北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案
北京市西城区月坛中学2025届九年级数学第一学期期末复习检测试题含解析
北京市西城区月坛中学2025届九年级数学第一学期期末复习检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ） A ．45B ．60C ．90D ．1802．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2332π-B ．233π- C ．32π-D ．3π-3．如图，一段抛物线26 (0)6y x x x =-+≤≤，记为抛物线1C ，它与x 轴交于点1O A 、;将抛物线1C 绕点1A 旋转180︒得抛物线2C ，交x 轴于点2A ；将抛物线2C 绕点2A 旋转180︒得抛物线3C ，交x 轴于点3A .···如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点()2020,M m 在此“波浪线”上，则m 的值为（ ）A ．6-B ．6C ．8-D ．84．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31︒，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A 到达山顶B 缆车需要15分钟，则山的高度BC 为（ ）米.A ．60031tan ⋅︒B ．60031tan ︒C ．60031sin ⋅︒D ．600sin 31︒5．下列语句中正确的是（ ）A ．长度相等的两条弧是等弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴6．已知23a b=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ） A ．23a b = B ．2a=3b C ．32b a =D ．3a=2b7．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径5OB =，水面宽8AB =，则截面圆心O 到水面的距离OC 是( )A ．2B ．3C ．23D ．2.58．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G .若4BC =，1DE AF ==，则GF 的长为（ ）A ．135B ．125C ．195D ．1659．如图，AB 切⊙O 于点B ，C 为⊙O 上一点，且OC ⊥OA ，CB 与OA 交于点D ，若∠OCB ＝15°，AB ＝3，则⊙O 的半径为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．410．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =4：5，下列结论中正确的是 A ．45DE BC = B ．94BC DE = C ．45AE AC = D ．54EC AC = 11．如图，已知AB 、AC 都是⊙O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ，若MN ＝5，那么BC 等于（ ）A ．5B 5C ．5D 1012．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（ ） A ．x 1=﹣1，x 2=﹣2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1=1，x 2=2 D ．x 1=﹣1，x 2=2二、填空题（每题4分，共24分）13．以原点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′相似比为13，若点C 的坐标为（4，1），点C 的对应点为C ′，则点C ′的坐标为_____．14．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），y 与x 的部分对应值如下表所示：x-1 0 1 2 3 4y61-2-3-2m下面有四个论断：①抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点为(2,3)-；②3m =-；③关于x 的方程22ax bx c ++=-的解为11x =，23x =；④当0.5x =-时，y 的值为正，其中正确的有_______.15．当_____时，11x在实数范围内有意义．16．已知P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2cm，则PA为___cm．17．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的概率约为30%，估计袋中白球有个．18．从1,2,3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是_________．三、解答题（共78分）19．（8分）数学活动课上老师带领全班学生测量旗杆高度.如图垂直于地面的旗杆顶端A垂下一根绳子.小明同学将绳子拉直钉在地上，绳子末端恰好在点C处且测得旗杆顶端A的仰角为75°；小亮同学接着拿起绳子末端向前至D处，拉直绳子，此时测得绳子末端E距离地面1.5 m且与旗杆顶端A的仰角为60°根据两位同学的测量数据，求旗杆AB 的高度.（参考数据:sin75°≈0.97，cos75°≈0.26,sin60°≈0.87,结果精确到1米）20．（8分）如图，在□ABCD中，E是AD的中点，延长CB到点F，使BF=12BC，连接BE、AF．（1）求证：四边形AFBE是平行四边形；（2）若AB=6，AD=8，∠C=60°，求BE的长．21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，已知A(﹣1，0)对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若AOC与BMN相似，请求出t的值；②BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值．22．（10分）如图，正方形ABCD 中，112, 4AB AE AB ==，点P 在BC 上运动(不与,B C 重台)，过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，求P 运动到BP 多长时，CQ 有最大值，并求出最大值.23．（10分）如图，已知抛物线25y ax bx =+-()0a ≠与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于C 点，对称轴为1x =-，直线3y x =-+与抛物线相交于A 、D 两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一动点，且位于3y x =-+的下方，求出ADP ∆面积的最大值及此时点P 的坐标； （3）设点Q 在y 轴上，且满足OQA OCA CBA ∠+∠=∠，求CQ 的长.24．（10分）为深化课改，落实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A ．数学思维，B ．文学鉴赏，C ．红船课程，D ．3D 打印，规定每位学生选报一门．为了解学生的报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）求这次被调查的学生人数； （2）请将条形统计图补充完整；（3）假如全校有学生1000人，请估计选报“红船课程”的学生人数.25．（12分）孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒.设第x 天的销售价格为y （元/盒），销售量为m （盒）.该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x ≤≤时，38y =；当3150x ≤≤时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；40x =时，35y =.②m 与x 的关系为330m x =+．（1）当3150x ≤≤时，y 与x 的关系式为 ；（2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？ 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1． （1）求抛物线顶点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）已知点A （0，3），B （2，3），若该抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围．参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、C【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π， ∴42180n ππ⨯=解得：90n =，即其圆心角度数是90︒ 故选C ． 【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键． 2、B【分析】根据菱形的性质得出△DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG ≌△DBH ，得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，进而求出即可． 【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，∴△ABD 3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ， 在△ABG 和△DBH 中，2{34A AB BD ∠=∠=∠=∠， ∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD =2602123602π⨯-⨯=23π故选B ． 3、D【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m 的值． 【详解】∵一段抛物线：26 (0)6y x x x =-+≤≤， ∴图象与x 轴交点坐标为：（0，0），（6，0）， ∵将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2； 将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3； ……如此进行下去，直至得C n ．∴C n 的与x 轴的交点横坐标为（6n ，0），（6n+3，0）， ∴()2020,M m 在C 337，且图象在x 轴上方， ∴C 337的解析式为：()()33720162022y x x =---， 当2020x =时，()()20202016202020228y =---=． 即8m =， 故答案为D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键． 4、C【分析】在Rt ABC ∆中，利用∠BAC 的正弦解答即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31BAC ∠=︒，4015600AB =⨯=(米)， ∵sin BCBAC AB∠=，sin 600sin31BC BAC AB ∴=∠⋅=⋅︒(米)． 故选C ． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于基础题型，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 5、D【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．详解：A 、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B 、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D 、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D ．点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键． 6、B【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由23a b=得，3a=2b ， A 、由等式性质可得：3a=2b ，正确； B 、由等式性质可得2a=3b ，错误； C 、由等式性质可得：3a=2b ，正确； D 、由等式性质可得：3a=2b ，正确； 故选B ． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 7、B【解析】根据垂径定理求出BC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】解：OC AB ⊥，OC 过圆心O 点，118422BC AC AB ∴===⨯=，在Rt OCB ∆中，由勾股定理得：3OC ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC 是解决问题的关键． 8、A【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==，证明BCE CDF ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠，继而根据cos cos BC CGCBE ECG BE CE∠=∠==，可求得CG 的长，进而根据GF CF CG =-即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，4BC =， ∴4BC CD AD ===，90BCE CDF ∠=∠=︒， ∵1AF DE ==， ∴3DF CE ==，∴5BE CF ===， 在BCE ∆和CDF ∆中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BCE CDF SAS ∆≅∆， ∴CBE DCF ∠=∠，∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=︒=∠，cos cos BC CGCBE ECG BE CE∠=∠==， ∴453CG =，125CG =， ∴1213555GF CF CG =-=-=， 故选A. 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用. 9、B【分析】连接OB ，由切线的性质可得∠OBA=90°，结合已知条件可求出∠A=30°，因为AB 的长已知，所以⊙O 的半径可求出． 【详解】连接OB ， ∵AB 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥AB ， ∴∠ABO ＝90°，∵OC ⊥OA ，∠OCB ＝15°， ∴∠CDO ＝∠ADO ＝75°， ∵OC ＝OB ，∴∠C ＝∠OBD ＝15°， ∴∠ABD ＝75°，∴∠ADB ＝∠ABD ＝75°， ∴∠A ＝30°，∴BO＝12 AO，∵AB＝23，∴BO2+AB2＝4OB2，∴BO＝2，∴⊙O的半径为2，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，求出∠A=30°，是解题的关键．10、B【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则∴△ADE∽△ABC，∴49DE AD ADBC AB AD DB===+，故A错误；则94BCDE=，故B正确；则49AE ADAC AB==，故C错误；则59EC DBAC AB==，故D错误.故选择：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质.11、C【解析】先根据垂径定理得出M 、N 分别是AB 与AC 的中点，故MN 是△ABC 的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【详解】解：∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，∴M 、N 分别是AB 与AC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2MN ＝故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 12、D【解析】试题分析：利用因式分解法解方程即可．解：（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，所以x 1=2，x 2=﹣1．故选D ．考点：解一元二次方程-因式分解法．二、填空题（每题4分，共24分）13、()12,3或()12,3--【解析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC 与△A'B'C'相似比为13，若点C 的坐标为（4，1）， ∴点C′的坐标为()43,13⨯⨯或()()()43,13⨯-⨯-∴点C′的坐标为()12,3或()12,3--故答案为()12,3或()12,3--【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．14、①③④【分析】根据表格，即可判断出抛物线的对称轴，从而得到顶点坐标，即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；根据表格中函数值为-2时，对应的x 的值，即可判断③；根据二次函数的增减性即可判断④．【详解】解：①根据表格可知：抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为x=2，∴抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点为(2,3)-，故①正确；②根据抛物线的对称性可知：当x=4和x=0时，对应的函数值相同，∴m=1，故②错误；③由表格可知：对于二次函数2y ax bx c =++，当y=-2时，对应的x 的值为1或3∴关于x 的方程22ax bx c ++=-的解为11x =，23x =，故③正确；④由表格可知：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小∵0.50-<，抛物线过（0,1）∴当0.5x =-时，y ＞1＞0∴当0.5x =-时，y 的值为正，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的对称性、顶点坐标与最值、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数的增减性是解决此题的关键．15、x ≥1且x ≠1【分析】二次根式及分式有意义的条件：被开方数为非负数，分母不为1，据此解答即可．有意义，∴x≥11≠1，∴x≥1且x≠1在实数范围内有意义， 故答案为：x≥1且x≠1【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义分母不为1．161【分析】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，【详解】∵P 为线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，AB=2cm ， ∴()5151251.22PA AB cm --==⨯=- 故答案为51-.