高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义含答案

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人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)

2.4.1 向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：复习课(二) 三角函数的图象与性质

复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换1．题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．2．若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．[典例] 已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43. [答案] －45 －43[类题通法]利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．[题组训练]1．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6 解析：选C 由三角函数的定义知： tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－cos π6sin π6＝－3212＝－ 3.又sin5π6＞0，cos 5π6＜0. 所以α是第四象限角，因此α的最小正值为5π3.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)．则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.3．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限．解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限．答案：三1．题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．2．(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．[典例] 已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2. 即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ) ＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. [类题通法]三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形． (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．[题组训练]1．若sin (π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A ．－23B ．－66C.66 D.23解析：选A sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－1－sin 2α＝－23. 2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( ) A.73 B.75 C.54D.53解析：选B 1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1，又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.3．计算：sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝________. 解析：因为sin4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32， cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝cos 25π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝cos π6＝32，所以sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝－32×32＝－34. 答案：－344．已知sin(180°＋α)＝－1010，0°＜α＜90°，求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．解：由sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°，得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[典例] (广东高考)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.[类题通法]解决条件求值应学会的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．[题组训练]1．(重庆高考)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：选A tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.2．计算：cos π12cos 5π12＝________.解析：cos π12cos 5π12＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14.答案：14.3．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且tan(α＋β)＝2tan α.4tan α2＝1－tan 2α2，则α＋β＝________.解析：∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2tanα24tanα2＝12， ∴tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β＝π4. 答案：π44．在△ABC 中，sin B ＝cos A ，若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .解：因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34.因sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32，知A ＝30°. 从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解：选D r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32， ∴x ＝－2 3.故选D.2．若－2π＜α＜－3π2，则 1－cos (α－π)2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D1－cos (α－π)2＝1－cos (π－α)2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2， ∵－2π＜α＜－3π2，∴－π＜α2＜－3π4，∴cos α2＜0，∴⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14，即cos 2α＝14. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝3，故选D.4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－8 解析：选D ∵sin α－cos α＝－52， ∴1－2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝－18，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝－8. 5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2解析：选A ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝⎛⎭⎫－132＋11＋2×⎝⎛⎭⎫－13＝103，故选A. 6．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2β的值为( )A ．1B ．－1 C.2425D ．－45解析：选C 由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝2425. 7．在0°～720°中与2π5角终边相同的角为________．解析：因为25π＝25π×⎝⎛⎭⎫180π°＝72°，所以终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°中与2π5角终边相同的角为72°，432°.答案：72°，432°8．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝_______________________. 解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝34. 因为α为钝角，即π2＜α＜π，所以－3π4＜π4－α＜－π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＜0，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝－74. 答案：－749．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－22，则 2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________.解析：∵tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝－22， ∴tan θ＝－22或tan θ＝ 2. ∵π2＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴tan θ＜0，∴tan θ＝－22， 2cos 2 θ2－sin θ－tan 5π42sin (θ＋π4)＝2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋2 2.答案：3＋2 2 10．求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°.解：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°＝cos 40°＋sin 50°1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°＝cos 40°＋cos 40°·2sin (10°＋30°)cos 10°2cos 220°＝cos 40°＋12cos 220°＝ 2. 11．已知cos α－sin α＝3 25，且π＜α＜3π2，求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．解：∵cos α－sin α＝325， ∴1－2sin αcos α＝1825， ∴2sin αcos α＝725. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425， ∴sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×－425325＝－2875. 12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0, ∴6tan 2α＋5tan α－4＝0，解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴tan α＜0， ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.。

《学案导学设计》高中数学人教A版必修4【配套备课资源】第2章 2.3.4

令 λ＝xx12，则 a＝λb.所以 a∥b.
6
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二共线向量与中点坐标公式
问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段 P1P2 的中点 P 的坐标．
本答如图所示，P 为 P1P2 的中点，
课时
∴P→1P＝P→P2，
栏目开
∴O→P－O→P1＝O→P2－O→P
关 ∴O→P＝12(O→P1＋O→P2)
＝x1＋2 x2，y1＋2 y2.
∴线段 P1P2 的中点坐标是x1＋2 x2，y1＋2 y2.
