连续时间系统的时域分析
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连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
连续时间系统的时域分析
B1 cos t B2 sin t
t pe t sin t B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t t pe t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
结论（不做要求）：
第
17
页
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak ekt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
方程右端自由项为 44,因此令特解 ip t B, 代入式(1)
10B 4 4 要求系统的完全响应为
B 16 8 10 5
i t
A1e2t
A2e5t
8 5
t 0
(3)
确定换路后的i0
和
d dt
i
0
换路前
et 4V
2 S R1 1
1 it iC t
C 1F
et 2V
iL t
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换
域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、
频域分析法和变换域分析法。
5
2.2 用微分方程描述的因果LTI系统
第
页
( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations )
L
iL (0 )
22
二．系统响应划分
连续时间系统的时域分析实验报告
连续时间系统的时域分析实验报告实验目的本实验旨在通过对连续时间系统的时域分析，研究信号在时域上的特性，包括信号的时域图像、平均功率、能量以及系统的时域响应。
实验原理连续时间系统是指输入输出都是连续时间信号的系统。
在时域分析中，我们关注的是信号在时间上的变化情况。
通过观察信号的时域图像，我们可以了解信号的波形和时域特性。
实验装置与步骤实验装置•函数发生器•示波器•连接线实验步骤1.将函数发生器和示波器连接起来，并确保连接正常。
2.设置函数发生器的输出信号类型和幅度，选择合适的频率和幅度。
3.打开示波器并调整合适的触发方式和触发电平。
4.观察示波器上的信号波形，并记录下观察到的时域特性。
实验数据与分析实验数据根据实验装置和步骤，我们得到了如下的实验数据：时间（ms）电压（V）0 01 12 23 14 05 -1实验分析根据实验数据，我们可以绘制出信号的时域图像。
从图像中可以看出，信号在时域上呈现出一个周期性的波形，且波形在[-1, 2]范围内变化。
由此可知，输入信号是一个连续时间周期信号。
接下来，我们可以计算信号的平均功率和能量。
平均功率表示信号在一个周期内平均消耗的功率，而能量表示信号的总能量大小。
首先，我们计算信号的平均功率。
根据公式，平均功率可以通过信号在一个周期内的幅值的平方的平均值来计算。
在本实验中，信号的周期为5ms，幅值范围为[-1, 2]，所以信号的平均功率为：平均功率= (∫[-1, 2] x^2 dx) / T由此可知，信号的平均功率为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) / 5 = 1.2。
接下来，我们计算信号的能量。
根据公式，信号的能量可以通过信号在时间上的幅值的平方的积分来计算。
在本实验中，信号在整个时间范围内的幅值范围为[-1, 2]，所以信号的能量为：能量= ∫[-1, 2] x^2 dx由此可知，信号的能量为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) = 7。
信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
第2章连续系统的时域分析
信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则
此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t
4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)
n
rzi (t) Azikekt k 1
（b）
r(k zi
)
(0
)
r(k) (0 )
k 0,1,L ,(n 1)
系数Azik可直接由 r(k) (0 ) 来确定。
例：已知描述某二阶LTI连续时间系统的动态方程
d2 dt 2
r(t)
5
d dt
r(t)
6r(t)
e(t)
起始状态 r(0 ) 1,r(0 ) ，2激励信号
(t)
2
p3
5
2p p2
5
p
3
e(t)
2
d3 dt3
vo
(t)
5
d2 dt 2
vo
(t)
5
d dt
vo
(t)
3vo
(t)
2
d dt
e(t)
总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；
（2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
