高考数学(新课标)考点汇总精析：考点29 合情推理与演绎推理
合情推理和演绎推理之间的联系和差异-高中数学知识点讲解
合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。
专题3 合情推理与演绎推理-2019年高二数学选修重难点解读
专题3 合情推理和演绎推理【重点考向】一、合情推理1.含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2.合情推理的过程：从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳、类比提出猜想3.分类（1）归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②特征：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（2）类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．②特征：类比推理是由特殊到特殊的推理．注意：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．二、演绎推理(1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理（由一般到特殊的推理）．(2)三段论：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；即M是P②小前提——所研究的特殊情况；即S是M③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断；S是P.【考点精讲】考点一归纳推理【例1】（1）有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有灰色的正六边形的个数是A．26 B．31C．32 D．36【答案】B（2）．根据给出的数塔猜测（）…A． B． C． D．【答案】A【解析】由；；；，，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，，故选A.【举一反三】1．将正整数排成下表：则在表中，数字2017出现在（）A．第44行第80列 B．第45行第81列C．第44行第81列 D．第45行第80列【答案】B【解析】由图可知第行有个数字，前行的数字个数为个，，且，在第45 行，又，且45行有个数字，在第，数字2017出现在第45行第81列，故选B .2．如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，（），则在第个图形中共有（）个顶点.A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知中的图形可以得到：当时，顶点共有个；当时，顶点共有个；当时，顶点共有个；当时，顶点共有个；由此可以推断，第个图形共有顶点个，故选B.3．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大【答案】A【解析】由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．考点二类比推理【例2】（1）通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：【答案】见解析【解析】三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：半并且平行于第角形（2）在一项田径比赛中,甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A 、B 、C 做了一项预测: A 说:“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”. B 说:“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”. C 说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后,发现A 、B、C 三人中有一人的两个判断都对,一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错,根据以上情况可判断冠军是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】A【解析】先假设A 选项正确，也即是甲为冠军，那么观众A 判断一对一错，观众B 判断都错，观众C 判断都对，符合题意.对于B,C,D 三个选项，假设后通过验证可知不符合题意.故本题选A. 【举一反三】 1．三角形的面积为为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ ） A ． B．C ．，（h 为四面体的高）D ． （分别为四面体的四个面的面积，为四面体内接球的半径）【答案】D【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O 与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V（S 1+S 2+S 3+S 4）r ，故选：D ．2．.已知为等比数列，，则．若为等差数列，，则的类似结论为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由等差数列性质，有＝＝…＝2.易知选项D正确．4．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）A． B． C． D．【答案】A5．已知为等差数列，，.若为等比数列，，则类似的结论是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】在等差数列中，令，则，∴，∴．在等比数列中，令，则，∴，∴．故选D．考点三演绎推理【例3-1】用三段论的形式写出下列演绎推理．（1）菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．（2）若两角是对顶角，则这两个角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．【解析】（1）每个菱形的对角线都相互垂直………………………………大前提正方形是菱形…………………………………………………………………小前提正方形的对角线相互垂直……………………………………………………结论（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等……………………………………大前提∠1和∠2不相等…………………………………………………………小前提∠1和∠2不是对顶角……………………………………………………结论【举一反三】1.将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．故答案为：乙．1．有一个游戏将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有3的卡片;乙说:甲或丙拿到标有2的卡片;丙说:标有1的卡片在甲手中;丁说:甲拿到标有3的卡片。
【备考2021】（新课标）2021年高考数学 考点汇总 考点29 合情推理与演绎推理（含解析）(1)
考点29 合情推理与演绎推理一、选择题1.(2021·广东高考文科·T10)对任意复数ω1,ω2,概念ω1*ω2=ω12ω,其中2ω是ω2的共轭复数.对任意复数z 1,z 2,z 3,有如下四个命题: ①(z 1+z 2) *z 3=(z 1*z 3)+(z 2*z 3);②z 1* (z 2+z 3)=(z 1*z 2)+(z 1*z 3);③(z 1*z 2) *z 3=z 1* (z 2*z 3);④z 1*z 2=z 2*z 1. 那么真命题的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】因为新概念ω1*ω2=ω12ω,因此对运算“*”是不是知足分派率、结合律、互换律需要一一验证判定.【解析】选B.因为(z 1+z 2) *z 3=(z 1+z 2)3z =z 13z +z 23z =(z 1*z 3)+(z 2*z 3),因此①正确;因为z 1* (z 2+z 3)=z 1(23z z +)=z 12z +z 13z =(z 1*z 2)+(z 1*z 3),因此②正确;(z 1*z 2) *z 3=(z 12z )3z =z 123z z ,z 1* (z 2*z 3)=z 1(23z z *)=z 1(23z z )=z 12z z 3,因此(z 1*z 2) *z 3≠z 1* (z 2*z 3)(实质上z 3不是实数时(z 1*z 2) *z 3=z 1* (z 2*z 3)不成立),③不正确;因为z 1*z 2=z 12z ,z 2*z 1=z 21z ,除非z 12z =z 21z ,也确实是z 12z 是实数才能成立,不然z 1*z 2≠z 2*z 1,因此④不必然成立,故①②正确.二、填空题2.(2021·陕西高考理科·T14)观看分析下表中的数据:多面体 面数(F ) 顶点数(V ) 棱数(E )三棱柱 56 9 五棱锥 6 6 10立方体6812猜想一样凸多面体中,F,V,E所知足的等式是.【解题指南】此题是对欧拉公式的考查,观看图形,准确数出各图形的极点数、面数、棱数是解题的关键.【解析】因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,因此V+F-E=2;答案:V+F-E=2。