7
研一研·问题探究、课堂更高效问题 2 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．点 P 是线
段 P1P2 的一个三等分点，求 P 点的坐标．答点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，分两种情况：
本
课时
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
栏目开关
(1)当 a∥b 时，有 x1y2－x2y1＝0 . (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时，有 xx12＝yy12 .即两向量的相应坐标成
比例．
2
填一填·知识要点、记下疑难点
2．若P→1P＝λP→P2，则 P 与 P1、P2 三点共线．
本课
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0.
时
栏目
∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
开关
即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴xy11＝＝λλxy22，，
∵x2≠0.∴λ＝xx12.
将 λ＝xx12代入 y1＝λy2 得 y1＝xx1y22，即 x1y2－x2y1＝0.

高中数学三维设计必修4讲义：第二章2.42.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

向量数量积的运算
[ 典例 ] (1) 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且 |a|＝4， |b|＝ 2，求：① a·b; ②( a＋ b) · (a－ 2b)．
(2)如图，正三角形 ABC 的边长为 2， AB ＝ c， BC ＝ a， CA ＝ b，
求 a·b＋ b·c＋ c·a. [解 ] (1)①由已知得 a·b＝ |a||b|cosθ＝ 4× 2× cos 120° ＝－ 4. ② (a＋ b) ·( a－ 2b)＝ a2－ a·b－ 2b2＝ 16－ (－ 4)－ 2× 4＝ 12. (2) ∵|a|＝ |b|＝ |c|＝ 2，且 a 与 b， b 与 c， c 与 a 的夹角均为 120° ， ∴ a·b＋ b·c＋ c·a＝ 2× 2× cos 120°× 3＝－ 3.
4．向量数量积的运算律 (1) a·b＝ b·a(交换律 )． (2)( λａ) ·b＝ λ(a·b)＝ a·(λｂ)(结合律 )．
(3)( a＋ b) ·c＝ a·c＋ b·c(分配律 )． [点睛 ] (1)向量的数量积不满足消去律：若不到 a＝ b.
a， b， c 均为非零向量，且 a ·c＝b·c，但得
(2) 两个向量的数量积记作 a·b，千万不能写成 a× b 的形式． 2．向量的数量积的几何意义 (1) 投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cosθ.
②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cosθ.
(2) 数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ的乘积．
与
b
的夹角为
60 °，则
a·b＝ (
)
1
A． 2
B.2

高中数学人教A版浙江专版必修4课件：第二章 2.3 2.3.2 & 2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面

∴ MP ＝12 MN ＝12(－8,1)＝－4，12，
x－3＝－4， x＝－1，
∴y＋2＝12.
∴y＝－32.
答案：－1，－32
向量坐标运算的综合应用
[典例] 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4P在第二象限？
BC －2 AB＝(－5，－4)－2(1,5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)． [答案] (11,13) (－7，－14) (2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．
[点睛] (1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
向量中含参数问题的求解 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
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求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第二章2.32.3.4平面向量共线的坐标表示含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示前提条件 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0 结论当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b ≠0)共线[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断u u u r AB 与uuur CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)[解] u u u rAB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，uuu r CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴u u u r AB ，uuur CD 共线．又uuu r CD ＝－2u u u r AB ，∴u u u r AB ，uuur CD 方向相反．综上，u u u r AB 与uuur CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知uuu r OA ＝(3,4)，uuu r OB ＝(7,12)，u u u rOC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量uuu r OA ＝(k,12)，uuu r OB ＝(4,5)，u u u rOC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(4,8)， u u u r AC ＝u u u r OC －uuu rOA ＝(6,12)， ∴u u u r AC ＝32u u u r AB ，即u u u r AB 与u u u rAC 共线．又∵u u u r AB 与u u u rAC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则u u u r AB ，u u u rAC 共线，∵u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(4－k ，－7)， u u u r AC ＝u u u r OC －uuu rOA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0. 解得k ＝－2或k ＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A ，B ，C 三点是否共线，一般是看u u u r AB 与u u u r BC ，或u u u r AB 与u u u rAC ，或u u u r AC 与u u u r BC是否共线，若共线，则A ，B ，C 三点共线；(2)使用A ，B ，C 三点共线这一条件建立方程求参数时，利用u u u r AC ＝λu u u r BC ，或u u u r AB ＝λu u u r BC ，或u u u rAB ＝λu u u r AC 都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，u u u r AB 与uuur CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：u u u rAB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)， u u u rBC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)， uuu rCD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由u u u r AB 与uuur CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又u u u r AB 与uuur CD 方向相同，所以x ＝2.此时，u u u rAB ＝(2,1)，u u u r BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以u u u r AB 与u u ur BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|u u u rAD|＝1，则|u u u rDC|＝1，|u u u rAB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵u u u rED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，u u u rBC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴u u u rED＝u u u rBC，∴u u u rED∥u u u rBC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，u u u rAB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，uuu rCD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴u u u rAB与uuu rCD共线．