等比数列的性质及答案
等比数列的性质
等比数列的性
质
徐超
①若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比
数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（4）按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。
5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log 以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q 的对数。
(7) 等比数列前n项之和
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q ^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
(8) 数列{An}是等比数列，An=pn+q，则
An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
等比数列的基本性质与求和公式
等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。
等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。
一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。
1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。
公比q可以是正数、负数或零。
2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。
通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。
前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。
二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。
Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。
Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。
Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。
Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。
Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。
Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。
Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。
(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。
特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结及经典例题1. 等比数列的前n 项和n S 公式：1 (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 2. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q…（公比为q ，中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a qq A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
等比数列的性质及答案
一、选择题1．[2016·江南十校联考]已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，得b ＝1，c ＝2.则ad ＝bc ＝1×2＝2，选B.2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12 答案 C 解析 ∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10， 即a m ＝a 1·q 10，∴m ＝11.故选C.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－22答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q .由a 1，12a 3,2a 2成等差数列，得a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q 1＝1＋2，q 2＝1－ 2.因为数列各项都为正数，所以q ＝1＋2，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝3＋2 2.4．[2016·唐山高一检测]已知等比数列{a n }的公比为负数，且a 3·a 9＝2a 25，已知a 2＝1，则a 1＝( )B ．－22D ．2答案 B解析 ∵a 3·a 9＝a 26＝2a 25，∴a 26a 25＝q 2＝2. 又∵q <0，∴q ＝－ 2.∴a 1＝a 2q ＝1－2＝－22.二、填空题5．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10＝________.答案 67解析 ∵在等差数列{a n }中，有a 3＋a 9＝2a 6，a 4＋a 10＝2a 7，∴a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10＝3a 63a 7＝a 6a 7. ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴a 1＝d ，∴a 6＝6a 1，a 7＝7a 1，∴a 6a 7＝67，即a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10＝67. 6．[2014·广东高考]若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.答案 5解析 由题意知a 1a 5＝a 23＝4，又数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2，a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.7．[2016·北京师大附中期中]在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.答案 －53解析 由等比数列的性质知a 8a 9＝a 7a 10，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝1a 7＋1a 10＋1a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝a 7＋a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝－53. 三、解答题8．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解 原式可化为⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 52＝36a 3＋a 52＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝10a 3－a 5＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 3＝10a 5－a 3＝6.∴a 3＝8，a 5＝2，q ＝12或a 5＝8，a 3＝2，q ＝2.∴当q ＝12时，a 1＝32，a n ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝26－n .当q ＝2时，a 1＝12，a n ＝2n －2.9．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解 解法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a＝16，a ＋a ＋d＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2aq －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋12－y ，12－y2＝y 16－x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。
2.5：等比数列的性质(答案版)