【点睛】分析题意可知，本题主要考查了黄金分割，弄清楚黄金分割的定义是解答此题的关键；17、1【分析】根据摸到白球的概率公式=40%，列出方程求解即可．【详解】解：不透明的布袋中的小球除颜色不同外，其余均相同，共有10个小球，其中白色小球x 个，根据古典型概率公式知：P （白色小球）==10%， 解得：x=1．故答案为1．考点：已知概率求数量． 18、23【分析】由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有6个，其中奇数有4个，由此求得所求事件的概率．【详解】解：由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数字共有3×2=6个，其中奇数有2×2=4个， 故从中任取一个数，则恰为奇数的概率是4263=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．解题的关键是掌握概率公式进行计算．三、解答题（共78分）19、15米.【分析】根据题意分别表示出AB 、AF 的长，进而得出等式求出答案．【详解】过E 作EF ⊥AB 于F ，设AC=AE=x∵AB ⊥CD ，ED ⊥CD ，∴四边形FBDE 为矩形，∴ 1.5BF ED ==，在Rt AEF ⊿中 ∵AF sin AEF AE∠= ， ∴60?AF xsin =︒，∴AB=AF+BF 60 1.5xsin =︒+，在Rt ACB ⊿中， ∵AB sin ACB AC∠=， ∴75AB xsin =︒，∴75?60 1.5xsin xsin ︒=︒+，1.57560x sin sin =︒-︒， ∴ 1.5 1.5750.970.97151575600.970.87AB sin sin sin =︒⨯≈⨯=⨯=︒-︒-(米). ∴旗杆AB 的高度为15米.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．20、（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）根据平行四边形的性质证明AE BF =，再由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形判定即可判定；（2）过点A 作AG ⊥BF 于G ，构造30读直角三角形，利用平行四边形的性质和勾股定理解答即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，又∵E 是AD 的中点，12BF BC =， ∴AE BF =，又∵//AE BF ，∴四边形AFBE 是平行四边形．（2）过点A 作AG BF ⊥于G ，由ABCD 可知：//AB DC ，∴60ABF C ∠=∠=，∴30BAG ∠=，又∵6AB =，8AD =，∴3BG =，4BF AE ==，∴1FG =，在Rt ABG ∆中，由勾股定理得：222226327AG AB BG =-=-=，在Rt AGF ∆中，由勾股定理得：22227128AF AG FG =+=+=， ∴27BE AF ==【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有4种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．21、（1）2y x 2x 3=-++；()0,3；（2）①t=1；②当3t 4=632-秒时，△BOQ 为等腰三角形． 【分析】（1）将A 、B 点的坐标代入y ＝﹣x 2+bx+c 中，即可求解；（2）①△AOC 与△BMN 相似，则MB OA MN OC =或OC OA，即可求解；②分OQ=BQ ，BO=BQ ，OQ=OB 三种情况，分别求解即可；【详解】（1）∵A(﹣1，0)，函数对称轴是直线x ＝1，∴()3,0B ，把A 、B 两点代入y ＝﹣x 2+bx+c 中，得： 93010b c b c ⎧-++=⎨--+=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，∴C 点的坐标为()0,3．（3）①如下图2443MN t t =-++，32MB t =-，△AOC 与△BMN 相似，则MB OA MN OC =或OC OA ， 即2323443t t t -=-++或13， 解得32t =或1-3或3或1（舍去32，1-3，3）， 故t=1．②∵()2,0M t ，MN x ⊥轴，∴()2,32Q t t -，∵△BOQ 为等腰三角形，∴分三种情况讨论：第一种：当OQ=BQ 时，∵QM OB ⊥,∴OM=MB ，∴232t t =-，∴3t 4=； 第二种：当BO=BQ 时，在Rt △BMQ 中，∵45OBQ ∠=︒，∴BQ =，即()3-2t ，∴64t -=； 第三种：当OQ=OB 时，则点Q 、C 重合，此时t=0，而t ＞0，故不符合题意；综上所述，当3t 4=秒或64-秒时，△BOQ 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，准确分析求解是做题的关键．22、当BP =6时，CQ 最大，且最大值为1.【分析】根据正方形的性质和余角的性质可得∠BEP ＝∠CPQ ，进而可证△BPE ∽△CQP ，设CQ ＝y ，BP ＝x ，根据相似三角形的性质可得y 与x 的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠C =90°，∴∠BEP +∠BPE ＝90°，∵PQ EP ⊥，∴∠QPC +∠BPE ＝90°，∴∠BEP ＝∠CPQ ． ∴△BPE ∽△CQP ，∴BE BP PC CQ=． 设CQ ＝y ，BP ＝x ，∵AB=BC =12，∴CP ＝12﹣x ．∵AE ＝14AB ，AB =12，∴BE ＝9， ∴912x x y =-，化简得：y ＝﹣19（x 2﹣12x ），即y ＝﹣19（x ﹣6）2+1， 所以当x ＝6时，y 有最大值为1．即当BP =6时，CQ 有最大值，且最大值为1．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质和二次函数的性质等知识，属于常见题型，熟练掌握相似三角形的性质和二次函数的性质是解答的关键．23、（1）212533y x x =+-；（2）当52t =-时，ADP S ∆取最大值133124，此时P 点坐标为555,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （3）7CQ =或17.【分析】（1）根据对称轴与点A 代入即可求解；（2）先求出()8,11D -，过P 点作y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，设212,533P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得到(),3M t t -+，215833PM t t =--+，表示出21111582233ADP A D S PM x x t t ∆⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意分①当Q 在y 轴正半轴上时， ②当Q 在y 轴负半轴上时利用相似三角形的性质即可求解.【详解】（1）∵对称轴为x ＝−1，∴−2b a＝−1， ∴b ＝2a ，∴y ＝ax 2＋2ax −5，∵y ＝−x ＋3与x 轴交于点A （3，0），将点A 代入y ＝ax 2＋2ax−5可得a ＝13∴212533y x x =+-. （2）令2125333x x x +-=-+，解得：13x =，28x =-， ∴()8,11D -，过P 点作y 轴的平行线，交直线AD 于点M ， 设212,533P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则(),3M t t -+， ∴215833PM t t =--+，83t -<<， 则21111582233ADP A D S PM x x t t ∆⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， ∵103-<， ∴当52t =-时，ADP S ∆取最大值133124，此时P 点坐标为555,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （3）存在， 理由：①当Q 在y 轴正半轴上时，如图，过点Q 作QN AC ⊥于N ，根据三角形的外角的性质得，OQA OCA QAN ∠+∠=∠， 又∵45OQA OCA CBA ∠+∠=∠=︒，∴45QAN CBA ∠=∠=︒，∴AN QN =，∵3AO =，5CO =，∴AC =设AN QN m ==，则CN AC AN m =+=+又∵90QNA COA ∠=∠=︒，QCN ACO ∠=∠，∴COA CNQ ∆∆∽， ∴CO AO AC CN QN QC==，3m QC ==，∴17QC ==， ②当Q 在y 轴负半轴上时，记作'Q ，由①知，17512OQ QC CO =-=-=，取'12OQ OQ ==，如图，则由对称知：'OQ A OQA ∠=∠，∴'45OQ A OCA OQA OCA CBA ∠+∠=∠+=∠=︒，因此点'Q 也满足题目条件，∴''1257Q C OQ OC =-=-=， 综合以上得：7CQ =或17.【点睛】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次与一次函数的图象及性质，掌握三角形相似、直角三角形的性质是解题的关键．24、（1）80人 （2）见解析 （3）375【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知，选择文学鉴赏的学生16人，占总体的20%，从而可以求得调查的学生总人数；（2）根据 3D 打印的百分比和（1）中求得的调查的学生数，可以求得选择3D 打印的有多少人，进而可以求得选择数学思维的多少人，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据调查的选择红船课程的学生所占的百分比，即可估算出全校选择体育类的学生人数.【详解】解：（1）16÷20%=80人； （2）如图所示；（3）30100080⨯=375（人）． 【点睛】本题考查了条形统计图、样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.25、（1）1552y x =-+;（2）32， 2646元. 【分析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，将“当36x =时，37y =；40x =时，35y =”代入计算即可；（2）根据利润等于单件利润乘以销售量分段列出函数关系式，再根据一次函数及二次函数的性质得出最大利润即可.【详解】解：（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠∵当36x =时，37y =；40x =时，35y =，即37363540k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1255k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴1552y x =-+ （2）(18)W y m =-∴当130x ≤≤时，(3818)(330)60600W x x =-+=+ ∵60＞0∴当x=30时，W 最大=2400（元）当3150x ≤≤时1(5518)(330)2W x x =-+-+ 239611102x x =-++ 23(32)26462x =--+ ∴当x=32时，当天的销售利润W 最大，为2646元.2646＞2400∴故当x=32时，当天的销售利润W 最大，为2646元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键.26、（1）C （m ，﹣1）；（3）﹣3≤m≤0或3≤m≤3．【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点C 的坐标；（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y ＝﹣1上移动．分别求出抛物线过点A 、点B 时，m 的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m 的取值范围．【详解】（1）y ＝x 3﹣3mx+m 3﹣1＝（x ﹣m ）3﹣1，∴抛物线顶点为C （m ，﹣1）．（3）把A （0，3）的坐标代入y ＝x 3﹣3mx+m 3﹣1，得3＝m 3﹣1，解得m＝±3．把B（3，3）的坐标代入y＝x3﹣3mx+m3﹣1，得3＝33﹣3m×3+m3﹣1，即m3﹣3m＝0，解得m＝0 或m＝3．结合函数图象可知：﹣3≤m≤0或3≤m≤3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．。
2021-2022学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2021-2022学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）.1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54 5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.27．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为mm．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝.（用含α的式子表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A 关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．故选：C．7．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：B．8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，∵点C（t，n）在抛物线上，∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），故答案为：（﹣4，7）．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为900mm．【分析】利用弧长的计算公式即可求解．解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，由弧长公式得：＝800π，解得：R＝900，即此圆弧所在圆的半径为900mm，故答案为：900．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．【分析】满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．解：∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＜0，故抛物线的解析式可以为y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．解：抛物线y＝x2+2的顶点为（0，2），抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的顶点为（4，2），∴将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．故答案为：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝90°﹣.（用含α的式子表示）【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB ＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，故答案为：90°﹣．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为2．【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．解：取AC的中点H，连接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，∵AC2﹣AD2＝CD2．∴∠ADC＝90°，∵点H为AC的中点，∴DH＝CH＝3，∴BH＝，∵BD≥BH﹣DH，∴BD的最小值为5﹣3＝2，故答案为：2．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；（2）如图：（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一个根小于﹣1，∴k+3＜﹣1，解得k＜﹣4，即k的取值范围为k＜﹣4．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根据平行线的判定定理得到EF∥CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根据矩形的性质得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四边形CDEF是矩形；（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由（1）知，四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，解得AC＝5，故AC的长为5．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；（2）求篮球出手时距地面的高度．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，y＝2.3，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为8；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．（2）由当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，∵当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1，∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，记得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，则得：△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结论可得．解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，∴F是BD的中点，∴FD＝FB．在△DCF和△BGF中，，∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．∴∠DCB+∠GBC＝180°．∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．∴∠ACE＝∠CBG．∵CD＝CE，∴CE＝BG．在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（SAS）．∴AE＝CG．∵FG＝FC，∴CG＝2CF．∴AE＝2CF．∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点C3是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；③设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A 与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），∴AP＝OA+OP＝1+＝，∵B（﹣1，0），∴AB＝2，∵AP＝kAB，∴k＝，故答案为：；②∵C1（0，），A（1，0），∴OC1＝，∴AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可求出AC3＝＝＝，假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴C3为AF的中点，∴F（0，﹣1），∵F在圆上，∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∵C2（），∴AC2＝，∴，∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：C3；③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，∵点E点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝30°，∴AE＝，EF＝，OE＝＝，∴EF＝，∴E（）；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，∴MN≥NP，AM≤BP，∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，∴，∵k越大，1﹣k的值越小，∴﹣1+的值越小，∴当的值越大，k的值越小，∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，∴C（1，0），D（0，1），∵O到C和D的距离都是1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝＝，∵OG⊥CD，∴CG＝DG＝，∴OG＝＝，∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，∴k＝，∴k的最小值为，当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．。