u u u rAD＝(－1,2)，u u u rBC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴u u u rAD与u u u rBC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵u u u rBC＝(－2,1)，u u u rAD＝(－1,2)，∴|u u u rBC|＝5＝|u u u rAD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设uuu rOP＝tuuu rOB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则u u u rAP＝uuu rOP－uuu rOA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，u u u r AC＝u u u rOC－uuu rOA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由u u u r AP ，u u u rAC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴uuur OP ＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则uuu r OP ＝(x ，y )，uuu rOB ＝(4,4)． ∵uuu r OP ，uuu rOB 共线，∴4x －4y ＝0.①又uuu r CP ＝(x －2，y －6)，u u u rCA ＝(2，－6)，且向量uuu r CP ，u u u rCA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥u u u rAB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得u u u rAB ＝(3,1)，∵a ∥u u u r AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与u u u rAB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D u u u rAB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.解析：u u u rAB ＝(x ＋1，－6)，u u u r AC ＝(4，－1)， ∵u u u r AB ∥u u u rAC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且u u u r AE ＝13u u u r AC ，u u u r BF ＝13u u u r BC ，求证：u u u r EF ∥u u u r AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有u u u r AC ＝(2,2)，u u u r BC ＝(－2,3)，u u u rAB ＝(4，－1)． ∵u u u r AE ＝13u u u r AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，u u u r EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴u u u r EF ∥u u u r AB .10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)． (1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，∴u u u r AB ∥u u u r AC ，而u u u rAB ＝(－8,8)，u u u r AC ＝(3，y ＋6)，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，即y ＝－9.3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1,1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1,1)，d ＝a －b ＝－(－1,1)，即c ∥d 且c 与d 反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )A ．(1,5)或(5,5)B ．(1,5)或(－3，－5)C ．(5，－5)或(－3，－5)D ．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D 设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ， ①若这个平行四边形为▱ABCD ，则u u u r AB ＝u u u rDC ，∴D (－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB ，则u u u r AC ＝u u u rBD ，∴D (5，－5)； ③若这个平行四边形为▱ACBD ，则u u u r AC ＝u u u rDB ，∴D (1,5)．综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知u u u r AB ＝(6,1)，u u u r BC ＝(x ，y )，uuu r CD ＝(－2，－3)，u u u r BC ∥u u u rDA ，则x ＋2y 的值为________．解析：∵u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u ur BC ＋uuu r CD ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴u u u r DA ＝－u u u rAD ＝－(x ＋4，y －2)＝(－x －4，－y ＋2)． ∵u u u r BC ∥u u u r DA ，∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. 答案：06．已知向量uuu r OA ＝(3，－4)，uuu r OB ＝(6，－3)，u u u rOC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即u u u r AB 与u u u rAC 不共线．∵u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(3,1)，u u u r AC ＝u u u r OC －uuu r OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若u u u r AC ＝2u u u rAB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则u u u r AB 与u u u rAC 共线．u u u rAB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，u u u r AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若u u u r AC ＝2u u u rAB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则u u u rDP ＝(x －1，y )，u u u rDB ＝(5,4)，u u u r CA ＝(－3,6)，u u u r DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得u u u r DP ＝u u u u rλDB ＝(5λ，4λ)．又∵uuu r CP ＝u u u r DP －u u u rDC ＝(5λ－4,4λ)，由于uuu r CP 与u u u rCA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，∴u u u r DP ＝47u u u r DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167， ∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第二章 2.5 平面向量应用举例含答案

