6.圆轴扭转

故AB段是安全的。 （2）校核BC段的强度 由强度条件
max
TBC 1.8 103 WP 0.05 3 /16
73.4 106 Pa 73.4MPa
故BC段的强度不够。所以阶梯轴的强度不够。
§6–3 圆轴扭转时的变形与 刚度计算
一、扭转时的变形 d T 由公式 dx GI p
G
d d G dx dx
代入上式得： G G
dA

d G dx
O
（3） 静力学关系：
T A dA A G 2 G d dA dx
d T dx GI p
则

T Ip
T
max
( 0/m )
180 ② 设计截面尺寸： I p G[ ]
③ 计算许可载荷： T
max

GI p [ ] 180
§6.3
圆轴扭转时的变形与刚度计算
【例1】 传动轴所受外力偶如图，轴材料的切变模量 G
=80GPa ，直径d=40mm。试计算该轴的总转角 AC 。
解 1.截面法求内力矩
6.37KN – 4.78KN – 9.56KN x
T3 m4 0 , T2 m4 6.37kN m
③绘制扭矩图
T max 9.56 kN m
BC段为危险截面。
§6.2
圆轴扭转时的应力与强度计算
一、切应力互等定理 剪切胡克定律 薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
故

c z

d t

上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪
应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面
的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
4、剪切胡克定律：
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，
因 无量纲，故G的量纲与 相同，
m2
m3
m1 n
m4
P 500 1 m1 9549 9549 n 300 15.9(kN m)
A
B
C
D
P2 150 m2 m3 9549 9549 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9549 9549 6.37 (kN m) n 300
(D4 d 4 )
d ( ) D
④ 应力分布
（实心截面）
工程上采用空心截面构件：
（空心截面）
提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大剪应力： 由
T Ip
知：当
d R , max 2

max
max
d T 2 T T (令 W I d ) p d WP 2 Ip Ip 2 T max Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 WP
GIp反映截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
三、刚度条件
max Tmax GI p
max max (/m) (rad/m) 或 GI p T 180
[ ]称为许用单位扭转角。 刚度计算的三方面： ① 校核刚度：
max
max
Tmax [ ] Wp
实： D 3 16 3 Wp D 4 1 空： 16（ ）
Tmax ② 设计截面尺寸： W p [ ]
③ 计算许可载荷： Tmax Wp [ ]
[例1]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
T2 M A M B 270 199 75N m
3. 画扭矩图
最大力偶矩发生在AB段，
Tmax 274N m
[例2]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。 m m 解：①求扭矩及扭矩图
A T
B D3 =135
C D2=75 D1=70
TBC
m
pk m 9549 n 150 9549 15.4 60 1550( N m)
x
T 1550 ②计算并校核剪应力强度 23MPa [ ] max 3 Wp 0.07 16 ③此轴满足强度要求。
②求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0 T1 m2 4.78kN m
T2 m2 m3 0 , T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
m2 1 m3 2 m1 3 m4 A 1B 2C n 3D
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。 A B O A Me

O B Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
二、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P m 9549 (N m) n
—横截面上任一点剪应力计算公式。
T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
d A 2dA dx
2
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
令 I p A dA
T GI p d dx
I p A 2dA
单位：mm4，m4。
I p A 2dA
（2） 轴向无伸缩；
（3） 纵向线变形后仍为平行。
2、等直圆杆扭转时横截面上的应力： （1） 变形几何关系：
G1G d tg dx dx
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
（2） 物理关系： 胡克定律：
d
d
O
D
d
O
D
对于实心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
对于空心圆截面： I p A 2 dA
2 2 d
D 2 d 2

D 4
32
32 D 4 (1 4 ) 32
同理可得
M B 199N m
2.计算扭矩
M C 75N m
将轴分为 AB, BC 两段计算扭矩。
§6.1
圆轴扭转的概念与实例
扭矩与扭矩图
AB 段（图6.6b）
M
x
0
T1 M A 0
T1 M A 274N m
对于 BC段（图6.6c）
M
x
0
T2 M A M B 0
例1 如图示，一传动系统的主轴ABC的转速 n 960r/min，
输入功率 PA 27.5kW ，输出功率 PB 20kW ，PC 7.5kW 。
试画出ABC轴的扭矩图。
解 1.计算外力偶矩
27.5 M A 9549 Ν m 274N m 960
1、实验：
（1）实验前：
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
（2）实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
（3）结论： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，
只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 2、薄壁圆筒剪应力 大小：
d 0l T dx GI p
Tl (若T 值不变） GI p
得：
若在长度内扭矩有变化轴直径不
同，先分段计算各段扭转角，再求 代数和。
二、单位扭转角 ：
d T dx GI p (rad/m)
或
d T 180 dx GI p (/m)
第六章
§6–1 §6.2
圆轴扭转
圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图 圆轴扭转时的应力与强度计算
§6.3
圆轴扭转时的变形与刚度计算
§6–1 圆轴扭转的概念与实例 一、概念与实例
1. 丝锥杆发生扭转变形。
扭矩与扭矩图
2. 方向盘操纵杆
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。
如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
TAB 1.8kN m
2.绘扭矩图，如图6.13b所示。 3.由于AB，BC段的扭矩、直径 不相同，危险截面的位置不能确 定，故分别校核。 （1）校核AB段的强度 由强度条件
§6.2
圆轴扭转时的应力与强度计算
TAB 5 103 max WP 0.083 / 16 49.7 106 Pa 49.7MP a
不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
E G 2(1 )
二、圆轴扭转横截面上的应力
①变形几何关系 等直圆杆横截面应力
②物理关系
③静力学方程
1、等直圆杆扭转实验观察： （1）横截面变形后仍为平面；
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
A0：平均半径所作圆的面积。


3、剪应力互等定理：
mz 0
a dy