空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
思考2:在空间直角坐标系中， 思考 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 在空间直角坐标系中 A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z）， 与坐标原点O的距离分别是什么 的距离分别是什么？ 与坐标原点 的距离分别是什么？
| OA |=
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
z P1 O y x M N P2
A
| P1P2 |=
(x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) + (z1 - z2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
2 2
| OP |=
x +y +z
• 思考 在空间直角坐标系中，方程 思考5:在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示 为常数） 为常数 什么图形是什么？ 什么图形是什么？
z
P
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式 探究（ 空间两点间的距离公式
在空间中,设点 在空间中 设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 设点 ， 在 平面上的 射影分别为M、 射影分别为 、N. 思考1:点M、N之间的距离如何？ 思考1:点 之间的距离如何？ 1:
B O A C
y
x
|OA|=|x|； |OB|=|y|； |OC|=|z|.
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
两点间的距离及中点公式
两点间的距离及中点公式在空间几何中，我们经常会遇到计算两点之间的距离以及求取两点之间的中点的问题。
无论是平面几何还是立体几何，两点之间的距离和中点都是非常基础且常见的问题。
1.两点之间的距离在平面几何中，两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)之间的距离可以通过勾股定理来计算。
根据勾股定理，两点的距离等于两个坐标差的平方和的平方根，即：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)2.中点公式在平面几何中，两点的中点可以通过横坐标和纵坐标分别取平均值来得到中点的坐标。
即：中点的横坐标=(x₁+x₂)/2中点的纵坐标=(y₁+y₂)/2接下来，我们将分别对上述两点之间的距离和中点公式进行详细说明，以及举例验证其正确性。
一、两点之间的距离在平面几何中，我们常常需要计算两点之间的距离。
如何计算两点之间的距离呢？根据勾股定理，我们可以利用两个点的横坐标和纵坐标的差的平方和开方来得到两点之间的距离。
假设有两个点A(3,4)和B(8,10)，我们可以计算点A到点B的距离。
按照勾股定理的公式，我们有：d=√((8-3)²+(10-4)²)=√((5)²+(6)²)=√(25+36)=√61≈7.81因此，点A到点B的距离约为7.81二、中点公式在平面几何中，我们常常需要求取两点之间的中点，即两个点的坐标的平均值。
在平面几何中，两点的中点可以通过横坐标和纵坐标分别取平均值来得到中点的坐标。
假设有两个点A(3,4)和B(8,10)，我们可以计算点A和点B之间的中点。
中点的横坐标=(3+8)/2=11/2=5.5中点的纵坐标=(4+10)/2=14/2=7因此，点A和点B之间的中点为M(5.5,7)。
通过上述两个例子，我们可以验证两点之间的距离和中点公式的正确性。
总结：在空间几何中，两点之间的距离及中点是非常基础且常见的问题。
根据勾股定理，我们可以计算两点之间的距离，而中点可以通过横坐标和纵坐标分别取平均值来求得。
2.空间两点间的距离公式
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z
M （x，y，z）
O x x y y
如何计算空间两点之间的距离?
4.3.2 空间两点间的 距离公式
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 ( x1,y1,z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2|
|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
| P1P2 | (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z1 z 2 )2
空间内两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：
| AB | (10 4) 2 ( 1 1) 2 (6 9) 2 7 | BC | (4 2) 2 (1 4) 2 (9 3) 2 7 | AC | (10 2) 2 ( 1 4) 2 (6 3) 2 98
因为 7 7 98,
所以
| OP |
x2 y2 z 2
思考
如果|OP|是定长r，那么 x2 y 2 z 2 r2 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2
P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1
| P1 P2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
4.3.2 空间两点间的距离公式
O
M1 M M2 H N2 y N
N1
在xOy平面上, MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP 1 z1 , NP 2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA MB
2
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7) (3 0) (5 0) (2 z)
14 解之得 z 9 14 (0, 0, ). 所以所求点的坐标是 9
在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为A(2，1，1)， 2 B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离 2x+2y-2z-3=0 相等，则x、y、z满足的关系式是_______________. 4．已知点P在z轴上满足|OP|=1（O是坐标原点），则点P到
P2
在Rt PHP 1 2中，
2 2 PH MN ( x x ) ( y y ) 1 2 1 HP ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
2或 6 。 点A(1，1，1)的距离是_________
5．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1，
4 。 2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的棱长为_____
432空间两点间的距离公式12912
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解：因 为 P 在 x轴 上 ， 设P点坐标为 (x,0,0),
PP1 x2 2232 x211,
PP2 x21212 x22,
PP1 2PP2 , x2112 x22
x2+y2+z2=1
2、x2+y2+z2=r2表示什么图形？
3、(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2表示什么图形？
例 1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解：M1M22 (7 4 )2 (1 3 )2 (2 1 )2 1,4 M2M32 ( 5 7 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2 ) 2 6 , M3M12 ( 4 5 ) 2 ( 3 2 ) 2 ( 1 3 ) 2 6 , M2M3 M3M1, 原结论成立.