平面向量应用举例预习课本P109～112，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？(2)如何用向量方法解决物理问题？(3)如何判断多边形的形状？[新知初探]1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量m v 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与位移s 的数量积．[小试身手]1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．(4，－1) C ．2 2 D ．5答案：D2．在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝0，BC ＝AD ，则四边形ABCD 是( ) A ．直角梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形答案：C3．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做的功是________．答案：－11题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . 证明：法一：设AD ＝a ，AB ＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ＝DA ＋AE ＝－a ＋12b ，AF ＝AB ＋BF ＝b ＋12a ，所以AF ·DE ＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ＝(2,1)，DE ＝(1，－2)．因为AF ·DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .题点二：平面几何中的平行(或共线)问题2. 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB ＝12. 求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB ＝m ，AD ＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，∴FO ＝FA ＋AO ＝13BA ＋12AC＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE ＝OC ＋CE ＝12AC ＋13CD＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . ∴FO ＝OE .又O 为FO 和OE 的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．题点三：平面几何中的长度问题3.如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则BD ＝a －b ，AC ＝a ＋b ，而|BD |＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12，又|AC |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC |＝6，即AC ＝ 6.用向量方法解决平面几何问题的步骤[典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km /h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)，求F 1，F 2分别对质点所做的功．[解] (1) 如图，设AB 表示水流的速度，AD 表示渡船的速度，AC 表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB ＋AD ＝AC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC |＝|AB |＝12.5，|AD |＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F·s .∵AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W 1＝F 1·AB ＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W 2＝F 2·AB ＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)． [一题多变]1．[变设问]本例(2)条件不变，求F 1，F 2的合力F 为质点所做的功．解：W ＝F ·AB ＝(F 1＋F 2)·AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：F 1，F 2分别对该质点做的功．解：AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)． F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一学业水平达标1．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：选D 由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)． 2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ⎝⎛⎭⎫－1，－73，B ⎝⎛⎭⎫1，13，C ⎝⎛⎭⎫－12，2，D ⎝⎛⎭⎫－72，－2，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选A ∵AB ＝⎝⎛⎭⎫2，83，DC ＝(3,4)， ∴AB ＝23DC ，∴AB ∥DC ，即AB ∥DC .又|AB |＝4＋649＝103，|DC |＝9＋16＝5， ∴|AB |≠|DC |，∴四边形ABCD 是梯形．4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12AC －AB ，∴BD 2―→＝⎝⎛⎭⎫12 AC －AB 2＝142AC －AC ·AB ＋2AB ，即142AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 5．已知△ABC 满足2AB ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：选C 由题意得，AB 2＝AB ·AC ＋AB ·CB ＋CA ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )＋CA ·CB ＝AB 2＋CA ·CB ，∴CA ·CB ＝0，∴CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形．6．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功是________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：17．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.解析：如图，由题意，得∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC |＝10，则|OA |＝|OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 答案：108．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－52.答案：－529．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明：如图，以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )， D ⎝⎛⎭⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－a ，a2， CE ＝⎝⎛⎭⎫13a ，23a . 所以AD ·CE ＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0，所以AD ⊥CE ，即AD ⊥CE .10．已知点A (2，－1)．求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程．解：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则AP ＝(x －2，y ＋1)．由题意知AP ∥a ，故5(y ＋1)－(x －2)＝0，即x －5y －7＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为 x －5y －7＝0.层级二应试能力达标1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m /s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m /sD ．12 m/s解析：选B 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1，∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)．2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝12BC ，则AD ·BD 的值为( )A ．－52B.52 C ．－54D.54解析：选C 因为BD ＝12BC ，所以点D 是BC 的中点，则AD ＝12(AB ＋AC )，BD ＝12BC ＝12(AC －AB )，所以AD ·BD ＝12(AB ＋AC )·12(AC －AB )＝14(2AC －2AB )＝14(22－32)＝－54，选C.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是( ) A. 2 B ．2 C ．0 D ．1解析：选A ∵AF ＝AD ＋DF ，AB ·AF ＝AB ·(AD ＋DF )＝AB ·AD ＋AB ·DF ＝AB ·DF ＝2|DF |＝2，∴|DF |＝1，|CF |＝2－1，∴AE ·BF ＝(AB ＋BE )·(BC ＋CF )＝AB ·CF ＋BE ·BC ＝－2(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A.4.如图，设P 为△ABC 内一点，且2PA ＋2PB ＋PC ＝0，则S △ABP ∶S △ABC ＝( )A.15B.25C.14D.13解析：选A 设AB 的中点是D . ∵PA ＋PB ＝2PD ＝－12PC ，∴PD ＝－14PC ，∴P 为CD 的五等分点，∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的15.5．