高等数学：第一讲 向量的概念
高等数学教材向量
高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。
它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。
1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。
向量既有大小也有方向，是一个有序数对。
2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。
若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。
（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。
方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。
（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。
向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。
2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。
即k⃗AB=(|k|)⃗AB。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。
向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。
2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。
向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。
向量知识点总结高一
向量知识点总结高一一、向量的定义和性质1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
向量用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的性质（1）向量的大小和方向唯一确定一个向量。
（2）同一向量的不同表示叫做向量的等价表示。
（3）向量的等价表示之间可以互相转换。
（4）向量与数的乘积可以用数的乘法来定义。
（5）向量之间可以进行加法运算和减法运算。
二、向量的基本运算1. 加法和减法（1）向量的加法：两个向量的和等于它们的尾部相连形成的新向量。
（2）向量的减法：两个向量的差是指把减数的向量的起点与被减数的向量的终点相连成新向量。
2.数乘（1）向量的数乘：一个向量与一个实数相乘是指该向量的长度乘以这个实数，并且方向不变。
3.数量积（内积）（1）数量积的定义：设两个向量a，b之间的夹角为θ，那么向量a与向量b之间的数量积为一个数abcosθ。
（2）数量积的性质：a·b=|a|·|b|cosθ。
（3）数量积的应用：计算向量的模、求向量的夹角、求向量的投影等。
4.向量积（外积）（1）向量积的定义：设有向量a，b，它们的向量积a×b是一个向量，它的大小等于|a|·|b|·sinθ，它的方向垂直于a和b所在的平面，满足右手定则。
5.混合积（1）混合积的定义：设有三个向量a，b，c，它们的混合积为|a×b·c|。
三、向量的基本定理1. 平行四边形法则对于平行四边形abcd，向量a，b的和是向量a+c，且a+c=b+d。
2. 三角形法则对于三角形abc，向量a+b+c=0。
3. 余弦定理对于三角形abc，有c²=a²+b²-2abcosC，其中C为角c所对的边。
4. 已知（a1,b1）,(a2,b2)的数量积等于0的条件两个向量的数量积等于0，表示这两个向量垂直。
四、向量的常用技巧1. 向量的模向量a的模表示为|a|，表示向量a的大小。
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。
一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
例如，力、速度、位移等都是向量。
二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。
2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。
三、向量的模向量的模就是向量的长度。
若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。
例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同。
对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。
八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结引言：高一是数学学科中向量的起步阶段，掌握好向量的基本概念、运算法则以及与平面几何的关联是非常重要的。
本文将对高一学生需要了解和掌握的向量知识点进行总结。
通过对这些知识的学习，学生将能够更好地理解几何形状以及解决相关的问题。
一、向量的基本概念向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
向量通常记作箭头加一个字母，如：→AB，表示从点A指向点B的向量。
向量由起点和终点确定，且相同起点和相同终点的向量被称为相等向量。
二、向量的表示及运算法则1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量，记作→AB ∥ →CD。
平行向量可以通过倍数关系相互转化，即若→AB∥→CD，则有→AB= k →CD，其中k为实数。
2. 线段取负：若有向线段→AB表示向量a，则有向线段→BA表示向量-a。
3. 向量加法：向量相加的结果是一个新的向量，其起点与第一个向量的起点重合，终点与第二个向量的终点重合。
