高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程练习含解析新人教A版必修208192194
高中数学 第四章4.1.2圆的一般方程基础过关训练 新人
4.1.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于 ( )A ．1B. 2C. 3 D ．23．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝04．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是 ( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝010．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 三、探究与拓展13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－27．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.13．解 设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。
高中数学人教版_必修2_第四章_圆与方程_412圆的一般方程(有答案)
高中数学人教版必修2 第四章圆与方程 4.1.2圆的一般方程一、单选题1. 圆的圆心和半径分别为()A. B. C. D.2. 若方程表示圆，则实数的取值范围是()A. B. C. D.3. 方程x2+y2+4x−2y+5＝0表示的曲线是()A.两直线B.圆C.一点D.不表示任何曲线4. 如果方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0(D2+E2−4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A.D＝EB.D＝FC.F＝ED.D＝E＝F5. 两圆x2+y2−4x+6y＝0和x2+y2−6x＝0的圆心连线方程为( )A.x+y+3＝0B.2x−y−5＝0C.3x−y−9＝0D.4x−3y+7＝06. 若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴切于原点，则( )A.D＝0，E＝0，F≠0B.F＝0，D≠0，E≠0C.D＝0，F＝0，E≠0D.E＝0，F＝0，D≠07. 若圆x2+y2−2ax+3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b＝0一定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案与试题解析高中数学人教版必修2 第四章圆与方程 4.1.2圆的一般方程一、单选题1.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】√42+(−6)2+12=4.故选C．由圆的一般方程可知圆心坐标为(−2,3)半径r=12【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域圆的标准方程二次函数的应用【解析】二元二次方程表示圆的充要条件是D2++2−4F>>，由此得出k的取值范围．详解：二元二次方程表示圆的充要条件是D2+E2−4F>0⇒16+4−20k>0，所以(k∈(−∞,1)．故选A．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】原方程变形为(x+2)2+(y−1)2=0，所以方程表示的曲线是一个点(−2,1)，故选C．【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系关于点、直线对称的圆的方程【解析】由题知圆心(−D2,−E2)在直线y=x二，即−E2=−D2.D=E．故选A．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系圆的切线方程【解析】两圆的圆心分别为(2,−3),(3.0)，直线方程为y=3(x−3)，即3x−y−9=0，故选C．【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】点(0,0)在圆上，代入圆的方程可得F=0．因为圆x2+y2+D加+5y+F=0与x轴切于原点，所以圆心的横坐标为0，即−D2=0，D=0．由1D2+[2−4F>0，可得E2> 0，∴E≠0，故选C．【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】圆的一般方程直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用【解析】圆x2+y2−2ax+3by=0的圆心为(a,−32b)，则a<0,b>0．直线y=−1ax−ba，其斜率k=−1a >0，在y轴上的截距为−ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D．【解答】此题暂无解答。
人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1圆的方程习题
的方程习题（含答案）一、单选题1.以点尸(2, -3)为圆心，并且与)，轴相切的圆的方程是()A. (x+2)2 + (y—3)2=4B.(1+2尸+什_3尸=9C.(L2>+()，+3)2=4D.(x-2)2 + (v+3)2 = 92.当点P在圆/+y2 = 1上运动时，连接它与定点Q(3,0),线段PQ的中点M的轨迹方程是( )A. (x + 3)2 +y2 = 1B. (%-3)2 +y2 = 1C. (2x - 3)2 + 4y2 = 1D. (2x + 3)2 + 4y2 = 13.圆工2+俨一(4〃?+2)汇一2/%丁+4〃尸+4/〃 + 1=0的圆心在直线戈+y—4=0上，那么圆的面积为()A. 9兀B.兀C. 2兀D. 由阳的值而定4.圆/ +)/ + 27^ = 0的半径是( )A. V2B. 2C. 2V2D. 45.已知圆Ci：/ + y2 —2x — 4y — 4= 0与圆。
2：/+3” + 4%— 10y + 4 = 0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A. x+y — 3 = 0B. x + y+ 3 = 0C. 3x— 3y + 4 = 0D. 7x + y — 9 = 06.若点P为圆/ +y2 = 1上的一个动点，点4(—1,0), 8(1,0)为两个定点，则|P/| + \PB\ 的最大值为()A. 2B. 2A/2C. 4D. 4 夜7.已知直线1： x + ay - 1 = 0(a W R)是圆C：“2一4％一2y + 1 = o的对称轴.过点4(—4, a)作圆C的一条切线，切点为则|/网=()A. 2B. 4 夜C. 6D. 2V108.若直线1： ax+by+l=0 经过圆M： x? + y2 + 4x + 2y + 1 = 0的圆心则(a — 2> + (b-2)之的最小值为A. V5B. 5C. 2V5D. 10值为( )A. 35/2B. 18C. 3V2- 1D. 19-6V2二、填空题10.如图，扇形/OB的圆心角为90。
高中人教A版数学必修二教师用书第4章 4.1.2 圆的一般方程 Word版含答案