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，则△ABC 的形状为________．解析：(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA ) ＝(AB －AC )·(OB －OA ＋OC －OA ) ＝(AB －AC )·(AB ＋AC ) ＝|AB |2－|AC |2＝0， ∴|AB |＝|AC |. 答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．解析：物体m 的位移大小为|s |＝2sin 37°＝103(m)，则支持力对物体m 所做的功为 W 1＝F·s ＝|F ||s |cos 90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为 W 2＝G ·s ＝|G ||s |cos 53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)．答案：0 987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ，其中|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°；|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°；|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，求合力F 所做的功．解：以O 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3,33)，所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,2＋43)．又位移s ＝(42，42)，故合力F 所做的功为W ＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×4 2 ＝42×6 3＝246(J)．即合力F 所做的功为24 6 J.8.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ； (2)求证：A ，G ，C 三点共线．解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ，DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：因为D ，G ，F 三点共线，则DG ―→＝λDF ，即AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .因为B ，G ，E 三点共线，则BG ―→＝μBE ，即AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ，所以A ，G ，C 三点共线．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在五边形ABCDE 中(如图)，AB ＋BC －DC ＝( ) A ．AC B ．AD C ．BDD ．BE解析：选B ∵AB ＋BC －DC ＝AC ＋CD ＝AD . 2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( )A ．5 B.13 C.17D ．13解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B. 3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C ∵|a ＋b |＝1，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.5．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝( )A.12 B.13 C.23D ．±13解析：选B 由MN ＝13BC ，且BC ＝AC －AB ，得λ＝13.6．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且AD ＝2AB －3BC ，则点D 的坐标为( ) A ．(2,16) B ．(－2，－16) C ．(4,16)D ．(2,0)解析：选A 设D (x ，y )，由题意可知AD ＝(x ＋1，y －2)，AB ＝(3,1)，BC ＝ (1，－4)，∴2AB －3BC ＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A.7．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h ，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )A ．90 °B ．30°C ．45°D ．60°解析：选D 如图，用OA 表示水速，OB 表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .于是tan ∠AOC ＝|AC ||OA |＝|OB ||OA |＝|v 静||v 水|＝3，∴∠AOC ＝60°，故选D.8．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A ∵AD ＋BE ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(BA ＋AE )＋(CB ＋BF ) ＝13BC ＋13AC ＋⎝⎛⎭⎫CB ＋13 BA ＝13BA ＋13BC ＋13AC ＋CB ＝－13BC ， ∴(AD ＋BE ＋CF )与BC 平行且方向相反． 9．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析：选C 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．10．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC ＝0，PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心解析：选C 因为|OA |＝|OB |＝|OC |，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA ＋NB ＋NC ＝0，得NA ＋NB ＝－NC ＝CN ，由中线的性质可知点N 在AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC的重心；由PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA 得PA ·PB －PB ·PC ＝PB ·CA ＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．11．已知平面上直线l 与e 所在直线平行且e ＝⎝⎛⎭⎫－45，35，点O (0,0)和A (1，－2)在l 上的射影分别是O ′和A ′，则''O A ＝λe ，其中λ等于( )A.115 B ．－115C ．2D ．－2解析：选D 由题意可知|''O A |＝|OA |cos(π－θ)(θ为OA 与e 的夹角)． ∵O (0,0)，A (1，－2)，∴OA ＝(1，－2)．∵e ＝⎝⎛⎭⎫－45，35，∴OA ·e ＝1×⎝⎛⎭⎫－45＋(－2)×35＝－2＝|OA |·|e |·cos θ，∴|OA |·cos θ＝－2.又∵|''O A |＝|λ|·|e |，∴λ＝±2.又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故选D. 12．在△ABC 中，有下列四个命题： ①AB －AC ＝BC ； ②AB ＋BC ＋CA ＝0；③若(AB ＋AC )·(AB －AC )＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC ·AB >0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．②③④解析：选C ∵AB －AC ＝CB ＝－BC ≠BC ，∴①错误．AB ＋BC ＋CA ＝AC ＋CA ＝AC －AC ＝0，∴②正确．由(AB ＋AC )·(AB －AC )＝2AB －2AC ＝0，得|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形，③正确．AC ·AB >0⇒cos 〈AC ，AB 〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．解析：(a ＋b )(a －2b )＝|a 2|－a·b －2|b |2＝1－a·b －8＝－7，∴a·b ＝0，∴a ⊥b .故a ，b 的夹角为π2.答案：π214．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝ 25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7. 答案：715．已知向量AB 与AC 的夹角为120 °，且|AB |＝3，|AC |＝2.若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为________．解析：BC ＝AC －AB ，由于AP ⊥BC ，所以AP ·BC ＝0，即(λAB ＋AC )·(AC －AB )＝－λAB 2＋AC 2＋(λ－1)·AB ·AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712. 答案：71216.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ ＝λDC ，CP ＝(1－λ)CB ，则AP ·AQ 的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,1)，C (1,1)．