§2.3 微分方程的经典解法 r(t) rh (t) rp (t)
r(0 ) r(0 ) 1
（4）由 0状态确定待定系数
r(t) A1et A2e2t 0.5e3t
rr((00))
A1 A1
A2 0.5 1 2A2 1.5
3
A1 A2
5.5 5
全响应 r(t) 5.5et 5e2t 0.5e3t ,t 0
（一）经典法求解微分方程步骤：
r(t) 0 u(t) r(0 ) r(0 )
代入
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
第二章 连续时间系统的时域分析
19
2.3 起始点的跳变(初始条件的确定）
分析 激励加入：t=0时刻
响应区间：t≥0+
0
0
0
t
起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
9
n阶线性时不变系统的模型
一个线性系统，其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 ： (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件（0+状态/导出的起始状态）：
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以 (k ) 后的解， 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20
连续时间系统的时域分析
四．求解系统微分方程旳经典法
分析系统旳措施：列写方程，求解方程。
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
解方程零输入零 零响状 输应态 入和::利可零用利状卷用态积经响积典应分法法求求解解
变换域法
求解方程时域经典法就是：齐次解 + 特解。
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
a ic
vt
b
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d iS t
dt
这是一种代表RLC并联电路系统旳二阶微分方程。
三．n 阶线性时不变系统旳描述
一种线性系统，其鼓励信号 e(与t) 响应信号 之r(t间) 旳 关系，能够用下列形式旳微分方程式来描述
一．物理系统旳模型
•许多实际系统能够用线性系统来模拟。 •若系统旳参数不随时间而变化，则该系统能够用 线性常系数微分方程来描述。
二．微分方程旳列写
•根据实际系统旳物理特征列写系统旳微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特征约束和网络拓扑 约束列写系统旳微分方程。
元件特征约束：表征元件特征旳关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自旳电压与电流旳关系以及四 端元件互感旳初、次级电压与电流旳关系等等。
第二章 连续时间系统旳时域分析 §2.1 引言
系统数学模型旳时域表达
时域分析措施:不涉及任何变换，直接求解系统旳 微分、积分方程式，这种措施比较直观，物理概念比 较清楚，是学习多种变换域措施旳基础。
输入输出描述 : 一元 N 阶微分方程 状态变量描述 : N 元一阶微分方程
本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。
第二章 连续时间系统的时域分析 重要公式
k 等。初始条件 r k 0 与起始状态 r k 0 之差，称为跳变量，记为 rzs (0 ) 。跳变
量由原方程根据冲激函数匹配法求得。 三、系统微分方程的解 1、全响应 r t ＝零输入响应 rzi t ＋零状态响应 rzs t 注意：在求解系统的完全响应 r t 时，要用到有关的三个量是： r k 0 ：起始状态，它决定零输入响应；
特别地
f t f1 t f 2 t f1 t f 2
1
1
t
f1 1 t f 21 t
f t t f t f t t t1 f t t1 f t t1 t t2 f t t2 t t1 f t t1 t2 f1 t t1 f 2 t t2 f1 t t2 f 2 t t1 f t t1 t2
方法二：卷积积分法 步骤： （1）先求冲激响应 ht ； （2）再利用 rzs t ht et 求零状态响应。 五、冲激响应 h t 和阶跃响应 g t
1、冲激响应 h t 的定义
定义： 系统在单位冲激信号 t 的激励下产生的零状态响应， 称为冲激响应。 冲激响应 h t 满足的微分方程为：
2、初始条件 r k (0 ) 系统在 t 0 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称 0 状态或“导出的 起始状态” 。
d d n 1 r (0 ) r 0 , r 0 , , n 1 r 0 dt dt
k
dn d n 1 d h t a ht a1 ht a 0 ht n 1 n n 1 dt dt dt
量由原方程根据冲激函数匹配法求得。 三、系统微分方程的解 1、全响应 r t ＝零输入响应 rzi t ＋零状态响应 rzs t 注意：在求解系统的完全响应 r t 时，要用到有关的三个量是： r k 0 ：起始状态，它决定零输入响应；
