坐标变换
常用的坐标转换方法
常用的坐标转换方法
1. 平移转换呀，这就好像你把一件东西从这个地方挪到那个地方一样。
比如说，在地图上把一个标记点从左边移到右边，这个过程就是平移转换啦！
2. 旋转变换可神奇啦！就像你转动一个玩具，让它换个角度一样。
举个例子，你把一个图形沿着某个点旋转一定角度，哇，它就变样子啦！
3. 缩放转换哦，哎呀，这就跟你在看照片时放大缩小一样嘛。
比如你把一张地图缩小来看整体，或者放大看局部，这就是缩放转换的例子！
4. 镜像转换呢，就如同照镜子一样，会有个相反的影像出来。
像你把一个数字在镜子里看，不就是做了镜像转换嘛！
5. 极坐标转换呀，这个有点难理解哦，但你可以想象成在一个圆形的场地上找位置。
比如确定一个点在一个圆形区域里的具体位置，就是用极坐标转换呢！
6. 投影转换就好像是把一个东西的影子投到另一个地方呀。
比如说，把一个立体图形投影到一个平面上，这就是投影转换啦！
7. 复合转换可复杂啦，但也很有趣哟！就像是把好多步骤结合起来。
比如先平移再旋转，或者先缩放再镜像，这就是复合转换的实际运用呀！
我觉得这些坐标转换方法真的都好有意思，每种都有它独特的用途和奇妙之处，学会了它们，能让我们更好地处理和理解各种坐标相关的问题呢！。
直角坐标系坐标变换公式
直角坐标系坐标变换公式在数学中，直角坐标系是描述平面上点位置的一种常用方式。
当需要在不同坐标系之间进行转换时，我们可以利用坐标变换公式来实现。
本文将介绍二维平面上的直角坐标系坐标变换公式。
假设有一个点P在直角坐标系中的坐标为(x, y)，现在我们希望将其坐标转换为另一个直角坐标系下的坐标(x’, y’)。
为了实现这一转换，我们需要进行如下的操作：平移首先，我们需要对点P进行平移操作。
设平移向量为(a, b)，则点P在新坐标系下的坐标为(x + a, y + b)。
旋转接着，我们可以对点P进行旋转操作。
设旋转角度为θ，旋转中心为原点O(0, 0)，则点P在新坐标系下的坐标为：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)缩放最后，我们可以对点P进行缩放操作。
设缩放比例为(sx, sy)，则点P在新坐标系下的坐标为：x’ = x * sx y’ = y * sy综合变换将上述平移、旋转和缩放操作综合起来，我们可以得到点P在新坐标系下的完整变换公式：x’ = (x - xo) * cos(θ) * sx - (y - yo) * sin(θ) * sy + xo y’ = (x - xo) * sin(θ) * sx + (y - yo) * cos(θ) * sy + yo其中(xo, yo)为旋转中心，θ为旋转角度，(sx, sy)为缩放比例。
示例假设在某直角坐标系下，有一个点P(2, 3)，希望将其转换到新坐标系下，旋转角度为30度，旋转中心为原点O(0, 0)，缩放比例为1.5。
根据上述公式，我们可以计算出点P在新坐标系下的坐标为：x’ = (2 - 0) * cos(30) * 1.5 - (3 - 0) * sin(30) * 1.5 + 0 = 2.366 y’ = (2 - 0) * sin(30) * 1.5 + (3 - 0) * cos(30) * 1.5 + 0 = 3.133因此，点P在新坐标系下的坐标为(2.366, 3.133)。
坐标变换最通俗易懂的解释(推导+图解)
坐标变换的作用
在一个机器人系统中，每个测量元件测量同一物体得出的信息是不一样的，原因
实现坐标变换所需的数据
我们常用出发与坐标系原点终止于坐标系中坐标点的向量来表示坐标系中坐标点相对于坐标原点的位置（距离+方位）。
坐标系的相互转化必须以地球坐标系为媒介才可以实现，即坐标系的相互转化必须已知“任意坐标系中各个坐标轴在world坐标系中的坐标”：
位姿
坐标变换中旋转的实质
坐标变换的实质就是“投影”。
首先，我们解读一下向量是如何转化为坐标的：
其实，这个矩阵的乘法与卷积有着异曲同工之妙。
旋转矩阵的性质：
从B到A的转化：
从A到B的转化：
、都是单位正交仿真，因此
坐标变换中平移的实质
向量可以在坐标系中任意移动，只要不改变向量的方向和大小，向量的属性不会发生变化。
但是我们研究的是坐标系B中一个坐标点在坐标系A中的映射，因此
多坐标变换
首先，我们要知道世界坐标系下坐标系A/坐标系B的各个坐标轴在世界坐标系（参
如何实现坐标变换
其中O1O2是从O1指向O2的向量。
坐标转换最简单方法
坐标转换最简单方法
坐标转换是一种将一个坐标系统中的坐标转换为另一个坐标系统中的坐标的技术。
在实际应用中，我们经常需要将一组坐标从一个坐标系统转换为另一个坐标系统，以满足不同的需求。