2.5：等比数列的性质：【知识点1：】等比数列{an}，对于任意正整数n ，都有1an q a m+=.等比数列{an}，对于任意正整数n 、m 都有nma a =n m q - 例题：在等比数列{an}中，若公比528467186a q a a a a a >=+==，且，，则12. 46462846886a a a a a a a a =⎧==⎨+=⎩ 解析：，由，4466244.2a a a a ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得或4621.4a q a =⎧>∴⎨=⎩ ，54276112.a a a q a ∴===【知识点2：】等比数列{an}的一些简单性质 (1)对于任意正整数n 、m 都有.n m nma q a -= (2)对任意正整数p 、q 、r 、s ，若p q r s +=+，则a a a a p q r s=⋅特别地，若2m n m n p a a +=⋅=，则2()p a .(3)对任意常数(0){}n k k ka ≠， 仍成等比数列，公比为__q _.(4){an}、{bn}都是等比数列，则{anbn}与{}n nab 都是等比数列，且公比分别为原公比的积与商．(5)等比数列{an}中，等间隔(即序号成等差数列)的项仍成等比数列；等间隔的k 项之和(或积)仍成等比数列．如：13521n a a a a -⋯⋯，，，，成等比数列． 14732n a a a a -⋯⋯，，，，成等比数列． 371141n a a a a -⋯⋯，，，，成等比数列．123456212n n a a a a a a a a -+++⋯+⋯，，，，成等比数列等等． (6){an}是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积．即： 121321________.n n n k n k a a a a a a a a ---+===⋯=例题1：等比数列{an}中，37528__4__a a a ===，，则； 253716a a a ==由等比数列的性质，得， 375500.04a a a a >>∴>∴= ，，，例题2：已知{an}是等比数列，且243546350225n a a a a a a a a a >++=+=，，那么 ( A ) A ．5B ．10C ．15D ．20解析：22465243a a a a a a ==由等比数列的性质，得，，222353355()2a a a a a a ∴+=++，243546225a a a a a a =++=， 355.a a ∴+=± 355.0n a a a >∴+= ，【知识点3】等比数列的单调性(1)当11010,01a q a q >><<<，或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当110,0101a q a q ><<<>或，时，等比数列{an}为递减数列； (3)当1q =时，数列{an}是常数列； (4)当0q <时，数列{an}是摆动数列．例题：等比数列{an}中，首项为a1，公比为q ，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的条件是( ) A ．1q <B ．101a q ><，C ．110,0101a q a q ><<<>或，D ．1q >解析：等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对值来决定．由11111(1)00,010 1.n n n a a a q q a q a q -+-=-<><<<>，得，或，【知识点4】等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为2.aa aq aq a aq q，，或，，(2)若四个数成等比数列，可设23a aq aq aq ，，，；若四个数均为正(负)数，可设33.a aaq aq q q，，，例题：有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数为_361224，，，_． 解析：设这四个数分别为232311413a aq aq aq a aq aq aq ----、、、，则，，，成等差数列，2232(1)(1)(4)2(4)(1)(13)aq a aq aq aq aq ⎧-=-+-⎪∴⎨-=-+-⎪⎩22(1)32 3.(1)6a q q a aq q ⎧-=⎪==⎨-=⎪⎩整理得，解得， 361224.因此所求四个数为，，，变式1：在等比数列{an}中，已知473810512124a a a a a =-+==，，且公比为整数，则_512___.解析：由等比数列的性质，得3847512a a a a ==-， 3838124512a a a a +=⎧⎨=-⎩由，得33884128.1284a a a a =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或384128.q a a ∴=-= 为整数，，583128324a q a ∴===--，2.q ∴=-21081284512.a a q ∴=⋅=⨯=变式2：在等比数列{an}中，已知7128910115a a a a a a ==，则__25__. 712811910(1)5a a a a a a === 解析： 解法一：，2891011525.a a a a ∴==6112171115a q a q a q ⋅==解法二：由已知得，789104342172891011111111()25.a a a a a q a q a q a q a q a q ∴=⋅⋅⋅=⋅=⋅=变式3：{an}为等比数列，且1937116420a a a a a =+==，，则___164或___. 193764a a a a == ，23720640a a x x ∴-+=，是方程的两根．3377416.164a a a a ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得或4437734164a a a a q q ====①若，，则由得，， 411716464.a a q ∴==⨯=44737314164a a a a q q ====②若，，则由得，， 411714 1.4a a q ∴==⨯=111164 1.a a ==故，或变式4：已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为128-，求这四个数．分析：求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷． 2a aa a aq q q-解析：设四个数为、、、， 2162128a qa a aq q⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎩则由题意得， 88.44a a q q ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得或4,2,8,324,2,8,32.---因此所求的四个数为-或点评(1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a 、q 表示四个数，也可以据前三个成等差，用a 、d 表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便． (2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x ，则第二个数为16x，则第一个数为33212816x x x x -，最后一个数为，再利用首尾两数之和为-可列出关于 的方332128816x x x x ⎛⎫⋅-=-=± ⎪⎝⎭程，解之得，则更简捷．变式5：三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为__4,2,8-__．分析：三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．62a d a a d a d a a d a -+-+++=∴=解析：由已知，可设这三个数为，，，则，，2,2,2d d -+这三个数可表示为，2 2(2)2(2)60()428.d d d d d --=+=①若为等比中项，则有，解之得，或＝舍去．此时三个数为-，， 2(2)22(2)60()82 4.d d d d d ++=-=-=-②若是等比中项，则有，解之得，或舍去．此时三个数为，，222(2)(2)0()d d d =+⋅-∴=③若为等比中项，则，舍去．4,2,8.综上可知此三数为-变式6：在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知1111a a b ==，且，2283.a b a b ==，(1)求数列{an}的公差d 和数列{bn}的公比q ；(2)是否存在常数a ，b 使得对一切正整数n ，都有log n a n a b b =+成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由．112283:(1)1a b a b a b ====解析由已知，，，得2161()5017d q q q d d d q +===⎧⎧⎧⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩，解得或舍去． (2)log n a n a b a b b =+假设存在，使得成立，115(1)6.n a n log b -+-=+即有(5log 6)(4log 6)0.a a n b --+-=整理，得n a n a log b b n =+ 对一切正整数恒成立．5log 601.4log 60a a ab b -=⎧∴∴==⎨+-=⎩，变式7：三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平方和为91，则这三个数为________． 139139-错解： ，，或-，，a a aq q 设三数为，，，则22222791aa aq q a a a q q ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩①②133.3a q q ==±=±由①得代入②中得或31,3,9313,9q q ∴==--当时，三数为；当时，三数为-，；119,3,19,3, 1.33q q ==--当时三数为；当时，三数为-139139.-综上可知此三数为，，或-，，辨析：错解没有注意到“三个正数成等比数列”，因此应有公比q > 0. 22222791aa aq q a a aq q a a a q q ⎧⋅⋅=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩①设三数为，，，则② 1333a q q ==±=±由①得，代入②中得或， 131,3,99,3,13q q ==当时，三数为，当时，三数为1,3,9.综上知，这三个数为。
等比数列的性质与计算