向量的加法满足交换律和结合律，即→AB + →BC = →AC。
4. 向量减法：向量相减的结果是一个新的向量，其起点与第一个向量的起点重合，终点与第二个向量的起点重合。
向量的减法可以转化为加上其相反数，即→AB - →BC = →AB +(-→BC)。
三、向量的数量表示1. 数量积：向量的数量积又称点积或内积，记作→a • →b。
定义为两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积，即→a • →b = |→a| |→b| cosθ。
其中，θ为两个向量的夹角。
2. 向量的垂直判定：向量→a与向量→b垂直的充要条件是→a•→b = 0，即两个向量的数量积等于零。
四、向量与平面几何的关联向量在平面几何中有着广泛的应用，尤其是在向量与直线、向量与平面的关系中。
1. 平面上的点的坐标表示：平面上的点可以用向量表示，例如点A的坐标可表示为→OA，其中O为原点。
2. 点的中点坐标表示：线段的中点坐标可以表示为两个端点向量之和的一半，即→M = (→A + →B) / 2。
《高一数学向量》课件
向量混合积具有分配律、结合律和交换律等性质。
详细描述
向量混合积具有以下性质
向量混合积在物理和工程领域有广泛的应用，如力矩、速度和加速度的计算等。
向量混合积在物理和工程领域中有许多应用，例如计算力矩、速度和加速度等。在三维空间中，力矩可以通过三个向量的混合积来计算，即力矩等于向量与向量的叉乘的点乘。此外，向量混合积还可以用于计算速度和加速度的合成，以及解决一些物理问题，如刚体的运动学和动力学问题等。
总结词
3. 交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
2. 结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$；
1. 分配律
$vec{A} cdot (vec{B} + vec{C}) = vec{A} cdot vec{B} + vec{A} cdot vec{C}$；
总结词
详细描述
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高一数学向量
目录
向量的基本概念向量的运算向量的数量积向量的向量积向量的外积向量的混合积
01
CHAPTER
向量的基本概念
向量的定义是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
总结词
向量是数学中一个基本的概念，它表示一个既有大小又有方向的量。在物理学和工程学中，向量被广泛应用于描述速度、加速度、力等物理量。在数学中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。
向量的模长可以通过点乘来计算，即|a|=sqrt(a·a)，向量的方向可以通过点乘来确定，即当a·b>0时，向量a和b同向，当a·b<0时，向量a和b反向。
向量高数知识点总结
向量高数知识点总结一、向量的概念向量是指既有大小又有方向的量。
在数学上，向量可以用有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标表示。
例如，一个二维向量可以表示为(a,b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量；一个三维向量可以表示为(a,b,c)，类似地，a、b、c分别代表向量在x、y、z轴上的分量。
在物理学中，向量的概念也是非常重要的，比如力、速度等都是向量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加的运算。
如果有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b，即将a和b的对应分量相加得到新的向量。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的运算。
如果有一个向量a和一个实数k，它们的数乘运算可以表示为ka，即将a的每个分量都乘以k得到新的向量。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即a-b = a+(-1)*b。
三、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量组中的向量v1、v2、...、vn满足关系式k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性相关的。
这就意味着向量组中的某一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
2. 线性无关如果向量组中的向量v1、v2、...、vn不是线性相关的，即不存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性无关的。
线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，它和矩阵的秩有关系，而矩阵的秩又在模型拟合、降维处理等领域有着重要的应用。
四、向量的线性组合和向量空间1. 向量的线性组合如果有向量组v1、v2、...、vn和实数k1、k2、...、kn，那么k1*v1+k2*v2+...+kn*vn就是向量v1、v2、...、vn的线性组合。
线性组合可以用来表示向量的线性关系，它在数学建模中有着重要的应用。
高一向量的基本知识点总结
高一向量的基本知识点总结一、引言高中数学学科的复杂性以及对数学学习的基础要求，使得初入高中学生面临许多新的概念和知识点。
其中，向量作为重要的数学概念之一，对于理解和应用其他数学领域的知识都至关重要。
本文将对高一向量的基本知识点进行总结。
二、基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
在二维平面内，向量通常用有向线段表示；在三维空间中，向量用有向线段或坐标表示。
2. 向量的表示：向量通常用字母加箭头表示，如AB 或 a，表示起点为A，终点为B的向量。
