二次根式定义及性质

二次根式定义及性质教学内容:并利用它们进行计算和化简•2. 重点：—「汕「•厂—，厂—5及其运用.3. 难点：利用 gx θ(α≥0)，(乔「二S0X°),= α⅛≥0) 解决具体问题知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如 丄；(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式，“"”称为二次根号. 知识点二：二次根式的性质1.&≥Q(a≥0)；(石)=Λ (d ≥ 0)=IaI= <3.2.a (a ≥0) -a (a <0)；4. 积的算术平方根的性质:5. 商的算术平方根的性质:λj'.∕∙,- -ΛJ I -■", ' -■；知识点三：代数式S形女口 5, a , a+b , ab ,】，X , & (α≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression).1.学习目标：理解二次根式的概念， 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论： U- ■' ■: ■' 111， 经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:(X >0)、1匚、=、二、U J i(X ≥0,y ≥ °)∙思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ∙∖厂”；第二，被开方数是正数或例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义?思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ?义.1解：由 3X -1 ≥ 0,得：X ≥ j1当X ≥ 1时，「丄-在实数范围内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 举一反三【变式1】X 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义?1解: (1)由 (M ≥ 0,解得：X 取任意实数•••当X 取任意实数时，二次根式' ■'在实数范围内都有意义(2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得：X > 1•当X > 1时，二次根式■在实数范围内都有意义•解：二次根式有:匸、C i(X ≥ 0,y ≥ 0);才能有意J∙. (X >0)、 不是二次根式的有:举一反三【变式1】计算:(x≥0); 1【变式2】当X是多少时，•一在实数范围内有意义?1思路点拨：要使J一上- -；+•■ + I在实数范围内有意义，___ 丄必须同时满足中的2x+3 ≥0和T十〕中的x+1 ≠ 0.2x+3≥0解：依题意，得〔兀+1至°3由①得：X ≥ -.由②得：X ≠ -13 丄当X≥-1且x≠ -1时，，l' ' + , 一在实数范围内有意义.类型二：二次根式的性质例1、计算:(厕(b ≥0)思路点拨：我们可以直接利用「〔(a≥0)的结论解题.(6「厂-解：⑴因为x ≥0,所以x+1 >0⑶ T a 2+2a+仁(a+1)22 2 2 2⑷∙ 4x -12x+9=(2x) -2 ∙ 2x • 3+3 =(2x-3) 又∙∙∙ (2x-3)2≥ 0例2、化简:(1)若=a ,则a 可以是什么数?⑶ L >a ,贝U a 可以是什么数? 思路点拨：思路点拨：因为(1)9=32, ⑵(-4)2=42,⑶25=52,⑷(-3)2=32,所以都可运用 J 「二-「』—山去化简.解：⑴丄I=W =3 ；(Nt 广=4;⑶】F =QI =5;⑷厂T =厂=3.⑴上1;⑵' 「思路点拨: (1)因为 X ≥ 0 ,所以 X+1 > 0 ；2 2(3)a +2a+1=(a+1) ≥0；(2)a 2≥ 0;2 2 2 2(4)4x -12x+9=(2x) -2 ∙ 2x • 3+3 =(2x-3) ≥ 0•所以上面的4题都可以运用= a (a ≥0)的重要结论解题.+ 2α + l=a 2+2a+1; ,?并根据这一性质回答下列问题.(2) ∙∙∙ a 2≥ 0,又••• (a+1)2≥0,∙∙∙ a 2+2a+1 ≥0, 2∙ 4x -12x+9 ≥2=4x -12x+9.例3、填空：当a ≥ 0时,;当a v 0时,=-a ,贝U a 可以是什么数?(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据⑴、(2)可知-I a I ,而I df大于a ,只有什么时候才能保证呢？解：⑴因为 扮= L ：,所以 a ≥ 0;类型三：二次根式性质的应用例1、当x=-4时，求二次根式J 一匚：『的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同例 2、(1)已知 y=-∙j2-： + 勺了一 F +5 ,求「"的值.(2)若 C- - +=0,求 丁宀、严的值.j _ 2 解：⑴由—— F -- -可得「 J」,.l _|(2) . V -： '.. r .■. _ J- [-<-_■ 、■一• 一 一U..√^+T = O J 二 0 ..Λ +1 = 0,⅛ — 1 = 0,p . a = - ↑f b-l：.β≡+⅛≡ = (-l)w +l≡=2.例3、在实数范围内分解因式:23(I)X -5； (2)x -2x ；解:⑴原式一；•••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使 ()2”中的数是正数,(2)因为 丄-一，，所以a ≤ 0; (3)因为当a ≥ 0时,要使 1∕" ', J ,即使a > a 所以a 不存在；当要使 \ - '■ I -,即使-a > a ,即 a v 0；综上,a v 0.解：将x=-4代入二次根式，得因为，当a ≤ 0时,那么-a ≥ 0.a v 0 时,= （M）（"）■⑵原式= XCX3-2）= ⅛i-（T2）i; =X（X+Λ∕2）（X-T2）.学习成果测评基础达标一、选择题1•下列式子中，不是二次根式的是（）3. （福建省福州市）若代数式K-1在实数范围内有意义，则X的取值范围为（）A . x> 0B . x≥0 C. X ≠ 0 D. x≥0 且X ≠ 15 . a≥0 时,二、'一::、A.—,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）B .C '丿十■'M 1.宀■'■.. <D . V-J ' _ 寸 JN表示的数可能是（）A .J- B. j I112•已知一个正方形的面积是 5 ,那么它的边长是（）B. LJ-IC. 1 D .