2010-2011学年二学期高等数学期末考试模拟试卷(A卷)
2010-2011学年高二年级第二学期期末考试(理科数学)
2010-2011学年高二年级第二学期期末考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚;3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效;4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()(1)(k 0,1,2,,n)k k n k n n p k P k C P P ξ-∴===-= 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,A x x a x R =-<∈,{}15,B x x x R =<<∈。
若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是 （ ） A. {06}a a ≤≤ B. {24}a a a ≤≥或 C. {06}a a a ≤≥或 D. {24}a a ≤≤2.函数f （x ）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[)(]1,00,1-⋃,则不等式f （x ）－ f （-x ）>－1的解集是 （ ） A. {110}x x x -≤≤≠且 B. {10}x x -≤< C. 1{101}2x x x -≤<<≤或D. 1{101}2x x x -≤<-<≤或 3.10(1)x -的展开式的第6项的系数是 （ ）A. 610CB. -610CC. 510CD. -510C4.函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，①图象C 关于直线1112x π=对称；②函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是 ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35．已知满足约束条件 5003x y x y x -+≥+≥≤ ，则2z x y =+的最小值是( )A ．2．5B ．-3C ．5D ．-56. 现有高一年级的学生2名，高二年级的学生4名，高三年级的学生3名，从中任选一人参见接待外宾的活动和从3个年级各选一人参见接待外宾的活动分别多少种不同选法（ ）A. 9，24B. 24，84C.24，504D.9， 847.设5,11213x y x y R i i i∈-=---且，求x ，y （ ） A. x=-1，y=-5 B. x=5，y=10 C. x=-1，y=5 D. x=-5，y=-10 8.已知2~(0,6),N ξξ≤≤且P(-20)=0.4，则2ξ>P()=_________ ( )A.0.1B. 0.2C. 0.6D. 0.89.下表是某厂1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：有散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 0.7y x a ∧=-+，则a=________ ( )A. 10.5B. 5.15C. 5.2D. 5.2510．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ，作向量a =(m,n)．则向量a 与向量b =(1,-1)的夹角成为直角三角形内角的概率是（ ）A ．712 B ．512 C ．12 D 34. 11.已知函数21()1f x a x =+-，则曲线()f x在点P f 处的切线方程为( )(A)50y a +--=(B)50y a ---=(C)250x y a +--=50y a +--=12.已知等差数列{n a }的前项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，2017S =，则30S 为( )(A)15 (B)20 (C)25 (D)30第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
安徽大学 10-11(2)高数A(二)、B(二)答案
+
2x
∂z
⎤ ⎥
∂y ⎥⎦
=
x2z2
sin
z + 2x2z cos z (cos z − xy)3
−
2x3 yz
．
四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）
第2页 共3页
1． 解． 构造 Lagrange 函数 L(x, y, z, λ, μ) = x + 2 y + 3z + λ(x2 + y2 − 2) + μ( y + z −1) ． 求偏导得 Lx = 1+ 2λ x, Ly = 2 + 2λ y + μ, Lz = 3 + μ , Lλ = x2 + y2 − 2, Lμ = y + z −1, 联立解得 x = −1, y = 1, z = 0 或 x = 1, y = −1, z = 2 ． 代入原函数得 f (−1,1, 0) = 1, f (1, −1, 2) = 5 ． 故所求最大值为 5, 最小值为1.
