:x a y ba b 222210+=>>()的左顶点为A 、上顶点为D ,点P 是线段AD 上任一点,左、右焦点分别为F F 12、,且12PF PF 的最大值为1,最小值为115- (1)求椭圆方程;(2)设椭圆右顶点为B ,点S 是椭圆上位于x 轴上方的一点,直线AS 、BS 与直线34:15l x =分别交于M 、N 两点,求|MN|的最小值.解析:(1)2214x y +=(2)1615例3、已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.(1)22221111||||OP OQ a b+=+(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +(3)OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.专题:椭圆中的最值、范围、定点、定值问题题型一:定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题:①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长).②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a(实轴长).③椭圆焦半径的取值范围为[a-c,a+c],a-c与a+c别离表示椭圆核心到椭圆上的点的最小距离与最大距离.④抛物线上的点中极点与抛物线的准线距离最近.(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,经常使用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解.(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法.(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下,求相关式子(目标函数)的取值范围问题,经常使用参数方程代入转化为三角函数的最值问题,或依照平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处置.(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题,常把所求参数作为函数,另一个元作为自变量求解.与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论经常使用以下方式解决:(1)结合概念利用图形中几何量之间的大小关系;(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的转变范围;(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示那个函数,通过讨论函数的值域来求参数的转变范围。

(4)利用代数大体不等式。

代数大体不等式的应用,往往需要制造条件,并进行巧妙的构思;(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。

直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个一起特点是均含有三角式。

因此,它们的应用价值在于:①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮忙求解诸如最值、范围等问题;(6)构造一个二次方程,利用判别式0。

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题

圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题,因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。

一. 最值问题求解的基本策略有二:一是从几何角度考虑,当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时,可用图形性质来解;二是从代数角度考虑,通过建立目标函数,求其目标函数的最值,求函数最值的常用方法有:二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

例1:如图所示,设点1F ,2F 是22132xy+=的两个焦点,过2F 的直线与椭圆相交于A 、B两点,求△1F AB 的面积的最大值,并求出此时直线的方程。

分析:12112F F B F AB F FAS S S =+ ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则11212121||||||(1)2F AB F F y y y y c S =⋅-=- =设直线A B 的方程为1x ky =+代入椭圆方程得22(23)440k y ky ++-=12122244,2323k y y y y k k --⇒+==++即122||123y y k - ==+令1t =≥,∴12FA Bt tS +=12t t+(1t ≥)利用均值不等式不能区取“=”∴利用1()2f t t t=+(1t ≥)的单调性易得在1t =时取最小值1F AB S 在1t =即0k =时取最大值为3,此时直线A B 的方程为1x =例2.设椭圆方程为1422=+yx ,过点M (0,1)的直线l 交椭圆于点A 、B ,O 是坐标原点,点P 满足OP (21=OA + )O B ,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时,求(1)动点P 的轨迹方程;(2)||N P的最小值与最大值.解(1)法1:直线l 过点M (0,1)设其斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0, 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时,A 、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二:设点P 的坐标为(x ,y ),因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上,所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ,所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时,有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时,点A 、B 的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点P 的坐标为 (0,0)也满足⑧,所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x(2)由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x xx y x NP故当41=x ,||NP 取得最小值,最小值为1;4① ②当16x =-时,||NP 取得最大值,最大值为.621对于()*,有∆=m 2+4b =10-m 2>0,所以m <<。

高考数学(理)总复习:圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(解析版)

高考数学(理)总复习:圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(解析版)

