二次根式定义性质
二次根式的定义和概念
二次根式1、定义：一般形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式。
其中，a 叫做被开方数。
2、√ā的简单性质和几何意义（1）双重非负性：a≥0 且a ≥0（2）（a ）2=a （a≥0），任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式。
3、二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有)0(,3,2≥x x ；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有31,9,4，2)(y x +最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽的因式；（3）被开方数不含分母。
4、二次根式的乘法和除法（1）积的算数平方根的性质b a ab ⋅=（a≥0，b ≥0）（2）乘法法则b a ⋅=ab （a≥0，b≥0）（3）除法法则b a ba =（a≥0，b>0） （4）根式有理化如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
对根式进行有理化处理，其实就是进行根式分母有理化。
5、二次根式的加法和减法（1）同类二次根式概念一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
如：25355=+6、二次根式的混合运算（1）确定运算顺序（2）灵活运用运算定律（3）正确使用乘法公式（4）大多数分母有理化要及时（5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化7.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式，进行通分即可b ab bb b a b a =⨯⨯= II.分母是多项式，一般为根式的加减多数时间利用平方差公式形如b a b a b a b a b a b a --=-+-=+))((1根式中分母不能含有根号，且要变为最简，运算才会更加直接简便。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
二次根式定义性质
学习意义
二次根式是数学中的重要概念，在解决数学问题中经常遇到。掌握二次根式的定义和性质，对于提高学生的数学 素养和解决问题的能力具有重要意义。同时，二次根式也是后续学习其他数学知识的基础，如解二次方程、求函 数的导数等。
02
二次根式基本概念
运算性质
在实数范围内，二次根式可以 进行加减乘除四则运算，但需 要注意运算过程中的定义域和
值域问题。
03
二次根式运算规则
加减运算规则
同类二次根式
只有被开方数相同的二次根式才能直接进行加减 运算。
合并同类项
将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指 数不变。
示例
√2 + 2√2 = 3√2，√3 - √3 = 0。
二次根式定义
根号表达式
形如√a (a≥0)的式子叫做二次根 式。其中，√称为根号，a称为被 开方数。
非负性
在实数范围内，被开方数a必须是 非负数，否则二次根式无意义。
二次根式分类
最简二次根式
被开方数中不含能开得尽方的因数或Байду номын сангаас因式，且根号下不含分母的二次根式 ，称为最简二次根式。
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，则这几个二次根 式称为同类二次根式。
07
总结与展望
学习成果总结
二次根式定义
掌握了二次根式的定义 ，即形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的代数式，其 中被开方数$a$是非负 数。
二次根式性质
理解了二次根式的性质 ，包括非负性、乘法定 理、加法定理等，并能 够运用这些性质进行二 次根式的化简和计算。
二次根式的概念和性质
二次根式与有理数的关系
二次根式与有理数存在着紧密的关系。有理数可以表示为二次根式的特殊形 式，而二次根式也可以化简为有理数的形式。理解这种关系可以帮助我们更 好地处理二次根式的运算和问题。
胡克定理和三角不等式
胡克定理
三角不等式
胡克定理描述了弹簧的弹性变形与所受力的关系， 可以用二次根式的形式表示。
二次根式的运算法则
加减法
二次根式加减法遵循同底 同幂原则，将根号内的数 值进行合并，然后进行相 应操作。
乘除法
二次根式乘除法时，可以 通过有理化的方法将根号 内的数值转化为有理数， 然后进行相应操作。
化简
化简二次根式是将一个二 次根式转化为另一种形式， 通常是将根号内的数值合 并或提取出满足条件的因 式。
二次根式的概念和性质
二次根式是代数Leabharlann 的一种重要形式，表示为一个数的平方根。学习二次根式 的概念和性质，将帮助我们更好地理解和运用这一概念。本章将系统介绍二 次根式的相关内容。
什么是二次根式？
二次根式是一个数的平方根，如√2、√5等。它们在代数和几何中都有重要的 应用。通过学习二次根式的性质，可以深入理解数学中的平方根概念。
三角不等式是数学中一条基本不等式，可以用二 次根式的形式表示。它在几何和代数中都有应用。
二次根式的图像及其性质
二次根式的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。通过研究二次根式的图像特性，我们可以了解它 的曲线形状、对称性以及其他重要的几何性质。
二次根式在实际生活中的应用
二次根式在实际生活中有广泛的应用，例如在物理学中描述速度和加速度，以及在几何学中描述曲线和 曲面的形状。了解这些应用可以帮助我们更好地应用二次根式。
二次根式的加减法和乘除法
二次根式的概念和性质
基础知识1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的算术平方根；另 。
一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】
【练一练】
4、
5、
6、
7、
题型三积的算数平方根的性质
【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题精析】
【例15】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、 4反过来:56、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. .D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <, ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（）.A ．a 2＋a 3=a5 B ．(－2x)3=－2x 3 C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ==-=,则,,a b c 的大小关系是: （ ）.(A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）.A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．aa b++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。