2022-2023学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷1. 二次函数的最小值是( )A. 2B. 3C. D.2. 中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关．下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3. 下列事件中是随机事件的是( )A. 明天太阳从东方升起B. 经过有交通信号灯的路口时遇到红灯C. 平面内不共线的三点确定一个圆D. 任意画一个三角形，其内角和是4. 如图，在中，弦AB，CD相交于点P，，，则的大小是( )A. B.C. D.5. 抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是( )A. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都只赛一场，计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为( )A. B.C. D.7.如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则的度数是( )A. B.C. D.8. 如表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中，x…13…y…m020m…根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是( )A. B. C. D.9. 一元二次方程的解是__________.10. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在__________填“内”“上”或“外”11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为__________.12. 圆心角是的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是__________.13. 点是抛物线上一点，则m的值是__________，点M关于原点对称的点的坐标是__________.14. 已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式：__________.15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，1为半径画圆．将绕点O逆时针旋转得到，使得与y轴相切，则的度数是__________.16. 如图，AB是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为AP 的中点，连接若的半径为2，则CM长的最大值是__________.17. 解方程：18. 已知：点A，B，C在上，且求作：直线l，使其过点C，并与相切．作法：①连接OC；②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于外一点D；③作直线直线CD就是所求作直线使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；完成下面的证明．证明：连接OB，BD，，四边形OBDC是菱形．点A，B，C在上，且，________填推理的依据四边形OBDC是正方形．，即为半径，直线CD为的切线____填推理的依据19. 已知二次函数将化成的形式，并写出它的顶点坐标；在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．20. 如图，AB是的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，若，，求的面积．21. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是____，其中红球的个数是____；如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．22. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转得到点E，连接AE，BE，求的度数；若是等边三角形，且，，，求BE的长．23. 已知关于x的方程求证：方程有两个不相等的实数根；设此方程的两个根分别为，，且，若，求m的值．24.如图，在中，，，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使与BC相切于点D，与AC相交于点过点B作，交ED 的延长线于点若，求的半径；连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B 到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系已知，，落点P的水平距离是40m，竖直高度是点A的坐标是____，点P的坐标是____；求满足的函数关系；运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线，且当时，求t的值；点，，在抛物线上，若，判断，与的大小关系，并说明理由．27.如图，在中，，，，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转得到线段CQ，连接依题意，补全图形，并证明：；求的度数；若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．28. 给定图形W 和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M 的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在点，，中，与点O关于线段AB 双对合的点是____；点K是x轴上一动点，的直径为1，①若点A与点关于双对合，求t的取值范围；②当点K运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点K 的横坐标k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数，当时，最小值是3，故选：2.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：3.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；B、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；C、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；D、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意；故选：4.【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理以及三角形的内角和定理可求出答案．【解答】解：，，，故选：5.【答案】D【解析】【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线故选：6.【答案】D【解析】【分析】赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，x个球队比赛总场数，由此可得出方程．【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，，故选：7.【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得与的度数，再由旋转性质得与的度数，并得，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得的度数，便可求得【解答】解：，，，由旋转性质知，，，，，故选：8.【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得a，b的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点和，抛物线的对称轴为直线，，根据表中信息，抛物线经过点，，，解得：，抛物线的解析式为，该抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向下，抛物线经过，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，故选：9.【答案】，【解析】【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：，开方得：，解得：，故答案为：，10.【答案】外【解析】【分析】根据的半径为r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可．【解答】解：的半径为5，点P到圆心O的距离为8，，点P在外．故答案为：外．11.【答案】【解析】【分析】由判别式求解．【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，，解得故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算，即可得出结果．【解答】解：该扇形的面积故答案为：13.【答案】6【解析】【分析】将代入即可求得m的值，进一步求得点M关于原点对称的点的坐标．【解答】解：点是抛物线上一点，，，点M关于原点对称的点的坐标是故答案为：6，14.【答案】【解析】【分析】根据该函数的增减性确定其系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．【解答】解：当时，y随x的增大而增大，抛物线方程中的二次项系数，对称轴是直线图象过原点，抛物线方程中的常数项符合题意．答案不唯一，如：15.【答案】或【解析】【分析】分两种情况，一是点在第一象限，设与y轴相切于点B，连接、，由切线的性质得，由旋转的性质得，，根据勾股定理求得，则，此时；二是点在第二象限，设与y轴相切于点C，连接、，则，此时【解答】解：如图1，点在第一象限，设与y轴相切于点B，连接、，，，的半径为1，，，由旋转得，的半径为1，，，，，如图2，点在第二象限，设与y轴相切于点C，连接、，，，，，，，，故答案为：或16.【答案】【解析】【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【解答】解：如图，当点P在上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的，因此交于点M，此时CM的值最大，由题意得，，，在中，，，，，故答案为：17.【答案】解：，则，解得：，【解析】【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．18.【答案】解：补全图形，如图所示：证明：连接OB，BD，如图：，四边形OBDC是菱形．点A，B，C在上，且，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半四边形OBDC是正方形．，即为半径，直线CD为的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】按要求作图即可；证明四边形OBDC是正方形，即可得，从而证明直线CD为的切线．19.【答案】解：该函数的顶点坐标为，该函数的顶点坐标为，与x轴的交点为，，经过点和点，函数图象如下图所示．当时，由图象可知，y的取值范围是【解析】【分析】根据配方法，可以将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可写出顶点坐标；先求出抛物线的顶点坐标，与x轴的两个点，及其它的两个点，然后即可画出相应的函数图象；根据中的函数图象，可以写出当时，函数值y的取值范围．20.【答案】解：设的半径是r，点C是AB的中点，OC过圆心O，，，，，，，，，，的面积【解析】【分析】设的半径是r，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算。
北京市西城区2019-2020学年九年级上期末数学试卷((有答案))
2017-2020 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每题 2 分）．如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90 °，假如 AC ＝ ， AB ＝ ，那么 sin B 等于（ ）13 5A ．B ．C ．D ．．点 A （ ，y 1）， B （ ， y 2）是反比率函数 y ＝图象上的两点，那么 y 1，y 2 的大小关系是2 1 3（ ）．y 1＞ y 2 ．y 1＝y 2C ． y 1 ＜y 2．不可以确立A BD3．抛物线 y ＝（ x ﹣ ）2﹣5 的极点坐标和张口方向分别是（）4A ．（ 4，﹣ 5），张口向上B ．（ 4，﹣ 5），张口向下C ．（﹣ 4，﹣ 5），张口向上D ．（﹣ 4，﹣ 5），张口向下4．圆心角为 60°，且半径为 12 的扇形的面积等于（ ）A ．48πB ．24πC ． 4πD ． 2π5．如图， ABO 的直径， CDO 的弦，假如∠ ACDBAD ）是⊙ 是⊙＝34°，那么∠ 等于（A ．34°B ．46°C ． 56°D ． 66°6．假如函数 y ＝x 2+4x ﹣m 的图象与 x 轴有公共点，那么 m 的取值范围是（）A ． m ≤ 4 ．m ＜ 4 ． m ≥﹣ 4 ． m ＞﹣ 4BC D7．如图，点 P 在△ ABC 的边 AC 上，假如增添一个条件后能够获得△ ABP ∽△ ACB ，那么以下添 加的条件中，不正确的选项是（ ）2A ．∠ ABP ＝∠ CB ．∠ APB ＝∠ ABC C ． AB ＝ AP?ACD ．8．如图，抛物线y＝ ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，假如对于 x 的方程 ax2 +bx﹣8＝0（ a ≠ ）的一个根为 ，那么该方程的另一个根为（ ）0 4A ．﹣ 4B ．﹣ 2C ． 1D ． 3二、填空题（本题共 16 分，每题 2 分） ．抛物线 y ＝x 2 +3 与 y 轴的交点坐标为 ． 9．如图，在△ ABC 中， D ， E 两点分别在 AB ，AC 边上， DE ∥BC ，假如 ＝ ，AC ＝ ，那么1010 EC ＝ ．11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P （ x ， y ）与点 A （2，2）在同一个反比率函数的图象上， PC ⊥ y 轴于点 C ，PD ⊥x 轴于点 D ，那么矩形 ODPC 的面积等于．12．如图，直线y 1＝ kx n （ k ≠ ）与抛物线 y 2＝ ax 2 bx c （a ≠ ）分别交于 A （﹣ ， ），B+ 0 + + 0 1 0（ 2，﹣ 3）两点，那么当 y 1＞y 2 时， x 的取值范围是．13．如图，⊙ O 的半径等于 4，假如弦 AB 所对的圆心角等于 120°，那么圆心 O 到弦 AB 的距离等于 ．14．2020 学年 9 月热播的专题片《绚烂中国﹣﹣圆梦工程》显现的中国桥、中国路等超级工程显现了中国现代化进度中的伟大成就，大家纷繁点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，此中苏通长江大桥（如图 1 所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图 2 的主桥表示图中，两座索塔及索塔双侧的斜拉索对称散布，大桥主跨BD的中点为 E，最长的斜拉索 CE长m，577记 CE与大桥主梁所夹的锐角∠ CED为α，那么用 CE的长和α的三角函数表示主跨 BD长的表达式应为 BD＝（m）．15．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（ a≠ 0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，此中点 B 的坐标为 B（4，0），抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，CE∥ AB，并与抛物线的对称轴交于点 E．现有以下结论：① a＞ 0；② b＞ 0；③ 4a+2b+c＜ 0；④ AD+CE＝ 4．此中全部正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为，A，P 两点在⊙ O上，点 B 在⊙ O内，tan∠ APB＝，AB⊥ AP．假如3OB⊥OP，那么 OB的长为．三、解答题（本题共68 分，第 17-20 题每题 5 分，第 21、22 题每题 5 分，第 23、24 题每题 5 分，第 25、 26 题每题 5 分，第 27、 28 题每题 5 分）17．计算： 2sin30 °+cos245°﹣ tan60 °．18．如图， AB∥ CD，AC与 BD的交点为 E，∠ ABE＝∠ ACB．（1）求证：△ ABE∽△ ACB；（2）假如 AB＝6，AE＝4，求 AC，CD的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 C1： y＝﹣ x2+2x．