(竞赛辅导)奥林匹克数学的技巧(1)
数学奥数竞赛技巧
数学奥数竞赛技巧数学奥数竞赛是对学生数学能力的高水平考察，需要灵活应用各种数学知识和技巧。
在这篇文章中，我们将探讨一些提高数学奥数竞赛技巧的方法。
一、准备阶段在参加数学奥数竞赛前，有一些准备工作是必不可少的。
首先，要熟悉不同类型的数学题目，包括几何、代数、概率等。
其次，要了解竞赛的考点和题型分布，重点复习重要知识点。
最后，要解决大量的真题和模拟试卷，以提高做题速度和准确性。
二、思维方式数学奥数竞赛强调的是逻辑思维和推理能力。
因此，在解决题目时，要采用一种逻辑严谨的方式。
首先，要仔细阅读题目，理解问题的要求。
然后，要学会抽象问题，将其转化为数学模型，用所学知识进行分析和解决。
最后，要善于发现问题中的隐藏条件，进行合理的推理和推导。
三、速算技巧数学奥数竞赛的时间限制较短，需要快速而准确地解决问题。
因此，学会一些速算技巧是很有帮助的。
例如，学会使用近似值进行计算，熟练掌握口算乘法口诀等。
此外，还可以通过分解、合并、逆向思维等方法简化复杂的计算过程。
四、几何图形分析几何是数学奥数竞赛中的一个重要考点。
在解决几何题目时，要熟悉基本几何图形的性质和公式。
此外，要学会分析和比较不同几何图形的特征，应用相似性、对称性等几何概念进行推理。
通过多做几何题目，加强对几何图形的认识和理解。
五、数学知识的拓展数学奥数竞赛不仅考查基础的数学知识，还需要拓展和应用。
因此，在日常学习中，要多读数学方面的书籍和资料，了解一些拓展的数学知识。
同时，要不断思考数学问题，并进行创新性的思考和解决。
通过自主学习和探索，拓展自己的数学思维和能力。
六、小结数学奥数竞赛技巧的提高需要长期的努力和积累。
在参加竞赛前，要进行充分的准备，熟悉题型和考点。
在解题时，要灵活运用数学知识，合理推理和分析。
同时，要学会一些速算技巧和几何分析方法。
此外，还要持续拓展数学知识和思维，提高自己的数学能力。
相信通过不断的练习和努力，你一定能取得好成绩！。
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
数学奥数竞赛技巧(进阶)
数学奥数竞赛技巧（进阶）数学奥数竞赛是每年举行的一项重要活动，它考察参赛者在数学领域的深度理解和解决问题的能力。
在上一篇文章中，我们介绍了一些基础的竞赛技巧。
而在本文中，我们将进一步探讨一些更加高级的技巧，帮助你在竞赛中取得更好的成绩。
一、策略性思考在数学竞赛中，时间是非常宝贵的资源。
因此，你需要学会如何高效地利用时间并制定策略来解决问题。
以下是一些可以帮助你提高思考效率的技巧：1. 阅读题目：在开始思考之前，认真阅读题目，并确保你完全理解了问题的要求。
标记出关键信息和条件，有助于你快速找到解决问题的路径。
2. 制定计划：根据题目的难度和分值，制定一个解决问题的计划。
如果有多个问题需要回答，可以优先解决较简单的题目，然后再着手解决更复杂的问题。
3. 利用图表：对于一些几何题目或需要整理数据的问题，你可以绘制图表来更好地理解问题。
画出图形或制作表格，有助于你观察和发现问题中隐藏的规律。
二、数学思维的培养数学奥数竞赛需要更高层次的数学思维能力。
以下是一些培养数学思维的方法：1. 推理和证明：在解决问题时，不仅仅要给出答案，还要学会推理和证明。
通过列举反例、使用归纳法或逆否命题等方法，来推导出问题的解答步骤。
这样可以有效地加深你对数学原理的理解。
2. 抽象和泛化：将数学问题抽象成一般性的形式，通过泛化解决具体问题。
你可以通过改变问题中的关键参数或条件，从而更好地理解问题的本质。
三、解题技巧除了以上的思维方法，还有一些解题技巧可以帮助你提高竞赛成绩：1. 借鉴经验：参考以往的竞赛题目，总结其中的解题技巧和模式。
很多题目在出题的思路上有相似之处，通过学习和练习，你可以更好地应对各种类型的问题。
2. 利用等式变换和化简：在解决问题时，利用等式变换和化简能够简化计算过程，减少出错的机会。
熟练掌握这些技巧，将极大提高你解题的效率。
3. 多练习：参加数学竞赛需要不断地进行练习。
多做一些难度较高的题目，挑战自己的思维极限。
数学奥数竞赛技巧(专业水平)
数学奥数竞赛技巧（专业水平）数学奥数竞赛是一个精彩且具有挑战性的比赛，要在这个竞争激烈的领域中取得成功，需要一些专业水平的技巧。
本文将向读者介绍一些在数学奥数竞赛中常用的技巧和方法，以帮助读者在比赛中取得理想的成绩。
一、掌握基础知识在参加数学奥数竞赛之前，一个人首先要确保自己已经掌握了必要的基础知识。
这包括数学的各个分支，如代数、几何、概率与统计等。
熟练掌握基础知识可以为解题提供良好的基础，使得解题的过程更加得心应手。
二、扩展数学思维在解决奥数竞赛问题的过程中，创造性思维是非常重要的。