高中数学知识点精讲精析 合情推理与演绎推理
2.1 合情推理与演绎推理1、合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
它具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用。
归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理。
2、演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
它是一般到特殊的推理。
3、三段论：①大前提：已知的一般原理(M 是P)；②小前提：所研究的特殊情况(S 是M)；③结论：根据一般原理，对特殊情况作出判断(S 是P)。
只要前提与推理形式正确，结论必定正确。
1．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。
小王 发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。
小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。
他写出不是质数的一个数是 （ ）A ．1643B ．1679C ．1681D ．1697答案：C 。
解析：观察可知：),1(2,,6,4,21342312-=-=-=-=--n a a a a a a a a n n累加可得： 2)1(2)222)(1()1(2421n n n n n a a n -=-+-=-+++=- ， ∴,41222+-=n n a n 验证可知1681符合此式，且41×41=1681。
2．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2=a 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2；③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042>-ac b 可以类比得到：方程),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042>-ac b ； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( )A.①③B. ②④C. ①④D. ②③答案：D 。
高考数学一轮复习知识点与练习 合情推理和演绎推理
1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________．①使用了归纳推理；②使用了类比推理； ③使用了“三段论”，但推理形式错误； ④使用了“三段论”，但小前提错误．3．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…， 据此规律，第n 个等式可为_______________．命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．题型二 类比推理例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．题型三 演绎推理例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________．①大前提错误；②小前提错误；③推理形式错误；④非以上错误．10．高考中的合情推理问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2 014是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．①A＝N*，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.温馨提醒(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足P A ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________． ①结论正确； ②大前提不正确； ③小前提不正确； ④全不正确．3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n )＝__________.4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是________．5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________． ①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn②d n ＝c 1·c 2·…·c nn③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c nnn④d n ＝n c 1·c 2·…·c n6．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…… 照此规律，第五个不等式为________________________．7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.9．设f (x )＝13x＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号)12．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．14．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．15．已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．。
高考数学(简单版)-1合情推理、演绎、直接间接证明-简单难度-讲义 (2)
合情推理、演绎、直接间接证明知识讲解一、合情推理与演绎推理1.推理概念：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论．2.合情推理概念：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情理．合情推理分类：1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3.演绎推理概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论包括：1）大前提---已知的一般原理；2）小前提---所研究的特殊情况；3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．4.演绎法：概念：如果一般的命题是已经证明了的，或者是未经证明而作为真理用的，那么以这个一般命题推出的每一个特殊命题也就是正确的．象这样由一般到特殊的推理方法，通常称为演绎推理或者演绎法一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．二、直接证明与间接证明1.综合法概念：综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．2.分析法概念：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．3.反证法概念：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法．