圆的一般方程．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(难点、易错点)教材整理圆的一般方程阅读教材至“例”以上部分，完成下列问题．．圆的一般方程的概念当时，二元二次方程＋＋＋＋＝叫做圆的一般方程．＋－＞．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程＋＋＋＋＝(＋－＞)表示的圆的圆心为，半径长为.．对方程＋＋＋＋＝的说明判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( )()圆的一般方程和标准方程可以互化．( )()方程＋＋＋＋＋－＝表示圆心为，半径为的圆．( )()若点(，)在圆＋＋＋＋＝外，则＋＋＋＋>.( )【解析】()正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．()正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．()错误．当＋()－(＋－)>，即－<<时才表示圆．()正确．因为点(，)在圆外，所以＋>，即＋＋＋＋>.【答案】()√()√()×()√()实数的取值范围；()圆心坐标和半径．【精彩点拨】()根据表示圆的条件求的取值范围；()将方程配方，根据圆的标准方程求解．【自主解答】()据题意知＋－＝()＋(－)－(＋)＞，即＋－－＞，解得＜，故的取值范围为.()将方程＋＋－＋＋＝写成标准方程为(＋)＋(－)＝－，故圆心坐标为(－)，半径＝.形如＋＋＋＋＝的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：由圆的一般方程的定义令＋－>，成立则表示圆，否则不表示圆.将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是＋＋＋＋＝这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．()＋＋＋＝；()＋＋＋＝(≠)；()＋＋－＝(≠)．。
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课时作业含解析新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：由(－2)2＋12－4k >0，得k <54.答案：B2．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1， ∴圆心为C (－1,0)．又所求直线与直线x ＋y ＝0垂直， ∴所求直线的斜率为1， 故所求直线的方程为y ＝x ＋1， 即x －y ＋1＝0. 答案：A3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线 D ．四条直线 解析：方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.所以方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是(2,2)，(－2,2)，(2，－2)，(－2，－2)四个点．答案：B4．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则直线x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：配方得(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝22，所以a ＝2或0，故选C. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 解析：本题主要考查圆的方程．易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.答案：(x －1)2＋y 2＝17．若l 是经过点P (－1,0)和圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0的圆心的直线，则l 在y 轴上的截距是________．解析：圆心C (－2,1)，则直线l 的斜率k ＝1－0－2＋1＝－1，所以直线l 的方程是y －0＝－(x ＋1)，即y ＝－x －1，所以l 在y 轴上的截距是－1.答案：－18．过圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心，且平行于直线x ＋2y ＋11＝0的直线的方程是________________________．解析：由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x ＋2y ＋m ＝0(m ≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m ＝0，∴m ＝1，故所求直线的方程为x ＋2y ＋1＝0.答案：x ＋2y ＋1＝0三、解答题(每小题10分，共20分)9．求经过点A (6,5)，B (0,1)，且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程．解析：设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧62＋52＋6D ＋5E ＋F ＝0，02＋12＋0×D ＋1×E ＋F ＝0，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋10·⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6D ＋5E ＋F ＝－61，E ＋F ＝－1，3D ＋10E ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－14，E ＝6，F ＝－7.因此圆的方程是x 2＋y 2－14x ＋6y －7＝0.10．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解析：(1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，即4m 2＋4－4m 2－20m >0，解得m <15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·北京市综合能力测试]已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( )A ．点B ．直线C ．线段D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)， ∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆． 答案：D12．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为____________．解析：将圆的方程配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，∵r 2＝1－34k 2≤1，∴r max ＝1，此时k ＝0.故圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1. 答案：x 2＋(y ＋1)2＝113．求经过点A (1，5)和B (2，－22)，且圆心在x 轴上的圆的方程． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 因为圆心在x 轴上，所以－E2＝0，即E ＝0.又圆过点A (1，5)和B (2，－22)，所以⎩⎨⎧12＋52＋D ＋F ＝0，22＋－222＋2D ＋F ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋6＝0，2D ＋F ＋12＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0.14．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：x 2＋y 2＋4x ＝0上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为线段AB 的中点，∴x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62，于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6.∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程x 2＋y 2＋4x ＝0， 即x 20＋y 20＋4x 0＝0，∴(2x －8)2＋(2y －6)2＋4(2x －8)＝0，化简整理，得x 2＋y 2－6x －6y ＋17＝0，即(x －3)2＋(y －3)2＝1，∴点P 的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径长的圆．。