高考数学(理)总复习:圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题题型一 圆锥曲线中的定点、定值问题【题型要点】圆锥曲线中定点、定值问题必然是变化中所表现出来的不变的量,那么就用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.解决这类问题的一般思路是:(1)引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等.(2)根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.(3)求解定点、定值问题,如果事先不知道定点、定值,可以先对参数取特殊值,通过特殊情况求出这个定点、定值,然后再对一般情况进行证明.【例1】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b ,在椭圆上,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点P ,M ,N 为椭圆C 上的三点,若四边形OPMN 为平行四边形,证明四边形OPMN 的面积S 为定值,并求该定值.(1)【解】 ∵椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,∴e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=12,得a 2=2b 2① 又点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b ,在椭圆C 上,∴b 2a 2+a 2b 4=1,② 联立①、②得a 2=8,且b 2=4.∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1. (2)【证明】 当直线PN 的斜率k 不存在时,PN 方程为x =2或x =-2, 从而有|PN |=23,所以S =12|PN |·|OM |=12×23×22=26; 当直线PN 的斜率k 存在时,设直线PN 方程为y =kx +m (m ≠0),P (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 将PN 的方程代入椭圆C 的方程,整理得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-8=0,所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1·x 2=2m 2-81+2k 2, y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =2m 1+2k 2,由OM →=OP →+ON →,得M ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22212,214k m k km 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2=1+2k 2.又点O 到直线PN 的距离为d =|m |1+k 2, |PN |=1+k 2|x 1-x 2|,∴S =d ·|PN |=|m |·|x 1-x 2| =1+2k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=48k 2+242k 2+1=2 6. 综上,平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6. 题组训练一 圆锥曲线中的定点、定值问题已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1过A (2,0),B (0,1)两点. (1)求椭圆C 的方程及离心率;(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线P A 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值.【解析】 (1)由题意得a =2,b =1,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. 又c =a 2-b 2=3,∴离心率e =c a =32.(2)证明:设P (x 0,y 0)(x 0<0,y 0<0),则x 20+4y 20=4.又A (2,0),B (0,1),∴直线P A 的方程为y =y 0x 0-2(x -2). 令x =0,得y M =-2y 0x 0-2, 从而|BM |=1-y M =1+2y 0x 0-2. 直线PB 的方程为y =y 0-1x 0x +1. 令y =0,得x N =-x 0y 0-1, 从而|AN |=2-x N =2+x 0y 0-1. ∴四边形ABNM 的面积S =12|AN |·|BM | =12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+221120000x y y x =x 20+4y 20+4x 0y 0-4x 0-8y 0+42(x 0y 0-x 0-2y 0+2)=2x 0y 0-2x 0-4y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2=2. 从而四边形ABNM 的面积为定值.题型二 圆锥曲线中的范围问题【题型要点】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1.数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后数形结合求解.2.构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解.3.构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域.【例2】设圆F 1:x 2+y 2+4x =0的圆心为F 1,直线l 过点F 2(2,0)且不与x 轴、y 轴垂直,且与圆F 1相交于两点C 、D ,过F 2作F 1C 的平行线交直线F 1D 于点E .(1)证明||EF 1|-|EF 2||为定值,并写出点的轨迹方程;(2)设点E 的轨迹曲线与直线l 交于M ,N 两点,过F 2且与垂直的直线与圆F 1交于P ,Q 两点,求△PQM 与△PQN 的面积之和的取值范围.【解析】 (1)圆F 1:(x +2)2+y 2=4,圆心F 1(-2,0),半径r =2,如图所示.因为F 1C ∥EF 2,所以∠F 1CD =∠EF 2D .又因为|F 1D |=|F 1C |,所以∠F 1CD =∠F 1DC ,所以∠EF 2D =∠F 1DC ,又因为∠F 1DC =∠EDF 2,所以∠EF 2D =∠EDF 2,故ED =EF 2,可得||EF 1|-|EF 2||=||EF 1|-|ED ||=2<|F 1F 2|,根据双曲线的定义,可知点E 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线(顶点除外),易得点E的轨迹方程为x 2-y 23=1(y ≠0). (2)Γ:x 2-y 23=1(y ≠0). 