江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
【精准解析】江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
经过圆心（2，1），所以当 a 1时，直线 l 平分圆 C 的面积，
故：②正确
③由①得，直线 l 的必过定点 A（1，3），直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，
此时，对于圆心 C 与 A 连成的直线 CA，必有 CA l ，又 CA 的斜率为 2 ， l 的斜率为 1 ，
2
1 a
就可以判断②Βιβλιοθήκη ③由①得，直线 l 的必过定点 A（1，3），直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，
然后解出 a 即可判断③；
④当
2a
1
0
，即
a
1 2
时，直线
l
的斜率为
a 1 2a 1
1 2
3 4a
2
1 2
，利用反证法，
即可判断④
【详解】①圆 C的标准方程为 (x 2)2 ( y 1)2 16 ,圆心坐标（2，1）,半径 r 4 ，直线 l
经过验证可得：a=2 时两条直线重合，舍去．
∴a=-1．
故选 D
【点睛】对于直线 l1：A1x B1 y C1 0，l2：A2 x B2 y C2 0， 若直线 l1 l2 A1B2 A2B1 0且A1C2 A2C1 0（或B1C2 B2C1 0）；
4. 某校现有高一学生 210 人，高二学生 270 人，高三学生 300 人，用分层抽样的方法从这三
故选：A
【点睛】本题考查倍角公式的应用，属于简单题
3.已知直线 l1 : ax (a 2) y 2 0 与 l2 : x ay 1 0 平行，则实数 a 的值为
A. －1 或 2
B. 0 或 2
C. 2
D. －1
【答案】D
江苏省苏州市常熟市2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
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F1PF2 90 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围为
A. (0, 2 ] 2
B. [ 2 ,1) 2
C. (0, 3 ] 2
D. [ 3 ,1) 2
【答案】B
【解析】
由椭圆上存在点 P ，使 F1PF2 90 可得以原点为圆心，以 c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b，
所以
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a2 a1 41 ， a3 a2 4 2
an an1 4 (n 1) 累加得： an a1 4[1 2 3 (n 1)] 2n(n 1) ，
所以 an 2n2 2n 21 ，
故 an 2n 21 2 ，
m4 所以 c 1， 若焦点在 x 轴上，则12 m 4 ，得 m 5 ，
若焦点在 y 轴上，则12 4 m ，得 m 3 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于容易题.
6.设等比数列an 的前
n
项和为 Sn ，若 a6
2a3
，则
S9 S6
的值为（
）
A. 2
7
B.
C. 8
3a
2 2
，当 t
4a2 3
时，取得最小值，由此能求出结果.
【
详
解
】
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an2
2Sn21 (n 1)2
[a2
(n
2)d ]2
2[a1(n
1) n(n 1) d ]2 2
江苏省苏州市常熟市2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
但直线 的斜率不可能为 ，从而直线 的方程不可能为 ，若 ，则只存在一个 的取值，使得直线 截圆C所得的弦长为
故：④不正确
故选：B
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于简单题
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
对于D，利用正弦定理，把 化简为 ，即可判断选项D正确
【详解】对于A， ，
，
又由A，B，C是 的内角，故内角都是锐角，故A正确
对于B，若 ，则 ，则 ，则
，则 或 ， 是等腰三角形或直角三角形,故B错误
对于C, ， ，即 ，则 是等腰三角形，故C不正确
对于D，若 ，则 ，则 ，
，即 是等边三角形，故D正确
故答案为B.
： 和圆 ： ，给出下列说法：①直线 和圆 不可能相切；②当 时，直线 平分圆 的面积；③若直线 截圆 所得的弦长最短，则 ；④对于任意的实数 ，有且只有两个 的取值，使直线 截圆 所得的弦长为 .其中正确的说法个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】
A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两直线平行，列方程，求的a的值.
【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．
经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．
∴a=-1．
故选D
【点睛】对于直线
若直线
4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）
江苏省苏州2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题(解析版)
苏州市2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{2,3,6,8}M = ，{2,5,6}N =， 则M N ⋂中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．5D ．7【答案】B【解析】先求解M N ⋂,再分析元素个数即可. 【详解】由题, {}2,6M N ⋂=,故元素个数为2. 故选：B 【点睛】本题主要考查了交集的运算与元素个数的求解,属于基础题. 2．函数()ln(1)f x x =-的定义域是（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞C ．(0,1)D ．(1,)+∞【答案】B【解析】根据对数中真数大于0求解即可. 【详解】()ln(1)f x x =-有意义的条件101x x ->⇒<.故定义域为(,1)-∞.故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数定义域的计算,属于基础题.3．已知幂函数()y f x =的图像过点(2,4)，则(3)f 的值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．12【答案】C【解析】设幂函数的解析式为()ay f x x ==,代入(2,4)求解解析式,进而求得(3)f 即可.【详解】设幂函数的解析式为()a y f x x ==,代入(2,4)有422a a =⇒=,故2()y f x x ==.故2(3)39f ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式求解以及函数求值,属于基础题.4．如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0或1 C ．1 D ．不能确定【答案】B【解析】因为A 中只有一个元素，所以方程2210ax x ++=只有一个根，当a=0时，12x =-;当0a ≠时，440,1a a ∆=-==，所以a=0或1. 5．函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ， 当1a >时，∴101a<<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D. 【考点】函数图象的平移.6．函数20.5()2log f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无法确定【答案】C【解析】转化为222log x x -=解的个数,再数形结合分析即可. 【详解】函数20.5()2log f x x x =-+零点的个数即220.50.52log 02log x x x x -+=⇒-=-, 即222log x x -=的根的个数.即函数222,log y x y x =-=的交点个数.画图分析可得有两个交点.故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,属于中档题.7．已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B【解析】分别判断,,a b c 与0,1等的大小关系判断即可. 【详解】因为0.20.511 1.5>=.故1a >.又0.20.2log 1.5log 10<=,故0b <.又 1.500.2001.2<<=,故01c <<.