时间序列分析1

股市超常收益率ARMA模型分析组数：第八组组长：张宇学号：201010412119成员：刘彦清学号：201010422139成员：周发明学号：201010412138班级：信计 1 班时间：2013 年 5 月7 日股市超常收益率ARMA 模型分析摘 要:本文首先对沪铜期货收益率序列的进行了分析,在单位根检验中克服了观察等价性的影响,并得到为该收益率服从ARIMA(0 ,1 ,1) - GARCH(1 ,1) 模型。

在此基础上,利用TARCH 和EGARCH 模型对收益率的杠杆效应进行了检验。

关键词:金融学;收益率建模;ARMA2GARCH 模型;铜期货引言:我国的期货市场发展至今已经十多年了,但还是属于新兴领域,其理论研究比较缺乏。

一个对投资者来说非常关注的问题就是对期货市场收益率及风险的刻画和度量。

拟合期货价格的收益率序列,对其各种特征进行分析,有利于我们更加理性地了解市场。

1982年,恩格尔提出了ARCH 模型[1 ] ,而随后Boller2slev(1986) 提出了GARCH 模型[2 ] GARCH 模型很好地解释了金融时间序列的波动集群特征,自此以后,几乎所有的成果都是围绕此模型展开的。

就国内而言,目前将GARCH 类模型应用于我国期货市场的一些研究成果有:徐剑刚对玉米和绿豆期货的价格收益序列使用ARCH 模型进行统计分析[3 ] ;华仁海、仲伟俊首次运用GARCH 模型对我国期货市场中期货价格收益、交易量以及波动性之间的关系进行了动态分析[4 ] 。

在收益率建模方面,唐衍伟,陈刚等人在对期货市场波动率进行分析时,采用ARMA - GARCH 对沪铜收益率序列进行了建模,均得到AR(5)2GARCH(1 ,1) 模型[5 ,6 ] ,然而从结果看,收益率的5 个自回归时滞系数均不显著,结果有待商榷。

本文对沪铜期货收益率进行了ARMA2GRACH 建模与分析,在ADF 和DF2GLS 两个单位根结果矛盾的情况下,结合SACF 与SPACF 的表现,认为沪铜期货收益率服从ARIMA(0 ,1 ,1) 过程;进而,在对残差序列进行ARCH - LM 检验,确定波动率的ARCH 效应之后,拟合了一个ARIMA(0 ,1 ,1) - GARCH(1 ,1) 模型,并指出市场波动率是持久的;在此基础上,进一步通过拟合TARCH 和EGARCH 模型,发现沪铜期货并不存在显著的杠杆效应。

1 模型与方法1. 1 单位根检验和收益率序列的ARMA 建模在对金融序列进行单位根检验时,从国内文献来看,几乎所有的文献都采用ADF 检验来判别序列的平稳性。

然而,由于趋势平稳过程( TS) 和差分平稳过程(DS) 存在着观察等价性(Observational Equiva2lence) ,导致存在着严重的拒真错误的可能性。

例如,如果一个x t 是ARIMA(0 ,1 ,1) 过程:Δx t =θ0 + at - θat - 1其中{ at} 为白噪声。

我们不妨令θ0 = 0 ,以及Σ−1∞S t – 1 = Σ−1∞ at − i 那么上式等价于:x t = at + (1 - θ) S t - 1一个隐含的危险是,如果θ接近于1 ,那么x t 就接近于白噪声at ,也就是说,单位根检验的结果永远是显著的,即使x t 确实含有一个单位根。

正如Cochrane 指出, 任何TS 过程的ACF 都能用一个DS 过程的ACF 逼近[7 ] 。

本文在实证分析中所遭遇的,恰好就是这个情况。

鉴于这种情况,如果另用一个功效更高的检验表明x t 含有一个单位根,那么,我们有理由相信x t 含有I (1) 。

DF2GLS 检验(Dickey2Fuller Test with GLS Det rending) 就是这样一个检验[8 ] 。

张晓峒, 白仲林证明了DF2GLS 检验较之ADF 等其他单位根检验具有更高的功效[9 ] 。

DF2GLS 检验中,序列被做了广义差分处理,然后分两步回归得到DF2GLS 统计量。

当然,这并不是说,DF2GLS 检验可以作为此类问题的判别标准。

关于DF2GLS 检验的深入讨论,可以参考有关文献。

1. 2 条件异方差的检验和GARCH 建模在对收益率序列进行ARMA 建模之后,需要判断残差序列是否具有条件异方差性。

条件异方差的一个典型的特征就是残差序列平方的ACF 和PACF 有显著的Ljung2Box Q -统计量。

另一个ARCH 性的检验方法是ARCH2LM 检验。

通过以上检验,在确定序列确实具有这种的集群特征后, 我们就来拟合各阶的GARCH(p ,q) 模型:σt 2= a 0+ ai εt−i 2p i =1+ ai εt−j 2p j =1 (2)通过AIC 和BIC 准则比较模型的拟合优度和以及判断是否存在过度拟合。

在得到上述GARCH 模型后,我们可以通过GARCH 模型的系数判断序列波动的持久性,即过去时刻的波动在未来被继承。

Engle 和Bollerslev 指出,如果 ai εt−i 2p i =1+ ai εt−j 2p j =1接近1 的话,那么一个条件方差所受的冲击是持久的[10 ] 。

尽管Bollerslev 指出“持久性”这个概念是不恰当的[11 ] ,我们仍然采取这种简单的判别方法。

收益率序列的另一个特征就是杠杆效应,即波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反应更加迅速,与之对应的建模方法是一些非线性的GARCH 模型, 例如门限ARCH 模型( TARCH) [12 ] 以及指数GARCH 模型( EGARCH) [13 ] 。