（1）补全表格：抛物线极点坐标与 x 轴交点坐标与 y 轴交点坐标y＝﹣ x2+2x （1，1）（0，0）（2）将抛物线C1向上平移 3 个单位获得抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线 C2与x 轴的两交点之间的距离是抛物线C1与 x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中， AB＝AC＝，∠ BAC＝°．将△ ABC绕点 A 逆时针旋转α度（＜α＜）2 45 0 180获得△ ADE， B， C两点的对应点分别为点D，E，BD， CE所在直线交于点 F．（1）当△ ABC旋转到图 1 地点时，∠ CAD＝（用α的代数式表示），∠ BFC 的度数为°；（2）当α＝ 45 时，在图 2 中画出△ ADE，并求此时点 A 到直线 BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成必定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞翔高度 h（m）与它的飞翔时间t （ s）知足二次函数关系， t 与 h 的几组对应值以下表所示．t （）0 0.5 1 1.5 2 sh（ m）0 8.75 15 18.75 20 （1）求 h 与 t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞翔 3s 时的高度；（3）问：小球的飞翔高度可否达到22m？请说明原因．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1）， B（ 2， b）两点，双曲线上一点 P 的横坐标为 1，直线 PA，PB与 x 轴的交点分别为点M，N，连结 AN．（1）直接写出 a，k 的值；（2）求证： PM＝PN，PM⊥ PN．13，以C为极点， CB为一边的∠α知足cosα＝．锐角△ ABC的顶23．如图，线段BC长为点 A 落在∠α 的另一边 l 上，且知足 sin A＝．求△ ABC的高 BD及 AB边的长，并联合你的计算过程画出高 BD及 AB边．（图中供给的单位长度供补全图形使用）24．如图， AB 是半圆的直径，过圆心O作 AB的垂线，与弦 AC的延伸线交于点D，点 E 在 OD 上，∠ DCE＝∠ B．（1）求证： CE是半圆的切线；（2）若 CD＝10， tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线 G ：y ＝x 2﹣ 2ax+a ﹣1（a 为常数）．（1）当 a ＝ 3 时，用配方法求抛物线 G 的极点坐标；（2）若记抛物线 G 的极点坐标为 P （p ，q ）．①分别用含 a 的代数式表示 p ， q ；②请在①的基础上持续用含 p 的代数式表示 q ；③由①②可得，极点 P 的地点会跟着 a 的取值变化而变化，但点 P 总落在的图象上．A ．一次函数B ．反比率函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（ 2）中的问题进行以下改编：将（ 2）中的抛物线 G 改为抛物线 H ：y ＝x 2﹣ ax N （a 为常数），此中 N 为含 a 的代数式，从而使这个新抛物线 H 知足：不论 a 取2 + 何值，它的极点总落在某个一次函数的图象上．请依照小明的改编思路，写出一个切合以上要求的新抛物线 H 的函数表达式： （用含 a 的代数式表示），它的极点所在的一 次函数图象的表达式 y ＝kx b （k ，b 为常数， k ≠ ）中， k ＝，b ＝ ．+ 026．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M ：y ＝ax 2bx c （a ≠ ）经过 A （﹣ ， ），且极点坐+ +1 0标为 B （，）．0 1（1）求抛物线 M 的函数表达式；（2）设 F （ t ， ）为 x 轴正半轴上一点，将抛物线 M 绕点 F 旋转 °获得抛物线 M ．0 180 1①抛物线 M 的极点 B 的坐标为；11②当抛物线 M 与线段 AB 有公共点时，联合函数的图象，求t 的取值范围．127．（7 分）如图 1，在 Rt △AOB 中，∠AOB ＝ 90°，∠ OAB ＝30°，点 C 在线段 OB 上，OC ＝2BC ，AO边上的一点 D 知足∠ OCD ＝30°．将△ OCD 绕点 O 逆时针旋转 α 度（ 90°＜α＜ 180°）获得△ OC ′D ′，C ，D 两点的对应点分别为点 C ′， D ′，连结 AC ′， BD ′，取 AC ′的中点M ，连结 OM ．（1）如图2，当C ′D ′∥ AB 时，α＝°，此时OM和BD ′之间的地点关系为；（2）绘图研究线段OM和 BD′之间的地点关系和数目关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中， A，B 两点的坐标分别为A（2，2）， B（2，﹣ 2）．对于给定的线段 AB及点 P，Q，给出以下定义：若点 Q对于 AB所在直线的对称点Q′落在△ ABP的内部（不含界限），则称点Q是点 P 对于线段 AB的内称点．（1）已知点P（，﹣）．4 1①在 Q1（1，﹣ 1）， Q2（ 1， 1）两点中，是点 P 对于线段 AB的内称点的是；②若点 M在直线 y＝x﹣1 上，且点 M是点 P 对于线段 AB的内称点，求点M的横坐标 x M的取值范围；（2）已知点 C（3，3），⊙C 的半径为 r ，点 D（4，0），若点 E 是点 D 对于线段 AB的内称点，且知足直线 DE与⊙ C相切，求半径 r 的取值范围．2017-2020 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本题共16 分，每题 2 分）．如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，假如 AC＝， AB＝，那么sinB 等于（）1 3 5A．B．C．D．【剖析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B 的值．【解答】解：∵在 Rt △ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝3，AB＝ 5，∴sin B＝＝．应选： A．【评论】本题主要考察了锐角三角函数关系，正确掌握定义是解题重点．2．点 A（1，y1）， B（3， y2）是反比率函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞ y2 ．y1＝y2 ． y1＜y2．不可以确立B C D【剖析】依据反比率函数图象上点的坐标特点，把A点和B点坐标代入反比率函数分析式可计算出 y1， y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（， y1）， B（，y2）是反比率函数 y＝图象上的两点，1 3∴y1＝﹣＝﹣ 6，y2＝﹣＝﹣ 2，∴y1＜y2．应选： C．【评论】本题考察了反比率函数图象上点的坐标特点：反比率函数y＝（ k 为常数， k≠）的图象是双曲线，图象上的点（ x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy ＝k；双曲线是对于原点对称的，两个分支上的点也是对于原点对称．3．抛物线y＝（ x﹣）2﹣5的极点坐标和张口方向分别是（）4A．（ 4，﹣ 5），张口向上B．（ 4，﹣ 5），张口向下C ．（﹣ 4，﹣ 5），张口向上D ．（﹣ 4，﹣ 5），张口向下【剖析】依据 y ＝ a （x ﹣h ）2 k ，a ＞ 0 时图象张口向上， a ＜ 0 时图象张口向下， 极点坐标是（ h ，+k ），对称轴是 x ＝h ，可得答案．【解答】 解：由 y ＝（ x ﹣4）2 ﹣5，得张口方向向上，极点坐标（ 4，﹣ 5）．应选： A ．【评论】 本题考察了二次函数的性质，利用 y ＝ a （ x ﹣ h ） 2+k ， a ＞ 0 时图象张口向上，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边， y 随 x 的增大而增大； a ＜0 时图象张口向下，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边， y 随 x 的增大而减小，顶点坐标是（ h ，k ），对称轴是 x ＝ h ，4．圆心角为60°，且半径为12 的扇形的面积等于（）A ．48πB ．24πC ． 4πD ． 2π【剖析】 直接依据扇形的面积公式进行计算．【解答】 解：依据扇形的面积公式，得S ＝＝ π（ cm 2）．24应选： B ．【评论】 本题主假如考察了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的重点．5．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，假如∠ ACD＝ °，那么∠ BAD 等于（）34A ．34°B ．46°C ． 56°D ． 66°【剖析】由 AB 是⊙ O 的直径，依据直径所对的圆周角是直角， 可求得∠ ADB ＝90°，又由∠ ACD＝ 34°，可求得∠ ABD 的度数，再依据直角三角形的性质求出答案．【解答】 解：∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°， ∵∠ ACD ＝ 34°，∴∠ ABD ＝ 34°∴∠ BAD ＝ 90°﹣∠ ABD ＝56°，应选： C ．【评论】本题考察了圆周角定理以及直角三角形的性质．本题比较简单，注意掌握数形联合思想的应用．6．假如函数y ＝x 2+4x ﹣m 的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（）A ．m ≤4B ．m ＜4C ． m ≥﹣ 4D ． m ＞﹣ 4【剖析】 依据已知得出方程 x 2 +4x ﹣m ＝0 有两个的实数解，即△≥ 0，求出不等式的解集即可．【解答】 解：∵函数 y ＝ x 2 +4x ﹣m 的图象与 x 轴有公共点，∴方程 x 2+4x ﹣m ＝0 有两个的实数解，即△＝ 42 ﹣4×1×（﹣ m ）≥ 0，解得： m ≥﹣ 4，应选： C ．【评论】 本题考察了二次函数与 x 轴的交点问题和一元二次方程的根的鉴别式，能得出对于m' 的不等式是解本题的重点．7．如图，点 P 在△ ABC 的边 AC 上，假如增添一个条件后能够获得△ ABP ∽△ ACB ，那么以下添加的条件中，不正确的选项是（ ）2A ．∠ ABP ＝∠ CB ．∠ APB ＝∠ ABC C ． AB ＝ AP?ACD ． 【剖析】 分别利用相像三角形的判断方法判断得出即可．【解答】 解： A 、当∠ ABP ＝∠ C 时，又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABP ∽△ ACB ，故此选项错误；B 、当∠ APB ＝∠ ABC 时，又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABP ∽△ ACB ，故此选项错误；C 、当 AB 2＝AP AC 即 ＝ 时，又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABP ∽△ ACB ，故此选项错误；?D 、没法获得△ ABP ∽△ ACB ，故此选项正确．应选： D ．【评论】 本题主要考察了相像三角形的判断，正确掌握判断方法是解题重点．．如图，抛物线 y ＝ ax 2 bx （a ≠ ）的对称轴为直线 x ＝ ，假如对于 x 的方程 ax 2 bx ﹣ ＝ 8+ +30 1 +8 0（ a ≠ ）的一个根为 ，那么该方程的另一个根为（）0 4A ．﹣ 4B ．﹣ 2C ． 1D ． 3【剖析】 依据抛物线的对称性获得抛物线与 x 轴的另一个交点可得答案．【解答】 解∵对于 x 的方程 ax 2 bx ﹣ ＝ ，有一个根为 ，+8 0 4 ∴抛物线与 x 轴的一个交点为（ 4，0），∵抛物线的对称轴为 x ＝ 1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣ 2， 0），∴方程的另一个根为 x ＝﹣ 2．应选： B ．【评论】本题主要考察二次函数的图象与系数的关系， 解题的重点数娴熟掌握二次函数的对称 性．二、填空题（本题共 16 分，每题 2 分）9．抛物线 y ＝x 2 +3 与 y 轴的交点坐标为 （ ， ） ．0 3【剖析】 把 x ＝0 代入分析式求出 y ，依据 y 轴上点的坐标特点解答即可．【解答】 解：当 x ＝ 0 时， y ＝ ，3则抛物线y ＝x2与 y 轴交点的坐标为（ 0 ， ），+33故答案为：（ 0，3）【评论】本题考察的是二次函数图象上点的坐标特点， 掌握 y 轴上点的横坐标为 0 是解题的关 键．．如图，在△ ABC 中， D ， E 两点分别在 A B ，AC 边上， DE ∥BC ，假如 ＝ ，AC ＝ ，那么 1010 EC ＝ 4 ．【剖析】由DE BC＝＝，可得EC AC∥ ，推出＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵ DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝ 10，∴EC＝×10＝4，故答案为 4．【评论】本题考察了平行线分线段成比率：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P（ x， y）与点 A（，）在同一个反2 2比率函数的图象上， PC⊥ y 轴于点 C，PD⊥ x 轴于点D，那么矩形 ODPC的面积等于 4 ．【剖析】依据点 A 的坐标可得出 k 的值，从而得出矩形 ODPC的面积．【解答】解：设点 A（，）在反比率函数 y＝的图象上，可得：，2 2解得：k＝，4由于第一象限内的点P（ x， y）与点 A（ 2， 2）在同一个反比率函数的图象上，因此矩形 ODPC的面积等于 4，故答案为： 4【评论】本题考察反比率函数系数k 的几何意义，重点是依据点 A 的坐标可得出 k 的值．12．如图，直线y1＝ kx+n（ k≠ 0）与抛物线 y2＝ ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣ 1，0）， B（，﹣）两点，那么当 y1＞y2时， x 的取值范围是﹣＜ x＜2 ．2 3 1【剖析】依据图象得出取值范围即可．【解答】解：由于直线 y1＝kx+n（ k≠ 0）与抛物线 y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于 A（﹣ 1，0），B（2，﹣ 3）两点，因此当 y1＞y2时，﹣ 1＜x＜2，故答案为：﹣ 1＜x＜2【评论】本题考察二次函数与不等式，重点是依据图象得出取值范围．13．如图，⊙ O 的半径等于 4，假如弦 AB所对的圆心角等于120°，那么圆心 O到弦 AB的距离等于2．【剖析】由圆心角∠ AOB＝ 120°，可得△ AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°， OA＝ OB，∴△ OAB是等腰三角形，∵OC⊥ AB，∴∠ ACO＝ 90°，∠ A＝ 30°，∴OC＝．故答案为： 2【评论】本题考察了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意依据题意作出图形是关键．14．2020 学年 9 月热播的专题片《绚烂中国﹣﹣圆梦工程》显现的中国桥、中国路等超级工程显现了中国现代化进度中的伟大成就，大家纷繁点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，此中苏通长江大桥（如图 1 所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图 2 的主桥表示图中，两座索塔及索塔双侧的斜拉索对称散布，大桥主跨 BD的中点为 E，最长的斜拉索 CE长 577m，记 CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用 CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为 BD＝1154cosα（m）．【剖析】依据题意和特别角的三角函数能够解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE?cosα＝ 2×577× cosα＝ 1154cosα，故答案为： 1154cosα．【评论】本题考察解直角三角形的应用，解答本题的重点是明确题意，利用特别角的三角函数解答．15．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（ a≠ 0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，此中点 B 的坐标为 B（4，0），抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，CE∥ AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有以下结论：① a＞ 0；② b＞0；③ 4a+2b+c ＜0；④ AD+CE＝ 4．此中全部正确结论的序号是②④ ．【剖析】依据图象的张口方向、与 x 和 y 轴的交点、对称轴所在的地点，判断即可．【解答】解：①该函数图象的张口向下， a＜0，错误；②∵ a＜0，﹣＞0，∴ b＞0，正确；③把 x＝ 2 代入分析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵ AD＝DB，CE＝OD，∴ AD+OD＝ DB+OD＝OB＝4，可得： AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【评论】本题考察了二次函数图象与系数的关系．依据二次函数y＝ax2+bx+c 系数符号判断抛物线张口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为，A，P 两点在⊙ O上，点 B 在⊙ O内，tan∠ APB＝，AB⊥ AP．假如3OB⊥OP，那么 OB的长为1．【剖析】如图，连结 OA，作 AM⊥ OB交 OB的延伸线于 M，作 PN⊥ MA交 MA的延伸线于 N．则四边形 POMN是矩形．想方法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连结 OA，作 AM⊥OB交 OB的延伸线于 M，作 PN⊥MA交 MA的延伸线于N．则四边形 POMN是矩形．∵∠ POB＝∠ PAB＝90°，∴P、O、B、A 四点共圆，∴∠ AOB＝∠ APB，AOM APB，设AM k，OM k，∴tan ∠＝tan ∠＝＝＝ 4 ＝3 在 Rt △OMA中，（ 4k）2+（3k）2＝32，解得 k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠ MAB+∠ABM＝90°，∠ MAB+∠ PAN＝90°，∴∠ ABM＝∠ PAN，∵∠ AMB＝∠ PNA＝ 90°，∴△ AMB∽△ PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝ OM﹣BM＝ 1．故答案为 1【评论】本题考察点与圆的地点关系，圆周角定理，相像三角形的判断和性质，矩形的判断和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构相像三角形，特别四边形解决问题．三、解答题（本题共68 分，第 17-20 题每题 5 分，第 21、22 题每题 5 分，第 23、24 题每题 5 分，第 25、 26 题每题 5 分，第 27、 28 题每题 5 分）17．