所以a c b >>.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性判断函数值大小的问题,属于基础题. 8．已知函数()|ln |f x x =， 若()()(0)f m f n m n =>>， 则2211m nm n +=++（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】根据()()(0)f m f n m n =>>可得1mn =,再代入2211m nm n +++求解即可. 【详解】因为()()(0)f m f n m n =>>,即|ln ||ln |m n =,故ln ln m n =-,即ln ln 0m n +=,可得1mn =.故22222222211111111m n n n n n m n n n n n n++=+=+==+++++++. 故选：C 【点睛】本题主要考查了对数的基本运算及性质运用,属于基础题.9．已知()f x 是偶函数，且对任意的()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠， 都有()()12120f x f x x x -<-，且存在0x ，使得()00f x =，若(1)0f x ->，则x 的取值范围可能是（ ） A ．(3,1)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞U C ．(,1)(1,)-∞-+∞UD ．(1,3)-【答案】D【解析】由对任意的()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠都有()()12120f x f x x x -<-可得()f x 在[0,)+∞上单调递减,再根据()f x 是偶函数以及存在0x ,使得()00f x =可画出()f x 的草图再求解(1)0f x ->即可.【详解】因为对任意的()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠,都有()()12120f x f x x x -<-.故()f x 在[0,)+∞上单调递减,又()f x 是偶函数且存在0x ,使得()00f x =,由对称性不妨设00x ≥,则画出草图有故(1)0f x ->的解集可能为001x x x -<-<.解得0011x x x -<<+,故当02x =时有解集为(1,3)-.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数不等式的问题,需要根据函数的性质画出草图进行分析,属于中档题.10．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x …时，161,02()2log ,2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩……，若关于x 的方程2[()]()0(,)f x af x b a b ++=∈R 有且只有7个不同的实数根， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．52,4⎛⎫--⎪⎝⎭B ．(2,1)--C ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】确定函数()f x 的性质画出图像,可得关于x 的方程2[()]()0(,)f x af x b a b ++=∈R 有且只有7个不同实数根,则方程20t at b ++=必有两个根12,t t ,数形结合可知其中1211,,14t t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,再根据根与系数之间的关系,即可得出结论．【详解】根据()f x 的解析式,画出()f x 的图像如图所示,且当()01f =时,最小值为()124f =, 且当16x ≥时, ()1f x ≥,又因为关于x 的方程2[()]()0(,)f x af x b a b ++=∈R 有且只有7个不同实数根,设()t f x =,则方程20t at b ++=必有两个根12,t t 其中1211,,14t t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,故125,24t t a ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭则524a -<<- 即52,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题主要考查了数形结合求解复合函数的零点个数问题,关键在于设()t f x =,先分析二次方程的根的分布,再根据()f x 的图形确定12,t t 的范围.属于难题.二、多选题11．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．()||f x x =与2()g x x =B ．()1f x x =+与21()1x g x x -=- C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．2()1f x x =-()11g x x x =+-【答案】AC【解析】根据同一函数满足定义域与对应法则与值域均相等判断即可. 【详解】 对A, 2()g x x x ==,故A 正确.对B, ()1f x x =+定义域为R ,21()1x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠,故B 错误.对C, 1,0()1,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩,故C 正确.对D, ()f x =210x -≥,解得1x ≤-或1x ≥.()g x =定义域为1010x x +≥⎧⎨-≥⎩即1x ≥.故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了同一函数的判定,需要分析函数的定义域与对应法则等.属于基础题. 12．下列函数中，在区间(0,1)是单调增函数有（ ） A ．12x y -= B ．12y x =C ．ln(1)y x =+D ．|1|y x =-【答案】BC【解析】根据常见函数的单调性判断即可. 【详解】 对A, 1222xx y -==,在(0,1)上为减函数,故A 错误. 对B, 12y x =在(0,1)上为增函数,故B 正确. 对C, ln(1)y x =+在(0,1)上为增函数,故C 正确. 对D, 在(0,1)上|1|1y x x =-=-为减函数.故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查了常见函数的单调性,属于基础题. 13．对于函数1()lg 1|2|f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，下列说法正确的有（ ）A ．(2)f x +是偶函数B ．(2)f x +是奇函数C ．()f x 在区间(,2)-∞上是减函数，在区间(2,)+∞上是增函数D ．()f x 没有最小值 【答案】AD【解析】根据奇偶函数的定义判定A,B.再去绝对值将1()lg 1|2|f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭写成分段函数判断C,D 即可. 【详解】对A,B,因为1()lg 1|2|f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,故1(2)lg 1f x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭, 又11(2)lg 1lg 1f x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,故(2)f x +为偶函数.故A 正确,B 错误. 对C.因为1lg 1,221()lg 121lg 1,22x x f x x x x ⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎛⎫-⎪⎝⎭=+= ⎪⎨⎪-⎛⎫⎪⎝⎭+< ⎪⎪-⎝⎭⎩. 当()2,x ∈+∞时,因为12y x =-在()2,x ∈+∞为减函数,故112y x =+-为减函数,所以1lg 12y x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在区间()2,+∞为减函数.故C 错误.对D,因为当()2,x ∈+∞时, 1lg 12y x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭为减函数.故且当x →+∞时, 0y →. 故()f x 没有最小值.故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查了函数性质的判定,需要根据奇偶性的定义以及函数图像变换与单调性的结合分析,属于中档题.三、填空题14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(0,)x ∈+∞时，()4f x =，则(2)f -=_______________.