除了基础知识，还要培养自己的数学思维能力，灵活运用数学原理，探索问题背后的本质。
这种扩展数学思维的能力可以通过做更多的练习题和参加奥数竞赛的模拟考试来逐渐培养和提升。
三、高效解题技巧在奥数竞赛中，时间是一项宝贵的资源，所以高效解题技巧是至关重要的。
以下是一些解题技巧的示例：1. 读题仔细：在开始解题之前，要仔细读题并理解题意。
理解题目的关键条件和要求，有助于找到解题的思路和方法。
2. 寻找规律：问题的解决往往隐藏在数字和符号背后的规律中。
通过观察、列举和整理数据，可以发现问题中的规律，从而更快地找到解决方法。
3. 划分步骤：对于复杂的问题，可以将整个问题划分为几个步骤来解决。
逐步分解问题，从简单到复杂地解决每个步骤，最终得出整个问题的解答。
4. 利用已知条件：题目通常会提供一些已知条件，利用这些已知条件是解题的关键。
将已知条件与问题要求进行对比，寻找它们之间的联系和关联，这可以为解题提供有价值的线索。
四、合理备战参加数学奥数竞赛需要充分备战。
以下是一些备战的建议：1. 练习题目：通过做大量的数学题目来提升自己的解题能力。
可以选择一些经典的奥数竞赛题目进行练习，熟悉解题思路和方法。
2. 参加竞赛模拟考试：参加竞赛模拟考试能够帮助评估自己的解题能力和时间管理能力。
通过模拟考试，可以找出自己的短板，并加以改进。
3. 学习他人经验：可以向已经取得优异成绩的选手请教，学习他们的解题思路和备考经验。
数学奥林匹克竞赛的备考指导
数学奥林匹克竞赛的备考指导数学奥林匹克竞赛作为一项世界范围内备受瞩目的数学竞赛，对于参赛者来说，备考是十分重要的。
本文将为大家提供一些备考指导，以帮助参赛者更好地应对数学奥林匹克竞赛。
1. 了解竞赛要求首先，了解竞赛的要求是备考的第一步。
参赛者应仔细研读竞赛规则和考试大纲，了解各个年级的题型和知识点要求。
只有对考试内容有一个清晰的认识，才能有针对性地备考。
2. 系统学习数学知识数学奥林匹克竞赛注重对数学的深度挖掘和灵活运用，因此系统学习数学知识是备考过程中的重点。
参赛者应从基础知识入手，逐步扩展自己的数学知识面。
在学习的过程中，可以参考一些经典的数学教材，如《高等数学》、《数学分析》等，逐步提升自己的数学素养和解题能力。
同时，可以通过参加一些数学讲座、学术交流等活动，拓宽自己的数学视野。
3. 解析题目和分析解题思路在备考过程中，解析题目并分析解题思路是非常重要的。
数学奥林匹克竞赛往往给出一些复杂的问题，需要参赛者通过深入思考和灵活运用知识来解决。
解析题目的过程可以分为两个步骤：首先，仔细阅读题目，理解题意和条件；其次，分析解题思路，思考如何运用已学的数学知识和方法解决问题。
4. 刻意练习和模拟考试备考过程中，刻意练习和模拟考试也是必不可少的环节。
通过大量的练习题和模拟试题，可以帮助参赛者熟悉真实考试环境，提高解题速度和应试能力。
可以选择一些数学竞赛辅导材料，如《奥数竞赛辅导书籍》、《奥数竞赛模拟试题集》等，进行有针对性的练习和模拟考试。
5. 多参加竞赛和交流参加数学竞赛和与他人进行交流也是备考的一部分。
通过参赛，可以提高自己在解决问题时的思维方式和应对压力的能力。
与他人交流可以互相学习和分享解题思路，帮助自己更好地理解和应用数学知识。
可以加入一些数学竞赛的交流群组，参加一些数学竞赛的讨论活动，与其他热爱数学的人共同成长。
6. 培养良好的解题习惯和思维方式备考数学奥林匹克竞赛需要养成一套良好的解题习惯和思维方式。
探索中学数学奥林匹克竞赛的五大技巧
探索中学数学奥林匹克竞赛的五大技巧数学奥林匹克竞赛是一项全球性的数学竞赛，旨在培养中学生的数学思维、创造力和解决问题的能力。
参加数学奥林匹克竞赛可以为学生提供一个发展潜力和展示才华的平台。
然而，这项竞赛对学生的数学能力提出了更高的要求。
在探索中学数学奥林匹克竞赛的过程中，以下是五大技巧，将帮助学生更好地应对挑战，提高比赛成绩。
一、深入理解数学基础要在数学奥林匹克竞赛中取得优异成绩，深入理解数学基础是必不可少的。
学生们应掌握扎实的数学知识，包括数论、代数、几何和组合数学等。
了解各个领域的基本概念和定理，并且能够熟练运用它们解决问题。
通过不断练习和思考，建立起与数学理论之间的联系，进而形成自己的解题思路。
二、灵活运用数学方法数学奥林匹克竞赛注重解题方法和思路的创新。
学生们应该学会灵活运用各种数学方法，不拘泥于传统的解题思路。
常见的数学方法包括数学归纳法、反证法、构造法和递推法等。
灵活运用这些方法，能够帮助学生从不同角度思考问题，发现一些与众不同的解决方法，从而增加在竞赛中取得好成绩的机会。
三、培养问题解决能力数学奥林匹克竞赛强调的不仅仅是数学知识的运用，更注重学生的问题解决能力。
学生们应该经常面对陌生的数学问题，并且要有勇气去尝试解决。
解题过程中，要学会分析问题、拆分问题、归纳问题的关键点，找到规律并逐步推导出结论。