以上皆不对”1的值是（）C . 4:D.以上都不对4.6.（辽宁省大连市）如图，数轴上点、填空题1. ___________________________ 若亦二 4，贝y X =.2•若血+3有意义，则Q 的取值范围是 __________________⑶（斯+3龍）（2筋-痂）=O10.（内蒙古鄂尔多斯市）如图，在数轴上，A 、B 两点之间表示整数的点有A B-< -- '_-^^3 y∕δ三、解答题1. 求下列二次根式中字母 a 的取值范围:个.9.计算:底面边长应是多少? 能力提升一、选择题2. （山西省临汾市）若■■■ --f∙'--：■,则』与3的大小关系是（）B .汽〕3.下列计算正确的是（）二、填空题Z-I1.若二 ，则」2. 若■■是一个正整数，则正整数 m 的最小值是3.已知实数「三、解答题1.当X 是多少时， 二+x 2在实数范围内有意义?2•某工厂要制作一批体积为 Im 3的产品包装盒，其高为 0.2m ,按设计需要，？底面应做成正方形试问C . 2D .无数4.(福建省厦门市) 3 √5 5-<—<A. L LJ F 列四个结论中，正确的是5 √5 3 _ <——<-B.→ LJC. D.⑴二• 1 ,1.使式子有意义的未知数B . 1A .B .C .D .在数轴上的对应点如图所示，则2•若T ■一 " +^- ■有意义，求4•已知' .l^ ",求 x+y 的值.综合探究1.（福建省南安市）观察分析下列数据，寻找规律： 0，匚「，3，2匸，，3、，，，那么 第10个数据应是 ____________ .两种解答中， _______ 的解答是错误的，错误的原因是 _____________4. 若:--一时，试化简八 ’厂一 U T -'.5. 在实数范围内分解下列因式（1）「- ; （2）打-：：.二次根式定义及性质测试题、复习1、什么叫平方根？开平方？2、平方根如何表示？3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：(1) 4; (2) 0.16; (3)旦. (1) 225; (2) 0.0001;163•先化简再求值：当a=9时，求a+J —「的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式 =a+ * '' =a+(1-a)=1 ；=a+ 厂T3.（北京市海淀区）已知实数X , y 满足∣Λ-5∣÷λj7+4 = 030082.（江苏省苏州市）等式）中的括号应填入 ______________=a+(a-1)=2a-1=17 .乙的解答为：原式,求代数式 的值.初二数学（下）知识改变命运创造未来258二、二次根式的意义1.二次根式的意义代数式________________ 叫做二次根式，读作 ________________ ,其中 __________ 是被开方数.通常把形如__________________ 的式子也叫做二次根式.2 •二次根式何时有意义二次根式有意义的条件是______________________________ .3. 例题例题1下列各式是二次根式吗？√2、总、口、√齐、jb(b<o)、√b r^τac.例题2设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义？(1) ∙∙.2x" ；(2) ^-X ; (3) ] - ; (4) ...1 X2.4 •练习(一)设X是实数，当X满足什么条件时，下列各式有意义?(1) (3) ∙. χ2 -2x 1 .、二次根式的性质性质性质2:性质性质4:例题3求下列二次根式的值:(1):(3 7)2;• X2 -2x 1 ,其中X = - 3 .2、选择题 (1)、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则 J (b T)2 - J (aT)2 =(A 、b-aB 、2-a-bC 、a-bD 、2+a-b∙∙ ∙ _______ a0 b(2) 、化简√(^√2^)2的结果是()A 、1-.2B 、、2-1C 、_ ( 2 -1)D 、_ (1- 2) (3) 、如果茫丄=,那么X 的取值范围是() J X-2 Y X-2A 、1 ≤ X ≤ 2B 、1v X ≤ 2C 、X ≥ 2D 、X >2例题4化简二次根式(1),72 ；(2),12a 3 ；(3)∙.18X 2 x _0 ；I® °)例题5设a 、b 、C 分别是三角形三边的长，化简:.(a _ b c)2C - a)2练习(二)：1、化简下列二次根式 (1)32 ；(2) '.. 27X 2(X -0)；(3)；，243(n-0);最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1） ______________________________________________ ; （2） ____________________________________________________ . 例题6判断下列二次根式是不是最简二次根式:；（2）、、42a ；（ 3） 、24X 3 ；（4） . 3 a 2 2a 1 （a _ -1）例题7将下列二次根式化成最简二次根式:（1） ,4x 3y 2 y 0 ； （ 2） . a 2-b 2 ][abab _ - 0 ； （3） . m n m n 02、练习（三）（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：I . ab,2c2y, . 4a 2 4a 1, . a 2 b 2（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式:（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：侑,再（b >0）,J a3（χT （x 一 y g y f 爲（p ®°）3、同类二次根式几个二次根式化成 ________________________ 后，如果 _________________ 相同,那么这几个二次根式叫做同 类二次根式.u 2「v 2 , ,a 2b-a 2 c a 0 ,（1例题8下列二次根式中，哪些是同类二次根式?例题9合并下列各式中的同类二次根式：_ 1 _ IL（I）2 2 —3 ÷—2 3 ；2 34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：A. （32,750,2』丄；B. j4χ3,2ι∕2X, J8χ2（X ≥0 ）;（2）合并下列各式中的同类二次根式:A. 3 .5 5 -4 .5;212,2一4,(2) 3 xy _ a . Xy b XyB. 2需+4拓-6禹+丄Vb.2。