特别地
f t f1 t f 2 t f1 t f 2
1
1
t
f1 1 t f 21 t
f t t f t f t t t1 f t t1 f t t1 t t2 f t t2 t t1 f t t1 t2 f1 t t1 f 2 t t2 f1 t t2 f 2 t t1 f t t1 t2
方法二：卷积积分法 步骤： （1）先求冲激响应 ht ； （2）再利用 rzs t ht et 求零状态响应。 五、冲激响应 h t 和阶跃响应 g t
1、冲激响应 h t 的定义
定义： 系统在单位冲激信号 t 的激励下产生的零状态响应， 称为冲激响应。 冲激响应 h t 满足的微分方程为：
2、初始条件 r k (0 ) 系统在 t 0 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称 0 状态或“导出的 起始状态” 。
d d n 1 r (0 ) r 0 , r 0 , , n 1 r 0 dt dt
k
dn d n 1 d h t a ht a1 ht a 0 ht n 1 n n 1 dt dt dt
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及起始状态 ，由于 及其各阶跃导数在 时都等于零，因而在 时方程（1）的自由项恒等于零，因此冲激响应h(t)与齐次解的形式相同，且在n>m时，h(t)可以表示为
若 ，则表达式还将含有 及其相应阶的导数 等，其中，常数 ，可以通过冲激函数匹配法，求出 值，从而求得 各值。
例：由例2-5求得微分方程表示为
若组成系统的文件都是参数恒定的线性元件（且无储能），则构成的系统是线性时不变系统。
对于复杂系统，设激励信号为 ，响应为 ，则可用一高阶的微分方程表示
（2）
若方程（2）的 及其各阶导数都为零，则方程称为齐次方程
（3）
由经典法可知，方程（2）的解由齐次方程和特解两部分组成。
齐次解是齐次方程的解。
齐次方程解的形式为 函数的线性组合，将 代入方程（3）得
激励函数 与特解的对应关系，见P46表2-2。
例：2-4给定方程
若（1） ，（2） 分别求两种情况下此方程的特解
解：（1）将 代入方程得：自由项为
故设特解 代入方程得
对比系数得：
（2）当 ，可选 ，代入方程后得
于是特解
于是完全解
若给定微分方程和激励信号 ，在给出一组求解区间内的边界条件，便可确定待定系数 。
零输入响应:没有激励作用,只有起始状态所产生的响应。记为 ，它满足方程
及起始状态 的解。可见它是齐次解的一部分。
由于没有外界激励作用，因而 即Azik可以由 确定。
零状态响应:起始状态等于零时,由系统的外加激励信号所产生的响应，记为 。它满足方程
及起始状态 其形式为
下题讲授时为便于学生接受，可先将 去掉使问题简化
系统分析的任务就是对给定系统模型求系统的输出。系统时域分析包含两方面内容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与激励信号进行卷积，求出系统的响应；同时引入近代系统时域分析方法，将建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。
本章还将说明微分方程的算子符号表示法，它使微分方程的表示及运算简化。
重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用卷积积分法求解线性时不变系统的零状态响应。
教学内容
§2.1 引言
线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型
建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入和输出之间满足的数学表达式。
数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而言，组要依赖于麦克斯韦方程；
稳态响应：保留下来的那部分响应分量。
在建立了零输入响应和零状态响应的概念后，进一步说明系统的线性和时不变问题。由下图可知，对外加激励信号e(t)和它对应的响应 的关系而言，若 ,则用常系数线性微分方程描述的系统是线性和时不变的，若起始状态 ，由于响应中零输入分量的存在，导致系统响应对外激励e(t)不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统，同时由于零输入分量的存在，使响应的变化不可能发生在激励之后，因而系统又是非因果的。
若 是在t=0时刻加入，则把求解区间定为 ，通常取 这样对应的一组条件称为初始条件。
微分方程的齐次解称为系统的自由响应，特征方程 称为系统的“固有频率”（自由频率，自然频率）；特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关，完全响应由系统的自身特性决定的自由响应 和与外加激励信号 有关的强迫响应 组成的。
根据线性时不变系统的性质
（3）零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应 ，对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。
