广西壮族自治区普通高中高二学业水平考试数学扫描版缺答案
广西桂林市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学(含答案)
桂林市2023～2024学年度下学期期末质量检测高二年级数学（答案在最后）（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列求导运算正确的是A ．(cos )sin x x'=B ．(sin )cos x x'=C ．211()x x '=D ．(2)2x x'=2．双曲线2213y x -=的离心率为A ．12B ．2CD．23．曲线3y x =在点（1，1）处的切线方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．340x y +-=D ．320x y --=4．已知数列{}n a 的各项均不为0，11a =，1113n na a +-=，则8a =A ．120B ．121C ．122D ．1235．对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是A ．B．C ．D ．6．从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是A ．8B ．12C ．18D ．727．在数列{}n a 中，12a =，对任意m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=，则2024a =A ．20262B ．20252C ．20242D ．202328．已知点1F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点作直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以线段MN 为直径的圆过原点，则C 的离心率的取值范围是A ．[2，1）B ．（0，2]C ．[3，1）D ．[3，2]二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．直线l ：y x m =+，圆C ：2220x y x +-=，下列结论正确的是A ．直线l 的倾斜角为3πB ．圆C 的圆心坐标为（1，0）C ．当1m =-时，直线l 与圆C 相切D ．当(1)m ∈-时，直线l 与圆C 相交10．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-，则下列结论中正确的是A ．112a =B ．数列{}n a 是递增数列C ．11()2nn S =-D ．1n S >11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，EE 为1AA 的中点，则A ．DE ∥平面1A CAB ．DE ⊥平面11DC EC ．P 为棱11A B 上任一点，则三棱锥C PDE -的体积为定值D ．平面DCE 截此四棱柱的外接球得到的截面面积为8π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．4(2)x y +的展开式中，22x y 的系数是________．（用数字作答）13．盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是________．14．若不等式21ln x ax bx +≤+（0a >）恒成立，则ba的最小值为________四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数2()1ln f x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）判断()f x 在（1，2）上是否有零点，并说明理由．16．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知10100S =，3514a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 的公比为q ，11b a =，q d =，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．17．已知抛物线E ：2y x =，过点T （1，2）的直线与E 交于A ，B 两点，设E 在点A ，B 处的切线分别为1l 和2l ，1l 与2l 的交点为P ．（1）若点A 的坐标为（1-，1），求OAB △的面积（O 为坐标原点）；（2）证明：点P 在定直线上．18．如图，已知边长为1的正方形ABCD ，以边AB 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120︒形成的面围成一个几何体ADF BCE -．设P 是 CE上的一点，G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点．（1）证明：GH ∥平面BCE ；（2）若BP AE ⊥，求平面BPD 与平面BPA 夹角的余弦值；（3）在（2）的条件下，线段AE 上是否存在点T ，使BT ⊥平面BPD ，证明你的结论．19．已知函数()xf x e =，()ln()g x x a ax =++（0a >）．（1）求函数()()1h x f x x =--的最小值；（2）若()()xf x g x e -≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：7222422211211()()()12n e n+++⨯⨯⨯< ．桂林市2023～2024学年度下学期期末质量检测高二数学参考答案及评分标准一、单选题题号12345678答案BBDCBDCA二、多选题题号91011答案BCDACBC三、填空题12．2413．3514．1e-四、解答题15．解：（1）函数()f x 的定义域为（0，+∞）1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--=令()0f x '>，得1x >，()f x 的增区间为（l ，+∞）令()0f x '<，得01x <<，()f x 的减区间为（0，1）()f x 的极小值为(1)1f =-，无极大值（2）()f x 在（1，2）上有零点因为2(1)111ln110f =---=-<2(2)221ln 21ln 20f =---=->由零点存在定理可知，函数()f x 在（1，2）上有零点16．解：（1）因为10100S =，所以11045100a d +=①又3514a a +=，所以12614a d +=②由①②得11a =，2d =所以1(1)21n a a n d n =+-=-（2）因为11b a =，q d =，所以11b =，2q =所以1112n n n b b q--==因为n n n c a b =⋅，所以1(21)2n n c n -=-⋅01221123252(23)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ③12312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ④-③④得：012112222222(21)2n nn T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 所以(23)23nn T n =-⨯+17．解：（1）直线AB 的斜率12111(1)2k -==--直线AB 的方程为11(1)2y x -=+，即230x y -+=联立方程2230x y y x-+=⎧⎨=⎩，整理得：2230x x --=设A （1x ，21x ），B （2x ，22x ），则1212x x +=，1232x x =-设直线AB 与y 轴的交点为D ，则D （0，32）122113133||||||22224OAB OAD OBD x S x x x S S ==⨯⨯++⨯⨯=-△△△158=（2）由2y x =，得2y x'=1l 的方程为：21112()y x x x x =-+，整理得：2112y x x x =-同理可得2l 的方程为：2222y x x x =-设P （P x ，P y ），联立方程21122222y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得12122P P x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩因为点T （1，2）在抛物线内部，可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()12y k x =-+，与抛物线方程联立得：220x kx k -+-=故12x x k +=，122x x k =-所以2P kx =，2P y k =-，可得22P P y x =-所以点P 在定直线22y x =-上18．证明：（1）取BP 的中点Q ，连接GQ ，EQ 因为G ，H 分别为线段AP ，EF 的中点，所以GQ AB ∥，12GQ AB =又因为AB EF ∥，所以GQ HE∥所以四边形GQEH 是平行四边形，所以GH QE ∥．