高考数学考点练习第八章概率与统计单元质量测试文

单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对答案 C解析由互斥事件和对立事件的概念可判断结果．2．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )A．①随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样答案 B解析∵社会购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入的差别明显，∴①适宜采用分层抽样；而从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况时，个体之间差别不大，且总体数量和样本容量都较小，∴②适宜采用随机抽样．3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53答案 A解析由中位数、众数、极差的定义可知选项A正确．4．[2016·山东威海模拟]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12答案 A解析 满足条件的向量m 共有4×3＝12(个)．由m ⊥n 得a ＝b .所以满足m ⊥n 的m 只有(3,3)与(5,5)两个，所以所求概率为P ＝212＝16.5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.6答案 D解析 每一个数据都加上60时，平均数也加上60，而方差不变．6．[2016·大连双基测试]从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( )A.15B.25 C.35 D.45答案 C解析 基本事件有：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共20个，记“这个两位数大于30”为事件A ，有：31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共12个，则P (A )＝1220＝35.7．[2016·湖北七市联考]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y ^＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值 答案 B解析 依题意，注意到题中的相关的点均集中在某条直线的附近，且该直线的斜率小于1，结合各选项，故选B.8．[2016·东北三省四市一模]在中秋节前，小雨的妈妈买来5种水果，4种肉类做月饼．要求每种馅只能用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅，则小雨妈妈做出水果馅月饼的概率是( )A.13B.58C.23D.79答案 B解析 设5种水果分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,4种肉类分别为B 1，B 2，B 3，B 4，用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 4，A 5)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共16种，用水果做馅的共10种，所以做出水果馅月饼的概率是58.9．[2016·天津渤海一中质检]有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，根据以上信息，判断下列结论中正确的是( )A ．气温与热饮的销售杯数之间成正相关B ．当天气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮C ．当天气温为10 ℃时，这天恰卖出124杯热饮D ．由于x ＝0时，y ^的值与调查数据不符，故气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性 答案 B解析 当x ＝2时，y ^＝－2×2.352＋147.767＝143.063，即这天大约可以卖出143杯热饮，故B 正确．10．下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r |越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越高；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2的值，则K 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减小5个单位，故②不正确；线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义，在线性回归分析中，相关系数为r ，|r |越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对分类变量x 与y 的随机变量的观测值K 2来说，K 2越大，“x 与y 有关系”的可信程度越大，故⑤正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.11．[2017·石家庄模拟]在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.12．从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(被测学生的身高全部在155 cm 到195 cm 之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，绘制成的频率分布直方图如图所示．若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x ，y ，则|x －y |≤5的概率为()A.715 B.14 C.58 D.1116答案 A解析 由频率分布直方图，可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a ，b ，c ，d ，身高在[190,195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A ，B ，若x ，y ∈[180,185)，则有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种情况，若x ，y ∈[190,195]，则有AB ，共1种情况，若x ∈[180,185)，y ∈[190,195]或x ∈[190,195]，y ∈[180,185)，则有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB ，共8种情况，所以基本事件的总数为6＋1＋8＝15，而事件“|x －y |≤5”所包含的基本事件数为6＋1＝7，故P (|x －y |≤5)＝715. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是________．答案 13解析 3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.14．为了实现素质教育，某校开展“新课改”动员大会，参会的有100名教师，1500名学生，1000名家长，为了解大家对推行“新课改”的认可程度，现采用恰当的方法抽样调查，抽取了n 个样本，其中教师与家长共抽取了22名，则n ＝________.答案 52解析 根据题意可知采用分层抽样的方法最为合适，参会人数为100＋1500＋1000＝2600，设抽取教师x 名、家长y 名，则x ＋y ＝22，又x100＝y 1000＝n 2600，x ＋y 1100＝n2600，故n ＝52.15．某社会实践调查小组，在对高中学生“能否良好使用手机”的调查中，随机发放了120份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：最精确的p 的值应为________．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ，答案 解析 根据题意K 2≈3.03，又2.706<3.03<3.841，所以能够在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“能否良好使用手机与性别有关”，即最精确的p 的值为0.1.16．[2017·海淀模拟]现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．答案 56解析 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2), (A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式，得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．