2017_2018学年高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程学案含解析新人教A版必修22017
4．1.2 圆的一般方程[提出问题]已知圆心(2,3)，半径为 2. 问题 1：写出圆的标准方程． 提示：(x －2)2＋(y －3)2＝4.问题 2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？ 提示：可以，x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0.问题 3：方程 x 2＋y 2－4x －6y ＋13＝0是否表示圆？ 提示：配方化为(x －2)2＋(y －3)2＝0，不表示圆． 问题 4：方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定． [导入新知]1．圆的一般方程的概念当 D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋DE 1E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(2)，半径长为 .－ ，－ D 2＋E 2－4F 22[化解疑难]1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点： (1)x 2，y 2的系数相等且不为 0； (2)没有 xy 项．2．对方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明：方程条件图形D 2＋E 2－4F <0不表示任何图形x2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0DED 2＋E 2－4F ＝0表示一个点(－ ，－2)2DE1D 2＋E 2－4F >0表示以(－ ，－2)为圆心，以为 D 2＋E 2－4F2 2- 1 -半径的圆圆的一般方程的概念辨析[例1]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解](1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，1即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，51(－∞，.故m的取值范围为5)(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.[类题通法]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆；(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．[活学活用]下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，- 2 -a a∴方程表示圆，它的圆心为( ，，－2)21 2半径r＝D2＋E2－4F＝|a|.2 2圆的一般方程的求法[例2]已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解]法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴Error!∴Error!∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.4－3 1 4＋5法二：∵k AB＝＝，k AC＝＝－3，1＋2 3 1－4∴k AB·k AC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，1 坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.2∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.[类题通法]应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.[活学活用]求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D E则圆心坐标为(－，－2).2∵圆与x＋3y－26＝0相切，- 3 -E6＋2 1∴·＝－1，(－3 )D8＋2即E－3D－36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.代入法求轨迹方程[例3]已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．[解]以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．∴Error!①∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y20＝9. ②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．[类题通法]用代入法求轨迹方程的一般步骤[活学活用]过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________________．答案：(x－4)2＋y2＝1- 4 -10.与圆有关的轨迹轨迹方程问题[典例](12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．[解题流程][活学活用]一动点M到点A(－4,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹．解：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|，- 5 -即x＋42＋y2＝2 x－22＋y2，整理得x2＋y2－8x＝0，即所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.[随堂即时演练]1．圆(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圆心坐标和半径长分别为() A．(－1,2)，2B．(1，－1)，11 1 3 5C.( ，－1)，3 5D.(－，，－1)2 2 2答案：D2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)3D.( ，＋∞)－2答案：A3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a＝________，b ＝________，c＝________.答案：－24 44．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心相同的圆的方程．答案：x2＋y2－6x－8y＝0[课时达标检测]一、选择题1．圆的方程是x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆的面积最大时，圆心的坐标是()A．(－1,1)B．(1，－1)C．(－1,0) D．(0，－1)答案：D2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()- 6 -A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16答案：B3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则() A．这些圆的圆心都在直线y＝x上B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上C．