下面介绍最简单的坐标转换方法。
一、笛卡尔坐标系和极坐标系的转换
转换公式如下：
x=r*cosθ
y=r*sinθ
其中，r为半径，θ为极角。
二、笛卡尔坐标系和球坐标系的转换
转换公式如下：
x=r*sin(θ)*cos(φ)
y=r*sin(θ)*sin(φ)
z=r*cos(θ)
其中，r为半径，θ为极角，φ为方位角。
三、笛卡尔坐标系和地理坐标系的转换
转换公式如下：
x=(R+h)*cos(φ)*cos(λ)
y=(R+h)*cos(φ)*sin(λ)
z=(R*(1-e^2)+h)*sin(φ)
其中，R为地球半径，h为海拔高度，φ为纬度，λ为经度，e
为地球偏心率。
四、笛卡尔坐标系和UTM坐标系的转换
转换公式比较复杂，需要借助专业的软件或工具进行转换。
常用的软件有ArcGIS、QGIS等。
总体来说，坐标转换需要掌握一定的数学基础和专业知识，但随着科技的发展，现在已经有了很多方便快捷的坐标转换工具和软件，使得坐标转换变得更加简单和便捷。
平面直角坐标系与坐标变换
平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是描述平面上点的位置的一种常用坐标系。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，分别被称为x轴和y轴，并且原点位于这两条轴的交点处。
在平面直角坐标系中，每个点都可以由一个有序数对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在x轴上的坐标，y 表示点在y轴上的坐标。
坐标变换是在不同坐标系之间进行转换的过程。
当我们需要在不同的坐标系中描述同一个点时，就需要进行坐标变换。
常见的坐标变换包括平移、旋转、缩放等操作。
1. 平移平移是将一个点沿着给定的方向和距离移动的操作。
在平面直角坐标系中，平移操作可以通过在原有坐标的基础上加上一个常量来实现。
对于点 P(x, y) 的平移操作，可以表示为 P'(x+a, y+b)，其中 (a, b) 是平移向量。
2. 旋转旋转是将一个点绕着某个中心点按照一定的角度进行旋转的操作。
在平面直角坐标系中，原点 O(0, 0) 是通常被选作旋转的中心点。
对于点 P(x, y) 的旋转操作，可以表示为 P'(x', y')，其中 x' 和 y' 的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，θ 表示旋转的角度。
3. 缩放缩放是将一个点按照给定的比例进行放大或缩小的操作。
在平面直角坐标系中，缩放操作可以通过乘上一个比例因子来实现。
对于点P(x, y) 的缩放操作，可以表示为 P'(kx, ky)，其中 k 表示缩放的比例。
4. 坐标轴变换坐标轴变换是将坐标系的x轴和y轴进行调整的操作。
在平面直角坐标系中，坐标轴变换操作可以通过旋转和缩放来实现。
例如，如果我们需要将坐标系中的x轴和y轴交换，可以先进行一个旋转操作将x 轴旋转到y轴的位置，然后再进行一个缩放操作将x轴和y轴的刻度进行调整。
综上所述，平面直角坐标系与坐标变换是描述平面上点的位置和在不同坐标系之间进行转换的重要概念和操作。
坐标变换原理
坐标变换原理
坐标变换是一种数学操作，用来在不同的坐标系间进行转换。
它是将一个点或对象的位置从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法。
在二维平面坐标系中，通常使用笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系使用x和y轴来表示一个点的位置，而极坐标系使用半径和角度来表示。
坐标变换可以通过简单的公式来实现：
1. 笛卡尔坐标系转换为极坐标系：给定一个点的笛卡尔坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
2. 极坐标系转换为笛卡尔坐标系：给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其笛卡尔坐标(x, y)：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
这些公式将一个点在不同坐标系中的位置进行相互转换。
通过这些转换，可以在不同坐标系之间准确地描述和定位对象的位置。
除了坐标系之间的转换，还可以进行其他类型的坐标变换，如平移、缩放和旋转。
在平移中，点的位置通过添加一个固定的偏移量来改变。
在缩放中，点的位置通过乘以一个缩放因子来改变。
在旋转中，点的位置通过应用旋转矩阵来改变。