通过不断锻炼问题解决能力，学生们能够在竞赛中从容应对各类难题，并迅速找到解决办法。
四、合理规划备考时间为了在数学奥林匹克竞赛中取得好成绩，学生们需要合理规划备考时间。
要有系统性地学习和练习，并将时间合理分配到各个知识点上。
定期进行模拟考试，查漏补缺，发现和弥补自己在某个领域的薄弱环节。
在备考期间，要关注数学奥林匹克竞赛的历年试题，熟悉题型和考点，增加对竞赛的了解和熟悉度。
五、参加团队合作训练参加团队合作训练是提高数学奥林匹克竞赛成绩的有效途径之一。
通过与队友共同探讨解题思路、分享解题方法和经验，能够不断开拓思路，提高解题效率。
奥数竞赛解题技巧
奥数竞赛解题技巧
以下是 9 条关于奥数竞赛解题技巧：
1. 嘿，要学会找关键信息呀！就像在森林里找宝藏的线索一样。
比如一道题说有几个小朋友分苹果，那人数和苹果数不就是关键嘛。
2. 哎呀，大胆去假设呀！比如说那道追及问题，咱就假设其中一个速度，就好解决多啦，你说是不是？
3. 记得灵活运用公式呀！公式就像是武器，要用对地方。
比如计算图形面积的公式，碰到相应图形就拿出来用呀。
4. 咋能忘了画图呢？这就好比给题目画一幅地图，一下子就清晰了。
像行程问题，画出路线，答案就容易找到啦。
5. 尝试多角度思考呀！别死磕一种方法，就像走迷宫，这条路不行就换条路嘛。
比如那道方程题，换个未知数试试呢？
6. 一定要细致呀！不能放过任何一个小细节，不然就像千里之堤毁于蚁穴。
那道计算的题，一个小数点可不能错哟。
7. 多积累一些特殊解法呀！这就像游戏里的隐藏技能。
比如特殊的图形规律，学会了可厉害啦。
8. 学会类推呀！看见一个题，想想以前做过的类似的，不就有思路了嘛。
那道找规律的题不就和以前做的很像嘛。
9. 心态要稳住呀！别急别慌，这可不是打仗。
就算遇到难题，咱也慢慢分析，肯定能找到办法的啦。
我的观点结论就是：掌握这些奥数竞赛解题技巧，就能在竞赛中更得心应手啦！。
数学奥赛训练与解题技巧
数学奥赛训练与解题技巧数学奥赛是许多学生争相参加的一项重要活动。
通过数学奥赛的训练，可以提高学生的数学水平和解题能力。
本文将介绍数学奥赛的训练方法和一些解题技巧，帮助读者更好地准备数学奥赛。
第一部分：数学奥赛训练方法1. 增加解题速度数学奥赛通常有时间限制，因此提高解题速度是十分重要的。
为了增加解题速度，学生可以多做一些习题，例如刷题或者参加数学竞赛。
刷题可以帮助学生熟悉各类题型，并掌握解题思路。
参加数学竞赛则可以提供一种模拟考试的环境，让学生适应有限的时间来解决问题。
2. 提高数学基础数学奥赛的题目往往涉及到高深的数学知识。
为了提高数学基础，学生需要加强对基础概念的掌握。
可以通过学习数学教材、参加数学班级或找到优秀的数学老师进行辅导来加强数学基础的学习。
3. 学会分析问题解决数学问题的第一步是正确地分析问题。
学生在训练中要注重思考问题的关键点和难点，以便能够合理地制定解题思路。
通过分析问题，学生可以更加清楚地理解题目的要求，从而更好地解决问题。
第二部分：数学奥赛解题技巧1. 学会做简化数学奥赛的题目有时会提供大量冗余信息，需要学生学会简化问题，找到问题的本质。
通过去掉无关信息，学生能够更快速地找到问题的解决方法。
2. 掌握解题模式数学奥赛的题目往往有一定的解题模式。
学生在训练中要积累和总结不同类型问题的解决方法，形成自己的解题模式库。
通过掌握解题模式，学生能更好地应对各类题目。
3. 多角度思考解题时，学生可以从不同的角度思考问题，寻找不同的解决路径。
有时，多角度的思考能够帮助学生发现题目中的规律或者突破口。
4. 注重细节和符号运算数学奥赛的题目通常有许多细节问题需要注意，比如符号运算和计算过程。
学生在解题过程中要注意书写规范，并且细心处理每一步的计算，以防出现低级错误。
第三部分：总结和展望数学奥赛的训练和解题是一个循序渐进的过程。
学生需通过不断的练习和总结，提高自己的数学水平和解题能力。
同时，数学奥赛也需要学生培养良好的心态，保持自信和冷静，以应对竞赛中的各种挑战。
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奥林匹克数学的技巧（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。
这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。
在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。
”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。
2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。