又因为GH ⊄平面BCE ，QE ⊂平面BCE ，所以GH ∥平面BCE（2）依题意得AB ⊥平面BCE ，所以PB AB ⊥，因为PB AE ⊥，AB ，AE ⊂平面ABEF ，AB AE A = ，所以PB ⊥平面ABEF ，所以PB BE⊥以B 为坐标原点，BP ，BE ，BA 所在直线分别为x ，y ，z轴，建系如图所示B （0，0，0），A （0，0，1），D （32，12-，1），P （1，0，0），E （0，1，0）(1,0,0)BP =，1,1)22BD =- 设平面BPD 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m BP m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111101022x x y z =⎧-+=⎪⎩，取12y =，得10x =，11z =所以平面BPD 的一个法向量是(0,2,1)m =易知平面BPA 的一个法向量为(0,1,0)n =设平面BPD 与平面BPA 的夹角为θ，则||25cos |cos ,|5||||m n m n m n θ⋅===⋅（3）满足条件的点T 存在，证明如下：设T （x ，y ，z ），AT AE λ=（01λ<<），则(,,1)(0,1,1)x y z λ-=-，所以T （0，λ，1λ-），(0,,1)BT λλ=- 因为BT ⊥平面BPD ，所以BT m∥所以121λλ-=，得23λ=所以存在点T （0，23，13）满足题意19．解：（1）()1xh x e x =--，()1xh x e '=-当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增所以min ()(0)0h x h ==（2）因为()()xf x g x e -≥-恒成立，即ln ln 0xxe x x a a e ----+≥恒成立令()ln ln xx xe x x a a e ϕ=----+（0x >）11()(1)1(1)(x x x x e x e x xϕ'=+--=+-令1()()xm x e x=-（0x >）21()0x m x e x'=+>，()m x 在（0，+∞）单调递增因为1(202m =<，0(1)1m e =->所以01(,1)2x ∃∈，使0()0m x =，即0010xe x -=当0(0,)x x ∈时，()0m x <，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减当0(,)x x ∈+∞时，()0m x >，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增故0min 0000()()ln ln 1ln xx x x e x x a a e a a eϕϕ==----+=--+所以1ln 0a a e --+≥，令()1ln n a a a e =--+（0a >），1()10n a a'=--<，()n a 在（0，+∞）单调递减因为()1ln 0n e e e e =--+=所以a 的取值范围是（0，e ]（3）由（1）知ln(1)x x +≤，当且仅当1x =时，等号成立要证7222422211211()()()12n e n+++⨯⨯⨯< 只要证222222112117ln[()()()]124n n +++⨯⨯⨯<因为22222222211211111ln[(()()]ln[(1)(1)(1)]1212n n n +++⨯⨯⨯=+⨯+⨯⨯+ 22222111111234n <+++++ 2211111122334(1)n n<+++++⨯⨯- 2211111111511717((((12233414244n n n n =++-+-+-=+-=-<- 故原命题得证。
2019年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学试题(含答案)
7分
综上所述，a 的取值范围是(一∞，3]．
8分
第3页 共3页
好
记
星
书
签
2019 年 6 月广西壮族自治区普通高中学业水平考试
数学
参考答案及评分标准
一、选择题(共 30 小题，每小题 2 分，共 60 分)
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
C
A
A
B
B
C
D
C
BHale Waihona Puke 题号 111213
14
15
16
17
18
19
20
答案 A
C
B
D
A
A
D
B
D
C
题号 21
22
23
2分
又∵f(2)=4－8ln2，
3分
∴y=x+2－8ln2，即 x－y+2－8ln2=0 为所求曲线的切线方程.
4分
第2页 共3页
好
记
星
书
签
(2)f’(x)=2x+1- =
,
令 g(x)=2x2+x－a，对称轴为 x=－ ，
易知 g(x)在(1，+∞)上单调递增.
5分
又 g(1)=3－a，
①当 a<3 时，g(x)>g(1)=3－a>0，∴f(x)>0 在(1，+∞)上恒成立．
5分
EF 的长为点 E 到面 ABCD 的距离.
当 F 与 O 重合时，EF 取到最大值 EO=1.
6分
∴几何体 ABCDE 体积的最大值为:
广西普通高中2021-2022学年高二6月学业水平考试数学试题(含答案解析)
广西普通高中2021-2022学年高二6月学业水平考试 数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1}B ．{x |x =2}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．如图是由圆柱和长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若复数34i 3i b +=+，i 为虚数单位，则b =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．54．如图所示程序框图中，若输入a =1，b =2，则输出S 的值是（ ）A ．12B ．8C ．4D ．15．已知直线:20l x y c ++=经过点(1,1)，则c 的值为（ ） A ．-3B ．-5C ．-7D ．-96．某班有55人，要抽出3人，班长给全班同学编号：01，02，03，…，55.用随机数表法确定人选，依次得到4个随机数为03，25，98，47，其中，不能作为编号的随机数是（ ） A ．03 B ．25C ．98D ．477．已知cos αtan α=1，则sin α=（ ）A ．13B C ．37D ．598．如图，在ABCD 中，AB AD +=（ ）A ．BDB ．AC C ．BCD ．CD9．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（ ）A ．121n - B ．121n + C ．131n - D ．131n + 10．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A ．()0,0 B ．()0,1 C ．()0,2 D ．()1,111．若1tan 4α=，则()tan α-=（ ） A ．1-2B ．1-3C ．1-4D ．1-512．如图是定义在[-4，0]上的y =f (x )的图像，则f (x )最大值为（ ）A ．-4B ．0C ．1D ．413．已知函数()f x 与x 的值对应如下表，C ．{}1,2,3,4D ．{}4,5,614．下图是某城市5月24日到6月7日共15天的空气质量指数的茎叶图，则该城市15天的空气质量指数的众数为（ ）A ．12B ．15C ．30D ．3215．132=（ ）A ．1BC D 16．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ）A ．1B ．6C ．10D ．2017．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1111,B C D C 的中点，则下列结论正解的是（ ）A ．EF BD ⊥B ．EF BD ∥C ．EF 与BD 相交 D ．EF 与11B D 相交18．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（ ）19．如图，在正六边形ABCDEF 中，与向量AB 相等的向量是（ ）A ．BCB ．EDC ．AFD ．CD20．在平面直角坐标系中，原点()0,0到直线20x y +-=的距离等于（ ） A．1BC D ．321．cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅=（ ） A ．12B ．13C ．15D ．1622．已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+23．椭圆221259x y +=的长半轴长=a （ ）A ．11B ．7C ．5D ．224．不等式260x x +-<的解集为（ ） A ．RB ．{|32}x x -<<C ．{3}x x |<-D ．{|2}x x >25．如图，直线l 将平面分成两个区域，则阴影部分所对的二元一次不等式为（ ）A ．