上海交通大学大学概率论与数理统计教学PPT7
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概率论与数理统计ppt课件 完整版
P(AB)P(A)P(B)P(A)B.
推广 P (A B C )P(A )P(B )P(C) P(A)B P(A)C P(B)C P(AB ).C
n
P (A 1 A 2 A n ) P(A i ) P(A i A j )
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB) P(A)
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SA
k 1
K
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
(2A )B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法： 先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算 P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
证明 对偶律.
13
例.事件 A、B、C两两互不相 则容 有，
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
概率论与数理统计课件最新完整版
时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
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概率论与数理统计课件最新完整版
概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。
概率论与数理统计 - 上海交通大学数学系
when a life insurance company sells a life insurance policy to a person, the insurance company must determine the fair amount of premium this new customer must pay for next year. How much should the fair amount of premium be? Graunt and Halley first applied probability to this problem. When the insurance company determines the premium of a customer, the insurance company must know how likely, or in mathematical terms, what is the probability of , a male in his 40s will die within one year. In other words, the insurance company must know the distribution of the probability of death, known as a mortality table in life insurance. The foundation for mortality determinations was laid by John Graunt and Edmund Halley in the late seventeen century.
Probability can be viewed as a study of the likelihood of a possible outcome to occur in an experiment. An experiment usually means an act such that there is uncertainty about the outcomes after it is performed. A typical example of an experiment is the act of observing the number of dots on the top face of a die upon rolling it. The mathematical counterpart of an experiment is usually called a sample space. The potential outcomes of a probabilistic experiment are called events.
Probability can be viewed as a study of the likelihood of a possible outcome to occur in an experiment. An experiment usually means an act such that there is uncertainty about the outcomes after it is performed. A typical example of an experiment is the act of observing the number of dots on the top face of a die upon rolling it. The mathematical counterpart of an experiment is usually called a sample space. The potential outcomes of a probabilistic experiment are called events.
上海交通大学概率统计课件参数估计
解 由于 E (X)ab,D (X)(ba)2
2
12
E (X 2 ) D (X ) E 2 (X )(ba)2 12
a2b2
令
aˆ bˆ X
2
(bˆ1aˆ2)2aˆ2bˆ2A21nin1Xi2
15
7-16
解得
aˆ矩X 3(A2X2)
X
3 n
n i1
(Xi
X)2
,
b ˆ矩X3(A2X2)
样本
X1,
X2,…,
Xn
的
r
阶矩为
Ar
1 n
n i1
Xir
令
r(1,2, ,k)
1 n
n i1
Xir
r1,2, ,k
—— 含未知参数 1,2, ,k 的方程组
11
7-12
解方程组 , 得 k 个统计量：
ˆ1 ( X 1 , X 2 , , X n ) ˆk ( X 1 , X 2 , , X n )
设X 的密度(或分布)为 f(x,1, ,k)
则定义似然函数为
L(x1, ,xn;1, ,k)
n
L(1, ,k) f(xi,1, ,k) i1
xi ,i 1 ,2 , ,n (1, ,k) 23
7-24
若 L(x1, ,xn;1, ,k)关于1, …, k可微,则称
rL (x1,x2, ,xn;1,2, ,k)0 r1,2, ,k
称这样得到的 ˆg(x1,x2, ,xn)
为参数 的极大似然估计值 简记
称统计量
g (X 1 ,X 2 , ,X n )
ˆmle
为参数 的极大似然估计量 简记 ˆMLE
22
7-23
概率论与数理统计ppt课件
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能的,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非 零的,有限的几何度量,即0 m() ,则称这一随机 试验是一几何概型的.
19
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
(2) P() 1, P() 0;
(3) 对于两两互斥的可列多个事件A1, A2 ,, P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
23
三. 统计定义:
(一) 频率
1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次
数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
性质4. 对任一事件A, P(A) 1.
性质5. 对任一事件A, P(A) 1 P(A).
