北京市西城区2015届高三5月二模试题数学文

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北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学文试题Word版含答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（）（A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-7．设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB < A BE CD GH F第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.侧(左)视图正(主)视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-．（Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1BCE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当2p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由；（Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．210．2π311. 12．221416x y -=13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分（Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤，解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+，所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD平面1A ECF EC =，B CA 1 D 1DA B 1C 1E F平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以 1A F ∥CE . …………………3分又 1A F ⊄平面1BCE ，CE ⊂平面1BCE ，所以 1A F ∥平面1BCE . …………………6分（Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =，所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ，所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =，所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分又因为 113p q ++=，0q ≥，所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ，即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ，解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①12as a s -=， ② …………………4分由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分（Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …………………13分。

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北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（）（A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-7．设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB < A BE CD GH F第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.侧(左)视图正(主)视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-．（Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当2p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由；（Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．2π311. 12．221416x y -=13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分（Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤，解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+，所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD平面1A ECF EC =，B CA 1 D 1DA B 1C 1E F平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以 1A F ∥CE . …………………3分又 1A F ⊄平面1B CE ，CE ⊂平面1B CE ，所以 1A F ∥平面1B CE . …………………6分（Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =，所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ，所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =，所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分又因为 113p q ++=，0q ≥，所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ，即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ，解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①12as a s -=， ② …………………4分由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分（Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …………………13分。

北京市西城区2015届高三一模考试数学(文)试题

市西城区2015年高三一模试卷数学（文科） 2015.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的X 围是（）（A ）1a ≤（B ）1a ≥（C ）0a ≥（D ）0a ≤3．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（）（A ）都是奇函数（B ）都是偶函数（C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限开始 1n =100x > 输出n否是输入x5. 设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（）（A ）22B ）32（C ）2D ）46．设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）（A ）7 （B ）152（C ）233（D ）476侧(左)视图正(主)视图俯视图 211122 11118.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.10．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____.11．在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____.12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.13.设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、（A ）2枝玫瑰的价格高（B ）3枝康乃馨的价格高（C ）价格相同（D ）不确定乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：奖品一等奖奖品二等奖奖品收费(元／件)工厂甲500400乙800600则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求sin CBD ∠的值.16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到FGB C AD,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)18．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．乘公共电汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.乘坐地铁方案（不含机场线） 6公里（含）内3元； 6公里至12公里（含）4元； 12公里至22公里（含）5元； 22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价．．．从．这．120人中．．分层．．抽样．．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值X 围．(只需写出结论)19．（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b +=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.20．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x=，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤成立，某某数t 的取值X 围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B 2．C 3．C4．B5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 92 10．π11．1312．2213y x -=3y x =±13．103214．4900 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ………………3分又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ……………… 4分在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅………………7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以5104=BD . ………………9分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ……………… 12分所以sin CDB ∠=. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩………………4分解得12a =-，2d =，…………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-．…………………7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=，…………………9分即2(24)4(24)m n +=+，…………………10分化简，得21(2)22n m =+-，…………………11分FCADBG EM N 考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6．……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以AG EF ⊥.…………………1分又因为//EF AD ，所以AG AD ⊥. …………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以AG ⊥平面ABCD . …………………4分因为 CD ⊂平面ABCD ，所以AG ⊥CD .………………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，因为13AMMC =，所以14MN AM BC AC ==，………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以 4BC GF =，又因为//EF AD ，四边形ABCD 为正方形，所以GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.GM FN. ……………8分所以//又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，所以GM//平面ABF.………………11分（Ⅲ）解：点O为线段GC的中点. ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”，………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.+=（人）．………………2分所以票价小于5元的有6040100故120人中票价小于5元的频率是1005=．1206所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=P A．………………4分6（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”，………………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分a b c，票价为4元的同学为,d e，票价为5元的同学为f，记票价为3元的同学为,,a b a，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a ab b b bc c c d,d e f c d e f d e f ed e. ………………8分(,),(,)f fa b c d. ………9分其中事件B的结果有4种，它们是：(,),(,),(,),(,)f f f e所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4P B=.………………10分()15（Ⅲ）解：(20,22]s∈．………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ，所以 2a c =，3b c =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=，又点)23,1(P 在椭圆上，所以2213144c c+=，解得21c =，故椭圆方程为 22143x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………6分设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，………7分由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………8分由题意，可知0>∆，则有2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+，………9分所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-，…………10分所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………12分即22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964.……14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分令 ()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x 1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()xf x x=，e ()x g x x =，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分因为 21ln ()xf x x-'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………………7分又因为2e (1)()x x g x x-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分。

