高等数学——7.3向量坐标

向量的模的坐标表示：
2 2 | a | a x a y a z2 ．
2 2 2 向量的方向余弦的坐标表示： 当 a x a y a z 0时，可得 ax cos ， 2 2 a x a y a z2
cos
cos
ay
2 2 a x a y a z2

y
P1 P2
O
Q1
Q2
x
设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量． 以 i 、j 、 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向 k
的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量．
•R1称为点M1在 z 轴上的投影，
{ a b ，a b ，a b }． a b x x y y z z k j a ( a x i a y a z ) j ( a x) i (a y) (ak) z
{ a x ，a y ，a z}．
利用向量的坐标判断两个向量的平行：
例 2 设已知两点 M 1(2, 2, 2 )和 M 2(1, 3, 0)，计算向量
M 1 M 2 的模、方向余弦和方向角．
解


M 1 M 2 {12，32，0 2 }{1，1， 2
2 2 2 | M 1 M 2 | (1) 1 ( 2 ) 2；
}；

P2称为点M2在x轴上的投影． a 在x轴 •向量 P P2 称为向量 1 上的分向量．
z
a
M1 M2
•有向线段 P P2 的值P1P2叫做 1 P1 O 向量 a 在轴x上的投影，记为 P 2 x Pr jx a 或ax ．ax=x2x1．

y
设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量． 以 i 、j 、 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向 k
e
O
1
A u1
B u2
u
设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量． 以 i 、j 、 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向 k
的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量．
•P1称为点M1在x轴上的投影，
的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量．
P P2 a x i (x 2x 1) i 、 1 Q1Q2 a y j ( y 2y 1) j 、 R1 R2 a z k ( z 2z 1) k ，

R2
z
R1
a
M1
M2
R2称为点M2在 z 轴上的投影． •向量 R1 R2 称为向量 a 在 z 轴 上的分向量． •有向线段 R1 R2 的值R1R2叫做 向量 a 在轴 z 的投影，记为 Pr jz a 或az ．az= z2z1．

R2
z
R1
a
M1
M2
y
P1 P2
O
Q1
Q2
x
设 a M 1M 2 是以M 1(x 1, y 1, z 1)为起点、以M 2(x 2, y2, z 2) 为终点的向量． 以 i 、j 、 分别表示与 x 轴、y 轴、z 轴同向 k
2 1 1 1 2 }{ ， ， {1，1， }， 2 2 2 2 2 1 1 cos ，cos ，cos ； 2 2 2 3 2 ， ， ． 3 3 4
例 3 设已知两点 A(4, 0, 5)和 B(7, 1, 3)，求方向和AB 一

点 M 叫做有向线段AB 的定比分点．当1，点 M 的有向

线段 AB 的中点，其坐标为
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 x ，y ，z ． 2 2 2

二、向量的模与方向余弦的坐标表示
和 ， 任取空间一点O， 作 OA a ， 设有两个非零向量 a b 与 的夹角， 规定不超过 的AOB称为向量 a b OB b ， 记作 (a , b ) 或 (b , a ) ， 即 (a , b ) AOB． 或 是零向量， 规定它们的夹角可在0与 之 如果向量 a b B 间任意取值．
§7．3 向量的坐标
一、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
点在坐标轴上的投影、向量在坐标轴上的分向量和投影 向量的分解式、向量的坐标、向量的坐标表示式
利用坐标进行向量的加减和数乘、
利用坐标判断两个向量的平行
二、向量的模与方向余弦的坐标表示
两个向量的夹角、投影定理 向量的方向角、向量的方向余弦 方向余弦的坐标表示、 向量的模的坐标表示 单位向量的表示

M2
a
M1


O
y
x
向量的方向余弦： 因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以
a x| M 1M 2 |cos | a | cos ； a y| M 1M 2 |cos | a | cos ； a z| M 1M 2 |cos | a | cos ； 上述cos 、cos 、cos 叫做向量 a 的方向余弦．
注意： 向 量在坐标 轴上的分 向量与向 量在坐标 轴上的投 影 (即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是 三个数a x，a y，a
z
，而向量在坐标轴上的分向量是三个向量
a x i 、a yj 、a z ． k
利用向量的坐标进行向量的加减和数乘： b ， 设a { a x，a y，a z }， { b x，b y，b z }． b j 即a a x i a yj akz ， b x i b y kb z ，则 则 a b ( a x i a y a z ) ( b x i b y kb z ) k j j k ( a x b x) i ( a y b yj) (a z b z) { a x b x ，a y b y ，a z b z}．
一、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
数轴上的有向线段的值： 设在数轴 u上点A、B的坐标分别为u1、u2， 则称数值u2 u1 为数轴 u上有向线段 AB 的值， 记 作 A B ． 即AB= u2 u1． 设 e 是与数轴 u 同方向的单位向量， 则显然有

(u2 u1) e ． AB
，
az 2 2 2 ． ax a y az
2 2 2 ax a y az
方向余弦的平方和：
cos 2 cos 2 cos 2
a a a
2 x 2 y 2 z
1．
单位向量的表示： a 1 a { a x，a y，a z } {cos ，cos ，cos }． |a| |a|
}．
的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本单位向量．
•Q1称为点M1在 y 轴上的投影，
Q2称为点M2在 y 轴上的投影．
•向量 Q1Q2 称为向量 a 在 y 轴

z
a
M1 M2
上的分向量． •有向线段 Q1Q2 的值Q1Q2叫做 向量 a 在轴 y 的投影，记为 Pr j y a 或ay ．ay=y2y1．
y
P1 P2
O
Q1
Q2
x
P P2 a x i (x 2x 1) i 、 1 Q1Q2 a y j ( y 2y 1) j 、 R1 R2 a z k ( z 2z 1) k ，

R2
z
R1
a
M1
M2
起点为M 1(x 1，y 1，z 1) 而 终点为M 2(x 2，y2，z 2)的向量
至的单位向量．


解
AB {74，10，35}{3，1，2}，
Hale Waihona Puke 2 2 2 | AB | 3 1 (2) 14 ，

设a 为和 AB 方向一至的单位向量，则

1 3 1 2 AB a {3，1，2}{ ， ， 14 14 14 14 | AB |
例1
设A(x1，y1，z1)和B(x2，y2，z2)为两已知点，而在AB


直线上的点 M 分有向线段 AB 为两个有向线段AM 与MB ，使它 AM ，求分点 M 的坐标． 们的值的比等于某数(1)，即 MB z 解 设所求点为M(x，y，z)，则 A M AM {xx 1，yy 1，zz 1}，MB {x 2x，y 2y，z 2z}． B ，zz 1}，MB {x 2x，y 2y，z 2z}． y O 依题意有 AM MB ，即 x {xx1，yy1，zz1} {x2x，y2y，z2z}， {x，y，z}{x1，y1，z1} { x2，y2， 2}{x，y，z}， 1 {x，y，z} {x 1 x 2，y 1 y 2，z 1 z 2}， 1 x1 x 2 y1 y 2 z 1 z 2 x ，y ，z ． 1 1 1
两个向量的夹角：
a
b
b
j
O
a
A
投影定理： 向量 AB 在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角

j 的余弦：
Prju AB =| AB |cos j ． B A A'
)

j B'' B' B u