∫ 2． 解． 所求金属丝的质量为 m = ρds ． L
弧微分 ds = [x '(t)]2 + [ y '(t)]2 + [z '(t)]2 dt = 3etdt ．
∫ ∫ 故 m =
11 0 2e2t
3etdt = 3 1e−tdt = 3 (1− e−1) ．
20
2
五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）
1 ． 证 明 ． 设 f (x) = x ， 则 f '(x) = 2011− x ， 显 然 x ≥ 2011 时 ，
x + 2011
2 x (x + 2011)
高数-下-期末考试试卷及答案
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A)注意：1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）。
（A)-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。
极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ）.(A ） 0(B) 1 (C) 2(D ）不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ）。
（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数(C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A ）驻点与极值点 (B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）。
（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. （A) l (B ） l 3 (C) l 4 (D ） l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）。
（A)该级数收敛 (B ）该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散 （D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ）。
（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B)若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散 （C)若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分,共14分)．1。
河南省郑州市2010-2011学年高二下学期期末考试理科数学试题(有答案)
郑州市2010-2011学年下期期末考试高二数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题： 1．复数31ii--等于 A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2． 已知随机变量X 服从正态分布(2,1)N ，且(13)0.6826P x <<=，则(3)P x >=A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585 3． 用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)(*)2n n n n N +++++++=∈ 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是A ．1B ．1+2C ．1+2+3D ．1+2+3+4 4．给出下面四个命题，其中正确的一个是A ．回归直线 y bx a =+ 至少经过样本点11(,)x y ，22(,)x y ， ，(,)n nx y 中的一个 B ．在线性回归模型中，相关指数20.64R =，说明预报变量对解释变量个贡献率是64% C ．相关指数2R 用来刻画回归效果，2R 越小，则残差平方的和越大，模型的拟合效果越好D ．随机误差e 是引起预报值与真实值之间存在误差的原因之一 5．若20112011012011(1)()x a a x a x x R -=+++∈ ，则012011a a a +++=A ．2B ．0C ．-1D ．-26．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）和相应的生产能耗y （吨煤）的几组数据：根据以上提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.57．一物体在力2()325F x x x =-+（力单位：N ，位移单位：m ）的作用下沿与()F x 相同的方向由5x =m 沿直线运动到10x =m 处做的功是A ．925JB ．850JC ．825JD ．800J8．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A={两个点数互不相同}，B={至少出现一个5点}，则概率P （A|B ）等于A ．1011 B ．511 C ．56 D ．11369．一个建筑队承包了两项工程，每项工程均有三项任务，由于工序的要求，第一项工程必须按照任务A 、任务B 、任务C 的先后顺序进行，第二项工程必须按照任务D 、任务E 、任务F 的先后顺序进行，建筑队每次只能完成一项任务，但第一项工程和第二项工程可以自由交替进行，若公司将两项工程做完，共有多少种安排方法？A ．12B ．30C ．20D ．4810．已知函数()()f x x R ∈的图象上任一点00(,)x y 处的切线方程为0000(2)(1)()y y x x x x -=---，那么函数()()f x x R ∈的单调递减区间可能是A ．[)1,+∞B ．(],2-∞C ．()1,2D ．[)2,+∞11．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{}n a ，11n n a n -⎧=⎨⎩，第次摸取红球，第次摸取白球，如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么53S =的概率为A ．32351233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．23251233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．