2015西城二模北京市西城区2015届高三二模语文试题扫描版含答案

2015西城二模北京市西城区2015届高三二模语文北京市西城区2015年高三二模试卷语文参考答案及评分标准2015.5一、（14分）1．（2分）B 2．（2分）C 3．（3分）D 4．（3分）C5．（4分）不矛盾。

“我愿天公怜赤子，莫生尤物为疮痏”表达自己对朝廷要求民间进贡荔枝以致百姓不堪其苦的愤慨，体现出苏轼关心百姓疾苦的爱民之心；“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”表达他在被贬岭南之后对当地所产荔枝的赞美，表现出苏轼身处困境依然豁达乐观的心态。

（意思对即可）二、（13分）6．（3分）C 7．（3分）D8．（4分）（丙）留蒂蜡封蜜浸法（丁）带叶封坛沉井法（意思对即可）9．（3分）①适时采收，选择完整新鲜的果实。

②及时密封，减少水分流失避免病毒入侵。

③在阴暗、凉爽低温的环境中保存。

评分标准：每个要点1分。

意思对即可。

三、（26分）10．（5分）吾曰/ 生可求乎/ 曰/求其生而不得/则死者与我皆无恨也/矧求而有得耶/以其有得/则知不求而死者有恨也/夫常求其生/ 犹失之死/而世常求其死也。

评分标准：标“/”处共有10处，断对两处得1分，断对10处得5分。

断错两处扣1分，扣完5分为止。

11．（3分）D（自身）12．（3分）A（不要拿钱财使人受累）13．（3分）D（“将会帮助自己获得更多的善报”与原文意思不符）14．（6分）①廉（廉洁），②孝（奉亲至孝），③仁（居官仁厚、好施之善）说明：以死后之贫明其廉，以思亲之久扬其孝，以治狱之叹显其仁意思对即可。

15．（6分）（1）①臣无祖母②无以至今日③祖母无臣④无以终余年⑤更相为命⑥是以区区不能废远（2）①积土成山②风雨兴焉③积水成渊④蛟龙生焉⑤而神明自得⑥圣心备焉评分标准：只能选定1题完成，跨题填空以第（1）题为准。

每空1分。

句中有错别字、多字、少字，则该句不得分。

四、（16分）16．（4分）①登、上②俱为一体③不宜异同④提升、提拔评分标准：每空1分。

①④意思对即可；②③句中有错别字、多字、少字，则该句不得分。

2015西城高三一模数学(文科)

北京市西城区2015年高三一模试卷数学（文科） 2015.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的范围是（）（A ）1a ≤（B ）1a ≥（C ）0a ≥（D ）0a ≤3．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（）（A ）都是奇函数（B ）都是偶函数（C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）72．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限5. 设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（）（A）（B）（C）（D ）46．设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）（A ）7 （B ）152（C ）233（D ）4768. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）（A ）2枝玫瑰的价格高（B ）3枝康乃馨的价格高（C ）价格相同（D ）不确定侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____. 10．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____.11．在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____. 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.13. 设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求sin CBD ∠的值.AD16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)18．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．FA DBG E（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶19．（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.20．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10． π；11． 13； 12． 2213y x -= ，y = ；13． 103，2 ； 14． 4900；注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ……… 3分又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ……… 4分在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅ ………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . ……… 9分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ……… 12分所以sin CDB ∠= ………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩………… 4分解得12a =-，2d =， …………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. ……………1分又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. ………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . ……………4分因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，FCADBG EMN 因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形，所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………11分（Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. ……………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ……………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d ,(,),(,)f f d e .…………8分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． ……………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ，所以 2a c =，b =. ……………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=，又点)23,1(P 在椭圆上，所以2213144c c+=，解得21c =，故椭圆方程为22143x y +=. …………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ……………… 6分设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ……………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分所以直线PA 的斜率11321PAy kx -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. …… 12分即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. ……1分求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， ………2分令 ()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. ………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()xf x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. ………5分因为 21ln ()xf x x -'=. 令()0f x '=，解得e x =.第 11页共 11页当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………7分又因为2e (1)()x x g x x -'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. ………9分综上所述，得1e et ≤≤. ………10分（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………13分。

