2019届四川省棠湖中学高三上学期开学考试数学(文)试题(解析版)

2019届四川省棠湖中学高三上学期开学考试数学（文）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．下列复数是纯虚数的是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据复数运算化简即可得到答案。

【详解】所以选C【点睛】本题考查了复数的概念和基本运算，属于基础题。

2．已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A．2y±x＝0 B．2x±y＝0 C．8x±y＝0 D．x±8y＝0【答案】B【解析】【分析】根据离心率求得a与c的关系，再由双曲线中a、b、c的关系得到a、b的关系，进而得到渐近线方程。

【详解】，即所以即所以选B【点睛】本题考查了双曲线的基本性质，属于基础题。

3．已知集合，，则A．B．C．或D．或【答案】C【解析】【分析】求出集合中的不等式的解集确定出，找出，的交集后直接取补集计算【详解】则或故选【点睛】本题主要考查了不等式的解法及集合的交集，补集的运算，属于基础题。

4．已知命题：，使得，则为A．，总有B．，使得C．，总有D．，使得【答案】C【解析】【分析】原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案【详解】命题：，使得：，总有故选【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题。

5．若，满足约束条件，则的最小值是A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案.详解：作出可行域如图：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为：.故选：C.点睛：线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 6．已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( )． A ． -4 B ． -3 C ． -2 D ． -1 【答案】B【解析】试题分析：由于，所以，即，整理得，故选C ．【考点】平面向量垂直的坐标表示． 7．方程至少有一个负根的充要条件是A ．B ．C ．D ．或【答案】C【解析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；若方程有两个负的实根，则必有．②若时，可得也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．故答案为：C【考点】充要条件，一元二次方程根的分布8．设，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，，即，，．【考点】函数的比较大小．9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据几何体的性质，判断出球心的位置，进而求得球的半径和体积。

【详解】侧面为等边三角形，所以四棱锥为正四棱锥从顶点向底面作垂直，则垂足即为底面正方形的中心O因为正方形边长为1，所以O到顶点与到正方形四个顶点的距离均为所以O即为球心，球的半径为所以所以选D 【点睛】本题考查了球的基本概念和空间几何体的结构特征，关键是找到球心的位置，属于基础题。

10．在平面直角坐标系中， ,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．45π B ． 34π C ． (6π- D ． 54π 【答案】A【解析】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.【考点】抛物线定义. 11．若，，则的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用等式，表示出a ，进而根据基本不等式及其性质解得最小值。

【详解】 当时，代入等式不成立，因而所以所以即最小值为7所以选D【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，属于中档题。

12．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得的最大值。

【详解】的公共切点为，设切线与的图象相切与点由题意可得，解得所以令则令，解得当时，当 时， ，函数在上单调递增当 时， ，函数在上单调递减当t 从右侧趋近于0时， 趋近于0当t 趋近于 时， 趋近于0所以所以选B 【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题。

二、填空题13．在C ∆AB 中， 3a =， b = 23π∠A =，则∠B= ． 【答案】4π【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=，所以sin B =所以4B π∠=. 【考点】正弦定理.14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率的取值为________．(注：一丈＝10尺)【答案】3【解析】试题分析：圆柱体体积公式,而由题意有,所以. 【考点】圆柱体的体积公式.15．已知在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数的取值范围是___________.【答案】﹣4＜a≤4【解析】【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【详解】令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．16．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，恒成立，即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.三、解答题17．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC ＝β.（1）求的最大值；（2）若BD＝1，，求△ABD的面积．【答案】(1)当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值;(2).【解析】【分析】（1）由题意可得β=α+，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值。

（2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB的长度；进而求得三角形面积。

【详解】（1）由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，0≤α≤，故2cos－cos=2cos－cos＝sin，故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值（2）由cos β＝，得sin β＝，故sin α＝sin＝sin βcos－cos βsin＝，由正弦定理，故AB＝BD＝×1＝，故S△ABD＝AB·BD·sin B＝【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题。

18．哈三中2016级高二期中考试中，某班共50名学生，数学成绩的优秀率为20%，物理成绩大于90分的为优秀，物理成绩的频率分布直方图如图．（1）这50名学生在本次考试中，数学、物理优秀的人数分别为多少？（2）如果数学、物理都优秀的有6人，补全下列列联表，并根据列联表，判断是否有以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？附：，其中.【答案】（1）10,12 （2）有【解析】【分析】（1）根据优秀人数所占比例即可求得数学、物理优秀的人数。