4451233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．4151233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12．已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数'()f x 满足'()()()f x f x x R <∈，则（ ）A ．22001(2)(0),(2011)(0)f e f f e f >> B ．22001(2)(0),(2011)(0)f e f f e f <> C ．22001(2)(0),(2011)(0)f e f f ef ><D ．22001(2)(0),(2011)(0)f e f f ef <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13． 已知离散型随机变量ξ的分布列如下，则a 的值是____________．14．已知423401234(12)x a a x a x a x a x +=++++，则1234234a a a a -+-=__________． 15．已知2()2'(1)f x x xf =+，则'(2)f =_______． 16．正整数按右表的规律排列，则上起第n 行， 左起第1n +列的数应为__________(*)n N ∈．三、解答题：（共6大题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知二项式2((*)n x n N ∈展开式中，前三项的二项式系数和是56．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求展开式中的常数项．18．（本小题满分12分）试分别用综合法、分析法、反证法三种方法之一，证明下列结论：已知01a <<，则1491a a+≥-．1 2 4 3 5 6 7 8 9 16 15 14 10 11 12 13 17 18 19 20 2324222125已知函数32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直．（Ⅰ）求实数a b 、的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增，求m 的取值范围．20．（本小题满分12分）北京时间2011年3月11日13：46，日本本州岛附近发生9.0级强烈地震，强震导致福岛第一核电站发生爆炸，爆炸导致的放射性物质泄漏，日本东京电力公司为反应堆注水冷却燃料池，于是产生了大量的废水．4月4日，东京电力公司决定直接向海中排放上万吨高核辐射浓度的污染水，4月7日玉筋鱼被查出放射性铯137超标．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的铯含量不得超过1.00ppm ．现从一批玉筋鱼中随机抽出15条作为样本，经检验各条鱼的铯含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一数字为叶）如下：（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中随机抽出3条，求恰有1条鱼铯含量超标的概率； （Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据，若从这批鱼中任选3条，记ξ表示抽到的鱼中铯含量超标的鱼的条数，求ξ分布列和数学期望E ξ．0 11 32 1 5 9 8 73 2 1 2 3 5 4玉筋鱼的含量为了考察某种药物预防疾病的效果，工作人员进行了动物试验，得到如下丢失数据的列联表：药物试验列联表工作人员曾用分层抽样的方法从50只服用药的动物中抽查10个进行重点跟踪试验，知道其中患病的有2只．求出列联表中数据x y M N 、、、的值； 能够有97.5%的把握认为药物有效吗？ 参考数据参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22．（本小题满分12分）已知函数ln 1(),x af x a R x+-=∈ （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若ln 0x kx -<在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）已知10x >，20x >，且12x x e +<，求证：1212x x x x +>．2010~2011学年度下期期末考试高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题CBDDB ACACC CD 二、填空题13.0.1； 14. -8；15.0； 16.(1)n n +. 三．解答题17．解： (1)012C C C 56n n n ++=，………………………………………2分2(1)15611002n n n n n -⇒++=⇒+-=………………………4分 10,11n n ⇒==-(舍去)．…………………………………………5分(2) 210(x +展开式的第1r +项是520210210101()()2rrrrr r C x C x --=，…………………………………7分520082rr -=⇒=， ………………………………………9分故展开式中的常数项是8810145()2256C =． ………………10分 18．解：综合法：01a <<，所以1414()(1)11a a a a a a+=++--- ………………2分 1451a aa a -=++- ………………4分5≥+ ………………8分 549.=+= ………………10分当且仅当141a aa a -=-时取等，即13a =时等号成立. --------------12分 分析法：221491(1)49(1)9610(31)0.a aa a a a a a a +≥-⇐-+≥-⇐-+≥⇐-≥ 当且仅当141a aa a -=-时取等，即13a =时等号成立.（比照给分） 19．解析：（1）'2()32f x ax bx =+，由题意可得4a b +=, -----------2分329a b +=, -----------4分 1,3a b ==, ----------6分(2) 32()3f x x x =+,所以'2()363(2)f x x x x x =+=+, -----------8分 易知()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增,所以12m +≤-或0m ≥. ………………10分 即3m ≤-或0m ≥. ---------12分20．