通过这些坐标变换，可以单独或组合地对对象进行不同类型的变换，使其在平面内按照所需的方式移动、缩放和旋转。
这在计算机图形学和计算机视觉中经常使用，用于实现图像转换、模型变换等应用。
坐标变换为我们提供了一种非常有用的工具，可以方便地在不同坐标系中进行准确的位置描述与处理。
机器人学--坐标转换
1
p px py pz T ,n nx ny nz T ,o ox oy oz T ,a ax ay az T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系
或工件坐标系 满足方程
A P
1
A B
R
0
A
PB 1
0
B P
1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
(2-14)
AP Ax A y Az 1T ,BP Bx B y Bz 1T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A P ABTB P,
ABT
A B
R
0
A
PB0 1
(2-15,16)
Robotics 数学基础
ny
oy
ay
0
fx
f
yvers
f z s
fy fyvers c
fz fyvers fxs 0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
fx
f z v ers 0
f y s
fy fzvers fxs 0
fz fzvers c 0
0 1
将上式对角线元素相加,并简化得
nx
oy
az
(
f
2 x
f
2 y
f
2023最新整理收集 do
something
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换
坐标变换讲解
坐标变换讲解
坐标变换是指将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程。
在二维情况下，一般使用2x2的矩阵来表示坐标变换，而在三维情况下则使用3x3的矩阵。
在二维情况下，假设有两个坐标系A和B，坐标系A中的点P(x,y)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b] [x]
[y'] [c d] [y]
其中，a、b、c和d是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A 到坐标系B的转换关系。
具体来说，a和d表示坐标轴的缩放因子，b和c表示坐标轴的旋转因子。
在三维情况下，坐标变换的方式稍有不同。
假设有两个坐标系A 和B，坐标系A中的点P(x,y,z)需要转换到坐标系B中的点P'(x',y',z')。
坐标变换可以通过以下公式来实现：
[x'] = [a b c] [x]
[y'] [d e f] [y]
[z'] [g h i] [z]
其中，a、b、c、d、e、f、g、h和i是转换矩阵的元素，它们定义了从坐标系A到坐标系B的转换关系。
具体来说，a、e和i表示坐标轴的缩放因子，b、c、d、f、g和h表示坐标轴的旋转和剪切因子。
需要注意的是，坐标变换不仅仅可以用矩阵表示，还可以使用四元数、欧拉角等方式进行表示。
此外，在实际应用中，坐标变换经常涉及到平移操作，可以通过引入齐次坐标进行处理。
总之，坐标变换是将一个坐标系中的点或向量转换到另一个坐标系中的过程，通过定义适当的转换矩阵或其他表示方式，可以实现不同坐标系之间的转换。
坐标变换公式
e ⋅ e j = ? e' ⋅ e = a 21 1 2
' i
' ' e1' , e2 , e3 是相互垂直的三个基本向量，所 是相互垂直的三个基本向量， 因为 ' ' 以 e1' × e2 ⋅ e3 = ±1, 即
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = ±1. a33
41(1)已知e ⊥ r ,| e |= 1, 将r绕e右旋θ 得到r1 ,用e, r和θ 表 uuu r (2)给定O, A, P (O ≠ P)三点，将P绕OA右旋θ 得到P， 1 uuu uuu r r uuu r 用OA, 和θ 表出OP . OP 1 示r1；
从而可以得到下面一组正 交条件： 交条件：
2 2 2 a11 + a21 + a31 = 1,
a + a + a = 1,
2 12 2 22 2 32 2 2 2 a13 + a23 + a33 = 1,
a11a12 + a21a22 + a31a32 = 0, a12 a13 + a22 a23 + a32 a33 = 0, a13 a11 + a23 a21 + a33 a31 = 0.