x -y ≤0B ．x +2y +2≤0C ．2x -y +2 ≤0D ．3x -y +2≤026．已知圆的方程为x 2+y 2=4，那么这个圆的面积等于（ ） A ．2B ．3C ．πD ．4π27．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标为（1，0），则p =（ ）28．关于正弦函数y =sin x （x ∈R)，下列说法正确的是（ ） A ．值域为R B ．最小正周期为2π C ．在(0，π)上递减D ．在(π，2π)上递增29．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（ ） A ．30米B ．50米C ．80米D ．110米30．已知圆C :x 2+y 2=1，直线l ：y =2x +b 相交，那么实数b 的取值范围是（ ）A ．（-3，1）B ．（-∞，C ．+∞）D ．（二、填空题31．已知向量a 的坐标为（1，2），则向量3a =_________. 32．已知函数2()2f x x =+，那么(1)f =___________.33．在ABC 中，2,a b c ===cos A =_______.34．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有_____个.35．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长. 三、解答题36．某科技人员为了解实验田的产量情况，对某地的50块实验区进行统计，其中A 区的亩产量为460公斤，亩产量的频率分布直方图如下：(1)亩产量在[450，500]的有几个实验区？(2)从亩产量为[450，500]实验区中任选2个进行推广，则A 区被选中的概率是多少？ 37．如图，AB 是底面O 的直径，C 为O 上异于A 、B 的点，PC 垂直于O 所在平面，D 、E 分别为P A 、PC 的中点.(1)求证：DE ⊥平面ABC . (2)求证：平面BDE ⊥平面PBC . 38．已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈. (1)当a =1时，求f (x )的单调区间.(2)若()()g x f x =+11-ln x x ⎛⎫⎪⎝⎭的图像与直线y a =相切，求a 的值.参考答案：1．D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D 2．D 【解析】 【分析】根据俯视图的知识确定正确答案. 【详解】由于几何体从左向右是圆柱、长方体， 所以俯视图从左向右是两个矩形， 所以D 选项正确. 故选：D 3．C 【解析】 【分析】根据复数相等求解即可. 【详解】因为34i 3i b +=+，所以4b =. 故选：C 4．D 【解析】 【分析】运行程序，计算出输出的S 的值. 【详解】依题意1,2a b ==，1112122S ab ==⨯⨯=. 故选：D 5．A 【解析】 【分析】将点(1,1)的坐标代入直线方程可求出结果. 【详解】因为直线:20l x y c ++=经过点(1,1)， 所以1210c +⨯+=，得3c =-. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】根据随机数表法的知识确定正确选项. 【详解】由于9855>，所以98不能作为编号. 故选：C 7．B 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】sin cos tan 1ααα=⨯==故选：B 8．B 【解析】 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由平行四边形法则知，AB AD +=AC . 故选：B. 9．C 【解析】 【分析】根据规律可得结果. 【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -； 故选:C 10．B 【解析】 【分析】直接令0x =即可求解. 【详解】令0x =，则0112y ⎛⎫=⎪⎝⎭= ，故函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点坐标是()0,1.故选：B. 11．C 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】()1tan tan 4αα-=-=-.故选：C 12．D 【解析】 【分析】根据函数图像确定正确答案.【详解】根据图像可知，()f x 的最大值为()04f =. 故选：D 13．A 【解析】 【分析】直接由函数定义域的概念求解即可. 【详解】由题意知：函数()y f x =的定义域为{}1,2,3,4,5,6. 故选：A. 14．C 【解析】 【分析】根据茎叶图和众数的知识确定正确答案. 【详解】根据茎叶图可知，众数为30. 故选：C 15．B 【解析】 【分析】直接由分数指数幂的运算求解即可. 【详解】 132=.故选：B. 16．C 【解析】 【分析】根据规律求得正确答案. 【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C17．B【解析】【分析】直接由11EF B D ∥及11B D BD ∥即可求解.【详解】由,E F 分别是1111,B C D C 的中点可得11EF B D ∥，又易得11B D BD ∥，则EF BD ∥. 故选：B.18．A【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+⨯=. 故选：A.19．B【解析】【分析】由相等向量的定义可知.【详解】由图可知六边形ABCDEF 是正六边形，所以ED =AB ，与AB 方向相同的只有ED ；而BC ,AF ,CD 与AB 长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误； 故选：B20．B【解析】【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.【详解】原点()0,0到直线20x y +-==故选：B.21．A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】 cos66cos6sin 66sin 6⋅+⋅=1cos(666)cos602-==. 故选：A22．C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知：直线ll 的方程为1y =+.故选：C.23．C【解析】【分析】直接由椭圆标准方程求解即可.【详解】由椭圆标准方程知，长半轴长5a =.故选：C.24．B【解析】【分析】分解因式法可求出结果.【详解】由260x x +-<，得(3)(2)0x x +-<，得32x -<<，所以不等式260x x +-<的解集为{|32}x x -<<.故选：B25．A【解析】【分析】求得直线l 的方程，结合图象确定正确答案.【详解】直线l 过原点和点()1,1，所以直线l 的方程为y x =，阴影部分为y x ≥，即0x y -≤.故选：A26．D【解析】【分析】根据圆的半径求得圆的面积.【详解】圆224x y +=的半径为2，所以面积为2π24π⨯=.故选：D27．A【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标求得p 的值.【详解】由于抛物线22y px =的焦点为()1,0， 所以1,22p p ==. 故选：A【解析】【分析】根据正弦函数的基本性质和图象可得结果.【详解】函数sin (R)y x x =∈的图象如图所示：如图所示，函数sin (R)y x x =∈的定义域为R ，值域为[]1,1-，所以A 错误；sin (R)y x x =∈的最小正周期为2π，所以B 正确；sin (R)y x x =∈在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所C 、D 错误； 故选：B29．C【解析】【分析】设该矩形区域的长为x 米，则宽为400x米，利用基本不等式计算即可得出结果. 【详解】设该矩形区域的长为x 米，则宽为400x 米，则所用警戒线的长度为4002280x x ⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭米，当且仅当400x x =，即20x 时，取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选：C30．D【分析】利用圆心到直线l 的距离列不等式，从而求得b 的取值范围.【详解】圆C 的圆心为()0,0，半径为1，直线:20l x y b -+=，由于圆与直线l 相交，1<，解得b <<故选：D31．()3,6【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案.【详解】()()1,233,6a a =⇒=.故答案为：()3,632．3【解析】【分析】直接根据函数解析式可求出结果.【详解】因为2()2f x x =+，所以2(1)123=+=f .故答案为：3.33．13 【解析】【分析】利用余弦定理求得正确答案.