§2.5冲激响应与阶跃响应
对于线性时不变系统，冲激响应h(t)的性质，可以表征系统的因果性和稳定性，h(t)的变换域表示更是分析时不变系统的重要手段，因而冲激响应h(t)的分析是系统分析中极为重要的问题。
已知：
用冲激函数匹配法求
解：考虑方程右端冲激函数项最高次是 因而设
将其代入原方程得
解得
至此可将求解微分方程流程图见p52图2-5
§2.4零输入响应和零状态响应
由于时域经典法求解系统完全响应是把响应分成自由响应和强迫响应，为确定完全响应中的常数，往往利用冲激函数匹配法，把给定的 状态转换成 状态以便求解。另一种分解方法是将总响应分为零输入响应和零状态响应。
1.冲激响应h(t)定义：系统在单位冲激信号 的作用下，产生的零状态响应。阶跃响应g(t)定义：系统在单位阶跃信号u（t）作用下，产生的零状态响应。
，若将e(t)作用下冲激响应为h(t)的线性时不变系统，则系统的响应。
即：零状态响应是激励e(t)与冲激响应h(t)的卷积积分
对于LTI系统，它的h(t)满足下微分方程
例给定方程
当 ， 求 =？
解: 1.先求rzi(t)
因为零输入响应，故e(t)=0,原方程兑变为
其特征方程为 ，1=-1 ,2=-2
，
代入起始状态得
2．再求
将 代入原方程得
设
代入上方程得：
得:
当 时， 满足方程
设特解 代入上方程得
代入 得
注意：为使计算思路清晰，可将求解 与求初始条件 的顺序对调一下。
（4）
方程（4）称为方程（2）的特征方程，对应的n个根
称为微分方程的特征根。
若特征根无重根，则
若 是K阶重根，则
例1求 的齐次解
例3求 的齐次解
解其特征方程为
特解 的函数形式与激励函数形式有关
求解方法是将激励 代入方程（2）右端，化简右端函数式称为“自由项”，根据自由项选特解函数式，代入方程后，求得特解的待定系数，即可求出特解
第二章 连续时间系统的时域分析
学习目标
1.理解0_和0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法
2.理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法
3.掌握系统全响应的两种求解方法：自由响应和强迫响应
4.熟练掌握零输入响应和零状态响应的定义和求法；
5.会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；
教学重点难点
的解h1(t)
再利用 求出h(t)
解：由
当t>0时，上方程为
将h1(t)代入方程（2）得
由对比系数法得：
方法4：
分析：由于方程等号右端含 ,故
对上方程两端同时由 进行积分得
由于 ，
由于 ， 将初始化条件代入
中
得：
系统的阶跃响应g(t)微分方程
及起始状态 ，可以看出方程右端的自由项含有 及其各阶导数，同时还包含阶跃函数u(t)，因而阶跃响应中，除含齐次解形式之外，还应增加特解项。
我们先考察一个实例
例2-7，如图2-6 所示RC电路，电容两端起始电压 ，激励源为e(t),求t>0时电容两端电压 。
将上式两端同乘以 得
两边求积分
得：
的第一项只和电容两端的起始储能 有关，与输入无关。被称为零输入响应。
第二项与起始储能无关，只与输入有关，称为零状态响应。
一般情况下，设系统是线性时不变的，把输出响应分成由激励信号e(t)引起的响应H[e(t)]，和由系统起始状态 引起的响应 两者叠加，由此可分别定义零输入响应和零状态响应。
对响应的另一种区分是瞬间响应和稳态响应。
零状态响应的另一种求法：
求
的零状态响应。
解：由于零状态，故
又由于解的区间为 ，故当 时，上方程蜕变为
设 代入方程（2）得
求
分析： 含有 ， 含有 ， 含有
对方程（1）从 积分得
将初始条件代入（3）式：
注：直接用 代入方程此方法是不正确的。
瞬态响应：当 时,响应趋于零的那部分响应分量，
例：如图所示
而
将(2)式代入(1)式子得
令 则代入方程得
而
的电压不能突变，故
将 代入
，得
A=-2
2-5 例如图所示电路， 开关S处1位置且已达到稳定，当t=0时，由1转向2，建立电流 的微分方程并求解 在 时的变化。
解： （1）
（2）
（3）
消去 ， 得
（4）
.求齐次方程
特征方程：
a)求特解:
当 时， 代入（4）式得
设系统的激励信号为e(t)，冲激响应为h(t)，则系统的零状态响应为
卷积的几何解释：
卷积的运算有5个步骤。
(1)换自变量：将两信号的时间变量t换为
(2)反折：把其中的一信号反折
(3)移位：将反折后的信号做位移，移位量是t,t>0时，图形右移；t<0时图形左移
故方程 （5）
令 代入（5）式得
故系统的完全解为
（6）
c．确定待定系数
由于无冲激电压，故电容电压不能突变
，
而
d.求 在 时的完全响应
将 代入（6）式得
当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有无跳变，取决定于微分方程在右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.若包含有(t)及其各阶导数,说明相应的变量从0-到0+状态发生了跳变,即 此时为确定 等，可以用冲激函数匹配法。其原理根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。
例：求系统 的阶跃响应g(t)=?