依题意可设l :x =my +2(m ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由于PQ ⊥l ,设l PQ :y =-m (x -2).圆心F 1(-2,0)到直线PQ 的距离d =|-m (-2-2)|1+m 2=|4m |1+m 2, 所以|PQ |=2r 2-d 2=41-3m 21+m 2, 又因为d <2,解得0<m 2<13.联立直线与双曲线的方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-y 23=1x =my +2, 消去得(3m 2-1)+12my +9=0,则y 1+y 2=-12m 3m 2-1,y 1y 2=93m 2-1, 所以|MN |=1+m 2|y 2-y 1| =1+m 2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6(m 2+1)1-3m 2, 记△PQM ,△PQN 的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2=12|MN |·|PQ |=12m 2+11-3m 2 =121-3+4m 2+1, 又因为0<m 2<13,所以S 1+S 2∈(12,+∞), 所以S 1+S 2的取值范围为(12,+∞).题组训练二 圆锥曲线中的范围问题设圆x 2+y 2+2x -15=0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |+|EB |为定值,并写出点E 的轨迹方程;(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】 (1)因为|AD |=|AC |,EB ∥AC ,所以∠EBD =∠ACD =∠ADC ,所以|EB |=|ED |,故|EA |+|EB |=|EA |+|ED |=|AD |,又圆A 的标准方程为(x +1)2+y 2=16,从而|AD |=4,所以|EA |+|EB |=4.由题设得A (-1,0),B (1,0),|AB |=2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0). (2)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0, 则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3. 所以|MN |=1+k 2|x 1-x 2|=12(k 2+1)4k 2+3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m :y =-1k (x -1),点A 到直线m 的距离为2k 2+1, 所以|PQ |=44k 2+3k 2+1. 故四边形MPNQ 的面积S =12|MN ||PQ | =121+14k 2+3. 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).当l 与x 轴垂直时,其方程为x =1,|MN |=3,|PQ |=8,故四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83).题型三 圆锥曲线中的存在性问题【题型要点】解决探索性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.【例3】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,且过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1,F 为其右焦点. (1)求椭圆C 的方程;(2)设过点A (4,0)的直线l 与椭圆相交于M ,N 两点(点M 在A ,N 两点之间),是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等?若存在,试求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【解】 (1)因为c a =12,所以a =2c ,b =3c , 设椭圆方程x 24c 2+y 23c 2=1,又点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆上,所以14c 2+34c 2=1,解得c 2=1,a 2=4,b 2=3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1. (2)易知直线l 的斜率存在,设l 的方程为y =k (x -4),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -4),x 24+y 23=1,消去y 得(3+4k 2)x 2-32k 2x +64k 2-12=0,由题意知Δ=(32k 2)2-4(3+4k 2)(64k 2-12)>0,解得-12<k <12. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=32k 23+4k 2,① x 1x 2=64k 2-123+4k 2.② 因为△AMF 与△MFN 的面积相等,所以|AM |=|MN |,所以2x 1=x 2+4.③由①③消去x 2得x 1=4+16k 23+4k 2.④ 将x 2=2x 1-4代入②,得x 1(2x 1-4)=64k 2-123+4k 2⑤ 将④代入到⑤式,整理化简得36k 2=5.∴k =±56,经检验满足题设 故直线l 的方程为y =56(x -4)或y =-56(x -4). 题组训练三 圆锥曲线中的存在性问题已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,直线2x -y +2=0交抛物线C 于A ,B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)D 是抛物线C 上的动点,点E (-1,3),若直线AB 过焦点F ,求|DF |+|DE |的最小值;(2)是否存在实数p ,使|2QA →+QB →|=|2QA →-QB →|?若存在,求出p 的值;若不存在,说明理由.【解】 (1)∵直线2x -y +2=0与y 轴的交点为(0,2),∴F (0,2),则抛物线C 的方程为x 2=8y ,准线l :y =-2.设过D 作DG ⊥l 于G ,则|DF |+|DE |=|DG |+|DE |,当E ,D ,G 三点共线时,|DF |+|DE |取最小值2+3=5.(2)假设存在,抛物线x 2=2py 与直线y =2x +2联立方程组得:x 2-4px -4p =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Δ=(4p )2+16p =16(p 2+p )>0,则x 1+x 2=4p ,x 1x 2=-4p , ∴Q (2p,2p ).∵|2QA →+QB →|=|2QA →-QB →|,∴QA ⊥QB .则QA →·QB →=0,得(x 1-2p )(x 2-2p )+(y 1-2p )(y 2-2p )=(x 1-2p )(x 2-2p )+(2x 1+2-2p )(2x 2+2-2p )=5x 1x 2+(4-6p )(x 1+x 2)+8p 2-8p +4=0,代入得4p 2+3p -1=0,解得p =14或p =-1(舍去). 