设Q (m ，n )，由DQ ＝λDC 得，(m ，n －1)＝λ(1,0)，即m ＝λ，n ＝1.又B (2,0)，设P (s ，t )，由CP ＝(1－λ)CB 得，(s －1，t －1)＝(1－λ)(1，－1)，即s ＝2－λ，t ＝λ，所以AP ·AQ ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故AP ·AQ ∈[0,2]．答案：[0,2]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)． ∵0°<θ<120°，∴－12<cos θ<1，∴13<|c |<5，∴|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上， ∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)． ∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴OM ＝(2y ，y )．又MA MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)， ∴MA ＝(1－2y,7－y )．同理MB ＝OB －OM ＝(5－2y,1－y )．于是MA ·MB ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝202×5＝2时，MA ·MB 有最小值－8，此时OM ＝(4,2)． (2)当OM ＝(4,2)，即y ＝2时，有MA ＝(－3,5)，MB ＝(1，－1)， |MA |＝34，|MB |＝2，MA ·MB ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA ·MB |MA ||MB |＝－834×2＝－41717.19．(本小题满分12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ＋CB ＝0，(1)用OA ，OB 表示OC .(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解：(1)因为2 AC ＋CB ＝0，所以2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0， 2OC －2OA ＋OB －OC ＝0，所以OC ＝2OA －OB .(2)证明：如图，DA ＝DO ＋OA ＝－12OB ＋OA＝12(2OA －OB )．故DA ＝12OC .即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形．20．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 使BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)连接AF ，由已知得AM ＝AD ＋DM ―→＝12a ＋b .∵AF ＝AB ＋BF ＝a ＋13b ，∴HF ＝HA ―→＋AF ＝－12b ＋⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12 ＝－6，从而AM ·HF ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ·AC ＝0，|AB |＝12，|BC |＝15，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点．(1)求AD ·CB 的值； (2)判断AE ·CB 的值是否为一个常数，并说明理由．解：(1)∵AB ·AC ＝0，∴AB ⊥AC . 又|AB |＝12，|BC |＝15，∴|AC |＝9.由已知可得AD ＝12(AB ＋AC )，CB ＝AB －AC ，∴AD ·CB ＝12(AB ＋AC )·(AB －AC ) ＝12(2AB －2AC ) ＝12(144－81)＝632. (2)AE ·CB 的值为一个常数．理由：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，∴DE ·CB ＝0.故AE ·CB ＝(AD ＋DE )·CB ＝AD ·CB ＋DE ·CB ＝AD ·CB ＝632. 22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ，当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ；由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)，所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第

平面向量的实际背景及基本概念预习课本P74～76，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？(4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？[新知初探]1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0； ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a ＝b .(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量平行．[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．( ) (2)向量的模是一个正实数．( ) (3)单位向量的模都相等．( )(4)向量 AB 与向量BA 是相等向量．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B3．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN 表示B ．方向是由M 指向NC ．始点是MD ．终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED 相等的向量有______．答案： AB ， DC[典例] 有下列说法：①向量 AB 和向量BA 长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC 是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[解析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．[答案]①[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量 AB，BC，CD，AD.解：如图所示．[典例] 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且 OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．[解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有 OD ， BC ， AO ，FE .(2)与a 共线的向量有 EF ， BC ， OD ， FE ， CB ， DO ， AO ， DA ，AD .(3)与a 相等的向量有 EF ， DO ， CB ；与b 相等的向量有 DC ， EO ，FA ；与c相等的向量有 FO ， ED ，AB .[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC 相等的向量．解：与向量 BC 相等的向量有 OD ， AO ，FE .2．[变条件，变设问]在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为()A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与 AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC ．AO ＝1D ．| AO |＝| BO |解析：选D 由于a 与b 的方向不知，故 AO 与BO 无法判断是否相等，故A 、B 选项均错．又 AO 与 BO 均为单位向量．∴| AO |＝|BO |，故C 错D 对．6．已知|AB |＝1，| AC |＝2，若∠ABC ＝90°，则| BC |＝________.解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以| BC |＝ 3.答案： 37．设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2. 答案：③8．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b .答案：①③④9.如图，O 是正方形ABCD 的中心．(1)写出与向量AB 相等的向量；(2)写出与OA 的模相等的向量．解：(1)与向量AB 相等的向量是 DC .(2)与 OA 的模相等的向量有： OB ， OC ， OD ， BO ， CO ， DO ， AO .10.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出 AD ， DC ，CB ， AB .(2)求B 地相对于A 地的位移．解：(1)向量 AD ， DC ，CB ， AB 如图所示．(2)由题意知 AD ＝BC .所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．