由余弦定理得2223341cos 263b c a A bc +-+-===. 故答案为：1334．4【解析】【分析】结合线线、线面垂直的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABC ，所以,,PA AB PA AC PA BC ⊥⊥⊥，所以三角形PAB 和三角形PAC 是直角三角形.由于90ACB ∠=︒，所以BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形.由于AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以三角形PBC 是直角三角形.所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有4个.故答案为：435．192【解析】【分析】根据“割圆术”的规律求得正确答案.【详解】依题意，边长依次为：6,12,24,48,96,192.故答案为：19236．(1)5 (2)25【解析】【分析】（1）根据频率直方图即可得到答案.（2）根据古典概型公式求解即可.(1)[]450,500的频率为0.002500.1⨯=，[]450,500共有500.15⨯=个实验区.(2)令事件A 为：A 区被选中，()1425C 2C 5P A ==. 37．(1)证明详见解析(2)证明详见解析【解析】【分析】（1）通过证明//DE AC 来证得//DE 平面ABC .（2）通过证明DE ⊥平面PBC 来证得平面BDE ⊥平面PBC .(1)由于,D E 分别是,PA PC 的中点，所以//DE AC ，由于DE ⊂/平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC .(2)依题意PC ⊥平面ABC ，所以PC AC ⊥.由于AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥,由于PC BC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，由于//DE AC ，所以DE ⊥平面PBC ，由于DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PBC .38．(1)f (x )在(0,1)递减，在(1,)+∞递增(2)1【解析】【分析】（1）当a =1时，()ln f x x x =-，求导，利用导数的正负即可得出结果.（2）求出()g x 的解析式，设出切点坐标，由已知条件消去参数a ，再转化为求函数最值问题，即可得到a 值.(1)当a =1时，()ln f x x x =-，定义域是(0,),+∞11()1,x f x x x-'=-=令()0,f x '>，解得：1,x >，令()0,f x '<解得：01,x <<，故f (x )在(0,1)递减，在(1,)+∞递增；(2) 由题意得，ln ()x g x ax x=-，设()y g x =的图像与直线y a =相切于点(,)t a ， ⊥()()0g t a g t '=⎧⎨=⎩，又21ln ()x g x a x -'=-，⊥2ln 1ln 0t at a t t a t ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩得1(21)ln 0,t t t ---=，令()1(21)ln ,F t t t t =---，则1()2ln 1,F t t t'=-- 令1()2ln 1H t t t=--，则212()0H t t t '=--< ⊥()F t '在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F '=，⊥当01t <<时，()0F t '>，函数()F t 在(0,1)上单调递增，当1t >时，()0F t '<，函数函数()F t 在(0,1)上单调递减，⊥当且仅当t =1时，()0F t =，则221ln 1ln1 1.1t a t --===。
2024-2025学年广西部分学校高二(上)入学数学试卷(含答案)
2024-2025学年广西部分学校高二（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数2−ii 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知△ABC 的三个顶点分别为A(1,2)，B(3,1)，C(5,m)，且∠ABC =π2，则m =( )A. 2B. 3C. 4D. 53.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π4,a =3,b =2，则sinB =( )A.24B.26C.22D.234.直线3x−3y−1=0的倾斜角为( )A. 30°B. 135°C. 60°D. 150°5.把函数f(x)=sin (4x +π3)的图象向左平移a(a >0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，f(x)图象的对称轴与g(x)图象的对称轴重合，则a 的值可能为( )A. π6B. π12C. π4D. π86.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tanB =− 3，b =3ac ，则(a +c )2ac=( )A. 6B. 4C. 3D. 27.若α+β=3π4,tanα=2，则sin (α−β)cos (α−β)−sin αsin β=( )A. 1B. −1C. 2D. −28.已知圆锥A 1O 在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1内，AB =2，且A 1C 垂直于圆锥A 1O 的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为( )A.3πB.2πC.3π2D. 23π3二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若空间几何体A 的顶点数和空间几何体B 的顶点数之和为12，则A 和B 可能分别是( )A. 三棱锥和四棱柱B. 四棱锥和三棱柱C. 四棱锥和四棱柱D. 五棱锥和三棱柱10.已知复数z=6i1−i，则( )A. −z=3−3i B. |z|=32 C. z的虚部为3 D. zi=−z11.对于直线l：(m−2)x+y−2m+1=0与圆C：x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法不正确的是( )A. l过定点(2,3)B. C的半径为9C. l与C可能相切D. l被C截得的弦长最小值为27三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广西省来宾市2022届数学高二下期末学业水平测试试题含解析
广西省来宾市2022届数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列表格可以作为ξ的分布列的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数3()21f x x x =++，若(1)1x f ax e -+>在(0,)x ∈+∞上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)eB ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞3．若复数()211z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则复数13zi=+（ ） A ．3155i + B ．3155i - C ．3155i -+ D ．3155i --4．一物体的运动方程为212S at =-（a 为常数），则该物体在t t =0时刻的瞬时速度为（ ）A ．0atB ．0at -C ．012atD ．02at5．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足273110a a a --=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = （ ） A ．2B ．4C ．8D ．166．已知变量x ，y 呈现线性相关关系，回归方程为ˆ1-2 yx =，则变量x ，y 是（） A ．线性正相关关系B ．线性负相关关系C ．由回归方程无法判断其正负相关关系D ．不存在线性相关关系7．某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( ) A ．99A 种B ．812A 种C ．888A 种D ．84842A A 种8．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．2CD9．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种10．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -=B ．