【答案】7-【解析】根据奇函数的性质可知()(2)2f f -=-再求解即可. 【详解】由题意,())(2)247f f -=-==--.故答案为：7- 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质与函数解析式求函数值的问题,属于基础题. 15．计算：231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯=_______________. 【答案】1-【解析】根据对数的基本运算以及换底公式求解即可. 【详解】23231lg 25lg 2log 9log 2lg5lg 22log 3log 21212+-⨯=+-⨯=-=-. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题.16．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈） 【答案】5【解析】先根据题意设x 小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于x 的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可. 【详解】设x 小时后才能开车,则有()0.310.250.09x⋅-≤,即30.34x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,两边取对数有3lg lg 0.34x ≤,因为3lg 04<故lg 0.3lg313lg3lg 4lg 4x -≥=-.代入lg30.48,lg 40.60≈≈可得0.481130.480.603x -≥=-.故x 最小为5. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题. 17．已知函数21()1log 1xf x ax x-=-++ （1）若3855f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则实数a 的值为______________； （2） 1120192019f f ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______________. 【答案】1 2【解析】(1)代入函数解析式化简求解即可. (2)先求解()()f x f x +-再代入12019x =计算即可. 【详解】(1)由题, 2313385()1log 355515f a -=-⋅+=-+,即381255a --=-,解得1a =. (2)因为()()22111log 1log 11x xf x f x ax ax x x-++-=-+++++- 22112log 2log 1121x xx x-+=⋅=++-=+,故11220192019f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：(1) 1;(2)2 【点睛】本题主要考查了函数的基本运算以及性质运用,属于基础题.四、解答题18．设U=R ，A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x ＜4}，C={x|a≤x≤a+1}，a 为实数， （1）分别求A∩B ，A ∪（∁U B ）； （2）若B∩C=C ，求a 的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|2＜x≤3}，A ∪（∁U B ）={x|x≤3或x≥4}；（2）2＜a ＜3【解析】试题分析：本题（1）先求出集合B 的补集，再求出A ∪（∁U B ），得到本题结论；（2）由B∩C=C 得到C ⊆B ，再比较区间的端点，求出a 的取值范围，得到本题结论． 解：（1）∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x ＜4}， ∴∁u B={x|x≤2或x≥4}，∴A∩B={x|2＜x≤3}，A ∪（∁U B ）={x|x≤3或x≥4}． （2）∵B∩C=C ， ∴C ⊆B ．∵B={x|2＜x ＜4}，C={x|a≤x≤a+1}， ∴2＜a ，a+1＜4， ∴2＜a ＜3．【考点】交、并、补集的混合运算．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，()121xaf x =++. （1）求实数a 的值及()f x 的解析式； （2）求方程4|(1)|5f x -=的解. 【答案】(1) 2a =-,()2121x xf x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =- 【解析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可.【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121xaf x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121xx x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x xxf x f x -----=--=-=-=+++. 故()2121x xf x -=+ (2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+.当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==. 因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-.故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =- 【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.20．已知二次函数2()f x ax bx =+的图像经过点(33)，，且满足()()11f x f x +=- （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[1,]t -上的最大值()g t .【答案】(1) ()22f x x x =-;(2) 当13t -<≤时, ()3g t =.当3t >时, ()22g t t t =-【解析】(1)根据()()11f x f x +=-可知二次函数对称轴为1x =,结合图像经过点()3,3求解即可.(2)数形结合讨论t 与3的大小关系,进而分情况讨论最大值()g t 即可. 【详解】(1)因为()()11f x f x +=-,故二次函数对称轴为1x =,故122bb a a-=⇒=-,故()22f x ax ax =-,又图像经过点()3,3,故396a a =-,解得1a =.故()22f x x x =-.(2)因为()22f x x x =-对称轴为1x =,故()()13f f -=.又二次函数()22f x x x =-开口向上,故当13t -<≤时, ()()()()2max 11213f x f =-=--⋅-=. 当3t >时, ()()2max 2f x f t t t ==-综上, 当13t -<≤时, ()3g t =.当3t >时, ()22g t t t =-【点睛】本题主要考查了根据二次函数过点与对称轴的表达式求解二次函数的解析式,同时也考查了分类讨论求解二次函数的最大值问题,属于中档题.21．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.【答案】(1) 60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675【解析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =⋅的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可. 【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以02106030a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+.故60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩.(2)由题, 260,030()()170,302103x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩,故当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =.当30210x ≤≤时, 21703()f x x x -+=开口向下且对称轴为70105123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,故此时()f x 最大值为2(105)10517031053675f -⨯+⨯==.综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题. 22．