所以 AB ＝ DC ，则B 地相对于A 地的位移为“在北偏东60°的方向距A 地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )A ． AD ＝BCB ． AC ＝ BDC ． PE ＝ PFD ． EP ＝ PF解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：A 中， AD 与 BC 方向不同，故 AD ＝BC 错误；B 中， AC 与 BD 方向不同，故 AC ＝BD 错误；C 中， PE 与 PF 方向相反，故 PE ＝PF 错误；D 中， EP 与 PF 方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故 EP ＝PF 正确．2．下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B ．终点相同的两个向量不共线 C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线 D ．单位向量的长度为1解析：选D A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a 与b 可能共线．3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③解析：选B a 为任一非零向量，所以|a |＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即 CE ＝ EA .5．四边形ABCD 满足 AD ＝ BC ，且| AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．解析：∵ AD ＝ BC ，∴AD ∥BC 且|AD |＝| BC |，∴四边形ABCD 是平行四边形．又| AC |＝|BD |知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD 是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量 OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与 AD 相等的向量为 OC ；与 OA 共线的向量为 DC ，EB ；与 OA 的模相等的向量为 OB ， OC ， DC ， EB ，AD .答案： OC DC ， EB OB ， OC ， DC ， EB ， AD7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量．(2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量 DE ，FD 共线的向量．解：(1)与 DE 长度相等的向量是EF ，FD ， AF ， FC ， BD ， DA ， CE ，EB .(2)与 FD 相等的向量是 CE ，EB .(3)与DE 共线的向量是 AC ， AF ， FC ；与 FD 共线的向量是 CE ， EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0；(2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．解：(1)要使 AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，要使得 AB 是单位向量，必须且只需|AB |＝1.由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22，所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有|1 AB |2＝| OA |2＋|1 OB |2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1，即|1AB |＝1.上式表示，向量1AB 是单位向量．同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，向量AB 2―→也是单位向量．综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时，向量 AB 是单位向量．。

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2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义预习课本P103～105，思考并完成以下问题(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？(2)向量b 在a 方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？(3)向量数量积的性质有哪些？(4)向量数量积的运算律有哪些？[新知初探]1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b ，千万不能写成a ×b 的形式． 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念：①向量b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ. ②向量a 在b 的方向上的投影为|a |cos θ. (2)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． [点睛] (1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a·b |a |.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 3．向量数量积的性质设a 与b 都是非零向量， θ为a 与b 的夹角． (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. (3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |.[点睛] 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a ，b ，c 均为非零向量，且a·c ＝b·c ，但得不到a ＝b .(2)(a·b )·c ≠a ·(b·c )，因为a·b ，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a ·b )·c 与向量c 共线，a ·(b·c )与向量a 共线，因此，(a·b )·c ＝a ·(b·c )在一般情况下不成立．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .( ) (3)若a ，b 反向，则a·b ＝－|a ||b |.( ) (4)若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．若|a |＝2，|b |＝12，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝( )A ．2 B.12 C ．1 D.14答案：B3．已知|a |＝10，|b |＝12，且(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ＝－36，则a 与b 的夹角为( ) A ．60° B ．120° C ．135°D ．150°答案：B4．已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3. (1)若θ＝135°，则a·b ＝________； (2)若a ∥b ，则a·b ＝________； (3)若a ⊥b ，则a·b ＝________. 答案：(1)－32 (2)6或－6 (3)0[典例] (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )· (a －2b )．(2)如图，正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.[活学活用]已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)a 2－b 2； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．解：(1)a·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－6. (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝⎛⎭⎫－12－3×42＝－60.[典例] (1)(浙江高考)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [解析] (1)令e 1与e 2的夹角为θ， ∴e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos θ＝cos θ＝12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. ∵b ·(e 1－e 2)＝0，∴b 与e 1，e 2的夹角均为30°， ∴b ·e 1＝|b ||e 1|cos 30°＝1，从而|b |＝1cos 30°＝233. (2)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a·b ＝|a ||b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. [答案] (1)233(2)3 2[活学活用]已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求|a ＋b |，|a －b |，|2a ＋b |. 解：∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝(a ＋b )(a ＋b ) ＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝25＋25＋2|a ||b |cos 60°＝50＋2×5×5×12＝75，∴|a ＋b |＝5 3.