坐标变换公式： 坐标变换公式：
x = a1 + a11 x + a12 y + a13 z , 这是从新 ' ' ' y = a2 + a21 x + a22 y + a23 z , 坐标求旧
' ' '
常用坐标系介绍及变换PPT课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
坐标变换
作者：徐守兵
来源：《化学教学》2010年第04期
文章编号：1005-6629(2010)04-0069-03中图分类号：G633.8文献标识码：B
1、从2009年江苏高考最后一问谈起
试题：在1个Cu2O晶胞中(如图1所示)，所包含的Cu原子数目为_____。
作为全卷的最后一问，格外引起考生和教师的关注，应当说试题并不难，可答完试题后，也许有些老师和同学会进一步追问：该晶胞属哪种类型?可能首先想到的解答是体心立方，因为该晶胞的顶点和体心处均为氧原子。
但根据晶胞的平移对称性，对于体心立方，当顶点平移到体心时，所有的原子均应复原，由图2可知，当氧原子从顶点A处平移到体心B点处时，铜原子C应当平移到D点处，可实际上晶胞中D点处并无对应的铜原子存在，即铜原子没有复原，由此可见，仅关注氧原子。
就判断晶胞为体心立方是不正确的。
从图1呈现的晶胞形状看，晶胞参数a＝b＝c，a＝β＝γ＝90°，有4个通过体对角线的3重旋转轴，完全符合立方晶胞的要求，表明它确属立方晶系，但由于它没有作为体心立方，还应该有的3个通过体心、垂直于晶面的4重旋转轴，所1以Cu2O晶胞只能属于简单立方，对应空间点阵只有一个点阵点，该点阵点对应的结构基元包含2个O原子、4个Cu原子。
那么，在识别晶胞时，还有没有识别常见晶胞的新视角。
避免犯错误呢?
2、分数坐标
借助于坐标系，可以更好地表征晶胞中各原子在空间的相对位置。
晶体的坐标系称为晶轴系，晶轴系以晶胞参数a、b、c分别为晶轴x、v、z的单位向量(如图3)，坐标原点习惯用字母D表示，本文中的晶轴系在平移前坐标原点均取和该图一致。
晶胞中任一原子P的位置可用向量代表。
则(x，y，z)称为P点的坐标。
由于P点在晶胞内，x、y、z≤1，因此习惯上称x、y、z为原子P的分数坐标。
采用分数坐标时，晶胞中原子坐标组数与晶胞中实际占有的原子个数相当，即净含几个原子就写几组坐标。
以常见的金属晶体晶胞为例(见表1)：
3、用分数坐标变换识别晶胞类型
根据点阵的定义：按连接其中任意两点的矢量将所有的点平移而能复原的一组无限多个点。
因而，将空间点阵中的一个点平移到另外一个点时，虽然该点的分数坐标值有变化，但由上述点阵的平移呈对称性，空间点阵中点的分数坐标整体上应该是等价的、复原的。
对于有实际内容的晶胞，当根据晶胞参数初步判断出晶胞类型后，按相应的点阵型式，将坐标原点从起始原点平移到另一点阵点对应位置时。
该点阵点对应原子的分数坐标当然会有变化，但这种变化应只是同一类型原子的分数坐标之间的一种交换，就整个晶胞而言，同样也应是不变的，这就为我们提供了一种识别晶胞类型的新视角。
如金刚石晶胞，从它的大小和形状可以初步判断为面心立方，确证时可以先写出晶胞中所有点的分数坐标，图4中A点的分数坐标为1/2，1/2，0，再将坐标原点从O点平移到A点，此时A点的分数坐标为O，O，O，这也就意味着，其他所有碳原子的分数坐标的x值均减去1/2、y值均减去1/2，而z值均保持不变。
需要注意的是，进行变换操作时，若分数坐标值出现负数，根据点阵的平移对称性，应该加上1。
由表2数据可见平移前后，晶胞内碳原子的分数坐标不变，确证金刚石晶胞为面心立方。
4、分数坐标在晶胞变换中的应用
再观察Cu2O晶胞，从分数坐标变换的角度看，如果Cu2O是体心立方，则当坐标原点移到体心时，体心O原子的分数坐标从(1/2，1/2，1/2)变为(O，O，O)，此时所有Cu原子的分数坐标x、y、z应分别减去1/2、1/2、1/2，平移后cu原子应当复原，而实际上表3平移前后的数据可以看出，Cu原子没有复原，而是从图1位置平移到以体心氧原子为对称中心的对称处了，可见，Cu2O晶胞不是体心立方，由于对称性降低，而只能是简单立方。
有趣的是，有同学会提出这样的问题，若将Cu2O晶胞的顶点从氧原子变为铜原子，该晶胞将如何画?类似地晶胞变换问题，应当说对空间想象能力有较高的要求，笔者在近期的化学竞赛辅导教学中发现，从分数坐标变换角度可以化难为易，变换时可先结合图1写出平移前晶胞中氧原子和铜原子的分数坐标，然后再将坐标原点从氧原子平移到其中一个铜原子(3/4，
1/4，1/4)处，使其分数坐标为
(O，O，O)，根据变换规则可得表4中的平移后的分数数据，进而根据平移后的分数坐标数据不难画出以铜原子为顶点的Cu2O晶胞图，见图5所示。