（2）由独立性检验公司，求得K2值，与标准值比较即可知道是否有把握认为数学优秀与物理优秀有关系。

【详解】（1）50名学生中，数学优秀的人数为（人）物理优秀人数为（人）（2）补全22列联表如下图：由表中数据可知，代入所以由99.5％把握认为数学优秀与物理优秀有关【点睛】本题考查了独立性检验基本思想，列联表的基本应用，属于基础题。

19．如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上的点，且．将△AED，△DCF分别沿，折起，使，两点重合于，连接，.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据折叠前线段垂直关系，折叠后平面的垂直关系即可判断出；（2）连接交于，连接，根据中位线定理及线段比例关系，可以得到以，进而判断出平面。

【详解】（1）证明：∵折叠前,∴折叠后，又∵∴平面，而平面∴．（2）连接交于，连接，在正方形中，连接交于，则，所以，又，即，在中，， 所以，平面，平面，所以平面.【点睛】本题考查了折叠问题在立体几何中的应用，线线垂直、线面平行的判定，属于中档题。

20．已知动点M 到定点()1,0F 和定直线4x =的距离之比为12，设动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设()4,0P ，过点F 作斜率不为0 的直线l 与曲线C 交于两点,A B ，设直线,PA PB 的斜率分别是12,k k ，求12k k +的值．【答案】(1) 22143x y +=;(2) 120k k +=. 【解析】试题分析：(1)根据求轨迹方程方法，先设动点坐标(),M x y ,，再根据条件，用坐标表示，化简可得动点轨迹方程， (2)本题关键为用坐标表示12,k k ，并化简先设直线l 方程1x ty =+，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得坐标关系12122269,3434t y y y y t t --+==++，因为12k k +=()()1212122121212233339ty y t y y y y ty ty t y y t y y -++=---++，所以将坐标关系代入，化简可得结果. 试题解析：（I ）法1：设(),M x y ,则依题意有12=，整理得22143x y +=,即为曲线C 的方程. 法2：由椭圆第二定义知，曲线C 是以()1,0F 为焦点，以直线4x =为相应准线，离心率为12的椭圆，易得曲线C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）设直线()()()()1122:10,1,,1,,4,0l x t y t A t y y B t y y P '=+≠++,则()22221{314123412x ty ty y x y =+⇒++=+=，即()2234690t y ty ++-=,12122269,3434t y y y y t t --+==++∴12k k +=()()()()()12121222121212232936033399369ty y t y y t t t y y ty ty t y y t y y t t t -+---+===---++---+即120k k += 21．已知函数的图像在处的切线与直线平行.(1)求函数的极值；(2)若，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）求得的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，由两直线平行的条件，斜率相等，可求得的值，求出的导数和单调区间，即可得到所求极值；（2）设，可得，等价于在上为增函数，求得的导数，再由参数分离和构造函数，求出最值，即可得到所求的范围. 【详解】(1)f(x)=ax+1−xlnx 的导数为f′(x)=a −1−lnx ， 可得f(x)的图象在A(1,f(1))处的切线斜率为a −1， 由切线与直线x −y=0平行，可得a −1=1， 即a=2,f(x)=2x+1−xlnx ， f′(x)=1−lnx ，由f′(x)>0,可得0<x<e,由f′(x)<0，可得x>e ， 则f(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减，可得f(x)在x=e 处取得极大值，且为e+1，无极小值；(2)可设,若∀∈(0,+∞)，由,可得，即有恒成立，设在(0,+∞)为增函数，即有g′(x)=1−lnx−2mx0对x>0恒成立，可得在x>0恒成立，由的导数为得：当h′(x)=0,可得，h(x)在(0, )递减,在(,+∞)递增，即有h(x)在x=处取得极小值,且为最小值可得，解得则实数m的取值范围是【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性、极值与最值，转化与划归思想的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.22．已知直线（为参数），曲线（为参数）.(1线与曲线的普通方程；(2)，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.【答案】(1),;(2) .【解析】试题分析：（1）根据加减消元法得直线的普通方程；根据三角函数平方关系得曲线的普通方程（2）由椭圆的定义知：，根据直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入曲线的普通方程，根据韦达定理可得结果试题解析：解：（1）由直线已知直线（为参数），消去参数得：曲线（为参数）消去参数得：.（2）设将直线的参数方程代入得：由韦达定理可得：结合图像可知，由椭圆的定义知：.23．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．（1）a＝4时，求不等式的解集；（2）不等式有解，求实数a的取值范围．【答案】(1) 不等式的解集为{x|－4≤x≤};(2).【解析】试题分析：（1）把要求的不等式等价转化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由（1）求得的最小值为．所以若使有解，只需，由此求得a的范围．试题解析：（1）不等式的解集为（2）∵设故，即的最小值为所以有解，则，解得：，即的取值范围是。