(全优试卷)北京市西城区高三5月模拟测试(二模)数学(文)试题Word版含答案

西城区高三模拟测试数学（文科）2018.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1（A（B（C（D2（A（B（C（D3（A（B（C（D4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C（D5（A（B（C（D6（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．设不等式组（A（B（C（D8．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（A）A （B）B （C）D （D）E第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9____．10____．11．12____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5．14．范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）16．（本小题满分13分）17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）19．（本小题满分13分）20．（本小题满分14分）全优试卷．．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.910111213．25% 14注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：依题意，得 (2)分解得或 (4)分所以 (6)分（Ⅱ）因为 (7)分所以 (9)分 (11)分 (13)分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 (2)分得 (3)分所以 (4)分 (5)分（Ⅱ）因为 (7)分 (9)分 (11)分由（Ⅰ）得所以 (12)分所以 (13)分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 (2)分 (4)分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，37人． (6)分此地区该项身体指标检测值不低于5 (8)分100个样本数据中， (10)分 (12)分 (13)分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为所以所以……2分因为3分所以4分因为所以所以 (6)分因为所以所以所以所以 (7)分因为所以所以 (8)分所以 (9)分所以 (10)分（Ⅲ）设由（Ⅰ）得由（Ⅱ）得所以所以 (11)分由（Ⅱ）得所以 (12)分 (14)分19．（本小题满分13分）解： (2)分依题意，有即 (4)分解得 (5)分所以 (8)分因为所以 (9)分设 (10)分则故 (11)分所以即 (12)分故 (13)分20．（本小题满分14分）解：且 (2)分解得 (3)分所以 (4)分（Ⅱ）（ⅰ）由 (5)分由得 (6)分设则 (8)分由 (9)分所以 (10)分因为所以所以 (12)分 (14)分。

北京市西城区高三二模试卷.docx

北京市西城区2015年高三二模试卷数学（文科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（）（A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则下列命题中真命题是（）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（）（A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-则输出的s 属于（）（A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. “3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若7a =，3b =，2c =，则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____.14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论： ○1 π3()32f =；○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.（A ）2 （B ）3 （C ）32（D ）2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121nb b b ++++的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积；（Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率；（Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论）（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =. （Ⅰ）若椭圆E 的离心率为63，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1xf x ax-=+，其中a ∈R . （Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立；（Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+= 11．52- [3,)-+∞ 12．π3 33213．2 14．○1 ○3 注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分即 tan 1x ≠， ……………… 2分解得 ππ4x k ≠+， ……………… 4分所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠+∈Z . ……………… 5分（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-……………… 7分(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+， ……………… 9分由 ππ2π22π22k x k -++≤≤，得 ππππ44k x k -++≤≤， ……………… 11分又因为 ππ4x k ≠+，所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++）……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， ………………4分所以 *12()n nan a +=∈N ． ………………5分所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 12n n a -=． ………………7分（Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………9分所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+， ………………11分因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：在Rt ΔADE 中，2233AE AD DE =-=. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ1193332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE .…………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， ………………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ，所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABM F 是平行四边形，则//AF BM . ………………12分又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=， ………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分（Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分因为乙组数据的平均数为26.7，所以10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=. ………………7分所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………8分ABCED FM其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………9分所以a >b 的概率4()9P A =. ………………10分（Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且63c a =， ………………2分解得3a =，1b =，2c =. ………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =-=-. 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分直线2F P 的斜率200F P y k x c=-，所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--，当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--，所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， ………………8分因为以PQ 为直径的圆经过点1F ，所以11PF F Q ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分化简，得22200(24)y x a =--， ○1又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114x f x x -=-，求导，得22222224(1)3()114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==--， ………………2分因为(1)0f =，(1)43f '=-， ………………3分所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.………………4分（Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R . 求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ………………5分令()0f x '=，解得11110x a =-+<，21111x a =++>， ………………6分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' +0 - 0 + ()f x↗ ↘ ↗ ………………8分所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01xf x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，2()||f x 中最大的数，综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ………………10分（Ⅲ）解：当12a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解.。

北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)AqUwMq

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =I （）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，3sin B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C ）3sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天2．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（）（A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥a =2，x =3开始 x y a =x =x +1103y x >+ 输出x结束否是13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱7．设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤（D ）2||d AB <A BE CD GH F侧(左)视图正(主)视图俯视图 22111 11长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-．（Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=o，BC AD //，且122A A AD BC ===，B CA 1 D 1 DA B 1C 1E F1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率121838（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率p13q（Ⅰ）当2p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由；（Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．22 10．2π311. 22 12．221416x y -=513．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分（Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤，解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+，所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞U ． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD I 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D I 平面11A ECF A F =，所以1A F∥CE.…………………3分又 1A F ⊄平面1B CE ，CE ⊂平面1B CE ，所以 1A F ∥平面1B CE . …………………6分（Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=o ，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =，所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，B CA 1 D 1 DAB 1C 1EF所以 90ACD ∠=o ，即AC CD ⊥. …………………7分因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ，所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CD C C C =I ，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =，所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分又因为 113p q ++=，0q ≥，所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,23b =,222c a b =-=, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅, 所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ，即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ，解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………4分由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，x1(,1)21 (1,)+∞()F x '+0 -()F x↗↘…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞U 时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分（Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …………………13分。

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