因此存在实数p =14,且满足Δ>0,使得|2QA →+QB →|=|2QA →-QB →|成立.题型四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题【题型要点】求解圆锥曲线中的最值问题,主要有两种方法:一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即要把求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.求最值方法有:(1)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.(2)通过代换、拆项、凑项等技巧,改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.【例4】 已知P 为圆A :(x +1)2+y 2=12上的动点,点B (1,0).线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点T ,记点T 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)设M ,N 是Γ上的两个动点,MN 的中点H 在圆x 2+y 2=1上,求原点到MN 距离的最小值.【解析】 (1)圆A 的圆心为A (-1,0),半径等于2 3.由已知|TB |=|TP |,于是|TA |+|TB |=|TA |+|TP |=23,故曲线Γ是以A ,B 为焦点,以23为长轴长的椭圆,a =3,c =1,b =2,曲线Γ的方程为x 23+y 22=1; (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),H (x 0,y 0),将M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),代入作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)3+(y 1+y 2)(y 1-y 2)2=0 ①x 1=x 2时,y 1+y 2=0,所以H (x 0,0),因为H 在圆x 2+y 2=1上,所以x 0=±1,则原点O 到直线MN 的距离为1;②x 1≠x 2时,设直线MN 的斜率k ,则2x 0+3ky 0=0,且x 20+y 20=1,所以x 20=9k 29k 2+4,y 20=49k 2+4, 所以x 0y 0=-32ky 20=-6k 9k 2+4. 设原点O 到直线MN 距离为d ,因为MN 的方程为y -y 0=k (x -x 0),即kx -y -kx 0+y 0=0,所以d 2=1-k 29k 4+13k 2+4, k =0时,d 2=1;k ≠0时,d 2=1-19k 2+13+4k 2≥1-125=2425. 因为2425<1,所以d 2的最小值为2425,即d 的最小值为265,此时k =±63, 由①②知,原点O 到直线MN 的最小值为265. 题组训练四 基本不等式法求解与圆锥曲线有关的最值问题平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是32,抛物线E :x 2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证:点M 在定直线上;②直线l 与y 轴交于点G ,记△PFG 的面积为S 1,△PDM 的面积为S 2,求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】 (1)由题意知a 2-b 2a =32,可得a 2=4b 2,因为抛物线E 的焦点F ⎪⎭⎫⎝⎛21,0,所以b =12,a =1,所以椭圆C 的方程为x 2+4y 2=1.(2)①证明:设P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2m m (m >0),由x 2=2y ,可得y ′=x ,所以直线l 的斜率为m ,因此直线l 的方程为y -m 22=m (x -m ).即y =mx -m 22.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4y 2=1,y =mx -m 22,得(4m 2+1)x 2-4m 3x +m 4-1=0. 由Δ>0,得0<m <2+5(或0<m 2<2+5).(*)且x 1+x 2=4m 34m 2+1,因此x 0=2m 34m 2+1,将其代入y =mx -m 22,得y 0=-m 22(4m 2+1),因为y 0x 0=-14m .所以直线OD 方程为y =1-4mx ,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =-14m x ,x =m ,得点M 的纵坐标y M =-14,所以点M 在定直线y =-14上.②由①知直线l 的方程为y =mx -m 22,令x =0,得y =-m 22,所以G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,02m , 又P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2m m ,F ⎪⎭⎫⎝⎛21,0,D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+)14(2,1422222m m m m ,所以S 1=12·|GF |·m =(m 2+1)m 4,S 2=12·|PM |·|m -x 0|=12×2m 2+14×2m 3+m 4m 2+1=m (2m 2+1)28(4m 2+1).所以S 1S 2=2(4m 2+1)(m 2+1)(2m 2+1)2.法一:S 1S 2=2(4m 4+5m 2+1)4m 4+4m 2+1=2+2m 24m 4+4m 2+1=2+24m 2+1m2+4≤94,当且仅当m =22时,满足(*)式,所以P 坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41,22. 法二:设t =2m 2+1,则S 1S 2=(2t -1)(t +1)t 2=2t 2+t -1t 2=-1t 2+1t +2,当1t =12,即t =2时,S 1S 2取到最大值94,此时m =22,满足(*)式, 所以P 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛41,22. 因此S 1S 2的最大值为94,此时点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41,22.【专题训练】1.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为22,它的一个焦点恰好与抛物线y 2=4x 的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆的上顶点为A ,过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ,AC ,若直线AB ,AC 斜率之积为14,直线BC 是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.