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 其中实数0a >且1a ≠. （1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围； 【答案】(1) 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2) 103a <<【解析】(1)代入3a =,根据对数函数的单调性求解即可.(2)先根据区间[1,3]结合定义域可求得a 的大致范围,从而确定log a y x =的单调性,再根据复合函数的单调性确定a 的取值范围即可. 【详解】(1) 当3a =时, 31()log 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,故()0f x >即31log 30x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即131x ->,14x >,解得104x <<.故()0f x >解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由定义域可知,10a x->,即1a x >在区间[1,3]上恒成立,故103a <<,所以log a y x =为减函数.又1y a x =-在区间[1,3]上为减函数,故1()log a f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[1,3]上为增函数.满足题意.故103a << 【点睛】本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.23．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域D 内存在实数0x ，使得()()00(1)f x f x f +-=成立.（1）已知函数1()(2)2f x x x =≠±+，判断 函数()f x 是否属于集合M ； （2）若函数()3()xf x a x =+∈R 属于集合M ，试求实数a 的取值范围；（3） 证明函数221()log ||(0)2f x x x x x =+-≠属于集合M . 【答案】(1) 函数()f x 不属于集合M ;(2) 1a ≤;(3)证明见解析【解析】(1)根据题意,分析在定义域D 内存在实数0x ,使得()()00(1)f x f x f +-=成立即可. (2)根据题意可知存在实数0x ,使得001333x x a a a -+++=+.再换元利用零点存在定理列式求解即可.(3)根据题意化简可得即证220012log 02x x ++=在定义域内有解,再用零点存在定理证明即可. 【详解】(1)由题,若()f x 属于集合M 则存在0x 0(2)x ≠±使得001112212x x +=+-++成立. 即202041843x x =⇒=--无实数解.故函数()f x 不属于集合M . (2)因为()3()x f x a x =+∈R 属于集合M ,故存在0x R ∈满足001333x x a a a -+++=+. 即00333x x a -+=-,令030x t =>,则13t a t+=-存在大于0的实数根.即()2310t a t +-+=存在大于0的实数根.故()()()23401503302a a a a a ⎧--≥⎧--≥⎪⇒⎨⎨-<->⎩⎪⎩ ,解得1a ≤.(3)由题即证在定义域{}|0x x ≠内存在实数0x ,使得()222200020002111log log log 111222x x x x x x +-+-+-+=+⨯-成立. 即220012log 02x x ++=.设()2212log 2g x x x =++,则22111152log 022224g ⎛⎫⎛⎫=++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又()21312log 11022g =++=>.根据零点存在定理可知,存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得220012log 02x x ++=.即数221()log ||(0)2f x x x x x =+-≠属于集合M 【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据所给的函数满足关系式,根据函数的性质与运算逐个推导,并结合零点存在定理分析即可.属于难题.。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省常熟市2019—2020学年高一下学期期中测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.直线20x -=的倾斜角为（ ）A. 30-︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒ 【答案】D【解析】【分析】把直线方程化为斜截式：23y x =-+ 【详解】Q化简后，直线方程为2y x =+， ∴直线的斜率为 ∴直线的倾斜角为150︒故选：D【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于简单题2.已知,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭且7cos 225x =，则cos x 值是（ ） A. 45- B. 35- C. 35 D. 45【答案】A【解析】【分析】 利用倍角公式，令27cos 22cos 125x x =-=，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，可得答案 【详解】由27cos 22cos 125x x =-=得，216cos 25x =，又由,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0x <，所以， 的4cos 5x =- 故选：A【点睛】本题考查倍角公式的应用，属于简单题3.已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -－a+2－=0，即a 2-a -2=0，解得a=2或-1－经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．－a=-1－故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：， 若直线12122112211221000l l A B A B AC A C B C B C ⇔-=-≠-≠P 且（或）； 4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人. 考点：本小题主要考查分层抽样应用. 点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.5.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点()P m n ,的坐标，那么点P 在圆2210x y +=内部的概率是（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 29【答案】C【解析】【分析】连续掷两次骰子，以先后得到点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足2210x y +<，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数,根据古典概型个数得到结果.【详解】这是一个古典概型，由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有36个， 而满足2210x y +<，的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共有4个,94136P == 故选：C【点睛】本题将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能直观的感受到对象的总数，难点在于列举的时候做到不重不漏，属于简单题6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==o ，2ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆直径为（ ）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】11sin 122224ABC S ac B c c ∆==⨯⨯⨯==,c =,2222cos 132338252b a c ac B =+-=+-=-= ,5b = ,2sin b R B === ，选C. 7.一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A. 1B.C. D. 2【答案】B【解析】的由题意得a －3－4－5－6－5b －a －b －6－解得a －2－b －4，所以样本方差s 2－15[(2－4)2－(3－4)2－(4－4)2－(5－4)2－(6－4)2]－2 . 故答案为B.8.