常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。
例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。
证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。
这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。
例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。
解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，则其面积为1∆=另方面2()()2sin x y y z ab C∆++==≥故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+()y x y z xz ++=时，()()x y y z ++取最小值2，如1,1x z y ==-时，()()2x y y z ++=。
2-7-2 映射它的基本形式是RMI 原理。
令R 表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像x ，令M 表示一种映射，通过它的作用把原像结构R 被映成映象关系结构R*，其中自然包含着未知原像x 的映象*x 。
如果有办法把*x 确定下来，则通过反演即逆映射1I M -=也就相应地把x 确定下来。
取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。
建立对应来解题，也属于这一技巧。
例2-129 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 。
解 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A 1，A 2，…，A 7和B 1，B 2，…B 7。
如果甲方获胜，设i A 获胜的场数是i x ，则07,17i x i ≤≤≤≤而且 1277x x x +++=… （*）容易证明以下两点：在甲方获生时，（i ）不同的比赛过程对应着方程（*）的不同非负整数解；（ii ）方程（*）的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：A 1胜B 1和B 2，B 3胜A 1，A 2和A 3，A 4胜B 3后负于B 4，A 5胜B 4，B 5和B 6但负于B 7，最后A 6胜B 7结束比赛。
故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程（*）的非负整数解的个数713C 。
解二 建立下面的对应；集合{}127,,A A A …,的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程，且这种对应也是一个一一对应。
例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是{}123456,,,,,A A A A A A 所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合{}127,,A A A …,的7-可重组合的个数7777113C C +-=。
例2-130 设()n p k 表示n 个元素中有k 个不动点的所有排列的种数。
求证0()!nnk kp k n ==∑ 证明 设{}12,,,n S a a a =…。
对S 的每个排列，将它对应向量12(,,)n e e e …,，其中每个{}0,1i e ∈，当排列中第i 个元素不动时，1i e =，否则为0。
于是()n p k 中所计数的任一排列所对应的向量都恰有k 个分量为1，所以!n 个排列所对应的那些向量中取值为1的分量的总数为1()nnk kp k =∑。
另一方面，对于每个i ，1i n ≤≤，使得第i 个元素不动的排列共有(1)!n -个，从而相应的n 维向量中，有(1)!n -个向量的第i 个分量为1。
所以，所有向量的取值为1的分量总数(1)!!n n n -=，从而得到1()!nnk kp k n ==∑ 例2-131 在圆周上给定21(3)n n -≥个点，从中任选n 个点染成黑色。
试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n 个给定的点。