计算： 2sin30 °+cos245°﹣ tan60 °．【剖析】依据特别角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝ 2× +（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【评论】考察了特别角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图， AB∥ CD，AC与 BD的交点为 E，∠ ABE＝∠ ACB．（1）求证：△ ABE∽△ ACB；（2）假如 AB＝6，AE＝4，求 AC，CD的长．【剖析】（1）依据相像三角形的判断证明即可；（2）利用相像三角形的性质解答即可．【解答】证明：（ 1）∵∠ ABE＝∠ ACB，∠ A＝∠ A，∴△ ABE∽△ ACB；（2）∵△ ABE∽△ ACB，∴，2∴AB＝AC?AE，∵AB＝ 6， AE＝4，∴AC＝，∵AB∥ CD，∴△ CDE∽△ ABE，∴，∴．【评论】本题考察相像三角形的判断和性质，重点是依据相像三角形的判断证明△ABE∽△ ACB．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 C1： y＝﹣ x2+2x．（1）补全表格：抛物线极点坐标与 x 轴交点坐标与 y 轴交点坐标y＝﹣ x2+2x（1，1）（0，0）（2，0）（0，0）（2）将抛物线 C1向上平移 3 个单位获得抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线 C2与 x 轴的两交点之间的距离是抛物线C1与 x 轴的两交点之间距离的多少倍．【剖析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；2【解答】解：（ 1） y＝﹣ x +2x 与 x 轴的交点为（ 0，0）和（ 2，0）（2）抛物线C1， C2以下图，抛物线C2与 x 轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x 轴的两交点之间距离的 2 倍【评论】本题考察抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的重点是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ ABC中， AB＝AC＝2，∠ BAC＝ 45°．将△ ABC绕点 A 逆时针旋转α度（ 0＜α＜ 180）获得△ ADE， B， C两点的对应点分别为点D，E，BD， CE所在直线交于点F．（1）当△ ABC旋转到图 1 地点时，∠ CAD＝α﹣45°（用α 的代数式表示），∠ BFC的度数为45°；（2）当α＝ 45 时，在图 2 中画出△ ADE，并求此时点 A 到直线 BE的距离．【剖析】（1）如图 1，利用旋转的性质得∠ BAD＝∠ CAE＝α， AB＝AD，AE＝AC，则∠ CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和获得∠ ABD＝∠ ACE，因此∠ BFC＝∠ BAC＝45°．（2）如图 2，△ ADE为所作， BE与 AC订交于 G，利用旋转的性质得点 D 与点 C 重合，∠ CAE＝45°， AE＝AB＝2，则△ ABE为等腰直角三角形，因此 BE＝ AB＝2 ，再证明 AG⊥BE，而后依据等腰直角三角形的性质求出 AG的长即可．【解答】解：（ 1）∵△ ABC绕点 A 逆时针旋转α度（ 0＜α＜ 180）获得△ ADE，如图 1，∴∠ BAD＝∠ CAE＝α， AB＝ AD，AE＝ AC，而∠ BAC＝ 45°，∴∠ CAD＝α﹣ 45°；∵AB＝ AD，AE＝ AC，∴∠ ABD＝∠ ADB＝（180°﹣∠ BAD）＝（ 180°﹣α）＝ 90°﹣α，∠ACE＝∠ AEC＝（180°﹣α）＝ 90°﹣α，∴∠ ABD＝∠ ACE，∴∠ BFC＝∠ BAC＝45°．故答案为α﹣ 45°； 45°；（2）如图 2，△ ADE为所作， BE与 AC订交于 G，∵△ ABC绕点 A 逆时针旋转 45 度获得△ ADE，而 AB＝AC，∠ BAC＝45°，∴点 D与点 C重合，∠ CAE＝45°， AE＝ AB＝2，∴△ ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而 AG均分∠ BAE，∴AG⊥ BE，∴AG ＝ BE ＝，即此时点 A 到直线 BE 的距离为．【评论】本题考察了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础长进行作图， 一般是联合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的重点是熟习基本几何图形的性质，联合几何图形的基天性质把复杂作图拆解成基本作图，逐渐操作．也考察了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成必定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞翔高度 h （m ）与它的飞翔时间 t （ s ）知足二次函数关系， t 与 h 的几组对应值以下表所示．t （ ） 00.511.52 sh （ m ）0 8.75 1518.7520（1）求 h 与 t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；s 时的高度；（2）求小球飞翔 3（3）问：小球的飞翔高度可否达到22m ？请说明原因．【剖析】 （ ）设 h 与 t 之间的函数关系式为h ＝at 2 bt （a ≠ ），而后再依据表格代入 t ＝1 1+ 0时， h ＝；t ＝2 时， h ＝20 可得对于 a 、b 的方程组，再解即可获得a 、b 的值，从而可得15函数分析式；（2）依据函数分析式，代入 t ＝3 可得 h 的值；（3）把函数分析式写成极点式的形式可得小球飞翔的最大高度，从而可得答案．【解答】 解：（ 1）∵ t ＝0 时， h ＝ 0，∴设 h 与 t 之间的函数关系式为 h ＝at 2 bt （a ≠ ），+ 0 ∵ t ＝1 时， h ＝15；t ＝2 时， h ＝ 20，∴，解得，∴h 与t 之间的函数关系式为h＝﹣ 5t 2+20t ；（2）小球飞翔 3 秒时， t ＝ 3（s），此时 h＝﹣ 5× 32 +20×3＝15（ m）．（3）∵ h＝﹣ 5t 2+20t ＝﹣ 5（t ﹣2）2 +20，∵22＞ 20，∴小球的飞翔高度不可以达到22m．【评论】本题主要考察了二次函数的应用，重点是掌握待定系数法求函数分析式，掌握配方法化极点分析式．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 y＝（k≠0）与直线 y＝的交点为 A（ a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA，PB与x 轴的交点分别为点M，N，连结 AN．（1）直接写出 a，k 的值；（2）求证： PM＝PN，PM⊥ PN．【剖析】（1）依照双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣ 1）， B（ 2， b）两点，可得点 A 与点B 对于原点对称，从而获得a，k 的值；（2）依据双曲线y＝上一点P 的横坐标为1，可得点P 的坐标为（1，2），从而获得直线PA，PB 的函数表达式分别为y＝x+1， y＝﹣ x+3，求得直线PA，PB 与x 轴的交点坐标分别为M （﹣ 1，0）， N（3，0），即可获得 PM＝ PN，PM⊥PN．【解答】解：（ 1）∵双曲线y＝（k≠ 0）与直线y＝的交点为A（a，﹣ 1）， B（2，b）两点，∴点 A 与点 B 对于原点对称，∴a ＝﹣ 2，b ＝1，∴把 A （﹣ 2，﹣ 1）代入双曲线 y ＝ ，可得 k ＝2；（2）证明：∵双曲线 y ＝ 上一点 P 的横坐标为 1，∴点 P 的坐标为（ 1，2），∴直线 PA ， PB 的函数表达式分别为 y ＝x+1， y ＝﹣ x+3，∴直线 PA ， PB 与 x 轴的交点坐标分别为 M （﹣ 1，0）， N （3，0），∴PM ＝2 ，PN ＝2 ，MN ＝4，2 2 2∴ PM ＝ PN ，PM PN ＝MN ，+∴∠ MPN ＝ 90°，∴PM ⊥ PN ．【评论】本题主要考察了反比率函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比率函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的重点是掌握待定系数法求一次函数分析式．23．如图，线段 BC 长为 13，以 C 为极点， CB 为一边的∠α 知足 cos α＝．锐角△ ABC 的顶点 A 落在∠α 的另一边 l 上，且知足 sin A ＝ ．求△ ABC 的高 BD 及 AB 边的长，并联合你的计算过程画出高 BD 及 AB 边．（图中供给的单位长度供补全图形使用）【剖析】 先利用直角作出 BD ，再用勾股定理求出 BD ，再用锐角三角函数求出 AB ，AD ，即可得出结论．【解答】 解：如图，作 BD ⊥ l 于点 D ，在 Rt △CBD 中，∠ CDB ＝90°， BC ＝13，∴cosC ＝cos α＝ ，∴CD＝ BC C＝×＝，BD＝＝，?cos 13 5 12在 Rt △ABD中， BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点 D为圆心， 9 为半径作弧与射线l 交于点 A，连结 AB，【评论】本题是解直角三角形，主要考察了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出 AB和 AD．24．如图， AB 是半圆的直径，过圆心O作 AB的垂线，与弦 AC的延伸线交于点D，点 E 在 OD 上，∠ DCE＝∠ B．（1）求证： CE是半圆的切线；（2）若 CD＝10， tan B＝，求半圆的半径．【剖析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠ B，从而判断出∠ BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出 sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠ B 即可得出结论．【解答】解：（ 1）连结 OC，∵AB是半圆的直径， AC是半圆的弦，∴∠ ACB＝ 90°，∵点 D在弦 AC的延伸线上，∴∠ DCB＝ 180°﹣∠ ACB＝ 90°，∴∠ DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝ OB，∴∠ BCO＝∠ B，∵∠ DCE＝∠ B，∴∠ BCO+∠BCE＝90°，即：∠ OCE＝90°，∴CE⊥ OC，∵点 C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图 1，在 Rt △ABC中， tan B＝，设AC＝ k，则BC＝ k，依据勾股定理得， AB＝k，2 3∴sin B＝＝，∵OD⊥ AB，∴∠ D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ ACB＝ 90°，∴∠ B+∠A＝90°，∴∠ D＝∠ B，∴sin D＝sin B＝，在 Rt △CDF中， sin D＝＝，∴c osB＝CF＝ m， DE＝ 2 2 2设m，依据勾股定理得， DF ﹣CF ＝CD，22 ﹣ 2 ，m m＝∴13 4 100∴m＝﹣（舍）或 m＝，∴CF＝，在 Rt △BOF中， BF＝＝k，∴BC＝ BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4【评论】本题主要考察了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的重点是判断出∠ BCO＝∠ B．25．已知抛物线 G：y＝x2﹣ 2ax+a﹣1（a 为常数）．（1）当 a＝ 3 时，用配方法求抛物线G的极点坐标；（2）若记抛物线 G的极点坐标为 P（p，q）．①分别用含 a 的代数式表示p， q；②请在①的基础上持续用含p 的代数式表示 q；③由①②可得，极点P 的地点会跟着 a 的取值变化而变化，但点P 总落在C的图象上．A．一次函数B．反比率函数C．二次函数）中的问题进行以下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线 H：y＝（3）小明想进一步对（ 2x2 ax N a为常数），此中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H知足：不论a取﹣2 +（何值，它的极点总落在某个一次函数的图象上．请依照小明的改编思路，写出一个切合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：y＝x2﹣ax a2 a （用含 a 的代数式表示），它的2 + +极点所在的一次函数图象的表达式y＝kx b（k，b 为常数， k≠）中，k＝1，b＝．+ 0【剖析】（）将 a＝1 代入函数分析式，而后化为极点式即可解答本题；1（2）①将题目中的函数分析式化为极点式即可用含 a 的代数式表示 p、 q；②依据①中的结果能够解答本题；③依据①②能够解答本题；（3）答案不独一，只需切合要就即可．【解答】解：（ 1）当 a＝3 时， y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（ x﹣ 3）2﹣7，∴此时抛物线的极点坐标为（3，﹣ 7）；（2）① y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（ x﹣a）2﹣a2+a﹣ 1，∵抛物线 G的极点坐标为 P（p，q），∴p＝a，q＝﹣ a2+a﹣ 1；②由①可得，q＝﹣ p2+p﹣ 1；③由①②可得，极点P 的地点会跟着 a 的取值变化而变化，但点P 总落在二次函数图象上，故答案为： C；（3）切合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： y＝x2﹣2ax+a2 +a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（ x﹣ a）2+a，∴极点坐标为（ a， a），∴它的极点所在的一次函数图象的表达式 y＝ x，∴k＝1，b＝0，故答案为： y＝x2﹣2ax+a2+a， 1， 0．【评论】本题考察二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 M：y＝ax2 +bx+c（a≠0）经过 A（﹣ 1，0），且极点坐标为 B（0，1）．（1）求抛物线 M的函数表达式；（）设 F（ t ，）为 x 轴正半轴上一点，将抛物线M绕点 F 旋转°获得抛物线M ．2 0 1801①抛物线 M 的极点 B 的坐标为（ t ，﹣）；1 12 1②当抛物线 M1与线段 AB有公共点时，联合函数的图象，求t 的取值范围．【剖析】 （1）依据待定系数法，可得答案；（2）①依据旋转的性质，可得B 与 B ′对于 F 点对称，依据中点公式，可得答案；②依据图象过 A ， B 点，可得点的坐标切合分析式，依据图象，可得答案．【解答】 解：（ 1）由抛物线 M 的极点坐标为 B （0，1），设抛物线的分析式为 y ＝ax 2+1，将 A （﹣ 1， 2）代入分析式，得 a ×（﹣ 1） 2+1＝0，解得 a ＝﹣ 1，∴抛物线的分析式为 y ＝﹣ x 2+1，（2）①由旋转的性质，得B 1 （x ，y ）与 B （ ， ）对于 F （t ， ）对称，0 1 0＝t ， ＝0，解得 x ＝ 2t ，y ＝﹣ 1，B 1 （2t ，﹣ 1）；故答案为：（ 2t ，﹣ 1）；②如图1，由题意，得极点是 B 1（ t ，﹣ ），二次项系数为 ，2 111的分析式为 y＝（ x ﹣2﹣ （ t ＞ ），12当抛物线 M经过2 ﹣ ＝ ，A （﹣ ， ），时（﹣ ﹣ t ）1111解得 t 1＝﹣ ，t 2＝ ．1 0当抛物线 M 经过 B （ ， ）时，10 1t ）2﹣＝， （2 1 1解得 t ＝ ，联合图象剖析，∵t ＞，∴当抛物线 M 与线段 AB有公共点时， t 的取值范围 0＜t ≤ ．1【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的重点；利用旋转得出 B 与 B′对于 F 点对称是解（ 2）①的重点，利用象过 A，B 点得出点的坐标的坐标切合分析式是解②重点．27．如图 1，在 Rt△AOB中，∠ AOB＝ 90°，∠ OAB＝30°，点 C 在线段 OB上，OC＝ 2BC，AO边上的一点 D知足∠ OCD＝30°．将△ OCD绕点 O逆时针旋转α度（ 90°＜α＜ 180°）获得△OC′D′， C， D 两点的对应点分别为点 C′， D′，连结 AC′， BD′，取 AC′的中点M，连结 OM．，当 C′D′∥ AB时，α＝150 °，此时 OM和 BD′之间的地点关系为垂直；（1）如图 2（2）绘图研究线段OM和 BD′之间的地点关系和数目关系，并加以证明．【剖析】（1）依据平行线的性质获得∠ ABD′+∠C′D′ B＝180°，依据周角的定义即可获得结论；（）取 AO的中点 E，连结 ME，延伸 MO交 BD′于 N，依据三角形的中位线的性质获得 EM∥OC′，2EM＝ OC′，依据相像三角形的性质获得∠AOM＝∠ ，，依据垂直的定2义即可获得结论．【解答】解：（ 1）∵ C′D′∥ AB，∴∠ABD′ ∠C′D′B＝°，+ 180∵∠ ABO＝∠ C′ D′ O＝ 60°，∴∠ OBD′ +∠BD′O＝60°，∴∠ BOD′＝ 120°，∴∠ BOC′＝ 360°﹣ 90°﹣ 90°﹣ 120°＝ 150°，∴α＝ 150°，此时， OM⊥ BD′；。
北京市西城区九级上学期数学期末试卷 (内含答案详析)