[2017·云南统测](本小题满分10分)某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位：万件)的数据如下表：(1)若从这5 (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计今年6月份该种产品的产量．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解 (1)设事件A 为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件(m ，n )(其中m ，n 表示月份)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中事件A 包含的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，∴P (A )＝410＝25.(2)x ＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15×(4＋4＋5＋6＋6)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×4＋2×4＋3×5＋4×6＋5×6＝81，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝81－5×3×555－5×9＝0.6，a ^＝y －b ^x ＝5－0.6×3＝3.2，∴y ^＝0.6x ＋3.2. 当x ＝6时，y ＝6.8.故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件．18．[2017·安徽联考](本小题满分12分)某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题．(1)求分数在[70,80)内的频率；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；(3)若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．解 (1)由题意，可得分数在[70,80)内的频率为 1－(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＝0.3. (2)因为分数在[40,70)内的频率为 (0.010＋0.015×2)×10＝0.4，所以中位数在[70,80)内，设中位数为x ，则 0．4＋(x －70)×0.310＝0.5，解得x ＝2203.(3)第1组中有学生60×0.1＝6人(设为1,2,3,4,5,6)，第6组中有学生60×0.05＝3人(设为A ，B ，C )．从两组学生中随机抽取2人，共有36个基本事件，满足条件的基本事件有18个，所以所求的概率为12.19．[2017·长春质检](本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为34，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ (2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .K 2＝150×50×120×80≈11.111>10.828，所以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，可以认为商品好评与服务好评有关． (2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次．假设好评的交易分别表示为A ，B ，C ，不满意的交易分别表示为a ，b ，从5次交易中，取出2次的所有取法(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种情况，其中只有一次好评的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，共6种，所以只有一次好评的概率为610＝35.20．[2016·衡中调研](本小题满分12分)某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．(1)求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；(2)若已从年龄在[35,45)，[45,55)的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这2人在不同年龄组的概率．解(1)各组年龄的人数分别为10,30,40,20.估计所有玩家的平均年龄为0.1×20＋0.3×30＋0.4×40＋0.2×50＝37(岁)．(2)根据分层抽样的特点，可知抽取的6人中，年龄在[35,45)范围内的人数为4，记为a，b，c，d；年龄在[45,55)范围内的人数为2，记为m，n.从这6人中选出2人，抽取的结果共有15种，列举如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)．设“这2人在不同年龄组”为事件A，则事件A所包含的基本事件有8种，故P(A)＝815.所以这2人在不同年龄组的概率为8 15 .21．[2016·贵阳质检](本小题满分12分)下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．(1)不要求证明)(2)求此人到达当日空气质量优良的概率；(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．解(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j，j＝1,2，…，13)．设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)＝613.(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A，即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150，小于300”，由题意可知P(A)＝P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)＝P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＋P(A11)＝8 13 .22．[2016·黄冈质检](本小题满分12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I i(i＝1,2，…，10)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中W i ＝lg I i ，W ＝110∑i ＝110W i(1)根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程D ^＝a ^＋b ^lg I ； (2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染．城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I 2，且1I 1＋4I 2＝1010.已知点P 的声音能量等于声音能量I 1与I 2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P 是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑i ＝1nu i －uv i －v∑i ＝1nu i －u2，α^＝v －β^u .解 (1)根据散点图，D ＝a ＋b lg I 适合作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程． 令W i ＝lg I i ，先建立D 关于W 的线性回归方程，由于b ^＝∑i ＝110W i －WD i －D∑i ＝110W i －W2＝5.10.51＝10， ∴a ^＝D －b ^W ＝160.7，∴D 关于W 的线性回归方程是D ^＝10W ＋160.7，∴D 关于I 的线性回归方程是D ^＝10lg I ＋160.7. (2)点P 的声音能量I ＝I 1＋I 2，∵1I 1＋4I 2＝1010，∴I ＝I 1＋I 2＝10－10⎝ ⎛⎭⎪⎫1I 1＋4I 2(I 1＋I 2)＝10－10⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋I 2I 1＋4I 1I 2≥9×10－10，当且仅当I 2＝2I 1，即I 1＝3×10－10时等号成立． 根据(1)中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值D ^＝10lg (9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7>60，∴点P 会受到噪声污染的干扰．。