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y•
1
f Y (y) = 0
0 • y
y sin x(0 x )
1 y
当0 y < 1 时
arcsin y
0
arcsiny - arcsiny
FY ( y ) p(Y Leabharlann y ) 故0
2x
2
dx
arcsin y
2x
2
dx
2 , 0 y1 fY ( y ) 1 y 2 0, 其他
2
1 2 | a |
e
2 y ( b a )
2( |a|)2
Y ~ N ( a +b,a22)
则
y
特别地 ，若 X ~ N ( , 2) ,
重要结论：正态分布的线性函数仍然是正态分布.
Y
X
~ N (0,1)
定理 :
设随机变量 X 具有概率密度函数 f X(x) ( < x< + ),
k : g ( x k ) yi
pk ,
i 1,2,
例(p87 47题) 已知 X 的概率分布为
P( X k
2
) pq k ,
k 0,1,2,
其中 p + q = 1, 0 < p < 1, 求 Y = Sin X 的概率分布
解
P (Y 0) P ( X 2m ) 2 m 0 p 2m pq 2 1 q m 0
g (x) 为 ( ，+ ), 内的严格单调的可导函数，则
随机变量 Y = g (X) 的概率密度为：
h( y ) f X h( y ) y fY ( y ) 0 otherwise min g( ), g( ) , 其中 h(y) 是 g (x) 的反函数，
§2.4 随机变量函数的分布
问题：已知随机变量 X 的概率特性: 分布函数 或密度函数（分布律）
Y=g(X)
求 Y 的概率特性
方法：将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件
1 离散型随机变量函数的分布
例 已知 X 的概率分布为
X pk
-1
1 8
0
1 8
1
1 4
2
1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解
0, P ( X F 1 ( y )) F F 1 ( y ) , 1, y 0, 0, y, 0 y1 1, y1 y 0, 0 y1 y1
可用于Monte-Carlo 仿真
作业 P 83 习题二
45、46、50、52
2 连续性随机变量函数的分布
已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函数) 求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数
方法： 基本要求
从分布函数出发
从密度函数出发
不要求
例 已知 X 密度函数为 解
f X ( x ), Y aX b, a , b
为常数，且 a 0, 求 f Y ( y )
Y1 pi
-3
1 8
-1
1 8 1 4
1
1 2
3
1 离散型随机变量函数的分布 设随机变量 X 的分布律为
P ( X xk ) pk ,
k 1,2,
由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y (= g ( X )) 的所有可能取值，以及取这些值的概率， 则 Y 的概率分布为
P (Y yi )
, 0 x2 例如：X ~ U (0,2) f X ( x) 2 其他 0, x 0 0, g( x ) x , 0 x 1 令 Y = g( X ) 1, x 1
0, y FY ( y ) , p(Y y ) 2 1, y 0, 0 y1 y1
故
1 1 fY ( y ) f X ( y b) |a| a
例如，设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
1 1 fY ( y ) f X ( y b) |a| a
1 2 | a | e
( y b a ) 2 a 2 2
注：连续型随机变量的函数不一定是 连续型随机变量 1
FY ( y )
1 y
FY (y)不是连续函数，在 y = 1 处间断。
例（了解） 若 X 的分布函数F(x)为严格单调递增 的连续函数, 求Y= F(X)的分布函数 FY ( y )
FY ( y ) p(Y y ) p( F ( X ) y )
当a < 0 时，
1 1 FY ( y ) P X ( y b) 1 FX ( y b ) a a 1 1 fY ( y ) f X ( y b ) a a
1 1 总之 a f X a ( y b) a 0 fY ( y ) 1 f 1 ( y b) a 0 X a a
2x 2 , 0 x f X ( x) 其他 0, 求 Y sin X 的概率密度函数
解 由图可知， 当y 0时，FY(y) = p(Y y) = 0 当y 1 时， FY( y) = p(Y y) = 1 故当 y 0 或 y 1时
y sin x(0 x )
max g ( ), g ( ) .
例如： g (x)= arctan x
2 sec y f X tan( y ) y fY ( y ) 2 2 0 otherwise
g (x)= arc ctan x 呢？
例
设 X 的概率密度函数为
47, 48,51,53 选作
FY ( y ) P (Y y )
P (aX b y )
当a > 0 时，
1 FY ( y ) P X ( y b ) a 1 FX ( y b ) a 1 1 fY ( y ) f X ( y b ) a a