10x y --=C ．20x y e --=D ．(1)0e x ey e +--=11．已知向量()()0,2,1,1,1,2a b ==--，则a 与b 的夹角为（ ） A ．0B ．4πC ．2π D ．π12．抛物线2430x y +=的准线方程为（ ） A ．13x =B ．13y =C ．316x =D ．316y =二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若11n n n n a b S S ++=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T =_______.14．若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，26S =，666S =，则数列{}2na 的前n 项和为__________．16．在等比数列{}n a 中，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()()()22xf x x mx m e m m R =--+∈．（1）若函数()f x 在0x =处取得极值，求m 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()0f x >在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围．18．已知椭圆2222:1x y C a b += ()0a b >>的离心率为2，其中左焦点()2,0F -.（1）求出椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与曲线C 交于不同的,A B 两点，且线段AB 的中点M 在曲线222x y +=上，求m 的值.19．（6分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝m ，点M 是棱CD 的中点．（1）求异面直线B 1C 与AC 1所成的角的大小；（2）是否存在实数m ，使得直线AC 1与平面BMD 1垂直？说明理由； （3）设P 是线段AC 1上的一点（不含端点），满足1APPC =λ，求λ的值，使得三棱锥B 1﹣CD 1C 1与三棱锥B 1﹣CD 1P 的体积相等．20．（6分）已知函数()2xf x ax e =-.（1）当2ea <时，求证：()f x 在()0,∞+上是单调递减函数； （2）若函数()f x 有两个正零点1x 、()212x x x <，求a 的取值范围，并证明：124x x +>. 21．（6分）已知集合{}{}222|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤. （1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围.22．（8分）已知函数().1ax e f x x =-（1）当1a =时，求曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】根据分布列的性质01P 以及各概率之和等于1，能求出正确结果． 【详解】根据分布列的性质01P 以及各概率之和等于1， 在A 中，各概率之和为312>，故A 错误； 在B 中，102-<，故B 错误； 在C 中，满足分布列的性质01P 以及各概率之和等于1，故C 正确； 在D 中，221322(1)122a a a +++=++>，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的判断，考查分布列的性质01P 以及各概率之和等于1等基础知识，考查运用求解能力，是基础题． 2．D 【解析】 【分析】首先判断函数()f x 单调性为增. (0)1f =,将函数不等式关系转化为普通的不等式10x ax e -+>,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案. 【详解】()f x 在定义域上单调递增，(0)1f =，则由(1)1(0)x f ax e f -+>=，得10x ax e -+>，1x ax e +>()1,()x g x ax h x e =+=，则当(0,)x ∈+∞时，存在()g x 的图象在()f x 的图象上方. (0)1,(0)1g h ==，(),()x g x a h x e ''==，则需满足(0)(0)1g a h =>'='.选D.【点睛】本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增时,()()f a f b a b >⇒>是解题的关键.3．D 【解析】 【分析】通过复数z 是纯虚数得到1a =-，得到z ，化简得到答案. 【详解】复数()211z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数210,1012a a a z i -=-≠⇒=-⇒=-2623113131055z i i i i i ---===--++ 故答案选D 【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型. 4．B 【解析】 【分析】对运动方程为212S at =-求导，代入t t =0，计算得到答案. 【详解】对运动方程为212S at =-求导'S at ⇒=- 代入t t =0 0'V S at ==- 故答案选B 【点睛】本题考查了导数的意义，意在考查学生的应用能力. 5．B 【解析】根据等差数列的性质得：2311773112,0a a a a a a +=--= ，变为：2772a a = ，解得772,0a a == （舍去），所以772b a == ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2268774b b b a === ，故选B.6．B 【解析】 【分析】根据变量x ，y 的线性回归方程的系数b ＜0，判断变量x ，y 是线性负相关关系． 【详解】根据变量x，y的线性回归方程是y=1﹣2x，回归系数b=-2＜0，所以变量x，y是线性负相关关系．故选：B．【点睛】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．7．A【解析】根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体，将这个整体与8辆不同的车全排列,有99A种不同的排法，即有99A种不同的停车方法；故选A.点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．8．D【解析】【分析】先求出复数z，然后根据公式z=.【详解】21z i-=，∴12z i=+，∴z==故选D.【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.9．C【解析】【分析】根据每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口，利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口， 故该十字路口行车路线共有3412⨯=（种） 故选：C 【点睛】本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题. 10．C 【解析】分析：求导得到()f x 在x e =处的切线斜率，利用点斜式可得()f x 在x e =处的切线方程.详解：已知函数()ln f x x x =，则()1ln ,f x x =+' 则()1ln 2,f e e =='+ 即()f x 在x e =处的切线斜率为2，又()ln ,f e e e e == 则()f x 在x e =处的切线方程为()2,y e x e -=- 即20x y e --=. 故选C.点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题. 11．C 【解析】由题设0220a b ⋅=+-=，故a b ⊥，应选答案C ． 12．D 【解析】 【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程． 【详解】抛物线2430x y +=的标准方程为：234x y =-，准线方程316y =． 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．910【解析】 【分析】利用1n n n a S S -=-将112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭变为11112)2n n n n n S S S n S S ----⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（，整理发现数列{2n S }为等差数列，求出2n S ，进一步可以求出n a ，再将n a ，n S 代入n b ，发现可以裂项求n b 的前99项和。
广西高中学业水平考试数学附答案
A．
B.