【解析】 (1)易知x 22+y 2=1.(2)由(1)知A (0,1),当直线BC 的斜率不存在时,设BC :x =x 0,设B (x 0,y 0),则C (x 0,-y 0), k AB ·k AC =y 0-1x 0·-y 0-1x 0=1-y 20x 20=12x 20x 20=12≠14,不合题意.故直线BC 的斜率存在.设直线BC 的方程为:y =kx +m (m ≠1),并代入椭圆方程,得: (1+2k 2)x 2+4kmx +2(m 2-1)=0, ①由Δ=(4km )2-8(1+2k 2)(m 2-1)>0得2k 2-m 2+1>0. ②设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程①的两根,由根与系数的关系得, x 1+x 2=-4km1+2k 2,x 1·x 2=2(m 2-1)1+2k 2,由k AB ·k AC =y 1-1x 1·y 2-1x 2=14得: 4y 1y 2-4(y 1+y 2)+4=x 1x 2,即(4k 2-1)x 1x 2+4k (m -1)(x 1+x 2)+4(m -1)2=0,整理得(m -1)(m -3)=0,又因为m ≠1,所以m =3,此时, 直线BC 的方程为y =kx +3.所以直线BC 恒过一定点(0,3).2.已知两点A (-2,0),B (2,0),动点P 在y 轴上的投影是Q ,且2P A →·PB →=|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过F (1,0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ,H ,M ,N ,且E 1,E 2分别是GH ,MN 的中点.求证:直线E 1E 2恒过定点.(1)【解】 设点P 坐标为(x ,y ),∴点Q 坐标为(0,y ).∵2P A →·PB →=|PQ →|2,∴2[(-2-x )(2-x )+y 2]=x 2,化简得点P 的轨迹方程为x 24+y 22=1.(2)[证明] 当两直线的斜率都存在且不为0时,设l GH :y =k (x -1),G (x 1,y ),H (x 2,y 2),l MN :y =-1k(x -1),M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 22=1,y =k (x -1),消去y 得(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-4=0.则Δ>0恒成立. ∴x 1+x 2=4k 22k 2+1,且x 1x 2=2k 2-42k 2+1.∴GH 中点E 1坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+12,122222k k k k ,同理,MN 中点E 2坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2222k k k , ∴kE 1E 2=-3k2(k 2-1),∴lE 1E 2的方程为y =-3k 2(k 2-1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-32x ,∴过点⎪⎭⎫⎝⎛0,32, 当两直线的斜率分别为0和不存在时,lE 1E 2的方程为y =0,也过点⎪⎭⎫⎝⎛0,32,综上所述,lE 1E 2过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,32.3.如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),经过点A (0,-1),且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为定值.(1)【解】 由题设知c a =22,b =1,结合a 2=b 2+c 2,解得a =2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1. (2)[证明] 由题设知,直线PQ 的方程为y =k (x -1)+1(k ≠2),代入x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-4k (k -1)x +2k (k -2)=0,由已知Δ>0, 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1x 2≠0,则x 1+x 2=4k (k -1)1+2k 2,x 1x 2=2k (k -2)1+2k 2,从而直线AP ,AQ 的斜率之和 k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-kx 2=2k +(2-k )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2111x x =2k +(2-k )x 1+x 2x 1x 2=2k +(2-k )4k (k -1)2k (k -2)=2k -2(k -1)=2.故k AP +k AQ 为定值2.4.已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ,离心率为双曲线y 2-x 22=1离心率的一半,直线y =x 被椭圆E 截得的线段长为4105.直线l :y =kx +m 与y 轴交于点P ,与椭圆E 交于A ,B 两个相异点,且AP →=λPB →.(1)求椭圆E 的方程;(2)是否存在实数m ,使OA →+λOB →=4OP →?若存在,求m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0),双曲线y 2-x 22=1离心率e =3,由椭圆的离心率e =ca=1-b 2a 2=32,则a =2b , 将y =x 代入椭圆y 2a 2+x 2b 2=1,解得:x =±a 55,∴2×2×a 55=4105,解得:a =2,∴椭圆E 的方程为y 24+x 2=1;(2)假设存在实数m ,使OA →+λOB →=4OP →成立,由题意可得P (0,m ),当m =0时,O ,P 重合,λ=1显然成立,当m ≠0时,由AP →=λPB →,可得OP →-OA →=λ(OB →-OP →),则OA →+λOB →=(1+λ)OP →,∴λ=3,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由AP →=3PB →,可得x 1=-3x 2 ①⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m y 24+x 2=1,整理得:(k 2+4)x 2+2kmx +m 2-4=0, ∴x 1+x 2=-2kmk 2+4,x 1x 2=m 2-4k 2+4, ②由①②可得:m 2k 2+m 2-k 2-4=0,则k 2=m 2-41-m2,m 2≠1,由Δ=(2km )2-4(k 2+4)(m 2-4)>0,则k 2+4-m 2>0,∴k 2+4-m 2=m 2-41-m 2+4-m 2=(m 2-4)m 21-m2>0,则1<m 2<4,解得:-2<m <-1或1<m <2,综上可得:m 的取值范围是(-2,-1)∪(1,2)∪{0}.。