这些圆的圆心都在直线y＝x或直线y＝－x上D．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么()A．a＝0，b≠0，c≠0B．b＝c＝0，a≠0C．a＝c＝0，b≠0D．a＝b＝0，c≠0答案：B5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案：B二、填空题6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，若点A的坐标为(0,1)，则点B的坐标为________．答案：(2，－3)7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.答案：－28．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且│AB│＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是____________________．答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9三、解答题- 7 -9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．D E解：圆心C (－，－2)，2∵圆心在直线x＋y－1＝0上，D E∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①2 2D2＋E2－12 又∵半径长r＝＝2，2∴D2＋E2＝20.②由①②可得Error!或Error!又∵圆心在第二象限，D E∴－＜0即D＞0，－>0即E<0.2 2则Error!故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.10．设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－3a，0)，C( 3a，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．(1)求圆M的方程；(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆M过点A(0，a)，B(－3a，0)，C( 3a，0)，所以Error!解得Error!所以圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.由Error!解得x＝0，y＝－3.所以圆M过定点(0，－3)．- 8 -。
人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1圆的一般方程第二课时练习与答案
人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1圆的一般方程第二课时练习与答案第四章 圆与方程4.1 圆的方程第二课时 4.1.2 圆的一般方程测试题一、选择题1、若圆的一般方程为06622=+++x y x ，则圆的圆心和半径长分别是（ ）A 、（1，1），3B 、（1，2），3C 、（3，0），3D 、（－3，0），32、以)1,2(-为圆心，与y 轴相切的圆的标准方程为（ ）A 、012422=+-++y x y xB 、012422=++-+y x y xC 、014222=--++y x y xD 、042422=+-++y x y x3、下列各点中，在圆034422=++-+y x y x 内的的点是（ ）A 、（－1，1）B 、（0，0）C 、（0，－1）D 、（2，－1）4、过点A （1，0），B （－1，53+），且圆心在直线02=+-y x 上的圆的方程是（ ）A 、016222=+--+y x y xB 、072222=--++y x y xC 、042222=-+-+y x y xD 、01422=--+y y x5、已知圆心为)3,2(-，其一条直径的两个端点分别在X 轴和Y 轴上，则此圆的方程是（ ）A 、0396422=-+-+y x y xB 、0396422=--++y x y xC 、06422=+-+y x y xD 、06422=-++y x y x6、过点)1,1(-A 和)5,1(-D ，圆心在Y 轴上的圆的方程为（ ）A 、06422=--+y y xB 、06422=-++y y xC 、06422=-++x y xD 、06422=--+x y x二、填空题7、如果一个圆的圆心在（2，3）点，并且经过点（0，3），那么这个圆的方程是_________;8、已知圆的方程为,0222=++ay y x 则其半径和圆心坐标分别是________________________;9、圆,02222=-++y x y x 的周长为____________________;10、方程,052422=-+-+k y kx y x 表示的曲线是圆，则k 的取值范围是__________________。
近年-近年学年高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程练习(含解析)新人教A版必修2(最新整理)
4.1。
2圆的一般方程A组1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于()A。
πB。
2πC。
2πD。
4π解析:因为圆x2+y2-2x+6y+8=0化为标准方程得(x—1)2+（y+3)2=2，所以圆的半径是,则圆的周长等于2π。
答案:C2.圆x2+y2-2x—2y+1=0的圆心到直线x-y—2=0的距离为（)A. B.2 C。
3 D。
0解析:圆的圆心坐标为（1,1),所以圆心到直线x-y-2=0的距离为。
答案：A3。
若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x—4y=0的圆心，则a的值为()A.-1 B。
1 C。
3 D。
—3解析：将圆x2+y2+2x—4y=0化为标准方程(x+1)2+（y-2)2=5，可得圆心(-1,2)。
∵直线3x+y+a=0过圆心,∴将（-1,2）代入直线3x+y+a=0，可得a=1.答案：B4.圆C:x2+y2+2x—4y-4=0关于原点对称的圆的方程是（)A。
x2+y2+2x+4y-4=0B。
x2+y2-2x+4y-4=0C.x2+y2—2x—4y—4=0D。
x2+y2+2x—4y+4=0解析:圆x2+y2+2x-4y—4=0的圆心坐标为C(-1，2）,半径为r=3,则圆心C关于原点的对称点为C'(1,-2)，所以所求圆的方程为（x-1)2+(y+2)2=9，即x2+y2—2x+4y-4=0。
答案：B5。
要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有（)A。
D=0,F=0 B.F>0C。
D≠0,F≠0 D.F<0解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0得x2+Dx+F=0。
由题意知，方程x2+Dx+F=0有两异号实根，即两根之积小于0，∴F<0。
答案：D6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是.解析:易知圆心C为(-1,0),而要求的直线与直线x+y=0垂直,设所求直线方程为y=x+b,将点C 的坐标代入y=x+b,得b=1，故所求的直线方程为x—y+1=0。
