第13章机械振动基础-11

统 无限自由度系统
分布参数系统 偏微分方程 一维振动
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3. 振动系统：按运动微分方程的形式分
振动/系统分类
运动方程 线性叠加原理
线性振动/系统 线性微分方程
成立
非线性振动/系统 非线性微分方程 不成立
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4. 振动分类 按激励的有无和性质分
绝大多数场合中，为了能够分析或者便于分析，需 要通过适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的 参数，这样便得到离散系统。
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2. 自由度 自由度数是指完全描述该系统一切部位在任何瞬 时的位置所需要的独立坐标的数目。
力学模型 自由度数 参数特征 数学工具 最简模型
离散系统 多自由度系统 集中参数系统
初始条件：t 0, x x0 x& x&0
解
x

x0
cos
nt

x&0
n
sin
nt
x(t) Asin(nt )
A
C1 x0
C2
x&0
n
2
x02


x&0
n

无阻尼自由振动

tg 1 n x0
x&0
U W (R r)(1 cos )
W (R r)2 / 2
设圆柱体转动角速度为 &
A为瞬心，质心线速度为
vc (R r)& r& & (R r)&/ r 3 W (R r)2&&W (R r) 0
系统动能
T

1 2
I A&2
1 (1 W r2 W r2 )( R r &)2
x&m，xm
摇臂最大角速度 x&m / b
弹簧k2最大伸长量 cxm / b
最大动能
Tmax

1W 2g
x&m2
1 2
I ( x&m )2 b

1 2
(W g

I b2
)xm2 2n
最大势能
k2 B b
c
O
W k1
U max

1 2
k1
xm2

1 2
k2
(
c b
xm )2

1 2
(k1

c2 b2
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二. 简谐振动合成
2. 两个不同频率振动合成
(1) 1与2之比为有理数

x1 (t ) x2 (t)

A1 sin1t A2 sin2t
T为x1(t)和x2(t)合成之周期。 结论：
两不同频振动合成不再为简谐振动。但 频率比为有理数时，可合成为周期振动。合 成振动周期为两简谐振动周期之最小公倍数。
dt
dt 2
2
(mx&& kx)x& 0
由于速度不可能恒为零
mx&& kx 0
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考虑两个特殊位置上系统能量： •在静平衡位置，系统势能为零，动能最大
•在最大位移处，系统动能为零，势能最大
能量守恒
Tmax Umax
Tmax

1 2
mx&m2 ax
U max
振动分类
定义
特点与例子
固有振动
无激励时系统所有可能运动的 不是现实的振动，仅反映系统关于振动
集合
的固有属性。
自由振动 激励消失后系统所作的振动 是现实的振动。
强迫振动 系统在外界激励下所作的振动
随机振动
系统在非确定性的随机激励下 包括物理参数具有随机性质的系统发生
所作的振动。
的振动。行驶在公路上的汽车的振动。
Q mg kst
n
k m
g st
— 静变形法
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13.2.2计算固有频率的能量法:原理与方法
原理
对不计阻尼的系统，因为没有能量损失，所以可以用能量守 恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。
方法
设系统任一瞬时的动能及势能分别为T及U，由机械能守恒 有
7.复数表示
z Ae j(t ) Acos(t ) jAsin(t )
x(t) Im(z) Asin(t )
z(t) Ae j e jt Ae jt
A Ae j
旋转矢量
复振幅，包含振幅和相位信息
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二. 简谐振动合成 1. 两个同频率振动合成
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
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二. 简谐振动合成
2. 两个不同频率振动合成
(1) 1与2之比为有理数

x1 (t ) x2 (t)

A1 sin1t A2 sin2t
设 1 m 2 n
缓慢周期变化。包络线为A(t)，拍频为△ 。
x(t)
4 1 2
2A
o
t
2 2 1
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NCEPU
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振动方程： x&& n2 x 0
2.单自由度固有振动方程求解
通解： x C1 cos nt C2 sin nt , C1、C2 — 积分常数
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3. 周期与频率
周期 T
频率 f
T 1 2 f

f 1 T 2
单位：T：s(秒) f：Hz(赫兹)
ω：rad/s
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4. 位移、速度与加速度
位移 x x(t) Asin(t )
速度
x& dx(t) A cos(t )
d (T U ) 0 dt
将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程， 并求出系统固有频率。
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例1 弹簧质点系统
动能 T 1 mx&2 2
势能 U x kxdx 1kx2
0
2
k
d (T U ) d (1 mx&2 1 kx2 ) 0
自激振动
系统包含有补充能量的能源。演奏提琴
系统受到由其自身运动诱发出 来的激励作用而产生和维持的 振动。
所发出的乐声, 是琴弦作自激振动所致。 车床切削加工时在某种切削用量下所发 生的激烈的高频振动, 架空电缆在风作 用下所发生的与风向垂直的上下振动以
及飞机机翼的颤振等。
参数振动
激励因素以系统本身的参数随 时间变化的形式出现的振动。
2g
&& 2g 0
3(R r)
2 2g g
r
3 W (R r)2&2
4g

n
2g 3(R r)
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弹簧串并联
1.并联弹簧
等效弹簧刚度 l0 k1
Ke k1 k2 st
F1
k2 F2

l0
st
变形相等
mg
F kst F1 F2 k1st k2st
2Acos 2 1 t sin 2 1 t
2
2
令：

2
1
2
，
2
1
x(t) 2 A cos t sin t
2
A(t) sin t
A(t) 2Acos t
2
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(2) 1与2之比为无理数
“拍”: 频率为ω的变幅振动，振幅在0~2A之间
振动的利弊：
利：振动给料机
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛
引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等
消耗能量，降低精度等。
研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动
为人类服务。
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振动系统模型
1. 力学模型 •连续系统
实际工程结构的物理参数，例如板壳、梁、轴等的 质量及弹性，一般是连续分布的，保持这种特点抽象出 的模型中的系统称为连续系统或分布参数系统。 •离散系统

1 2
k
xm2ax
由于系统的固有振动是以固有频率为振动频率的简谐振 动，所以最大速度与最大位移有关系：
x&max n xmax
n
k m
固有圆频率
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例2 位移计
质量块重W,摇臂AB绕支点O的转动惯量为I,两弹 簧刚度为k1,k2,求系统固有频率。
解 设质块最大速度和最大位移为
m 2 n 2
1
2
T mT1 nT2
x(t) x1(t) x2 (t)
x(t T ) x1(t T ) x2 (t T )
x1(t mT1) x2 (t nT2 )
x1(t) x2 (t)
x(t)
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k2 )xm2
能量守恒
Tmax Umax