已知直线l ：()()()12172a x a y a a R -++--=∈和圆C ：2242110x y x y +---=，给出下列说法：①直线l 和圆C 不可能相切；②当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积；③若直线l 截圆C 所得的弦长最短，则14a =；④对于任意的实数()8d d ≤<，有且只有两个a 的取值，使直线l 截圆C 所得的弦长为d .其中正确的说法个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 【答案】B【解析】【分析】①直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点A （1，3），然后利用圆C 的圆心为点（1，3），然后算出CA 即可判断是否相切，即可判断①②当1a =-时，直线250x y +-=经过圆心（2，1），明显地，直线l 平分圆C 的面积，这样就可以判断②③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，然后解出a 即可判断③；④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++，利用反证法，即可判断④ 【详解】①圆C 的标准方程为22(2)(1)16x y -+-=,圆心坐标（2，1）,半径4r =，直线l 的方程可以变形为()()2720a x y x y +-+-+-=g ，可得直线l 的必过定点（1，3），又Q 4<，所以点（1，3）在圆C 内，所以直线l 和圆C 相交，不可能相切故：①正确②当1a =-时，直线l 的方程为250x y --+=，即250x y +-=，又由直线250x y +-=经过圆心（2，1），所以当1a =-时，直线l 平分圆C 的面积，故：②正确③由①得，直线l 的必过定点A （1，3），直线l 被圆C 截得的弦长的最小值时，弦心距最大，此时，对于圆心C 与A 连成的直线CA ，必有CA l ⊥，又Q CA 的斜率为2-，∴l 的斜率为12，则有11212a a -=+，解出14a = 故：③正确④当210a +≠，即12a ≠-时，直线l 的斜率为1131212422a a a --=--≠-++， 过点（1，3）且斜率为12-的直线方程为13(1)2y x -=--，即270x y +-=，圆心（2，1)到直线270x y +-=的距离d '==所以直线270x y +-=截圆C 所得的弦长d ==，满足8d ≤<，但直线l 的斜率不可能为12-，从而直线l 的方程不可能为270x y +-=，若d =，则只存在一个a 的取值，使得直线l 截圆C 所得的弦长为d故：④不正确故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于简单题二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.在下列四个命题中，错误的有（ ）A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B. 直线的倾斜角的取值范围是[)0,pC. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α【答案】ACD【解析】【分析】A 中，直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在B 中，直线倾斜角的取值范围是[)0,pC 中，直线的斜率为tan α时，它的倾斜角不一定为αD 中，直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在【详解】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90︒，斜率不存在，A 错误对于B ，直线倾斜角的取值范围是[)0,p ，B 正确对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y x =的斜率为5tan 4π，它的倾斜角为4π，C 错误 对于D ，一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在，D 错误故选：ACD【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的概念，属于基础题10.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确故选：BD【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题11.已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC V 是锐角三角形B. 若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是直角三角形D. 若cos cos cos a b c A B C==，则ABC V 是等边三角形 【答案】AD【解析】【分析】对于A ，化简得0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>，然后即可判断选项A 正确对于B ，通过倍角公式，化简为22sin A sin B =，然后即可判断选项B 错误对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，sin sinB A =，然后即可判断选项C 错误对于D ，利用正弦定理，把cos cos cos a b c A B C==化简为tanA tanB tanC ==，即可判断选项D 正确 【详解】对于A ，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+-Q ，()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>，又由A ，B ，C 是ABC ∆的内角，故内角都是锐角，故A 正确对于B ，若cos cos a A b B =，则sinAcosA sinBcosB =，则22sinAcosA sinBcosB =，则22sin A sin B =，则A B =或90A B ︒+=，ABC ∆是等腰三角形或直角三角形,故B 错误对于C,cos cos b C c B b +=，sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=，即A B =，则ABC V 是等腰三角形，故C－正确对于D ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ==，则tanA tanB tanC ==， A B C ==，即ABC V 是等边三角形，故D 正确故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理使用，属于简单题 12.已知圆M ：()()22cos sin 1x y αα-++=，直线l ：y kx =，以下结论成立的是（ ）A. 存在实数k 与α，直线l 和圆M 相离B. 对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点C. 对任意实数k ，必存在实数α，使得直线l 和圆M 相切D. 对任意实数α，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切【答案】BC【解析】【分析】求出圆心坐标，求出圆心到直线的距离d ，判断d 与R 关系进行判断即可【详解】对于A 选项，圆心坐标为(,)M cos sina α-，半径1R =，则圆心到直线0kx y -=的距离d ==|sin()|1αθ+=…,（θ是参数），即≤d R ，即直线l 和圆M 相交或相切，故A 错误；对于B 选项，Q 直线l 和圆M 相交或相切，∴对任意实数k 与α，直线l 和圆M 有公共点，故B 正确； 对于C 选项，对任意实数k ，当|()|1sin αθ+=时，直线l 和圆M 相切，故C 正确，对于D 选项，取0α=，则圆M 的方程为：()2211x y -+=,此时y 轴为圆的经过原点的切线，但是不存在k ，不正确，故D 错误故选：BC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的内容，属于简单题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为_______. 【答案】50【解析】【分析】由已知中频率分布直方图中，共9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，根据这9个小正方形的面积（频率）和为1，进而求出该组的频率，进而根据频数=频率×样本容量，即可得到中间一组的频数【详解】由于中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，这9个长方形的面积和为1，故中间一个小长方形的面积等于16，即中间一组的频率为16，又由样本容量为300， 故中间一组的频数为1300506⨯=故答案为:50【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和为1，求出中间一组的频率，是解答本题的关键14.