北京市西城区九级上学期期末试卷数 学（考试时间共120分钟，满分120分）准考证号：__________ 姓名：________ 座位号：___________ {请同学们保持良好的心态，认真审真，认真答题，切不可马虎应付} 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)--，2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D5．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sinA 的值为A BC ．12D ．26．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线12x =-．下列结论中，正确的是A ．a ＜0B ．当12x <-时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．当12x =-时，y 的最小值是44c b -7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF ，则旋转中心的坐标是A ．(00)，B ．(10)，C ．(11)-，D ．(2.50.5)，8．若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是A ．2m <B ．2m >C ．94m < D ．94m >二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE∥BC若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．10．把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y ．－111．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC 绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A' 落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．12．在平面直角坐标系xOy中，过点(65)A，作AB⊥x轴于点B．半径为r r<<的⊙A(05)与AB交于点C，过B点作⊙A的切线BD，切点为D，连接DC并延长交x 轴于点E.（1）当5r=时，EB的长等于；2（2）点E的坐标为（用含r的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．14．已知：二次函数23=+-的图象经过点(25)y x bxA，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2y x h k=-+的形式．()15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，点P在AD边上，且PC PB⊥．若AB＝6，DC＝4，PD＝2，求PB的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB⊥B D ，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点BC ，D 在同一条直线上．若测得CD ＝30米，求河宽AB （结果精确到1取1.73 1.41）．18．如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C ，连接OA ，AB ＝12，cos A = （1）求OC 的长；（2）点E ，F 在⊙O 上，EF∥AB．若EF ＝16，直接写出EF 与AB 之间的距离．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图ABCO象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式；（2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．20．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点（不与点C ，D 重合），作AF⊥AE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE∽△ABF ；（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ，①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若23CEDE=，求cos ABC ∠的值．22．阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线．．．．．．．都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．问题：⊙O 的半径为1，画一个⊙O 的关联图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发现能画出很多⊙O 的关联图形，例如：⊙O 本身和图1中的△ABC （它们都是封闭的图形），以及图2中以O 为圆心的 （它是非封闭的图形），它们都是⊙O 的关联图形．而图2中以P ，Q 为端点的一条曲线就不是⊙O 的关联图形．参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O 的关联图形是 （填序号）； ① ⊙O 的外切正多边形 ② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于1的同心圆（2）若图形G 是⊙O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形G 的周长的（DmE（最小值是____；（3）在图2中，当⊙O 的关联图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为y =__；（4）请你在备用图中画出一个⊙O 的关联图形，所画图形的长度l 小于（2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上．①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．24．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE.（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH⊥B C 于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当AB ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．25．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ； ②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐图2备用图图1角，且tan2∠=，求点P的横坐标；ADP（3）点E在x轴的正半轴上，o45OCE∠>，点O与点O'关于EC所在直线对称．作ON⊥EO'于点N，交EC于点M．若EM·EC＝32，求点E的坐标．数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．232=- ........................... 4分= (5)分14．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A(2，5)， ∴ 4235b +-=． ................................. 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． ............... 2分 （2） 令0y =，则有2230x x +-=． 解得13x =-，21x =．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． . 4分 （3）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． (5)分∴ ∠D=90°．∴ 90DCP DPC ∠+∠=︒． ∵PC PB ⊥，∴∠BPC=90°，90DPC APB ∠+∠=︒． ∴∠DCP=∠APB． ............. 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠．在Rt △PCD 中， CD=2，PD=4， ∴1tan 2PD DCP CD∠==．在Rt △PBA 中，AB=6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=．∴12PA =． ...................................... 4分 ∴PB == ..........................5分16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． ........................................... 1分依题意，得275(1)108x +=． ..................... 2分 整理，得236(1)25x +=． ......................... 3分615x +=±． 解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． .......... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． .............................................. 5分17．解：设河宽AB 为x 米． ..................... 1分 ∵ AB ⊥BC ，∴ ∠ABC=90°．∵ 在Rt△A BC 中，∠AC B=45°， ∴ AB=BC=x ． ....... 2分∵ 在Rt△ABD 中，∠ADB=30°， ∴ BD=33AB x =． (3)分3CD BD BC x x =-=-∴330x x -=． ................................. 4分解得15315x =+≈41．答：河宽AB 约为41米． ......................... 5分 18．解：（1）∵ AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB=12， ∴ 162AC AB ==． ................ 1分∵ 在Rt△AOC 中，∠ACO=90°，3cos 5A =，∴ 10OA =． .................... 2分 ∴ 228OC OA AC =-． (3)分（2）2或14． ................................. 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，······················· 1分 ∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ···· 2分 即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ··············· 4分 （3）20x -<<． ················ 5分ABCO20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°． ∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF⊥AE，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．∴ △ADE ∽△ABF ． ·············· 2分 （2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ． ∵ M 为EF 的中点， ∴ MH∥DC ，12MH EC =．∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°，∴ MH⊥FC，即MH 是点M 到FC 的距离． ∵ DE=x ，DC=AB=4． ∴ EC=4x -， ∴ 12MH EC =122x =-．即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． ................. 3分②∵△ADE∽△ABF ， ∴ DE BF ADAB=．∴ 24x BF =．∴ 2BF x =，FC=22x +，FH= CH=1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-．HMDFAECB∵ 122MH x =-，∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ...................... 4分 当85x =时，BM长的最小值是． ................. 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DA B =90°． ∵ OD∥BC，∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ． ∵ OC=OB ， ∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ． 在△COD 和△AOD 中， OC = OA ，∠DOC =∠AOD ， OD=OD ，∴ △COD ≌△AOD ．.............................. 1分 ∴ ∠OCD=∠DAB = 90°． ∴ OC⊥DE 于点C ． ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线． ............................ 2分（2）解：由23CEDE=，可设2(0)CE k k =>，则3DE k =．.. . 3分∴ AD DC k ==． ∴ 在Rt △DAE 中，2222AE DE AD k=-=．∴ tan E =22AD AE =． ∵ 在Rt △OCE 中，tan 2OC OC E CEk==．∴222OCk=， ∴ 2OC OA ==．∴ 在Rt △AOD 中，2232OD AO AD k=+=．.. ......... 4分∴ 3cos cos OA ABC AOD OD∠=∠==．.. .................. 5分22．解：（1）①③； 2分 （2）2π； 3分 （3）2x --；4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l 满足2π+≤ l ＜2π．例如：在图1中l 2=π+， 在图2中l =6． .. 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，图1 图2∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． ........................ 1分整理，得2340m m --=． 解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >．∴ m=4． ....................................... 2分 ②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上， ∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ..... 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--． .... 4分（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况：(ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+．7分24．（1）AD BE=，AD BE ⊥． ..................... 2分（2）证明：连接DM ，AM ． 在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点， ∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM=∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DMEM=，90AMD EMA ∠+∠=︒．∴ AMDMBMEM=，AMD BME ∠=∠． ·· 3分∴ △ADM ∽△BEM ． ∴AD DMBEEM== ............................... 4分延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ． ∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠． ∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ................................... 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时， ∵ △ADM ∽△BEM ， ∴ 2()3ADMBEMS AD S BE∆∆==． ∴ 13BEMADM S S ∆∆= ∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯=+∴S =（3≤x≤3． (6)分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADMS BM S AM ∆∆==．∴ 13BEMADM S S ∆∆=． ∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--9213333(3)232x =-⨯⨯-+33x =+．∴ 33S x =+(33-≤x ≤3)．综上，33S x =+(33-≤x ≤33+)． .............. 7分25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-；1分 ②∵ 当x=0时，y=－4， ∴ 点C 的坐标为(04)-，． ∵ ABCS ∆12c AB y =⋅＝12，∴ AB=6．又∵点A ，B 关于直线1x =-对称，∴ A 点和B 点的坐标分别为(40)-，，(20)，． ∴ 4440a a +-=．解得 12a =．∴ 所求二次函数的解析式为2142y x x =+-．......... 2分（2）如图，作DF⊥x 轴于点F ．分两种情况： (ⅰ)当点P 在直线AD 的下方时，如图所示． 由（1）得点A (40)-，，点D (21)-，， ∴ DF=1，AF=2．在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2AFADF DF∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求．∴ 点P 1的坐标为(24)--，． ....................... 3分(ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG=AP 1，连接DG ，作GH⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ． 又∵ (40)A -，，1(24)P --，， ∴ 点G 的坐标是(64)-，． 在△ADP 1中，5DA =，DP 1＝５， 125AP =，∴ 22211DA AP DP +=． ∴ 1o 90DAP ∠=． ∴ DA ⊥1GP ． ∴ 1DG DP =． ∴ 1ADG ADP ∠=∠． ∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求． 作D K⊥GH 于点K ，作P 2S∥GK 交DK 于点S ． 设P 2点的坐标为21(4)2x x x +-，，则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--．由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 整理，得 227140x x +-=． 解得7161x -±=．∵ P 2点在第二象限， ∴ P 2点的横坐标为71614x --=（舍正）．综上，P 点的横坐标为－2或71614--． .......... 5分（3）如图，连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ． ∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称， ∴ O O '⊥CE，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=． ∴ O 'C⊥O 'E ． ∵ ON ⊥O 'E ， ∴ O 'C ∥O N ． ∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠．∴ OC OM =． ................................... 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=，在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=，∴ OE ET ECOE=．∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅ 32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=．祝您生活愉快，工作顺心，前程似锦，愿此文帮助到您，谢谢！21 ∴ 2321648OE =+=．∵ 0OE >，∴ 43OE =．∵ 点E 在x 轴的正半轴上，∴ E 点的坐标为(43,0))． ...................... 8分。