解： (1)记“从这15条鱼中随机抽出3条，求恰有1条鱼铯含量超标”为事件A,则1251051345()91C C P A C ==,………………2分所以从这15条鱼中随机抽出3条，求恰有1条鱼铯含量超标的概率4591. --------4分（2）由题意可知，这批鱼铯含量超标的概率是51153P ==，…………6分 ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：0------------------------------------10分所以ξ 1(3,)3B .所以E ξ=1.-------------------12分21．解析：（1） 由题意知服用药的动物中每只被抽到的概率为51,…………2分 则10=x .∴70,30,40,10====N M y x . ……………………6分 （一个值1分，计4分）（2）76.450507030)300800(10022≈⨯⨯⨯-=K ,…………..10分(式子2分，结果2分)由参考数据知不能够以97.5%的把握认为药物有效. …………..12分22．解析:（I ）2ln )(xx a x f -='，令0)(='x f ，得ae x =.------------2分 当'(0,),()0,()a x ef x f x ∈>时为增函数； 当'(,),()0,()a x e f x f x ∈+∞<时为减函数， 可知)(x f 有极大值为a a e e f -=)(. -------------------4分 （Ⅱ）欲使0ln <-kx x 在),0(+∞上恒成立，只需k xx<ln 在),0(+∞上恒成立，设)0(ln )(>=x xxx g ， ………………6分 由（Ⅰ）知，)(x g 在e x =处取最大值e 1，所以ek 1>.--------------------8分（Ⅲ）0121>>+>x x x e ，由上可知x xx f ln )(=在),0(e 上单调递增，所以121121ln()ln x x x x x x +>+，即121211ln )ln(x x x x x x >++， ………………10分 同理221212ln )ln(x x x x x x >++，两式相加得)ln(ln ln )ln(212121x x x x x x =+>+，所以2121x x x x >+. --------------------------12分。
2010—2011学年度高二下学期期末考试理科数学试卷
2010~2011学年度下学期高二期末考试数学(理)试卷第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=⋅-i i 2)1(（ ）A ．2－2iB ．2+2iC ． 2D ．－22．从1008名学生中抽取20人参加义务劳动。
规定采用下列方法选取：先用简单随机抽样的抽取方法从1008人剔除8人，剩下1000人再按系统抽样的方法抽取，那么在1008人中每个人入选的概率是 （ ）A ．都相等且等于501 B ．都相等且等于2525C ．不全相等D ．均不相等 3．设集合2{|1},{|4},P x x Q x x P Q =<=<I 则= （ ）A ．{|12}x x -<<B ．{|21}x x -<<-C ．{|21}x x -<<D ．{|12}x x <<4．右图是2011年奉新一中“校园十大歌手”大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m, n 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则一定有（ ）A ．12a a >B ．21a a >C ．12,a a 的大小与m 的值有关 D.12,a a 的大小与m, n 的值都有关5．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．)32[ππ， B ．)65,2(ππ C ．),65[)2,0[πππ⋃ D.),32[)2,0[πππ⋃ 6．若对于任意实数x ，有3322103)2()2()2(-+-+-+=x a x a x a a x ，则=2a （ ）A ．3B ．6C ．9D ．127．从1．2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各数字之和等于9的概率为 ( )A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 079545184464799m n甲乙8．设函数na x x f )()(+=，其中⎰=2cos 6πxdx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为 （ ）A ．60 B.360 C.-60 D. -3609．将7个“三好学生”名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校各至少要有两个名额，则不同的分配方案种数有（ ） A ．25B ．35C ．60D ．12010．已知函数()f x 的定义域为[)3-+∞，，且(6)2f =．()f x '为()f x 的导函数，()f x '的图像如右图所示．若正数,a b 满足(2)2f a b +<，则32b a +-的取值范围是（ ） A ．),3()23,(+∞--∞Y B ．)3,29(-C ．),3()29,(+∞--∞YD ．)3,23(- 第Ⅱ卷（共100分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品。
2010级高数二期末A解答(少学时)
2010级高等数学（二）期末试题解答及评分标准A（本科少学时）一、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）1．22ln(23)4arccos(56)z x y x y =+++的定义域为（ D ）.Ａ．{(,)230}x y x y +>； Ｂ．22{(,)230561}x y x y x y +>+≤或； Ｃ．22{(,)561}x y x y +≤； Ｄ．22{(,)230561}x y x y x y +>+≤且.2．微分方程2220d yy dxω+=（ω是常数）的通解是函数（ Ｂ ）.Ａ．x y ωcos =； Ｂ．x C x C y ωωsin cos 21+=； Ｃ．x C ωsin 1； Ｄ．()ϕ+=x y 10sin .3．设有命题I ：函数(,)z f x y =在00(,)x y 处连续，另有命题II ：函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，可以断定I 是II 的（ C ）.