高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

高考圆锥曲线中的定点定值问题定点问题是常见的考题形式,解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式,代入直线方程即可类型一:“手电筒”模型例题、已知椭圆C :13422=+y x 若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标。

解:设1122(,),(,)A x y B x y ,由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-, 1212122y yx x ∴⋅=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++, 整理得:2271640m mk k ++=,解得:1222,7k m k m =-=-,且满足22340k m +-> 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾;当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2(,0)7综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0).7◆方法总结:本题为“弦对定点张直角”的一个例子:圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ,则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。

【高中数学】圆锥曲线中的定值与最值问题

圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值,就是要求的定值.具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值.在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该变量具有定值特征.解答此类问题的基本策略有以下两种:1、把相关几何量的变元特殊化,在特例中求出几何量的定值,再证明结论与特定状态无关.2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示,再证明结论与求参数无关.例1:过抛物线m :2y ax =(a >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ,则11p q --+的值必等于( ). A.2a B.12aC.4aD.4a解法1:(特殊值法)令直线l 与x 轴垂直,则有l :14y a=12p q a ⇒==,所以有114p q a --+=解法2:(参数法)如图1,设11(,)P x y ,22(,)Q x y 且PM ,QN 分别垂直于准线于,M N .114p PM y a ==+,214q QN y a ==+抛物线2y ax =(a >0)的焦点1(0,)4F a,准线14y a =-. ∴ l :14y kx a =+又由m l ⋂,消去x 得222168(12)10a y a k y -++=∴212122121,216k y y y y a a ++==, ∴221212221111,()4164k k p q pq y y y y a a a a +++==+++=∴114p q a --+=. 例2:过抛物线22y px =(p >0)上一定点000(,)(P x y y >0),作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y ,求证:PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,直线AB 的斜率为非零常数.【解析】设直线PA 的斜率为PA K ,直线PB 的斜率为PB K .由2112y px = 2002y px =相减得,101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PAy y p K x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得,2020202PB y y p K x x y y -==-+ 20()x x ≠由,PA PB 倾斜角互补知:PA PB K K =-∴102022p p y y y y =-++∴ 1202y y y +=-由2222y px = 2112y px =相减得,212121()()2()y y y y p x x -+=-∴ 21211200222AB y y p p p K x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数. 例3:已知定点0,0()M x y 在抛物线m :22y px =(p >0)上,动点,A B m ∈且0=•MB MA .求证:弦AB 必过一定点.【解析】设AB 所在直线方程为:x my n =+.与抛物线方程22y px =联立,消去x 得2220y pmy pn --=.设11(,)A x y ,22(,)B x y 则122y y pm +=① 122y y pn =-②由已知0=•MB MA 得,1MA MB K K =-.即102010201y y y y x x x x --=---g ③∵221010101011()()()22x x y y y y y y p p -=-=-+ 222020202011()()()22x x y y y y y y p p-=-=-+∴③式可化为1020221p py y y y =-++g ,即221201204[()]p y y y y y y =-+++.将①②代入得,002n p my x =++.直线AB 方程化为:00002()2x my p x my m y y x p =+++=+++.∴直线AB 恒过点00(2,)x p y +-.【例4】(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1上的点均在圆C 2:(x -5)2+y 2=9外,且对C 1上任意一点M ,M 到直线x =-2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.(1)求曲线C 1的方程;(2)设P (x 0,y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点,过P 作圆C 2的两条切线,分别与曲线C 1相交于点A ,B 和C ,D .证明:当P 在直线x =-4上运动时,四点A ,B ,C ,D 的纵坐标之积为定值.[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解,或者转化为根据抛物线的定义求解均可;(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系,其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元,根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积,最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证.(1)解 法一 设M 的坐标为(x ,y ),由已知得|x +2|=x -52+y 2-3.易知圆C 2上的点位于直线x =-2的右侧,于是x +2>0,所以x -52+y 2=x +5.化简得曲线C 1的方程为y 2=20x .法二 由题设知,曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x =-5的距离.因此,曲线C 1是以(5,0)为焦点,直线x =-5为准线的抛物线.故其方程为y 2=20x .(2)证明 当点P 在直线x =-4上运动时,P 的坐标为(-4,y 0),又y 0≠±3,则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为y -y 0=k (x +4),即kx -y +y 0+4k =0.于是|5k +y 0+4k |k 2+1=3.整理得72k 2+18y 0k +y 20-9=0.①设过P 所作的两条切线PA ,PC 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1,k 2是方程①的两个实根,故k 1+k 2=-18y 072=-y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x -y +y 0+4k 1=0,y 2=20x 得k 1y 2-20y +20(y 0+4k 1)=0.③设四点A ,B ,C ,D 的纵坐标分别为y 1,y 2,y 3,y 4,则y 1,y 2是方程③的两个实根,所以y 1y 2=20y 0+4k 1k 1.④同理可得y 3y 4=20y 0+4k 2k 2.⑤于是由②,④,⑤三式得y 1y 2y 3y 4=400y 0+4k 1y 0+4k 2k 1k 2=400[y 20+4k 1+k 2y 0+16k 1k 2]k 1k 2=400y 20-y 20+16k 1k 2k 1k 2=6 400.所以,当P 在直线x =-4上运动时,四点A ,B ,C ,D 的纵坐标之积为定值6 400. 【例5】已知椭圆C 的离心率3e =,长轴的左右端点分别为()1A 2,0-,()2A 2,0。

圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题专题训练

第2讲圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1.若双曲线错误!-错误!=1(a>0,b>0)与直线y=错误!x无交点,则离心率e的取值范围是().A.(1,2) B.(1,2]C.(1,5)D。

(1,错误!]解析因为双曲线的渐近线为y=±错误!x,要使直线y=错误!x与双曲线无交点,则直线y=3x应在两渐近线之间,所以有错误!≤错误!,即b≤错误!a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以1<e≤2.答案 B2.已知椭圆错误!+错误!=1(0<b<2),左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l 交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是().A.1B。

错误!C。

错误! D.错误!解析由椭圆的方程,可知长半轴长为a=2;由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即错误!=3,可求得b2=3,即b=3.答案 D3.(2014·湖北卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=错误!,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为().A。

错误!B。

错误!C.3 D.2解析设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,则(2c)2=r错误!+r错误!-2r1r2cos 错误!,得4c2=r错误!+r错误!-r1r2.由错误!得错误!∴错误!+错误!=错误!=错误!。

令m=错误!=错误!=错误!=错误!,当错误!=错误!时,m max=错误!,∴错误!max=错误!,即错误!+错误!的最大值为错误!。

答案 A4.(2014·福建卷)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是().A.5错误!B。

圆锥曲线的定值、最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题

探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题,是解析几何中的综合问题,是一种典型题型,将函数与解析融为一体,要求有较强的综合能力,例析如下。

一、 定值问题解决定值问题的方法:将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式的值与参数无关。

例1 A 、B 是抛物线22y px =(p >0)上的两点,且OA ⊥OB ,求证: (1)A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值; (2)直线AB 经过一个定点。

证明:(1)设A (11,x y )、B (22,x y ),则2112y px =,2222y px =。

∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-,∴2124y y p =-为定值,212124x x y y p =-=也为定值。

(2)∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-,∵12x x ≠,∴2121122y y px x y y -=-+ ∴直线AB 的方程为:211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)px p y y =-+,∴直线AB 过定点(2p ,0)。

例2 已知抛物线方程为212y x h =-+,点A 、B 及点P(2,4)都在抛物线上,直线PA 与PB 的倾斜角互补。

(1)试证明直线AB 的斜率为定值;(2)当直线AB 的纵截距为m (m >0)时,求△PAB 的面积的最大值。

分析:这类问题一般运算量大,要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

解析:(1)证明:把P(2,4)代入212y x h =-+,得h=6。

所以抛物线方程为:y -4=k(x -2),由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩,消去y ,得22440x kx k +--=。

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