2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性课件理

答案
解析 (1)当x<0时，－x>0. 因为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1. (2)∵f(x)＋f(－x) ＝ln ( 1＋x2－x)＋1＋ln ( 1＋x2＋x)＋1 ＝ln (1＋x2－x2)＋2＝2， ∴f(a)＋f(－a)＝2，则f(－a)＝－2.
基础知识过关
1．函数的奇偶性
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取
□ 定义域内的任何值时，都有 01 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函
数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
的正数，那么这个□03 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．
□02 最小
1．概念辨析 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称．( √ ) (2)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周 期函数．( √ ) (3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．√( )
答案 6
答案
解析 因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以 f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函 数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
解析
经典题型冲关
题型 一 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝lg
1－x2 －x .
又∵f(－x)＝lg [1－x－x2]＝lg 1x－x2＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
答案
(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x， 总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
答案
角度2 奇函数、偶函数性质的应用 2．(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0 时，f(x)的解析式为________； (2)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln ( 1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a) ＝________； (3)(2018·河南南阳模拟)若函数f(x)＝x1－aex2＋＋11为偶函数，则a＝_____. 答案 (1)－x3－x＋1 (2)－2 (3)1或－1
答案
所以f(x＋4)＝－fx＋1 2＝f(x)． 故函数f(x)的周期为4. 所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝－f11＝－e＋1 1.
答案
条件探究2 举例说明2中的“e”改为“2”，其他条件不变，求f(1)＋f(2)＋
f(3)＋…＋f(2018)的值．
解
因为函数f(x)的周期为4，且f(1)＝1＋2＝3，f(2)＝
∴h(x)是奇函数，A错误； 对于B，令h(x)＝|f(x)|g(x)， 则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|·g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函数，B错误； 对于C，令h(x)＝f(x)|g(x)|， 则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， ∴h(x)是奇函数，C正确；
答案 5
答案
解析 由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b ＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该 函数的最大值为5.
解析Biblioteka (4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0] 时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析
2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝
2．小题热身 (1)下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|ln x| D．y＝2－x 答案 A
解析 A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．
答案 解析
(2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则( )
A．f(2)>0>f(4) B．f(2)<0<f(4) C．f(2)>f(4)>0 D．f(2)<f(4)<0 答案 A
解析
(3)令u(x)＝1－aex2＋＋11， 根据函数f(x)＝x1－aex2＋＋11为偶函数， 可知u(x)＝1－aex2＋＋11为奇函数， 利用u(0)＝1－ae02＋＋11＝0， 可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.
解析
1．判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法
(2)图象法
2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将 转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．如举例 说明2(1)．
答案
解析 因为奇函数y＝f(x)，所以f(－4)＝－f(4)，f(－2)＝－f(2)．因为 f(－4)>0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．
解析
(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数 的最大值为________．
1．(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则 下列函数的最小正周期一定等于T2的是( )
A．f(2x) B．f2x C．2f(x) D．f(x2) 答案 A
答案
解析 由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f 2x＋T2 ＝ f(2x)，所以函数f(2x)的周期是T2；f2x＋T＝f2x，即f12x＋2T＝f2x，所以函数 f2x的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是 周期函数．
答案
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由11＋ －xx≥0得－1≤x<1， 所以f(x)的定义域为[－1,1)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．
答案
(3)由1|x－－x22|>≠0，2， 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
答案
解析 根据题意，定义在R上的函数f(x)是奇函数，则满足f(－x)＋f(x)＝ 0，即f(－x)＝－f(x)，又由f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x＋2)＝f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x ＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为4.
解析
2．(2018·安徽淮南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝
1 fx
，
当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2018)＝________.
答案 1
答案
解析 因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f1x，所以 f(x＋4)＝ fx＋1 2＝f(x)，所以函数 f(x)的周期为 4.当 x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，所以 f(2018) ＝f(504×4＋2)＝f(2)＝f10＝0＋1 e0＝1.
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
(2)f(x)＝(1－x)
11＋ －xx；
(3)f(x)＝l|xg－12－|－x22； (4)f(x)＝ x－2＋x2x＋，xx，<0x>，0. 解 (1)由3x2－－x32≥ ≥00， ， 得x2＝3，解得x＝± 3， 即函数f(x)的定义域为{－ 3， 3}， ∴f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
解析
条件探究 1 举例说明 2 中的“f(x＋2)＝f1x”改为“f(x＋1)＝11＋ －ffxx”，
其他条件不变，求 f(2019)．
解
因为f(x＋2)＝11＋－ffxx＋＋11＝11＋ －1111＋ － ＋ －ffffxxxx
＝11－－ffxx－＋11＋ ＋ffxx＝－f1x，
1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1) ＋a，则f(－8)＝( )
A．－3－a B．3＋a C．－2 D．2 答案 C
答案
解析 由题意得f(0)＝log31＋a＝0，所以a＝0. 所以当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)，又因为f(x)是奇函数，所以f(－8)＝－ f(8)＝－log39＝－2.
[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数 的奇偶性．(重点) 3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．(重点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看， 函数的奇偶性与周期性是高考的一个 热点．预测 2020 年高考会侧重以下三 点：①函数奇偶性的判断及应用；②函 数周期性的判断及应用；③综合利用函 数奇偶性、周期性和单调性求参数的值 或解不等式.
解析
2．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则 下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数