C.
D.
10．下列函数中，是对数函数的是
A． y log2 x C． y sin x
B． y x 1 D． y x2
11．一商店为了研究气温对某冷饮销售的影响，对出售的冷饮杯数 y（杯）和当天最高
气温 x（ C ）的数据进行了统计，得到了回归直线方程 yˆ 1.04x 12 ．据此预测：
共 3 种.···························································································5 分
因此，所抽取的 2 位幸运顾客都来自2，3 组的概率 P(C) 3 1 . ···········6 分
=405.
答：修建这个广场共需要用 405 块扇环形石板.····················································6 分
解法二：依题意，广场从第 1 圈到第 9 圈所需的石板数依次为 9，18，27，…，81. ······················································································3 分 第 1 圈到第 9 圈的石板数之和
S9 9 18 27 81 ··················································································4 分
99 81 ····························································································5 分
2019年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学试题(含答案)
2019年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学(全卷满分100分，考试时间120分钟)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上，2．考生作答时，请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)，在本试题上作答无效．一、选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知集合A={1，2}，B={2，3}，则图中阴影部分所表示的集合为A．{2}B．{0}C．{1，2}D．{2，3}2．己知i是虚数单位，则(1+i)+(2+2i)=A．1+i B．2+2i C．3+3i D．5+6i3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是A．长方体B．圆锥C．棱台D．棱锥4．设a，b为非零向量，则3(2a+b)=A．6a+3b B．6a C．3b D．4a+3b5．执行如图所示的程序框图，当输入x的值为1时，则输出y的值为A．1B．2C．3D．46．欧拉(L．E uler，1707－1783) 是明确提出弧度制思想的瑞士数学家，他提出一个圆周角等于2n 弧度．由此可知，x弧度等于A．360°B．180°C．60°D．30°7．已知向量a=(1，2)，b=(3，0)，则a+b=A．(4，0) B．(0，2) C．(4，2) D．(3，2)8．椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(－1，0)，则右焦点F2的坐标是A．(1，2) B．(－2，1) C．(－2，0) D．(1，0)9．某校为了解高二年级教学情况，用系统抽样法从编号为000，001，…，499的500名学生中抽取一个容量为50的样本．已知编号004，014，024在样本中，则下列编号在样本中的是A．010 B．020 C．034 D．04310．体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“转体720度”是转体A．1周B．2周C．3周D．4周11．在平面直角坐标系中，抛物线y²=4x的大致图象是A B C D12．己知圆柱OO1及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的侧面积为A．6πB．7πC．8πD．9π13．2sin30°cos30°的值为A．2 B．32C．22D．1214．log28=A．0 B．1 C．2 D．3 15．偶函数的图象关于y轴对称．下列图象中，可以表示偶函数的是A B C D。
2023—2024学年广西壮族自治区高二上学期新高考10月月考测试数学试题(含答案)
2023-2024学年广西壮族自治区高二上册新高考10月月考测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}24A x x =≤<，集合{}2320B x x x =-+<，则A B ⋃=（）A.∅B.{}12x x << C.{}24x x ≤< D.{}14x x <<【正确答案】D【分析】将集合A 、B 化简，再根据并集的运算求解即可.【详解】∵集合{}24A x x =≤<，集合{}{}232012B x x x x x =-+<=<<，∴{}14A B x x ⋃=<<．故选：D.2.已知复数3i1iz +=+，则z =（）A.B.C.3D.5【正确答案】B【分析】按照复数的除法运算求出复数z 的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】()()()()23i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 22z +-+-+--=====-++-.z ∴.故选：B.3.已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（）A.a b c >> B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【正确答案】D【分析】由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D4.已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】当1a =-时，根据斜率的乘积等于1-可得12l l ⊥；当12l l ⊥时，根据()()2120-⨯+-=a a a 求出a ，再根据必要不充分条件的概念可得答案.【详解】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =，所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件．故选：B ．5.已知4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，则向量b 在a 方向上的投影向量为（）A.38a- B.38b- C.38a D.38b 【正确答案】A【分析】利用平面向量数量积的几何意义进行求解.【详解】因为4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，所以向量b 在a方向上的投影向量为63448a b a a a aa ⋅-⋅=⋅=-⨯.故选：A.6.已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是A.3(,4),2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B.34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D.34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交，则A 、B 在直线的异侧或在直线上，则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ．本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．7.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A.79-B.79 C.29-D.29【正确答案】A【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A8.已知三棱锥-P ABC 的顶点都在球O 的球面上，,AB AC BC PB ⊥=⊥平面ABC ，若球O 的体积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）A.3B.5C.3D.83【正确答案】A【分析】将三棱锥-P ABC 放入长方体内，得到PC 为球直径，由基本不等式求出4AB AC ⨯≤，从而求出三棱锥的体积的最大值.【详解】因为,AB AC BC ⊥=ABC 为等腰直角三角形，又PB ⊥平面ABC ，所以PB 为三棱锥-P ABC 的高，则可将三棱锥-P ABC 放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，34π36π32PC V ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，解得6PC =，又6PC ===，解得PB =2222BC AB AC AB AC =+≥⨯，所以4AB AC ⨯≤所以三棱锥的体积11323V AB AC =⨯⨯⨯⨯≤，故选：A解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为32【正确答案】AC【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.【详解】对于选项A ,个体m 被抽到的概率为50.150=，故该选项正确；对于选项B ，126745m ++++=，解得4m =，则方差为()()()()()2222221=1424446474 5.25S ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故该选项错误；对于选项C ,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，由于870⨯% 5.6=，其中第6个数为23，故该选项正确；对于选项D ,设数据1x ，2x ，…，10x 的均值为x ，则数据121x -，221x -，…，1021x -的均值为21x -，因为数据1x ，2x ，…，10x8=，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16==，故该选项错误；故选：AC.10.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 为直角三角形B.若sin cos a b C c B =+，则π4C ∠=C.