Ａ．充分条件 ； Ｂ．必要条件 ； Ｃ．既非充分也非必要条件 ； Ｄ．充分且必要条件.4．设区域D 由y x =、0y =及1x =所围城，令1DI d σ=⎰⎰、2DI xd σ=⎰⎰、23DI x d σ=⎰⎰、4DI xyd σ=⎰⎰，则1I 、2I 、3I 、4I 中值最大的是（ Ａ ）.Ａ．1I ； Ｂ．2I ； Ｃ．3I ； Ｄ．4I .5．设有三元方程1ln =+-xz e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点)1,1,0(的一个邻域，在此邻域内该方程（ D ）.A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =；B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =；C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =；D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y = .二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）6．设22),(y x xy y x f -=+，则(,)f x y =y y y +-1)1(2 .7．设f 具有一阶连续偏导数(1)z f ≠，且(,,)z f x y z =，则dz =1x y zf dx f dy f +- .8.幂级数11(1)n n nn -∞=-∑的收敛域是11(,]22-（含端点敛散性）.9．设区域D 为环形域：2214x y ≤+≤，则22()Dx y d σ+=⎰⎰152π . 10．函数)ln(22z y x u ++=在点A )1,0,1(处沿点A 指向点B )2,2,3(-的方向导数为21.三、试解下列各题（本大题6个小题，每小题8分，共48分）11．求极限011cos()lim sin x y xy x xy →→-.解 200111()1cos()2lim lim sin x x y y xy xy x xy x xy →→→→-=⋅ （5分）12=. （8分） 12. 设sin 2arctan()z xy x y =+-，求(0,1)x z 和(0,1)y z .解 212cos 21()x z y xy x y =++-，5(0,1)2x z = （4分） 同理212cos 21()y z x xy x y =-+-，1(0,1)2yz =-. （8分） 13. 写出级数234234232432234ππππ⋅⋅⋅++++ 的通项，并判定其敛散性. 解 !nn n n u nπ= （3分）因为1lim1n n nu u e π+→∞=>，所以级数发散. （8分）14. 设f 具有二阶连续偏导数，且),(y xy f z =，求22z x∂∂，2z x y ∂∂∂.解 由于//11()z f xy yf x x∂∂=⋅=∂∂， （3分） 故//112/122)(f y f x y x z =∂∂=∂∂ （6分）//12//11/1//12//11/1/12)()(yf xyf f f xy y f y f yf y y x z ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂⋅+=∂∂=∂∂∂（8分）15. 计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 由1xy =、y x =、2x =所围成.解 211xxDxdxdy dx xdy =⎰⎰⎰⎰ （4分）43=. （8分） 16. 已知向量a 、b 、c两两垂直，且1a = ，2b = ，3c = ，求a b c ++ .解 因为a 、b 、c两两垂直，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=（3分） 又2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++2()a a b b c c a b b c a c =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅22214a b c =++= （7分）从而a b c ++=（8分）四、试解下列各题（本大题2个小题，每小题6分，共12分）17.求函数22(,)8006004000033f x y x y x xy y =+----的极值点，并判定取得极大值还是极小值.解 8006x L x y =--，6006y L y x =--联立0x y L L ==得 120,80x y == （3分） 又在该点处6,1,6xx xy yy A L B L C L ==-==-==-20,0AC B A -><，故在该点处取得极大值. （6分）18. 设平面图形由抛物线)0(,2>-=a x ax y 及直线1,0,0===x x y 所围成，试确定a 的值,使此平面图形的面积最小.解曲线2y a xx =-与0y =的交点为1(0,0),(,0)a，故有所围面积为120()||A a ax x dx =-⎰112210()()a ax ax dx ax x dx =-+-⎰⎰（3分）令)()(1110112102/⎰⎰⎰⎰-++-=aa a a xdx xdx dx x a dx x a da d a A 031323=+-=a , 解得唯一驻点02)(,24//3>==aa A a 且,故当32=a 时所围成的平面图形面积最小. （6分）五、证明题（本大题2个小题，每小题5分，共10分）19．设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，证明：在D 上至少有一点(,)ξη，使：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰.证明 因为(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，所以(,)f x y 在有界闭区域D 上有最大值M 和最小值m ，即：(,)m f x y M ≤≤，从而 (,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰，(,)Df x y d m M σσ≤≤⎰⎰ （3分）根据介值定理，在D 上至少有一点(,)ξη，使得：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰即：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰ . （5分）20．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂. 证明 由于)(u f 可导，故/22z xyf x f ∂=-∂, /2/22(2)2z f yf y f y f y f f ∂-⋅-+==∂ （3分） 从而 22/22/2211yzyf f y f f yf y z y x z x =++-=∂∂+∂∂. （5分）。