解：当e(t)=u(t)时，则 i(t)=g(t), g(t)满足的方程为
及
。当 ，上方程蜕化成
其解的形式为
设特解为gp(t)=B,对 代入方程
利用冲激函数匹配法求常数A1，A2
代入方程得
代入方程得
当然g(t)也可由 求得。
§2.6卷积
卷积的定义：任意两个信号f1(t)和f2(t)的卷积定义为
下面举一例子说明：
已知
解：由分析可知：方程右边含 ，由此可推断 ，而方程右端无 项，故 由于 得出r(t)在t=0时刻有 存在，若 表示 到 相对单位跳变函数，即
若 ，则表达式还将含有 及其相应阶的导数 等，其中，常数 ，可以通过冲激函数匹配法，求出 值，从而求得 各值。
例：由例2-5求得微分方程表示为
若组成系统的文件都是参数恒定的线性元件（且无储能），则构成的系统是线性时不变系统。
对于复杂系统，设激励信号为 ，响应为 ，则可用一高阶的微分方程表示
（2）
若方程（2）的 及其各阶导数都为零，则方程称为齐次方程
（3）
由经典法可知，方程（2）的解由齐次方程和特解两部分组成。
齐次解是齐次方程的解。
齐次方程解的形式为 函数的线性组合，将 代入方程（3）得
激励函数 与特解的对应关系，见P46表2-2。
例：2-4给定方程
若（1） ，（2） 分别求两种情况下此方程的特解
解：（1）将 代入方程得：自由项为
故设特解 代入方程得
对比系数得：
（2）当 ，可选 ，代入方程后得
于是特解
于是完全解
若给定微分方程和激励信号 ，在给出一组求解区间内的边界条件，便可确定待定系数 。
零输入响应:没有激励作用,只有起始状态所产生的响应。记为 ，它满足方程
及起始状态 的解。可见它是齐次解的一部分。
由于没有外界激励作用，因而 即Azik可以由 确定。
零状态响应:起始状态等于零时,由系统的外加激励信号所产生的响应，记为 。它满足方程
及起始状态 其形式为
下题讲授时为便于学生接受，可先将 去掉使问题简化
系统分析的任务就是对给定系统模型求系统的输出。系统时域分析包含两方面内容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与激励信号进行卷积，求出系统的响应；同时引入近代系统时域分析方法，将建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。
本章还将说明微分方程的算子符号表示法，它使微分方程的表示及运算简化。
重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用卷积积分法求解线性时不变系统的零状态响应。
教学内容
§2.1 引言
线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型
建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入和输出之间满足的数学表达式。
数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而言，组要依赖于麦克斯韦方程；
稳态响应：保留下来的那部分响应分量。
在建立了零输入响应和零状态响应的概念后，进一步说明系统的线性和时不变问题。由下图可知，对外加激励信号e(t)和它对应的响应 的关系而言，若 ,则用常系数线性微分方程描述的系统是线性和时不变的，若起始状态 ，由于响应中零输入分量的存在，导致系统响应对外激励e(t)不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统，同时由于零输入分量的存在，使响应的变化不可能发生在激励之后，因而系统又是非因果的。
若 是在t=0时刻加入，则把求解区间定为 ，通常取 这样对应的一组条件称为初始条件。
微分方程的齐次解称为系统的自由响应，特征方程 称为系统的“固有频率”（自由频率，自然频率）；特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关，完全响应由系统的自身特性决定的自由响应 和与外加激励信号 有关的强迫响应 组成的。
根据线性时不变系统的性质
（3）零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应 ，对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。
§2.5冲激响应与阶跃响应
对于线性时不变系统，冲激响应h(t)的性质，可以表征系统的因果性和稳定性，h(t)的变换域表示更是分析时不变系统的重要手段，因而冲激响应h(t)的分析是系统分析中极为重要的问题。
已知：
用冲激函数匹配法求
解：考虑方程右端冲激函数项最高次是 因而设
将其代入原方程得
解得
至此可将求解微分方程流程图见p52图2-5
§2.4零输入响应和零状态响应
由于时域经典法求解系统完全响应是把响应分成自由响应和强迫响应，为确定完全响应中的常数，往往利用冲激函数匹配法，把给定的 状态转换成 状态以便求解。另一种分解方法是将总响应分为零输入响应和零状态响应。
1.冲激响应h(t)定义：系统在单位冲激信号 的作用下，产生的零状态响应。阶跃响应g(t)定义：系统在单位阶跃信号u（t）作用下，产生的零状态响应。