若12,10,60a b B ===︒，则符合条件的ABC 有两个D.在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立【正确答案】BD【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐个判断即可.【详解】对于A ：sin 2sin 2A B =，所以22A B =或者22πA B +=，即A B =或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或者直角三角形，A 错误；对于B ：sin cos sin sin sin sin cos a b C c B A B C C B =+⇒=+，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，代入可得sin sin sin cos B C B C =，所以sin cos C C =，所以π4C =，B 正确；对于C ：由正弦定理可得sinsin a bA B=，代入可得12sin 1sin A A =⇒=，所以符合条件的三角形没有，C 错误；对于D ：ABC 是锐角三角形，所以222222cos 002b c a A b c a bc+-=>⇒+->，D 正确，故选：BD11.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D.若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12π3cos cos 62x x +==，故D 错误．故选：AB ．12.已知222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩，若存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，则下列结论错误的有（）A.实数m 的取值范围为[]1,2B.31e x <≤C.122x x +=-D.12x x 的最大值为1【正确答案】AD【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数m 的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.【详解】由函数222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩可知其图象如下图所示，又因为存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，所以函数()f x 与y m =有三个不同的交点，根据图象可知(]1,2m ∈，故A 错误；根据函数图像可知30x >，所以(]31ln 1,2x m +=∈得30ln 1x ≤<，即31e x <≤，故B 正确；显然120x x <<，且关于=1x -对称，所以122x x +=-，故C 正确；因为120x x <<，且122x x +=-，所以12()2x x -+-=，2121212()()()12x x x x x x -+-⎛⎫=--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==-时，等号成立；又因为12x x <，所以121x x <，故D 错误；故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1P 在直线410(0)ax by ab +-=>上，则11a b+的最小值为______．【正确答案】9【分析】先由题意得41a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】根据点在线上，得到410a b +-=，则41a b +=，又0ab >，故11114()(4)5549.b a a b a b a b a b+=++=++≥+=当且仅当4b a a b =，即123a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值为9．故9.14.已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________.【正确答案】(0,1)【分析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增,所以|2|11x -<,解得01x <<,所以x 的取值范围是(0,1).故答案为(0,1).本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.15.在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【正确答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +===+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b=由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C == ，解得：62sin 4B +=，2sin 2C=，因为1>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故2．本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM⊥，则PBC △的面积的最小值是________．【正确答案】510【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则点()1,,,[01]P y z y z ∈、，，()10,0,1D 所以()11,,1D P y z =- ，因为()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，因为1D P CM ⊥ ，所以()11102y z -+-=，所以21z y =-，因为()1,1,0B ，所以()0,1,21BP y y =-- ，所以()()222121562BP y y y y =-+-=-+，因为01y ≤≤，所以当35y =时，min 55BP =，因为正方体中，BC ⊥平面11,ABB A BP ⊂平面11ABB A ，故BC BP ⊥，所以()min 155=1=2510PBC S ⨯⨯ .故答案为.510四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()2,1P .（1）若直线l 与3240x y -+=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【正确答案】（1）2370x y +-=；（2）20x y -=或30x y +-=.【分析】（1）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可；（2）根据直线的截距是否为零分类讨论求解即可.【小问1详解】直线3240x y -+=的斜率为32，与直线3240x y -+=垂直的直线的斜率为23-，过点P 且与直线3240x y -+=垂直的直线的方程为()2123y x -=--，即2370x y +-=.【小问2详解】分两种情况讨论：①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为y kx =，将点P 的坐标代入该直线方程得21k =，解得12k =，此时，所求直线的方程为20x y -=；②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为1x y a a +=，即x y a +=，将点P 的坐标代入该直线方程得213a =+=，此时，所求直线的方程为30x y +-=综上所述，所求直线的方程为20x y -=或30x y +-=.18.如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC = ，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，（1）用a ，b ，c 表示EF；（2）求向量OA 与向量EF 所成角的余弦值.【正确答案】（1）112223a b c --+ （2）51938-【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；（2）计算22112223EF a b c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 的值即可得EF ，再计算OA EF ⋅ 的值，由空间向量夹角公式即可求解.【小问1详解】因为OA a = ，OB b = ，OC c =，所以()2111232223EF OF OE OC OA OB a b c =-=-+=--+ .【小问2详解】因为空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，所以四面体OABC 是正四面体，2a b c === ，且a ，b ，c 间的夹角为π3，所以22cos602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，2112112223223EF a b c a b OA a a c a ⎛⎫=--+=-⋅⋅⋅⋅-+ ⎪⎝⎭ 211252222233=-⨯-⨯+⨯=-，22222112114122223449233EF a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 222114122192222224492339=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=，所以193EF =，所以5,3cos 38193OA EF OA EF OA EF -===-⋅⨯ ，所以向量OA 与向量EF 所成角的余弦值为51938-.19.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求a 的取值范围.【正确答案】（1）3π（2）【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B 的大小，（2）由（1）可得23A CB π+=π-=，由正弦定理可得312cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===+，然后由ABC 为锐角三角形求出角C 的范围，再利用正切函数的性质可求得结果【小问1详解】因为()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-，所以由正弦定理可得()()()a b a b a c c +-=-，化简得222a c b ac +-=，所以由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为(0,)B π∈，所以3B π=【小问2详解】因为3B π=，所以23A C B π+=π-=,由正弦定理得，sin sin a c A C =，所以12cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===，因为ABC 为锐角三角形，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以3tan 3C >，所以30tan C <<3tan C<+<，a <<，即a 的取值范围为20.