山东大学2010-2011学年第二学期高等数学试题_A_
1. 设 数 列 an 单 调 减 少 ， lim an 0 ， S n
n
a n 1, 2, 无 界 ， 则 幂 级 数
k k 1
a x 1
n n 1
n
的收敛域为
。
(A) ( 1,1] ； 2. 设 0 an
(B) [ 1,1) ；
2010-2011 学年第二学期高等数学试题 (A)
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设区域 D 为 x y 1 ，则
xyf x
D
2
y 2 dxdy =
。
2. 过点 M 0 (2，4，0)且与直线 L :
x 2z 1 0 平行的直线方程是 y 3z 2 0
x, y x y 1 上连续，且 f x 0, f y 0 ，
(C) 2 a b ； (D) 2 a b ；
f x f y
D
af y bf x
dxdy
(B) a b ；
(A) a b ；
。
1
(A)0；
(B)
4 abc 3 ； 15
(C) 4 3 ；
(D) ；
三、解答题（1~6 题每题 8 分，第 7 题 12 分，共 60 分） 1. 设 f u , v 具有二姐连续偏导数，且满足
2 f 2 f 1， u 2 v 2
x y ，求 2 2 。 又 g x, y f xy, x y 2
2n 2 2 n 1 x 的收敛域及和函数。 n! n 1
6. 证明函数 z 1 e
北科大2010-2011学年度第二学期高等数学期末考试试题A答案
北京科技大学本科生2010级第二学期高等数学（A Ⅱ）期末考试试卷（A ）答案一、 （1）852=++z y x ；（2）a 12;（3）2bba t ⋅-=;（4）1398; （5）5-，（6）0=''-'''y y ；二、（7）B ;(8)B ;(9)D ; (10)C ; (11)B ; (12)A ;三、（13）由题设1)1(,0)1(=='g g ， -------2分，又21)(zf xg y f y x''+'=∂∂， -------4分， 222121112)()()()]()([f x g x yg f x g x g x x g f y f xy f yx z'''+''+'+''+''+'=∂∂∂ -------8分，)1,1()1,1(),1,1(12111112f f f yx z y x ''+''+'=∂∂∂== -------10分，(14) 因为223236,6xy y x Q y xy P -=-=在整个xoy 面这个单连通域内具有一阶连续偏导数，且yPy xy x Q ∂∂=-=∂∂2312， 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关. -------5分，如图选取积分路经原式⎰⎰-+-=31422)954()824(dy y y dx x23615680=+= -------10分，（15）令⎰⎰=Ddudv v u f A ),(，则A y x y x f π81),(22---=， -------2分，在D 上对上式两边积分，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=DDDdxdy Adxdy y x dxdy y x f π81),(22 -------4分，⎰⎰--=2sin 02881πθππθArdr r dA A d --=---=⎰926)1(cos 3123πθθπ即A A --=926π，所以9112-=πA ， -------10分， 从而 π98321),(22+---=y x y x f -------11分， （16）原式)(1322dxdy z dzdx yz bxdydz b ++=⎰⎰∑-------2分， ⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z z b b )3(1222-------5分，⎰⎰⎰+=zzD bd dzz bb σπ0222834 -------9分，32151634b b ππ+=------11分，四、(17) 由原方程知0)0(=f ，且有⎰⎰+-=x x dt t tf dt t f xx x f 0)()(sin )(两边对x 求导，得⎰-='x dt t f x x f 0)(cos )(（知1)0(='f ）两边再对x 求导，得x x f x f sin )()(-=+'' （＊） -------3分，这是二阶线性微分方程，由其特征方程012=+r 得i r ±=，又i i =+ωλ为方程的单根，故设特解 )sin cos (*x B x A x f += 代入（＊）式，得0,21==B A ，于是x x f cos 21*=，从而通解x x x C x C x f cos 21sin cos )(21++= 再由0)0(=f ，1)0(='f ，得21,021==C C ，故所求函数为 x x x x f c o s 21s i n 21)(+=． -------5分，(18). 设()f x 在[,]a b 上连续，利用二重积分，证明：()22()d ()()d ,bbaaf x x b a f x x ≤-⎰⎰ 其中:,.D a x b a y b ≤≤≤≤证明 2[()()]0,f x f y -≥2220[()()][()2()()()]bbbbaaaadx f x f y dy dx f x f x f y f y dy ∴≤-=-+⎰⎰⎰⎰ -------（3分）222()()2[()]bbaab a f x dx f x dx =--⎰⎰.所以()22()d ()()d .bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰ -------5分。
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[5]曲面上点
处的切平面法向量
平行于直线的方向向量
代入曲面方程，得 点 法线方程
[6]幂级数
的收敛域是
当
时，有
。
又因为当
时，
收敛，
所以
，பைடு நூலகம்
四、证明 (1 小题,共 8.0 分)
[1]设
部分和为 ，则
由
，有
又由
，有
于是
收敛。
五、应用 (2 小题,共 14.0 分) [1]∵x2=x+2 即x=－1,x=2.