北京市西城区九年级上学期期末考试数学试题(含答案).pdf
18．如果关于 x 的函数 y = ax2 + (a + 2)x + a +1的图象与 x 轴只有一个公共点，求实数 a 的值．
解方程，得 a1 = 40， a2 = 60 ．…………………………………………………… 3 分
当 a1 = 40时， 800 −10a = 800 −10 40 = 400 （件）．
当 a2 = 60时， 800 −10a = 800 −1060 = 200 （件）．
因为要使每天的销售量尽量大，所以 a = 40． ………………………………… 4 分
北京市西城区 2014-2015 学年度第一学期期末试卷
九年级数学
2015. 1
一、选择题(本题共 32 分，每小题 4 分)下面各题均有四个选项，其中只．有．一．个．是符合题意的．
1．二次函数 y = −(x+1)2 − 2 的最大值是（
）
A． −2
B． −1
C．1
D．2
2．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 CD 延长线上一点，如果 ADE=120°，那么∠B 等于（ ）
2
x
连接 AO 并延长与图象 G 的另一个交点为点 C，过点 A 的直线 l 与 x 轴的交点为点 D(1,0) ，过点 C 作 CE∥x
轴交直线 l 于点 E．
（1）求 m 的值及直线 l 对应的函数表达式； （2）求点 E 的坐标； （3）求证： BAE = ACB ．
北京市西城区九年级上期末考试数学试题及答案.doc
北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末试卷九年级数学 2014.1作图题用一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是 A ．(21)，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)--，2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是 A ．40° B ．50° C ．60°D ．80°3．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是 A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AC ＝2，则sin A 的值为 A B C ．12D ．26．如图，抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为直线12x =-．下列结论中，正确的是A ．a ＜0B ．当12x <-时，y 随x C ．0a b c ++>D ．当12x =-时，y7．如图，在平面直角坐标系xOy 纵坐标都是整数．若将△ABC 则旋转中心的坐标是A ．(00)，B ．(10)，C ．(11)-，D ．(2.50.5)，8．若抛物线()2231y x m m =-+-（m 是常数）与直线1y x =+有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m 的取值范围是 A ．2m < B ．2m >C ．94m <D ．94m >二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，△A BC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若2AD =，3DB =，1DE =，则BC 的长是 ．10．把抛物线2=y x 向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线=y ．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角后得到△A ′B ′C ，当点A 的对应点A' 落在AB 边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点(65)A ，作AB ⊥x 轴于点B ．半径为(05)r r <<的⊙A与AB 交于点C ，过B 点作⊙A 的切线BD ，切点为D ，连接DC 并延长交x 轴于点E .（1）当52r =时，EB 的长等于 ；（2）点E 的坐标为 （用含r 的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．14．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，． （1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．15．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝90°，点P 在AD 边上，且PC PB ⊥．若AB ＝6，DC ＝4，PD ＝2，求PB 的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．17．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BD ，∠ACB ＝45°，∠ADB ＝30°，并且点B ，C ，D 在同一条直线上．若测得CD ＝30米，求河宽AB （结果精确到11.73 1.41）．18．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，AB ＝12，cos A （1）求OC 的长；（2）点E ，F 在⊙O 上，EF ∥AB ．若EF ＝16，直接写出EF 与AB 之间的距离．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称．（1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．ABCO20．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 边上任意一点（不与点C ，D 重合），作AF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ． （1）求证：△ADE ∽△ABF ；（2）连接EF ，M 为EF 的中点，AB ＝4，AD ＝2，设DE ＝x ，①求点M 到FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连接BM ，设2BM y =，求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若23CE DE =，求cos ABC ∠的值．22．阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线．．．．．．．都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形． 问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O 的关联图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点建立平面直角坐标系xOy 进行探究，他发现能画出很多⊙O 的关联图形，例如：⊙O 本身和图1中的△ABC （它们都是封闭的图形），以及图2中以O 为圆心的 （它是非封闭的图形），它们都是⊙O 的关联图形．而图2中以P ，Q 为端点的一条曲线就不是⊙O 的关联图形．参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O 的关联图形是 （填序号）；（DmE① ⊙O 的外切正多边形 ② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于1的同心圆（2）若图形G 是⊙O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形G 的周长的最小值是____； （3）在图2中，当⊙O 的关联图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为y =__； （4）请你在备用图中画出一个⊙O 的关联图形，所画图形的长度l 小于（2）中图形G的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上． ①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．24．已知：△ABC ，△DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE . （1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的△DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH ⊥BC于点H ．设BH ＝x ，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当A B ＝6，DE ＝2时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．图2备用图图1（DmE25．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12． （1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ； ②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P 的横坐标；（3）点E 在x 轴的正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称．作ON ⊥EO '于点N ，交EC 于点M ．若EM ·EC ＝32，求点E 的坐标．北京市西城区2013-2014学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准 2014.1三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：2sin603tan302tan60cos45︒+︒-︒⋅︒．2322=- ................................................................................... 4分= ............................................................................................................... 5分14．解：（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A (2，5)，∴ 4235b +-=． .......................................................................................... 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． ................................................... 2分 （2）令0y =，则有2230x x +-=．解得13x =-，21x =．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(3,0)-和(1,0)． .......................... 4分 （3）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． ............................................................................................. 5分15．解：∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，∴ ∠D =90°．∴ 90DCP DPC ∠+∠=︒． ∵PC PB ⊥，∴∠BPC =90°，90DPC APB ∠+∠=︒．∴∠DCP =∠APB ． ................................................. 2分 ∴t an an t DCP APB =∠∠． 在Rt △PCD 中， CD =2，PD =4， ∴1tan 2PD DCP CD ∠==．在Rt △PBA 中，AB =6， ∴tan AB APB PA∠=．∴162PA=． ∴12PA =． ............................................................................................................... 4分∴PB .................................................................................. 5分16．解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x ． ......... 1分依题意，得275(1)108x +=． ................................................................................. 2分整理，得236(1)25x +=． .......................................................................................... 3分615x +=±．解得x 1=0.2=20%，x 2=－2.2（舍去）． ................................................................... 4分 答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%． ........ 5分 17．解：设河宽AB 为x 米． ............................................................................................... 1分AC B （2）2或14． ....................................................................................................... 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）二次函数2143y x x =-+图象的顶点(2,1)-关于y 轴的对称点坐标为(2,1)--，········································································· 1分∴ 所求的二次函数的解析式为22(2)1y x =+-， ································ 2分即2243y x x =++．（2）1-≤2y ≤3． ·················································································· 4分（3）20x -<<． ··················································································· 5分20．（1）证明：∵ 在矩形ABCD 中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．∴ 90ABF D ∠=∠=︒． ∵ AF ⊥AE ，∴ ∠EAF =90DAE EAB DAB ∠+∠=∠=︒． ∴ 90BAE BAF ∠+∠=︒． ∴ ∠DAE =∠BAF ．∴ △ADE ∽△ABF ． ······························································ 2分（2）解：①如图，取FC 的中点H ，连接MH ．∵ M 为EF 的中点，∴ MH ∥DC ，12MH EC =． ∵ 在矩形ABCD 中，∠C =90°， ∴ MH ⊥FC ，即MH 是点M 到FC 的距离． ∵ DE =x ，DC =AB =4． ∴ EC =4x -，∴ 12MH EC =122x =-．即点M 到FC 的距离为MH 122x =-． .................................................. 3分 ②∵△ADE ∽△ABF ，∴ DE BF AD AB =． ∴ 24x BF =． ∴ 2BF x =，FC =22x +，FH = CH =1x +． ∴ 1HB BF HF x =-=-． ∵ 122MH x =-， ∴ 在Rt △MHB 中，222221(2)(1)2MB BH MH x x =+=-+-25454x x =-+． ∴ 25454y x x =-+（04x <<）， ............................................................ 4分当85x =时，BM 长的最小值是． ................................................... 5分21．（1）证明：如图，连接OC ．∵ AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴ AD ⊥AB ， ∴ ∠DAB =90°． ∵ OD ∥BC ，HMDFAECB∴ ∠DOC =∠OCB ，∠AOD =∠ABC ． ∵ OC =OB ， ∴ ∠OCB =∠ABC ． ∴ ∠DOC =∠AOD ． 在△COD 和△AOD 中，OC = OA ， ∠DOC =∠AOD ，OD=OD ，∴ △COD ≌△AOD ． .................................................................................................. 1分 ∴ ∠OCD=∠DAB = 90°． ∴ OC ⊥DE 于点C ． ∵ OC 是⊙O 的半径，∴ DE 是⊙O 的切线． ............................................................................................. 2分（2）解：由23CE DE =，可设2(0)CE k k =>，则3DE k =．.. ........................................ 