某省将实行“312++”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a 的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的平均数；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[)40,50和[)50,60内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的概率．【正确答案】（1）0.03a =，平均数为71.（2）74（3）35【分析】（1）由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1，可求出a ，进而可求出平均数.（2）由频率分布直方图结合B 等级及以上排名占比列方程即可得解．（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【小问1详解】()10.010.01520.0250.00510100.03a ⎡⎤=-+⨯++⨯÷=⎣⎦；平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由已知等级达到B 及以上所占排名等级占比为15%35%50%+=，假设原始分不少于x 分可以达到赋分后的B 等级及以上，由频率分布直方图知[)40,70占比()0.010.0152100.4+⨯⨯=，[]80,100占比()0.0050.025100.3+⨯=，所以7080x <<，且(0.0050.025)10(80)0.030.50x ⨯-=⨯++，解得73.3x ≈（分），所以原始分不少于74分才能达到赋分后的B 等级及以上．【小问3详解】由题知得分在[)40,50和[)50,60内的频率分别为0.1和0.15，由0.120.153=知抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，记为AB ,得分在[)50,60的有3人，记为cde ，则从5人中抽取两人的基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A c A d A e B c B d B e c d c e d e 共10种，这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A c A d A e B c B d B e ，共6种，故所求概率63105P ==.21.每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为45，35；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为p ，q .甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.（1）若58p =，求甲恰好胜出一轮的概率；（2）若甲、乙各胜出一轮的概率为950，甲、乙都获得优秀的概率为625.（i ）求p ，q ，的值；（ii ）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.【正确答案】（1）1740（2）（i ）23p =，34q =；（ii ）223300【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.（2）（i ）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出()P D 和()P E ，即可求解；（ii ）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解.【小问1详解】设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件1A ，“甲在第二轮竞赛中胜出”为事件2A ，“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件1B ，“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件2B ，则1A ，2A ，1B ，2B 相互独立，且()145P A =，()2P A p =，()135P B =，()2P B q =.设“甲恰好胜出一轮”为事件C ，则1212C A A A A =+，12A A ，12A A 互斥.当58p =时，()()()()12121212P A A A A P P C A A P A A +=+=()()()()1212P A P A P A P A =+431517585840=⨯+⨯=.所以当58p =，甲恰好胜出一轮的概率为1740.【小问2详解】由（1）知，（i ）记事件D 为“甲、乙各胜出一轮”，事件E 为“甲、乙都获得优秀”，所以()()12121212D A A A A B B B B =++，1122E A B A B =.因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，所以()()()12121212P P A A A A P B B B D B ⋅=++()()()()12121212A A A A B P P P B B P B ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()12121212P A P A P A P A P B P B P B P B ⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()4132911555550p p q q ⎡⎤⎡⎤=-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()()()()()112211224365525P E P A B A B P A P B P A P B p q ===⨯=，则2481869012q p pq pq --+-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2334p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1332p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）.综上，23p =，34q =.（ii ）设事件G 为“甲获得优秀”，事件H 为“乙获得优秀”，于是G H ⋃=“两人中至少有一人获得优秀”，且()()12815P G P A A ==，()()12920P H P B B ==，所以()()87111515P G P G =-=-=，()()911112020P H P H =-=-=，所以()()()()7112231111520300P G H P GH P G P H ⋃=-=-=-⨯=.故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为223300.22.已知四棱锥E —ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，△ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ= (0＜λ≤1)，且使平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13．若存在，求出λ的值，否则请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13.【分析】（1）取AB 的中点G ，连接DG ，证明ABD △是直角三角形，得AD BD ⊥，从而由面面垂直的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；（2）取AD 的中点H ,连接EH ，证明EH ⊥平面ABCD ，以,DA DB 为,x y 轴，过D 平行于EH 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向量法求二面角的余弦值，由已知求得λ，说明存在．【详解】（1）取AB 的中点G ，连接DG ,1,//2BG AB CD BG CD == ,∴四边形BCDG 是平行四边形，2DG BC AG AD ====,ADG ∴ 为等边三角形，1,2DG AB ABD =∴△是直角三角形，AD BD ∴⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE 平面ABCD ,BD ∴⊥平面ADE ,AE ⊂平面ADE ,AE BD∴⊥（2）F 为EB 中点即可满足条件.取AD 的中点H ,连接EH ，则EH AD ⊥，取AD 的中点H ,连接EH ,平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ⊂平面EAD ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH BD ==如图建立空间直角坐标系D xyz -,则()()()()(0,0,0,2,0,0,0,,,1,0D A B C E -,则()()(()2,0,0,,1,,,,,CB EB EF E D B A λλ===-==-()1,,DF λ=- 设平面ADF 的法向量为111(,,)m x y z = ，平面BCE 的法向量为222(,,)n x y z = ．由00DF m DA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得())11111020x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取()0,12m λλ=- ，；由00CB n EB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222200x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取()n = ．于是，|65|cos ,|13m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ．解得1=2λ或1=-3λ（舍去）方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为13.。