若三点A (-2，12)，B (1，3)，C (m ，-6)共线，则m 的值为____．【答案】4【解析】【分析】由三点共线的性质可得AB 和AC 的斜率相等，由坐标表示斜率解方程即可得解.【详解】由题意可得k AB =k AC ,∴312612122m ---=++－∴m =4－ 故答案为4.【点睛】本题主要考查了三点共线，斜率的坐标表示，属于基础题. 15.已知ABC V 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设2B A =，则角A 的取值范围是_______；b a的取值范围是_______. 【答案】 (1). 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2). ()1,2 【解析】【分析】 先由正弦定理把b a 换成角的正弦，利用二倍角公式化简求得2cos b A a =，进而2B A =和三角形的内角和求得A 的范围，进而根据余弦函数的单调性，求得b a 的取值范围 【详解】由正弦定理可知sin 2sin cos 2sin sin b B A A cosA a A A===，180A B C ︒++=Q ，2B A =， 3180A C ∴+=︒，60603C A ︒︒=-<，060A ∴<<︒，0,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，1cos 12A ∴<<， 则12b a <<，故的b a值域为为()1,2 答案：(1).0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2).()1,2 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利 用三角函数的基本性质来解决问题16.已知点()0,2P 为圆()()222:2C x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得30CPQ ∠=o，则正数．．a的取值范围是____________．【答案】11 3a≤<【解析】【分析】求出圆心和半径，结合条件得到1－CTCP≥sin30°，解不等式即可．【详解】由圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2－得圆心C（a，a），半径a－－a－0－－设过P的一条切线与圆的切点是T，则a－－当Q为切点时，－CPQ最大，－圆C上存在点Q使得－CPQ=30°－－满足CTCP≥sin30°－12，整理可得3a2+2a－2≥0，解得a或a－又CTCP≤1≤1，解得a≤1－又点 P（0，2）为圆C：（x﹣a）2+－y－a－2=2a2外一点，－a2+－2－a－2－2a2，解得a－1－－a－0－－≤a－1－1a≤<－【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件转化为切线关系是解决本题的关键，是中档题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b ，求||2a b -≥的概率. 【答案】（1）13；（2）38．【解析】 试题分析：－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－.－－－－－－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2－－－－－－－－－－－16－－－－－－－－－2a b -≥－－6－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－. 试题解析：－－－1－－－－－－－－－－－－－－()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4 －－－－. －－－－－－5－－－－()()2,4,3,4－－－－－ －－－－－－－5－－－－2163=. －2－－－－－－－－－－(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)－16－－－－－－－2a b -≥－－()()()()()()1,3,1,4,2,4,3,1,4,1,4,2 －－6－－－－－－－－2a b -≥－－－－63168=. 18.已知函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,且f (α)=5,求cos2α【答案】（1）π；（2）10-. 【解析】 【分析】（1）化简函数得())4f x x π=+，进而可得周期；（2）由条件可得3sin(2)45πα+=，4cos(2)045πα+=->，进而由cos 2cos[(2)]44ππαα=+-即可得解.【详解】函数f (x )=2sin(2)cos 22cos 136x x x ππ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭11sin 222sin 2cos 222x x x x x =-++ sin 2cos2x x =+)4x π=+，（1）最小正周期为22ππ=； （2）α∈,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，352[,]444πππα+∈，由f (α，得3sin(2)045πα+=>，所以32[,]44ππαπ+∈， 所以4cos(2)45πα+=-.所以43cos 2cos[(2)]()4455ππαα=+-=-+=. 【点睛】本题主要考查了二倍角公式及给值求值问题，解题的关键是利用终边所在象限确定三角函数的正负，属于中档题.19.已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：()10.a x y b -++=求分别满足下列条件的a ，b 的值．()1直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；()2直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．【答案】（1）2a =，2b =；（2）2a =，2b =-或23a =，2b =. 【解析】 【分析】()1利用直线1l 过点()3,1--，直线1l 与2l 垂直，斜率之积为1-，得到两个关系式，求出a ，b 的值． ()2类似()1直线1l 与直线2l 平行，斜率相等，坐标原点到1l ，2l 的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a ，b 的值． 【详解】()121l l ⊥Q ，()()110a a b ∴-+-⋅=，即20a a b --=①又点()3,1--在1l 上，340a b ∴-++=②由①②得2a =，2b =．()122//l l Q ，1a a b ∴=-，1a b a∴=-， 故1l 和2l 的方程可分别表示为：()()4110a a x y a--++=，()101aa x y a-++=-， 又原点到1l 与2l 的距离相等．141a a a a -∴=-，2a ∴=或23a =， 2a ∴=，2b =-或23a =，2b =． 【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．20.在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3b =sin B A +=.（1）求角A 的大小； （2）求边长c . 【答案】（1）3A π=（2）2c =【解析】 【分析】（1）由正弦定理得3sin sin A B=3sin B A =sin B A +=解即可（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯，求出c 的值后，判断其是否符合题意即可【详解】解：（1）在ABC V 中，由正弦定理sin sin a b A B =得3sin sin A B=3sin B A =，sin B A +=，所以sin A =， 因为ABC V 是锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC V 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2179232c c =+-⨯⨯⨯， 即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==-<，所以角B 为钝角，舍去；当2c =时，因为222cos 0214a cb B ac +-==>，且b c >，b a >，所以ABC V 为锐角三角形，符合题意，所以2c =.【点睛】本题考查解三角形中正弦与余弦定理的运用，属于简单题21.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．（Ⅰ）求总人数N 和分数在110～115分的人数n ; （Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n 名学生（女生占13）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率； （Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v L 其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,ni i i nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑． 