3分∴ AD DC k ==． ∴ 在Rt △DAE 中，AE =．∴ tan E =AD AE =∵ 在Rt △OCE 中，tan 2OC OCE CE k==． ∴ 2OC k=， ∴ OC OA ==∴ 在Rt △AOD 中，OD ．.. ................................................ 4分 ∴ cos cos OA ABC AOD OD ∠=∠=．.. ............................................................... 5分 22．解：（1）①③； .......... 2分（2）2π； ............ 3分 （3）x -- ... 4分（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度l 满足2π+≤ l ＜2π． 例如：在图1中l 2=π+，在图2中l =6． .......... 5分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得1分，否则得0分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）图1 图223．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ， ∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=． .................................................................... 1分 整理，得2340m m --=．解得，14m =，21m =-．又点A 在x 轴的正半轴上，∴ 0m >．∴ m =4． ............................................................................................................ 2分②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上，∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，． ...................................... 3分 设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)．∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩ ∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--．..................................... 4分 （２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况：(ⅰ)当02m <，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +； (ⅱ)当0≤2m ≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++； (ⅲ)当22m >，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+． 综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +； 当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++； 当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+． ............... 7分24．（1）AD BE=，AD BE ⊥． ........................................................................................ 2分（2）证明：连接DM ，AM ． 在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴ AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AM BM∴ 90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DM EM90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴ AM DM BM EM=，AMD BME ∠=∠． ······· 3分 ∴ △ADM ∽△BEM ．∴AD DM BE EM= ................................................................................ 4分 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ． ∴ MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠．∴ 90GKA AMB ∠=∠=︒．∴ AD BE ⊥． ............................................................................................ 5分（3）解：(ⅰ)当△DEF 绕点M 顺时针旋转α(o 0≤α≤o 90∵ △ADM ∽△BEM ，∴ 2()3ADM BEM S AD S BE∆∆==． ∴ 13BEM ADM S S ∆∆= ∴ ABM ADM BEM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+- 121133)12322x =⨯⨯⨯⨯--⨯ =+∴ S = （3≤x ≤3+． ........................................................... 6分(ⅱ) 当△DEF 绕点M 逆时针旋转α(o 0≤α≤o 90)角时，可证△ADM ∽△BEM ，∴ 21()3BEM ADM S BM S AM ∆∆==． ∴ 13BEM ADM S S ∆∆=． ∴ ABM BEM ADM DEM S S S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=-- 21)32x =⨯⨯-=∴ S =+(3x ≤3)．综上，S +(3≤x ≤3+)． ......................................................... 7分25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-； ................................................ 1分②∵∴∵ ∴..................................... 2分 （2）如图，作(ⅰ)∴在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2ADF DF∠==．延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求． ∴点P 1的坐标为(24)--，． ....................................................................... 3分 (ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA ≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ．又∵ (40)A -，，1(2P --，∴ 点G 的坐标是(64)-，在△ADP 1中， DA =DP 1＝５，1AP =，∴ 22211DA AP DP +=．∴ 1o 90DAP ∠=．∴ DA ⊥1GP ．∴ 1DG DP =．∴ 1ADG ADP ∠=∠．∴ 1tan tan ADG ADP ∠=∠P 2，则P 2点为所求．作DK2S ∥GK 交DK 于点S ．设P 4)x -， 则22241522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--． 由2P S DS =，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=． 140x -=．∵ P 2点在第二象限，∴ P 2点的横坐标为71614x --=（舍正）． 综上，P 点的横坐标为－2或71614--． ..................................................... 5分 （3）如图，连接O O '，交CE 于T ．连接O 'C ． ∵ 点O 与点O '关于EC 所在直线对称，∴ O O '⊥CE ，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=．∴ O 'C ⊥O 'E ．∵ ON ⊥O 'E ，∴ O 'C ∥O N ．∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠．分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ET OEC OE∠=， 在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OE OEC EC∠=， ∴ OE ET EC OE=． ∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅ 32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=．∴ 2321648OE =+=．∵ 0OE >，∴ 43OE =．∵ 点E 在x 轴的正半轴上，∴ E 点的坐标为(43,0)． ............................................................................... 8分。
2021-2022学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2021-2022学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）.1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54 5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.27．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为mm．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝.（用含α的式子表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A 关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．故选：C．7．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：B．8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，∵点C（t，n）在抛物线上，∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），故答案为：（﹣4，7）．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为900mm．【分析】利用弧长的计算公式即可求解．解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，由弧长公式得：＝800π，解得：R＝900，即此圆弧所在圆的半径为900mm，故答案为：900．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．【分析】满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．解：∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＜0，故抛物线的解析式可以为y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．解：抛物线y＝x2+2的顶点为（0，2），抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的顶点为（4，2），∴将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．故答案为：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝90°﹣.（用含α的式子表示）【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB ＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，故答案为：90°﹣．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为2．【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．解：取AC的中点H，连接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，∵AC2﹣AD2＝CD2．∴∠ADC＝90°，∵点H为AC的中点，∴DH＝CH＝3，∴BH＝，∵BD≥BH﹣DH，∴BD的最小值为5﹣3＝2，故答案为：2．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；（2）如图：（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一个根小于﹣1，∴k+3＜﹣1，解得k＜﹣4，即k的取值范围为k＜﹣4．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根据平行线的判定定理得到EF∥CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根据矩形的性质得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四边形CDEF是矩形；（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由（1）知，四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，解得AC＝5，故AC的长为5．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；（2）求篮球出手时距地面的高度．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，y＝2.3，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为8；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．（2）由当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，∵当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1，∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，记得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，则得：△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结论可得．解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，∴F是BD的中点，∴FD＝FB．在△DCF和△BGF中，，∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．∴∠DCB+∠GBC＝180°．∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．∴∠ACE＝∠CBG．∵CD＝CE，∴CE＝BG．在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（SAS）．∴AE＝CG．∵FG＝FC，∴CG＝2CF．∴AE＝2CF．∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点C3是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；③设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A 与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），∴AP＝OA+OP＝1+＝，∵B（﹣1，0），∴AB＝2，∵AP＝kAB，∴k＝，故答案为：；②∵C1（0，），A（1，0），∴OC1＝，∴AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可求出AC3＝＝＝，假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴C3为AF的中点，∴F（0，﹣1），∵F在圆上，∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∵C2（），∴AC2＝，∴，∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：C3；③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，∵点E点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝30°，∴AE＝，EF＝，OE＝＝，∴EF＝，∴E（）；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，∴MN≥NP，AM≤BP，∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，∴，∵k越大，1﹣k的值越小，∴﹣1+的值越小，∴当的值越大，k的值越小，∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，∴C（1，0），D（0，1），∵O到C和D的距离都是1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝＝，∵OG⊥CD，∴CG＝DG＝，∴OG＝＝，∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，∴k＝，∴k的最小值为，当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．。