证明 若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第1n -个点都是白点，因而，对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点。
这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有2n 个白点（包括重复计数）。
又因每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有n 个不同的白点，这与共有21n -个点矛盾，故知命题成立。
2-7-3 递推如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。
用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1),(2)f f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定。
（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程。
（3）解函数方程例2-132 整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。
试问有多少个这样的排列？解 通过建立递推关系来计算。
设所求的个数为n a ，则11a =（1）对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i --- (2)1。
而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。
1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+=…… （2） 由（1），（2）得 12n n a -=例2-133 设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且02421221352112321, 2,21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C == 证明 由,n n A B 的定义，容易得到1112,1,2n n n A A A A A +-=+==1112,1,2n n n B B B B B +-=+== 又因为121,2C C ==，且当2n m =时， 0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+……5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。
223296,IMO IMO --用无穷递降法求解也用到了这一技巧。
2-7-4 区分当“数学黑箱”过于复杂时，可以分割为若干个小黑箱逐一破译，即把具有共同性质的部分分为一类，形成数学上很有特色的方法——区分情况或分类，不会正确地分类就谈不上掌握数学。
有时候，也可以把一个问题分阶段排成一些小目标系列，使得一旦证明了前面的情况，便可用来证明后面的情况，称为爬坡式程序。
比如，解柯西函数方程就是将整数的情况归结为自然数的情况来解决，再将有理数的情况归结为整数的情况来解决，最后是实数的情况归结为有理数的情况来解决。
142IMO -的处理也体现了爬坡式的推理（例2-47）。
区分情况不仅分化了问题的难度，而且分类标准本身又附加了一个已知条件，所以，每一类子问题的解决都大大降低了难度。
例2-134 设凸四边形ABCD 的面积为1，求证在它的边上（包括顶点）或内部可以找出4个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的4个三角形的面积均大于1/4。
证明 作二级分类1．当四边形ABCD 为平行四边形时，1124ABC ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆∆====> A ，B ，C ，D 即为所求，命题成立。
2．当四边形ABCD 不是平行四边形时，则至少有一组对边不平行，设AD 与BC 不平行，且直线AD 与直线BC 相交于E ，又设D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作AB 的平行线交BC 于F ，然后分两种情况讨论。
（1）如图2-52，12DF AB ≤，此时可作△EAB 的中位线PQ 、QG ，则 111222AGQP EAB ABCD S S S =>= 即A 、G 、Q 、P 为所求。
（2）如图2-53，12DF AB >，此时可在CD 与CF 上分别取P 、Q ，使12PQ AB =。
过Q9或P ）作QG ∥AP 交AB 于G 。