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对应学生用书P83知识点一圆的一般方程高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程练习含解析新人教A 版必修2081921941．若圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋10y ＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，5)， 3 B ．(1，－5)， 3 C ．(－1，5)，3 D ．(1，－5)，3 答案 B解析 解法一(化为标准方程)：(x －1)2＋(y ＋5)2＝3； 解法二(利用一般方程)：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2，－D 2＝1，－E2＝－5，r ＝3．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a<1B ．a>1C ．－2<a<23 D ．－2<a<0答案 A解析 当a 2＋4a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋a －1>0时表示圆的方程，故－a ＋1>0，解得a<1．知识点二求圆的一般方程A ．x 2＋y 2＋8x ＋6y ＝0 B ．x 2＋y 2－8x －6y ＝0 C ．x 2＋y 2＋8x －6y ＝0D ．x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0 答案 D解析 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0，于是所求圆的一般方程是x2＋y 2－8x ＋6y ＝0．4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，6为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋4y ＋5＝0 B ．x 2＋y 2＋4y －5＝0 C ．x 2＋y 2－2y －5＝0 D ．x 2＋y 2－2y ＋5＝0 答案 C解析 直线(a －1)x －y ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋ax ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＝0，得C(0，1)．∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝6， 即x 2＋y 2－2y －5＝0．知识点三轨迹问题5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，那么点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．π B．4π C．8π D．9π 答案 B解析 设点P 的坐标为(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π．6．已知等腰三角形ABC 的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C 的轨迹方程．解 设另一底角顶点为C(x ，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即x －32＋y －202＝3－32＋5－202，整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225．当x ＝3时，A ，B ，C 三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x≠3)．一、选择题1．方程x 2＋y 2－2x ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是 ( ) A ．m ＜1 B ．m ＜2 C ．m≤12 D ．m≤1答案 A解析 由圆的一般式方程可知(－2)2－4m ＞0，∴m＜1． 2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0 D ．－2或0答案 C解析 将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝0或a ＝2．3．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 中点为M(x ，y)，根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为Q(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A ．4．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2答案 C解析 已知圆的圆心为(1，0)，半径等于2，圆心关于直线2x －y ＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C ．5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0 答案 B解析 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0．二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案 (－1，－3) x ＋3y ＝0解析 将圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，故圆心为C(－1，－3)．因为k CO ＝3，所以所求直线的斜率为k ＝－33，直线的方程为y ＝－33x ，即x ＋3y ＝0． 7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．答案 －10解析 由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D2＋E 2－4F>0的条件．8．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．答案 －3解析 设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，而∠ACB＝90°，知C(2，－1)，AC⊥BC，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4代入上面的结果得m －2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m<1的条件． 三、解答题9．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上． 解 解法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．解法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1，所以AB⊥BC，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝1－72＋2＋62＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2)．因为|DM|＝4－42＋3＋22＝5＝12|AC|，所以点D 在圆M 上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解 (1)设AP 中点为M(x ，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标(2x －2，2y)． 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y)2＝4．故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1． (2)设PQ 的中点为N(x ，y)． 在Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|， 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4． 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．。