【答案】（Ⅰ）6;（Ⅱ）815P = ;（Ⅲ）115分 【解析】 【分析】(I)由题意结合频率分布直方图的结论可得6n = －(II)利用题意写出所有的事件，结合古典概型公式可得所求的概率为815P =;(III)结合所给数据，求得回归方程为0.550ˆˆyx =+ ，据此估计他的物理成绩大约是115分.【详解】（Ⅰ）分数在100～110内的学生的频率为 ()10.040.0350.35P =+⨯= 所以该班总人数为21600.35N == 分数在110～115内的学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=分数在110～115内的学生的人数600.16n =⨯=（Ⅱ）由题意分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,,A A A A 女生为12,,B B 从6名学生中选出2人的基本事件为()()()()()1213141112,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B ()()()()()()()()()()23242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B 共15个 其中恰好含有一名女生的基本事件为()()()()()1112212231,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B()()()324142,,,,,,A B A B A B 共8个所以所求的概率为815P = （Ⅲ）121717880121001007x --+-+++=+=69844161001007y --+-+++=+= 由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到4970.5ˆ,1000.51005099ˆ4ba===-⨯= 所以线性回归方程为0.550ˆˆyx =+ 当130x =时，ˆ115y= 所以估计他的物理成绩大约是115分22.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .－1）若过点12C ⎛ ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程； －2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P，使得PA =(O 为坐标原点)，求r 的取值范围；－3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】－1）直线l 的方程为12x =或10x +=－－2－0r <≤m n ⋅为定值1.. 【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论直线的斜率是否存在，根据垂径定理，弦心距，弦长及半径的勾股关系解得k 即可求得直线方程；(2) 设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()0,1由PA ==，化简可得()2212x y -+=又点P 在圆B 上，所以转化为点p 轨迹与圆B 有交点即可得解（3）()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y ---，直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++，令x =，则122112x y x y m x x -=+ ， 同理可得()()2212211221221212 x y x y x y x yn mn x x x x ，则-+==--利用()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点即可得定值. 试题解析：（1）1︒ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意. 2︒ 若直线l 的斜率存在，设l的方程为：122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即220kx y k --+= ∴点O 到直线l 的距离d =∵直线l 被圆O，∴221d +=⎝⎭∴3k =，此时l 的方程为：10x += ∴所求直线l的方程为12x =或10x -+= （2）设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B的坐标为()0,1 由PA ==()2212x y -+=∵点P 在圆B上，∴r r -≤≤，∴0r <≤∴所求r 的取值范围是0r <≤（3）∵()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y --- ∴直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++令0x =，则122112x y x y m x x -=+ 同理可得122112x y x y n x x +=-∴()()2212211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+-- ()()222212212212111x x x x x x ---==-∴m n ⋅为定值1.。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
，
a4
1
3 4
1 4
， ，
可知数列的取值有周期，周期为 3，
a2020
所以
a1
1 4
，
故选：B
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，属于容易题.
8.设
F1 ，
F2
分别是椭圆
x2 25
y2 16
1 的左，右焦点，P
为椭圆上一点，M
是线段
PF1 的中点，
若 OM 3 （O 为坐标原点），则 PF1 的值是（ ）
【详解】
an2
2Sn21 (n 1)2
[a2
(n 2)d ]2
2[a1
(n
1)
n(n 2
1)
(n 1)2
d ]2
[a2
(n 2)d ]2
2[a1
n d ]2 2
[a2
(n
2)d ]2
1 2
,
令 (n 2)d t ，
an2
则
2Sn21 (n 1)2
(a2
14.在等比数列 an 中， a1 0 ， a2a4 2a3a5 a4a6 25 ，则 a3 a5 的值是________．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可知 a2a4 a32 ， a4a6 a52 ，根据完全平方和公式即可求解.
【详解】因为在等比数列
an
中，
a2 a4 a32 , a4a6 a52 ,
所以 a2a4 2a3a5 a4a6 a32 2a3a5 a52 (a3 a5 )2 25 ，
又 a1 0 ，
所以 a3 a5 5
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，考查了运算能力，属于容易题.
江苏省苏州市常熟市高一(上)期中数学试卷含答案
D. (2 2,4)
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 幂函数的图象过点(2,14)，则它的解析式是______ ． 14. 函数푓(푥) = 푥2−2푥−3的单调增区间为______．
15. 如图，函数푓(푥)的图象是两条线段，其定义域为 [−1,0) ∪ (0,1]，则满足不等式|푓(푥)−푓(−푥)| ≥ 1的 x 的取值集 合为______．
8.【答案】B
【解析】解：令푡
= 2푥(푡
> 0) ，
∴ 函数푦 = 4푥 + 2푥 + 1 +3(푥 ∈ 푅)化为푓(푡) = 푡2 +2푡 + 3 = (푡 + 1)2 +2(푡 > 0)，
∴ 푓(푡) > 3．
即函数푦 = 4푥 + 2푥 + 1 +3(푥 ∈ 푅)的值域为(3, + ∞) ．
2，必有0 < 푎 < 1，
对于函数푓(푥) = log푎(푥−1)
(1, + ∞)
，其定义域为
，且在其定义域上为减函数，
分析选项：C 符合；
故选：C． 根据题意，求出 a 的取值范围，进而求出函数푓(푥) = log푎(푥−1)的定义域，分析其单调
性，分析选项即可得答案．
本题考查对数函数的图象变化，注意分析 a 的取值范围，属于基础题．
A. (−∞,2)
B. [−2, + ∞)
C. [−2,2)
D. (0,2)
4. 化简2푙푔5 + 푙푔4−5푙표푔52的结果为( )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
5. 若푎−2 > 푎2(푎 > 0 且 푎 ≠ 1)，则函数