，若将e(t)作用下冲激响应为h(t)的线性时不变系统，则系统的响应。
即：零状态响应是激励e(t)与冲激响应h(t)的卷积积分
对于LTI系统，它的h(t)满足下微分方程
例给定方程
当 ， 求 =？
解: 1.先求rzi(t)
因为零输入响应，故e(t)=0,原方程兑变为
其特征方程为 ，1=-1 ,2=-2
，
代入起始状态得
2．再求
将 代入原方程得
设
代入上方程得：
得:
当 时， 满足方程
设特解 代入上方程得
代入 得
注意：为使计算思路清晰，可将求解 与求初始条件 的顺序对调一下。
（4）
方程（4）称为方程（2）的特征方程，对应的n个根
称为微分方程的特征根。
若特征根无重根，则
若 是K阶重根，则
例1求 的齐次解
例3求 的齐次解
解其特征方程为
特解 的函数形式与激励函数形式有关
求解方法是将激励 代入方程（2）右端，化简右端函数式称为“自由项”，根据自由项选特解函数式，代入方程后，求得特解的待定系数，即可求出特解
第二章 连续时间系统的时域分析
学习目标
1.理解0_和0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法
2.理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法
3.掌握系统全响应的两种求解方法：自由响应和强迫响应
4.熟练掌握零输入响应和零状态响应的定义和求法；
5.会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；
教学重点难点
的解h1(t)
再利用 求出h(t)
解：由
当t>0时，上方程为
将h1(t)代入方程（2）得
由对比系数法得：
方法4：
分析：由于方程等号右端含 ,故
对上方程两端同时由 进行积分得
由于 ，
由于 ， 将初始化条件代入
中
得：
系统的阶跃响应g(t)微分方程
及起始状态 ，可以看出方程右端的自由项含有 及其各阶导数，同时还包含阶跃函数u(t)，因而阶跃响应中，除含齐次解形式之外，还应增加特解项。
我们先考察一个实例
例2-7，如图2-6 所示RC电路，电容两端起始电压 ，激励源为e(t),求t>0时电容两端电压 。
将上式两端同乘以 得
两边求积分
得：
的第一项只和电容两端的起始储能 有关，与输入无关。被称为零输入响应。
第二项与起始储能无关，只与输入有关，称为零状态响应。
一般情况下，设系统是线性时不变的，把输出响应分成由激励信号e(t)引起的响应H[e(t)]，和由系统起始状态 引起的响应 两者叠加，由此可分别定义零输入响应和零状态响应。
对响应的另一种区分是瞬间响应和稳态响应。
零状态响应的另一种求法：
求
的零状态响应。
解：由于零状态，故
又由于解的区间为 ，故当 时，上方程蜕变为
设 代入方程（2）得
求
分析： 含有 ， 含有 ， 含有
对方程（1）从 积分得
将初始条件代入（3）式：
注：直接用 代入方程此方法是不正确的。
瞬态响应：当 时,响应趋于零的那部分响应分量，
例：如图所示
而
将(2)式代入(1)式子得
令 则代入方程得
而
的电压不能突变，故
将 代入
，得
A=-2
2-5 例如图所示电路， 开关S处1位置且已达到稳定，当t=0时，由1转向2，建立电流 的微分方程并求解 在 时的变化。
解： （1）
（2）
（3）
消去 ， 得
（4）
.求齐次方程
特征方程：
a)求特解:
当 时， 代入（4）式得
设系统的激励信号为e(t)，冲激响应为h(t)，则系统的零状态响应为
卷积的几何解释：
卷积的运算有5个步骤。
(1)换自变量：将两信号的时间变量t换为
(2)反折：把其中的一信号反折
(3)移位：将反折后的信号做位移，移位量是t,t>0时，图形右移；t<0时图形左移
故方程 （5）
令 代入（5）式得
故系统的完全解为
（6）
c．确定待定系数
由于无冲激电压，故电容电压不能突变
，
而
d.求 在 时的完全响应
将 代入（6）式得
当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有无跳变，取决定于微分方程在右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.若包含有(t)及其各阶导数,说明相应的变量从0-到0+状态发生了跳变,即 此时为确定 等，可以用冲激函数匹配法。其原理根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。
例：求系统 的阶跃响应g(t)=?
解：当e(t)=u(t)时，则 i(t)=g(t), g(t)满足的方程为
及
。当 ，上方程蜕化成
其解的形式为
设特解为gp(t)=B,对 代入方程
利用冲激函数匹配法求常数A1，A2
代入方程得
代入方程得
当然g(t)也可由 求得。
§2.6卷积
卷积的定义：任意两个信号f1(t)和f2(t)的卷积定义为
下面举一例子说明：
已知
解：由分析可知：方程右边含 ，由此可推断 ，而方程右端无 项，故 由于 得出r(t)在t=0时刻有 存在，若 表示 到 相对单位跳变函数，即