∵|a －b |2＝(a －b )2＝(a －b )(a －b ) ＝|a |2＋|b |2－2a ·b＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 60°＝25， ∴|a －b |＝5.∵|2a ＋b |2＝(2a ＋b )(2a ＋b ) ＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b＝4|a |2＋|b |2＋4|a ||b |cos 60°＝175， ∴|2a ＋b |＝57.1．(重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.5π6解析：选C ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.题点二：证明两向量垂直2．已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )．证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |， ∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2.即4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2， ∴a 2＝b 2.∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．题点三：利用夹角和垂直求参数3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B ∵3a ＋2b 与ka －b 互相垂直， ∴(3a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴3ka 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0. ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又|a |＝2，|b |＝3， ∴12k －18＝0，k ＝32.层级一学业水平达标1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a·b 等于( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析：选B 设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.3．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝ka －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ∵c·d ＝0， ∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0， ∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0， ∴2k ＝12，∴k ＝6.4．已知a ，b 满足|a |＝4，|b |＝3，夹角为60°，则|a ＋b |＝( ) A ．37 B ．13 C.37D.13 解析：选C |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝42＋2×4×3cos 60°＋32＝37.5．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B ∵AB ＝DC ，即一组对边BD 平行且相等，AC ·BD ＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．6．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中，正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③7．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 解析：(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋7×cos 60°－2＝－92. 答案：－928．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵c ⊥a ，∴c ·a ＝0，∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12，|a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7， |b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9－12e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？解：(1)∵|a |＝2|b |＝2， ∴|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－1. ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直， ∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.层级二应试能力达标1．已知|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为π3，则向量m ＝a －4b 的模为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．12解析：选B |m |2＝|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m |＝2 3.2．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16解析：选D 法一：因为cos A ＝ACAB ，故AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.法二：AB 在 AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |＝( )A ．1 B. 3 C. 5D ．3解析：选C 由于投影相等，故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉，因为|a |＝1，|b | ＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.4.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1解析：选C AE ·BD ＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋12AD ―→ ·(AD －AB ) ＝12AB ·AD －|AB |2＋12|AD |2 ＝12×2×2×cos 60°－22＋12×22＝－1. 5．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：法一：由a ＋b ＋c ＝0得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·(－a －b )＝0，即a 2＝b 2. 则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.法二：如图，作AB ＝BD ＝a ，BC ＝b ，则CA ＝c .∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ，又∵a －b ＝BD －BC ＝CD ， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ，所以△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4. 答案：46．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________．解析：⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝a 2＋12a·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0，解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1. 答案：2 17．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |. 解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12，∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12.又|a |＝1， ∴|b |＝22. ∵a·b ＝12，∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°. (2)∵|a －b |2＝(a －b )2 ＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12，∴|a －b |＝22.8．设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0.即 (2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角，设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142. ∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.。