【20套试卷合集】江苏省常熟市第一中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．图中阴影部分表示的集合是( ) A ．B C A UB ．B AC U C ．)(B A C UD ．)(B AC U 2．设集合{}=|>-1A x Q x ∈，则正确的是( ) A ．A ∅∉B．A ⊆CA DA3．设{}=|02A x x ≤≤，{}B=y|12y ≤≤，下列图形表示集合A 到集合B 的函数图形的是()4．由下表给出函数)(x f y =，则))1((f f 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．55．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )(1)39-)(2+=x x x f ，-3)(t 3)(≠-=t t g ；(2)11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；(3)x x f =)(，2)(x x g =；(4)x x f =)(，33)(x x g =． A ．(1)，(4)B．(2)，(3)C ．(1)D ．(3)6．若b ax x f+=)(有一个零点2，则ax bx x g -=2)( 的零点是( ) A ．0或2B ．0或12C ．0或1-2D ．2或17．已知函数(f x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围( )A ．1>3a B ．-12<<0a C ．-12<0a ≤ D ．13a ≤8．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=02,630,2)(22x x x x x x x f 的值域是( )A ．RB ．),1[+∞C ．]1,8[-D ．]1,9[-9．已知三个数7.08.07.08.0,7.0,6===c b a ，则三个数的大小关系是( )A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >>10．我县房价(均价)经过6年时间从1200元/2m 增加到了4800元/2m ，则这6年间平均每年的增长率是( )ABC ．50%D ．600元11．若(-1)f x 的定义域为[]1,2，则(+3)f x 的定义域为( )A ．[]0,1B ．[]-3,-2C ．[]-2,-1D ．[]2,312．已知a >0,且1a ≠, 2()=-,(-1,1)xf x x a x ∈时恒有1()<2f x ,则实数a 的取值范围是( ) A ．[)10,2,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭ B ．[]1,11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,4,+4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：(本题共4个小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中的横线上) 13．若函数1)1(2-=+x x f ，则)2(f ＝_________________． 14．函数1313)(2++-=x xx x f 的定义域是_____________．15．计算43的结果是___________． 16．给出下列4个判断：①若()22f x x ax =-在[1,)+∞上增函数，则1a =；②函数22)(x x f x -=只有两个零点； ③函数||2x y =的最小值是1；④在同一坐标系中函数2xy =与2xy -=的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是____________．三、解答题：(本题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设集合或0|{},30|{≤=<-<=x x B a x x A }3≥x ，分别求满足下列条件的实数a 的取值范围： (1)φ=⋂B A ； (2)B B A =⋃．18．(本小题满分12分)已知函数()f x 定义域为R ，且对任意x y 、R ∈，()+(-)2()()f x y f x y f x f y +=，且(0)0f ≠，()=02f π(1)求(0)f ，()f π的值； (2)求证：=()y f x 是偶函数．19．(本小题满分12分)已知二次函数错误！未找到引用源。
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（1）用单调性定义证明：函数 f x 在 0,1 上是减函数，在 1, 是增函数；
（2）若关于1 2
,
2
上有解，求实数
k
的取值范围；
（3）当关于 x 的方程 f x m 有两个不相等的正根时，求实数 m 的取值范围．
-3-/4
21.已知函数
f
x
3x m 3x 1
B. 2,
C. 2, 2
1
D.
8
D. 0, 2
4.化简 2 lg 5 lg 4 5log5 2 的结果为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
5.若 a2 a2 （ a 0 且 a 1），则函数 f (x) loga(x 1) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知全集U R ， M x x 1 ， N x x x 2 0 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
2019-2020 学年第一学期期中试卷高一数学
1.集合 A＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.计算 4 163 的结果为（ ）
A. 8
B. 4
C. 2
3.若集合 A y y x2 2 ， B x log2 x 1 ，则 A B （ ）
A. , 2
．
（1）当 m 0 时，判断函数 f x 的奇偶性，并给出理由；
（2）若函数 f x 为奇函数，求实数 m 的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若关于 x 的不等式 f f x f a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
22.已知函数 f x x x m m2 ． （1）若函数 f x 在 1, 2 上单调递增，求实数 m 的取值范围； （2）若函数 f x 在 1, 2 上的最小值为 7 ，求实数 m 的值．
14.函数 f x x2 2x 3 的单调递增区间为________．
15.如图，函数 f x 的图象是两条线段，其定义域为 1, 0 0,1 ，则满足不等式 f x f x 1的 x 的取
值集合为________．
16.若函数
f
x
x 6, x 2 3 loga x, x
2（a
-4-/4
-2-/4
19.已知函数 f x loga 1 x ， g x loga x 3 ，其中 0 a 1． （1）解关于 x 的不等式： f x g x ； （2）若函数 F x f x g x 的最小值为 4 ，求实数 a 的值．
20.已知函数 f x x 1 2 ．
A. 1,0
B. 1,0
C. 2, 1
D. , 2
7.已知函数 f x ax2 bx c ，若关于 x 的不等式 f x 0 的解集为 1 , 3 ，则
A. f 4 f 0 f 1
B. f 1 f 0 f 4
C. f 0 f 1 f 4
D. f 1 f 4 f 0
8.函数 y 4x 2x1 3 的值域为（ ）
0
且
a
1）有最小值，则实数 a
的取值范围是________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17.设全集 U=R，集合 A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．
（Ⅰ）求 A∩B，（∁ UA）∪（∁ UB）； （Ⅱ）设集合 C={x|m+1＜x＜2m-1}，若 B∩C=C，求实数 m 的取值范围．
A. 2,
B. 9,
C.
13 3
,
D. 3,
9.已知集合 A x ax x2 ， B 0,1, 2 ，若 A B ，则实数 a 的取值个数为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
-1-/4
10.已知偶函数 f x 在 0, 上是减函数，且 f 2 1，则满足不等式 f 2x 4 1的 x 取值范围为（ ）
2
0
恰有 6 个不同的实数解，则实数
a
的取值
范围为（ ）
A. 2, 2 2
B. 2 2,3
C. 3, 4
D. 2 2, 4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置．
13.已知幂函数的图象过点 (2, 1 ) ，则幂函数的解析式 f (x) _____________． 4
A. 1, 2
B. ,3
C. 1,3
D. 2,3
11.函数 f x log2 x 3x 1 的零点所在的区间是（ ）
A.
0,
1 4
B.
1 4
,
1 2
C.
1 2
,
3 4
D.
3 4
,1
12.设函数
f
(x)
2x lg
1(x 0) x (x 0)
，若关于
x
的方程
f
2 (x)
af
(x)