A、 f(x,y,z)在Ω4上是奇函数 C、Ω4=∅空集 [4]下列级数中，收敛的是
B、f(x,y,z)≡0, (x,y,z)∈Ω4 D、
A、
B、
C、
D、
[5] 为任意正的实数，若级数
收敛，
发散 ，则
A、
; B、
； C、
二、填空 (5 小题,共 15.0 分)
; D、
。
[1]设
，则 = __________ 。
[1]B [2]A [3]D [4]D [5]D 二、填空 (5 小题,共 15.0 分)
[1]
[2]
[3]12 [4]
[5]
三、计算 (6 小题,共 48.0 分)
[1]原式
[2] 平面方程为 对任意 ，有
故 解得：
[3]
是比例系数)
[4]∑在xoy面上的投影域为D：12≤x2+y2≤22, 面积元素 由对称性，记D1为 12≤x2+y2≤22, x≥0, y≥0,
[1]计算二重积分
其中D：|x|≤2,|y|≤1.
[2]求
，使直线
在 平面上。
[3]求微分方程
的通解。
[4]计算
其中∑是曲面z= (x2+y2)介于z= 和z=2 之间的部分曲面。
[5] 在 椭 圆 抛 物 面
上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线
，并写出曲面在该点处的法线方程。
[6]设
，试求
的幂级数，并指出收敛域。
[2] 设 T 为 曲 线 x=acost ， y=asint ， z=at ， 0 ≤ t ≤ 2 π ， 其 中 a 为 正 的 常 数 ， 则
[3]设
，且
，则
= _____ 。
[4]设
，则级数
之和等于______ 。
[5]质量为 质点受外力作用作直线运动，已知外力和时间的平方成正比，和质点运动速度 成反比(比例系数为 )，则该点的速度与时间应满足的微分方程是________ 。 三、计算 (6 小题,共 48.0 分)
[1]级数
与
均收敛是
收敛的
A、必要但非充分条件； C、充分必要条件；
B、充分但非必要条件； D、既非充分又非必要条件
[2]方程
表示的是
A、 锥面 B、 椭球面 C、双曲面 D、双曲线 [3]设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f(x,y,z)在Ω3上可积，则
的充要条件是
∴交点为(－1,1)与(2，4)
[2]Dxy: (x+2)2+y2≤4
2010-2011 学年二学期高等数学期末考试模拟试卷(A 卷)
班级:___________学号:___________姓名:___________得分:___________ 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 成绩 复核 得分 阅卷 题目部分，(卷面共有 19 题,100.0 分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (5 小题,共 15.0 分)
四、证明 (1 小题,共 8.0 分)
[1]若级数
满足：(1)
(2)
收敛，则
收敛。
五、应用 (2 小题,共 14.0 分) [1]利用二重积分计算由抛物线y=x2及直线y=x+2 围成区域的面积。 [2]试求由z=4－x2－y2与z=4x+4 所围立体的体积。
答案部分，(卷面共有 19 题,100.0 分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (5 小题,共 15.0 分)