证明的一般步骤：1）假设命题的结论不成立；2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；3）断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立三．常见结论结论：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边；体积面积；二面角平面角；面积线段长；典型例题一．选择题（共24小题）1．（2018•乌鲁木齐一模）甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了．”乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了．”丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了．”结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（）A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁2．（2018•柳州一模）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A．壬子年B．辛子年C．辛丑年D．庚丑年3．（2018•四川模拟）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．1﹣9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）A．B．C．D．4．（2018•凯里市校级四模）如图是2017年1﹣11月汽油、柴油介个走势图（单位：元/吨），据此下列说法错误的是（）A．从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B．从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C．92#汽油与95#汽油价格成正相关D．2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌5．（2018•湖南模拟）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（）年A．丙酉B．戊申C．己申D．己酉6．（2018•昆明一模）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值7．（2018•抚顺一模）学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丁和戊D．甲和丁8．（2018•长春四模）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果9．（2018•淄博一模）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确10．（2018•秦州区校级三模）下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误11．（2018•泸州模拟）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了12．（2018•邕宁区校级模拟）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2018春•烟台期中）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（2018春•桃城区校级期中）下列表述：①综合法是由因到果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句与（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．（2018春•济宁期中）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q 的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定16．（2017春•钦州期末）（文）下列说法中正确的是（）A．合情推理就是类比推理B．归纳推理是从一般到特殊的推理C．合情推理就是归纳推理D．类比推理是从特殊到特殊的推理17．（2016春•邹平县校级期中）若a＞b＞c，则使恒成立的最大的正整数k为（）A．2 B．3C．4 D．518．（2009春•温州期末）设函数f（x）=，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3））+…+f（0））+f（1））+…+f（5）+f（6）的值为（）A．B．C．3D．19．（2015秋•雁塔区校级期末）要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法20．（2016春•枣阳市校级期中）设x，y，z＞0，则三个数+，+，+（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于221．（2016春•曲阜市校级月考）下列说法不正确的是（）A．综合法是由因导果的顺推证法B．分析法是执果索因的逆推证法C．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件D．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用22．（2014•奎文区校级模拟）证明命题：“f（x）=e x+在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f（x）=e x+，所以f′（x）=e x﹣，因为x＞0，所以e x＞1，0＜＜1，所以e x﹣＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是23．（2014•海淀区校级模拟）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件24．要证明+＜2+所选择的方法有以下几种，其中合理的是（）A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法二．填空题（共3小题）25．（2014秋•襄阳期末）分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的.（填序号）①充分条件；②必要条件；③充要条件．26．（2010•江苏模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣2a n=2n，则a n=. 27．如图所示，直线m∥n，AB⊥m，∠ABC=130°，那么∠α为．三．解答题（共7小题）28．证明：x∈[0，+∞），e x+x3﹣2x2≥（e﹣1）x．29．已知数列{a n}满足：a1=，且a n=（n≥2，n∈N*）．证明：{1﹣}为一个等比数列，求数列{a n}的通项公式．30．用分析法和综合法分别证明下题：如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF相交于M，求证：MB=MC．31．已知f（x）=，证明f（x）+f（1﹣x）=．32．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，M为BC的中点，BN⊥AM，且交AC于点N，用解析法证明：∠CMN=∠BMA．33．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，证明：CD1∥EF．34．求证：关于x的方程sin（cosx）=x在区间（0，）内有唯一的实数解．。
高考数学总复习考点知识专题讲解33---合情推理与演绎推理
归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理，观察数字的变化特点， 找出等式左、右两侧的规律及符号即可求解． (2)与不等式有关的推理，观察每个不等式的特点，注 意是纵向看，找到规律后可解．
(3)与数列有关的推理，通常是先求出几个特殊现象， 采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即 可．
n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an
的表达式是( C )
A．an＝3n－2 C．an＝n2
B．an＝4n－3 D．an＝3n－1
[解析] 由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9， a4＝16.猜得an＝n2.故选C.