TARCH 模型在GARCH 模型的基础上增加了一个门限项:σt 2= a 0+ ai εt−i 2p i =1+ ai εt−j 2+ γk εt−k2I t−k −r k =1p j =1(3) 其中I t − = I{εt < 0} , I{ 0}为特征函数。

2 数据处理及实证结果2. 1 样本的选择和处理如何选择代表性期货合约作为实证分析的对象,不同的文献有着不同的看法。

国外文献和一般选择最近的一个合约,因为这样的合约交易最为活跃,部分国内文献也借鉴了这种做法。

然而,对于我国尚未成熟的期货市场而言,选择最近期合约是不太合适的—方面最近期合约交易十分不活跃,另一方面逼仓者将价格在接近结算的时候突然拉高以逼迫空头平仓。

因此,针对国内特殊的市场环境,一个妥善的做法是选择交易最为活跃的合约———交易日之后的第四个合约———作为代表性合约。

具体方法在文献已[14 ]有说明。

我们选择的样本范围自2000 年1 月5 日到2005 年12 月29 日,共1435 个交易日的历史数据。

在计算收益率时,采用的是对数收益率,即rt = log ( Pt) - log ( Pt - 1) 这里Pt 是t 时刻期货的收盘价。

以下就是实证分析结果。

2. 2 收益率序列的初步分析我们首先对收益率序列进行描述性统计。

表1 列出了收益率序列的基本统计量。

我们发现,收益率序列略微左偏,并且符合金融数据普遍的高峰厚尾的特点。

Jarque2Bera 统计量显著地拒绝正态分布假设。

从图1 来看,波动有着明显集群特征———较大的波动后紧跟着大的波动。

这就为我们下面对rt的建模提供了初步的认识。

2. 2 收益率序列的ARMA 建模既然所有的ARMA 模型都是隐含了序列平稳这个假设的,那么,我们必须对收益率序列进行单位根检验,以判断收益率序列的平稳性。

ADF 统计量- 38. 67848 ,显著的拒绝含有单位根的假设。

一些文献也持这个观点,并且在此基础上拟合了沪铜期货对数收益率的ARMA 模型。

然而,观察序列的SACF 和SPACF ,以及伴随的Q - 统计量,我们发现,无论是SACF 还是SPACF ,从Q - 统计量来看,直到40 阶都没有显著的时滞系数(表2 只列出了前18 阶时滞) ,并且,SACF 和SPACF 围绕0 波动,衰减非常缓慢。

因此,是否存在一个I (1) 过程,或者说,收益率序列是不是趋势平稳的,而是差分平稳的呢? 为了证实我们的想法,我们对序列进行DF2GLS 检验。

我们发现,DF2GLS 统计量为- 2. 394424 ,p2Value 为0.0168 ,在0. 01 的置信水平下,不能拒绝含有一个单位根的假设。

于是,我们对rt拟合ARIMA 模型。

rt的一阶差分序列的ACF 和PACF 的图形强烈的预示着这是一个MA(1) 过程。

图3 Δrt的样本自相关系数和偏相关系数我们对rt拟合ARIMA (0 ,1 ,1) 模型,得到模型和统计量为:Δrt = - 0. 9968 at , 一阶滑动平均系数MA(1) 的统计量如下:表3 MA (1) 的统计量我们看到,MA(1) 非常接近- 1 ,且这个时滞系数是显著的。

D2W 统计量非常接近2 ,残差序列的ACF 和PACF 都已没有显著的时滞(数据从略) 。

接着,我们对残差序列的平方做Q - 检验时,发现所有的时滞系数都是显著的,这预示了强烈的ARCH 性质。

2. 3 用ARIMA2GARCH模型拟合收益率既然残差序列平方存在显著的自相关系数,我们就对残差做ARCH2LM 检验,以确认ARCH 的存在。

并不意外的,检验所得的F 统计量为5. 742 ,p2value 为0. 00 ,残差序列自回归的系数在第1 ,11 ,12 阶时滞表现出显著性。

因为模型存在ARCH 是已知的,所以我们从p = 1 ,q = 0 开始拟合各阶ARIMA (0 ,1 ,1)2GARCH( p , q) 模型。

以下是拟合结果。

表4 各阶GARCH( p , q) 模型的拟合结果注: (1) 括号内是该系数对应的伴随概率; (2) ARCH2LM 是ARCH2LM 检验的F 统计量。

从上表中我们看到GARCH(1 ,1) 是一个合适的模型。

GARCH(1 ,0) 模型不能消除条件异方差性,GARCH(1 ,2) 和GARCH (2 ,1) 均由于过度拟合导致新增加的参数不显著。

从AIC 和BIC 准则来看,GARCH(1 ,1) 也是最好的。

在GARCH(1 ,1) 模型中, Σαi +βj 这一项非常接近1 但小于1 , 这就说明GARCH 过程是宽平稳的,波动率是持久的,市场风险很大。

拟合优度R2 较之文献[5 ,6 ]有了明显的改善,但仍然说明这个ARIMA(0 ,1 ,1) - GARCH(1 ,1) 模型并没有完全拟合收益率,不难理解,这个模型虽然揭示了市场的风险特征,却没有考虑影响收益率的其他因素。

2. 4 波动率的TARCH和EGARCH拟合为检验收益率序列的杠杆效应,我们应用TARCH 模型和EGARCH 模型拟合波动率。