二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简二次根式是指含有平方根的表达式，它在数学中有着重要的应用。
本文将探讨二次根式的性质以及化简方法。
一、二次根式的性质1. 二次根式的定义与表示：二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
二次根式可以用分数指数表示，即a的1/2次方。
2. 二次根式的运算性质：（1）加法与减法：当二次根式的根数相同时，可以进行加法或减法运算。
例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。
（2）乘法与除法：当二次根式的根数相同时，可以进行乘法或除法运算。
例如√a × √b = √(a × b)，√a / √b = √(a / b)。
3. 二次根式的化简与分解：对于二次根式而言，有时可以进行化简与分解。
例如√(a^2) = a，√(a/b) = √a / √b。
二、二次根式的化简方法1. 化简含有相同根数的二次根式：当两个二次根式具有相同根数时，可以根据运算规律进行化简。
例如√(a) × √(b) = √(a × b)，√(a) / √(b) = √(a / b)。
2. 化简含有不同根数的二次根式：当两个二次根式具有不同根数时，可以通过有理化的方法进行化简。
有理化的目的是将二次根式的分母消去。
具体操作步骤如下：（1）将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
（2）将有理化后的分母进行分配。
（3）将相同根数的二次根式合并，并进行运算。
3. 示例：化简二次根式√(15) / √(3)：（1）将含有二次根式的分母进行有理化，即√(3) × √(3) = 3。
（2）有理化后的分母为3。
（3）利用有理化后的分母，进行分配运算，即（√(15) × √(3)) / 3。
（4）合并二次根式，即√(45) / 3。
（5）化简二次根式，即3√(5) / 3。
（6）最终得到化简后的结果：√(5)。
4. 注意事项：化简二次根式时，需要注意分母不能为零，同时要注意因式分解的方法，以便于简化运算步骤。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
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B组： 1、 为正整数时，
为整数，则 的值为___。
2、判断
式子是否为二次根式
a 3、已知：
+ ，求5y的值a。
a
思考：（ ）2与
相同吗？为什么？
a
y x 1 1 x
a
a2
y
解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， ≥0，（x+2）2+ =0
y
y
∴ （x+2 )2 =0， =0
解得x=-2 y=0
y
∴ xy =(-2)0=1
a 练习2：若 +
a=0，求ba、1b的值。
例3：计算
（1） (
)2
1（2）（2
)2
2
3
2 1
解：（1） ( )2=( 1 )2= （2） ( 2 )2=222× (
3
1 )2=24×3=12
3
练习3：计算
（1） ( )2 （2） ( )2 （3） ( -4 )2
（4）
0.3（5） (
)2 7
（采用练习1相同的游戏形式进行练习）
(11) 2
23
a 三、性质公式(
)2 =a（a
a=( )2 （a 0）
0）逆用可以得到：
a
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 一个数的平方的形式。
例如：3= （ )2 ，b= （ )2 （b 0）
3
b
例4：在实数范围内因式分解：4m2-7
解： 4m2-7= (2m)2- ( )2 =(2m+ )(2m-
)7
7
7
练习4：在实数范围内因式分解 （1）a2-5 （2）16b2 –17
例5：化简
a 4b a 2 b
解:
a 4b ( a )2 (2 b )2
1
在实数范围内有意义
1 x
练习游戏：
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （分组抢答）
（1） （3）
（2）
x3
（4）
（5） + 1 x2
x x
3 2x
1 x2
游戏规则，每出示一题，完成后可举手抢答， 并将解答过程利用幻灯在屏幕上显示。根据答 题情况评选出优胜组。
例2：已知（x+2）2 +
=0，求xy=？
x2
（ 3 ）2=?
5
（二）引导启发 构建新知
形如上面所看到的算术平方根 、 、 ( ) 11 3 a a 0
都是二次根式。
二次根式的定义：式子 (
)叫做a二次根a 式 。0
大家观察一下，二次根式具有哪些特点呢？
1、被开方数a必须是非负数。因此，二次根式
a
（ ）就是指非负数a的算术平方根。
a0
2、a可以是表示具体的数，也可以表示字母，只要a是
表示一个非负数的代数式就可以。
3、 a 0 ((a 0))
4、( )a2=a （a 0）
ห้องสมุดไป่ตู้
举出几个二次根式的例子：如：
7，
1， 2
x2 y ( y 0)， x2 y 2
思考：
中x+2须满足什么条件呢？
你能x知道2，当x是怎么样实数时
范围内有意义呢？
二次根式
（一）复习提问 以旧引新
回忆平方根定义，思考下列问题： 1、如果x2=3，那么x=_______
3
3 把 代入式子x2=3，又可得到什么式子呢？ 3 学生回答：（ ）2=3
（回忆探讨上面的练习，做一做） 如果x2=11，x2=0，x2=a呢？
想一想：
从上面我们得到的结论，你能知道 中x取值范围是什么？
在实数
x2
例1、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？
（1） x 3
1 （2） 1 x
解：（1）要使 x 3 在实数范围内有意义
则x-3 0 解得x 3
∴当x 3时， x 3 在实数范围内有意义
1 （2） 1 x
解：要使
1
在实数范围内有意义
1 x
则
1- x≠0
x≥0
解得x≥0且x≠1 ∴当x≥0且x≠1时，
a 2 b
a 2 b
( a 2 b)( a 2 b) a2 b
a2 b
（三）归纳总结 深化理解
1、二次根式定义。（强调a 0） 2、二次根式的性质。
利用这些性质，我们常常进行因式分解和根 式化简、计算等。
这为我们今后学习奠定了基础，希望同学们 能灵活掌握和运用。
（四）布置作业 反馈教学
（A组必做，B组选做） A组：P172 2（4）（5）（6） 3（2）（4）