4．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增
角度2：式子的归纳
【例1－2】 已知f(x)＝exx，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝
[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，经计算：f1(x)＝
1－ex x，f2(x)＝x－ex 2，f3(x)＝3－ex x，…，照此规律，则fn(x)＝ －1nx－n
________e_x___________.
___2_____.
[解析]
由题意，可令1＋
1 1＋1＋1…＝x，易知 Nhomakorabea>0，则1
＋1x＝x，即x2－x－1＝0，可得x＝1＋2 5，故1＋1＋11＋1…＝
1＋ 5 2.
考点三 演绎推理
【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1 ＝n＋n 2Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列Snn是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
1．合情推理
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下 的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理 是由一般到 特殊 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
合情推理与演绎推理
10. (2010·衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值.
解析： 由题意知: f(x)+f(1-x)= ∴f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]= .
举一反三
解析: ,…，猜想： .
题型二 类比推理 【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质. 分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.
从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,
解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球; （2）空间中不共面的4个点确定一个球; （3）球的表面积与体积可求; （4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; （2）平面内不共线的3个点确定一个圆； （3）圆的周长和面积可求; （4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.
解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61. (2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8, f(4)-f(3)=7+5=12,…,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n. f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1 =
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考点29 合情推理与演绎推理
一、选择题
1.(2014·广东高考文科·T10)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω12ω,其中2ω是ω2的共轭复数.对任意复数z 1,z 2,z 3,有如下四个命题: ①(z 1+z 2) *z 3=(z 1*z 3)+(z 2*z 3); ②z 1* (z 2+z 3)=(z 1*z 2)+( z 1*z 3); ③(z 1*z 2) *z 3=z 1* (z 2*z 3); ④z 1*z 2=z 2*z 1.
则真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
【解题提示】因为新定义ω1*ω2=ω12ω,所以对运算“*”是否满足分配率、结合律、交换律需要逐一验证判断.
【解析】选B.因为(z 1+z 2) *z 3=(z 1+z 2)3z = z 13z +z 23z =(z 1*z 3)+(z 2*z 3),所以①正确; 因为z 1* (z 2+z 3)=z 1(23z z +)=z 12z +z 13z =(z 1*z 2)+(z 1*z 3),所以②正确; (z 1*z 2) *z 3=(z 12z )3z =z 123z z ,z 1* (z 2*z 3)=z 1(23z z *)=z 1(23z z )=z 12z z 3, 所以(z 1*z 2) *z 3≠z 1* (z 2*z 3)(实质上z 3不是实数时(z 1*z 2) *z 3=z 1* (z 2*z 3) 不成立),③不正确;
因为z 1*z 2=z 12z ,z 2*z 1=z 21z ,除非z 12z =z 21z ,也就是z 12z 是实数才能成立,否则z 1*z 2≠z 2*z 1,所以④不一定成立,故①②正确. 二、填空题
2.(2014·陕西高考理科·T14)观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F ) 顶点数(V ) 棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6
8
12
猜想一般凸多面体中,F ,V ,E 所满足的等式是 .
【解题指南】本题是对欧拉公式的考查,观察图形,准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键.
【解析】因为5+6-9=2, 6+6-10=2,
6+8-12=2,
所以V+F-E=2;
答案:V+F-E=2
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