3. 零向量：零向量是长度为零，方向随意的向量，通常用 0 或0→ 表示。
4. 向量的相等：两个向量相等，需要满足大小和方向都相同。
5. 平行向量：两个向量的方向相同或相反时，称为平行向量。
6. 共线向量：两个向量的方向相同或平行，称为共线向量。
三、向量运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即 A + B = B + A 和 (A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法：向量的减法可以通过将减向量取反再进行向量的加法来实现。
即 A - B = A + (-B)。
3. 数乘运算：将向量与一个实数乘积相乘，可以改变向量的长度和方向。
例如，2A表示将向量A的长度乘以2。
四、向量的性质1. 平行向量的性质：平行向量的长度相等或成正比。
而且，平行向量之间的加减运算仍为平行向量。
2. 长度与方向：向量的长度和方向确定了向量的性质。
长度为1的向量称为单位向量。
3. 内积和外积：向量的内积和外积是向量运算中常见的概念。
内积表示两个向量之间的夹角关系，而外积则表示两个向量所构成的平行四边形的面积。
五、向量的应用1. 几何应用：向量常用于描述平面几何中的线段、直线、多边形等的位置关系。
2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用，例如力的叠加、速度和加速度的表示等。
3. 计算机图形学：计算机图形学中的三维图形处理和计算机游戏开发中，向量是不可或缺的工具。
必修一数学向量知识点总结
必修一数学向量知识点总结一、向量的概念向量是有大小和方向的量，它可以表示为有向线段。
向量的大小叫做向量的模，用 | | 表示；向量的方向叫做向量的方向角，用α 表示。
通常情况下，向量用小写字母表示，如 a 或 b。
二、向量的表示1. 向量的表示方法：向量可以用坐标表示，也可以用分解表示。
（1）坐标表示：一个向量可以表示为（x，y），其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
在二维平面直角坐标系中，向量 a 在 x 轴的分量为a₁，在 y 轴的分量为a₂，那么向量 a 可以表示为a = (a₁，a₂)。
（2）分解表示：如果直角坐标系中的向量 a 的终点为 P（x₁，y₁），那么向量 a 可以表示为 a = xi + yj，其中 i 和 j 分别表示 x 轴和 y 轴上的单位向量。
2. 向量的相等条件：如果两个向量 a 和 b 的对应分量相等，则向量 a 等于向量 b，即 a = b 当且仅当a₁ = b₁ 且a₂ = b₂。
三、向量的运算1. 向量的加法和减法：两个向量 a 和 b 的和可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a + b。
两个向量的差可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a - b。
2. 向量的数乘：一个向量 a 与一个实数 k 的数乘可以表示为以向量 a 为一边，同向并且长度是原来的 k 倍的有向线段的向量，即 ka。
3. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积，也叫点积或内积，可以表示为 a·b =|a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模，θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
4. 向量的向量积：两个向量 a 和 b 的向量积，也叫叉积或外积，可以表示为 a×b =|a||b|sinθn，其中 n 表示与向量 a 和向量 b 共面的法向量。
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2.向量有方向、大小，双重属性，而方向是不能比 较大小的，因此向量不能比较大小.
向量不能比较大小
02 向量的表示
1.几何法：用有向线段表示
2.字母法：用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别
a
A
B
a 不是 a
3.用表示向量的有向线段的起点和终
点字母表示
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量 也叫做共线向量.
特别的，零向量与任一向量平行. 即：0//a
2. 相等向量：大小相等方向相同的向量.表示：a b ，与起点位置
无关 相反向量：大小相同方向相反的向量
2020/10/6
例题
如图，设 O是正六边形 ABCDEF的中心， (1)分别写出图中与向量 OA、OB 、OC 相等的向量． (2)与向量OA长度相等的向量有多少个？ (3)是否存在与向量OA长度相等，方向相反的向量？
解 (1) OA CB DO OB DC EO
OC AB ED FO (2) 11 (3) FE
谢谢
AB
2020/10/6
03 与向量有关的基本概念
1. 向量的长度(模): 向量 AB 的大小 表示：| AB |
2. 零向量与单位向量
零向量: 长度为零的向量(方向任意). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
2020/10/6
向04量之向间量的之关间系的关系
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量. 表示： a //b
向量的概念
目录
01
向量的概念
02
向量的表示
03 与向量有关的基本概念
04
向量之间的关系
引入
B
A
老鼠由A处向东以每秒6米的速 度逃窜，而猫由B处以每秒10米的 速度追击. 若B处在A处北8米，问 猫能否抓到老鼠？ 若能，如何在最 短的时间内抓到老鼠？
C
01 向量的概念 定义： 既有大小又有方向的量叫向量. 例：力、位移、加速度、速度等. 注意： 数量与向量的区别：