等比数列的性质与计算等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都是前一个数乘以一个固定的非零常数。
而这个常数被称为公比，通常用字母 q 表示。
等比数列的性质在了解等比数列的计算方法之前，我们先来看一下等比数列的一些性质。
性质一：通项公式对于一个等比数列 a₁, a₂, a₃, ...，假设第一项是 a₁，公比是 q。
那么该数列的第 n 项可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，^ 表示乘方运算，n 表示项数。
性质二：公比的绝对值对于一个等比数列，如果公比 q 的绝对值小于 1（|q| < 1），那么数列中的项会逐渐减小。
如果公比 q 的绝对值大于 1（|q| > 1），那么数列中的项会逐渐增大。
只有当公比 q 的绝对值等于 1（|q| = 1）时，等比数列中的项保持不变。
性质三：前 n 项和公式对于一个等比数列，它的前 n 项和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)其中，Sₙ 表示前 n 项和。
等比数列的计算了解了等比数列的性质，我们现在来介绍一下如何进行等比数列的计算。
计算一：求第 n 项已知等比数列的第一项 a₁和公比 q，我们可以通过通项公式计算出第 n 项 aₙ。
只需要将已知的值代入公式中即可。
计算二：求前 n 项和已知等比数列的第一项 a₁和公比 q，我们可以通过前 n 项和的公式计算出前 n 项的和 Sₙ。
同样，只需要将已知的值代入公式中即可。
计算三：求首项和公比已知等比数列的前 n 项和 Sₙ 和项数 n，我们可以通过前 n 项和公式解出首项 a₁和公比 q。
只需要将已知的值代入公式，并通过一系列的代数运算求解。
应用举例现在我们通过几个例子来展示等比数列的计算应用。
例子一：如果一个等比数列的首项是 2，公比是 3，我们想要求出这个等比数列的第 5 项。
根据通项公式，我们可以得到：a₅ = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3⁴ = 2 * 81 = 162所以，这个等比数列的第 5 项是 162。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
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一、选择题
1．[2016·江南十校联考]已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且y ＝
x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－2
答案 B
解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，得b ＝1，c ＝2.则ad ＝bc ＝1×2＝2，选B.
2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 答案 C 解析 ∵a 1＝1，
∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10， 即a m ＝a 1·q 10，∴m ＝11.故选C.
3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等差数
列，则
a 9＋a 10
a 7＋a 8
＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－2 C ．3＋2 2 D ．3－22
答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q .由a 1，1
2
a 3,2a 2成等差数列，得
a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q 1＝1＋2，q 2＝1－ 2.因为数列各项都为正数，所以q ＝1＋2，所以a 9＋a 10
a 7＋a 8
＝
a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8
＝q 2
＝3＋2 2.
4．[2016·唐山高一检测]已知等比数列{a n }的公比为负数，且
a 3·a 9＝2a 25，已知a 2＝1，则a 1＝( )
B ．－2
2
D ．2
答案 B
解析 ∵a 3·a 9＝a 26＝2a 2
5，∴a 2
6a 25
＝q 2＝2.
又∵q <0，∴q ＝－ 2.
∴a 1＝a 2q ＝1－2＝－22
.
二、填空题
5．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则
a 3＋a 6＋a 9
a 4＋a 7＋a 10
＝________.
答案 67
解析 ∵在等差数列{a n }中， 有a 3＋a 9＝2a 6，a 4＋a 10＝2a 7，
∴a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10＝3a 63a 7＝a 6a 7
. ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，
∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴a 1＝d ，
∴a 6＝6a 1，a 7＝7a 1，∴a 6a 7＝6
7，
即a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10＝67
. 6．[2014·广东高考]若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.
答案 5
解析 由题意知a 1a 5＝a 23＝4，又数列{a n }的各项均为正数，所以
a 3＝2，a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25
，所以log 2a 1
＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.
7．[2016·北京师大附中期中]在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9
＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1
a 10
＝________.
答案 －53
解析 由等比数列的性质知a 8a 9＝a 7a 10，所以1
a 7＋1
a 8＋1
a 9＋
1
a 10＝1
a 7
＋
1
a 10＋1
a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝a 7＋a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝－53
. 三、解答题
8．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋
a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．
解 原式可化为⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 3－a 52＝36
a 3＋a 5
2
＝100
，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＋a 5＝10
a 3－a 5＝6或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 5＋a 3＝10
a 5－a 3＝6.
∴a 3＝8，a 5＝2，q ＝1
2
或a 5＝8，a 3＝2，q ＝2.
∴当q ＝1
2时，a 1＝32，a n ＝64×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＝26－n .
当q ＝2时，a 1＝1
2
，a n ＝2n －2.
9．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．
解 解法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，
a ＋d
2
a
，
由条件得⎩⎪⎨
⎪⎧
a －d ＋a ＋d 2
a
＝16，
a ＋a ＋d
＝12.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
d ＝4，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝9，
d ＝－6.
所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二：设这四个数依次为2a q －a ，a
q
，a ，aq (a ≠0)，
由条件得
⎩⎪⎨⎪⎧
2a
q －a ＋aq ＝16，
a q ＋a ＝12.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，
a ＝8，
或
⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝13，
a ＝3.
所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝1
3，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得
⎩⎪⎨⎪⎧
2y ＝x ＋12－y ，
12－y
2
＝y 16－x .
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝4，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝15，
y ＝9.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。