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
d OM x2y2z2.
思考:
1、平面内到坐标原点的距离为1的点的轨迹是 单位圆，其方程为x2+y2=1; 在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是 什么？试写出它的方程.
设 M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )、 M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )为 空 间 两 点
Байду номын сангаас
高中数学空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式【知识提炼】空间中两点间的距离公式(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=__________________________.(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.【即时小测】1.思考下列问题:(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗? 提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为()A. B. C.2 D.6【解析】选B.3.点M(1,2,3)到原点的距离为()A.6B.C.14D. 【解析】选D.4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为. 【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为答案:5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为,则m= .【解析】由于解得m=1或m=5. 答案:1或5【知识探究】知识点空间两点间的距离观察图形,回答下列问题:问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系? 问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?【总结提升】1.对空间两点间距离公式的两点说明(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.2.空间两点间距离的求解(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明(1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面中处理.(2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、线线垂直的相互转化.【题型探究】类型一求空间两点间的距离【典例】1.(2015·长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是 ()A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-22.(2015·兰州高一检测)点A(1,2,-1),点C与点A关于面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?提示:利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?提示:横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.3.典例3中如何建立空间直角坐标系?提示:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.【解析】1.选D.因为解得x=6或x=-2.2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),故答案:43.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法(1)关键:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.【补偿训练】(2015·安康高一检测)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为.【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.【解析】由A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2).正方体体对角线长为|AC1|=所以正方体的棱长为答案:类型二求空间点的坐标【典例】1.(2015·大理高一检测)已知点A(4,5,6),B(-5,0,10),在z轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是.2.已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?提示:由于点P在z轴上,可设点P(0,0,z).2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?又会得出AB与OA有怎样的关系?提示:若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.【解析】1.设点P(0,0,z),则由|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).答案:(0,0,6)2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,所以AB⊥OA,设B(0,y,0),则有OA=,|OB|=y,|AB|=由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.【延伸探究】1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形,即|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).故能存在一点P(0,0,6),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.2.(变换条件)典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P(0,y,0),则由|PA|=|PB|,得解得即点P的坐标是答案:【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为则P点的坐标为 . 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,即解得x=3或x=-1.答案:(3,0,0)或(-1,0,0)【延伸探究】1.(改变条件)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离和点M(-1,0,-1)的距离相等,则P点的坐标又如何求解?【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,解得x=3.所以点P的坐标为(3,0,0)2.(变换条件)本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P的坐标是(0,y,0),由题意得,解得或所以点P的坐标为(0,2+,0)或(0,2-,0)类型三空间两点间距离公式的应用【典例】1.(2015·贵阳高一检测)已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC的形状是().A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.(2015·柳州高一检测)在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P 点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?提示:可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关系来进一步判断其形状.2.典例2中怎样表示出PQ的长度?提示:求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】1.选A.因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),所以所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|=而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(-x,x,)(x>0),又因为Q点在底面ABCD的对角线BD 上,所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离为显然当x= y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于这时,点P恰好为SC 的中点,点Q恰好为底面的中心.【延伸探究】若将题1三点改为A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC的形状是什么?【解析】所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【补偿训练】1.已知A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),则|AB|的最小值为,此时A点与B点的坐标为.【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最小值.【解析】所以当时,|AB|取得最小值此时A,B坐标为答案:2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】依题意设点Q(0,1,z),则所以当时,|PQ|min=此时Q恰为CD的中点.易错案例利用两点间的距离公式求点的坐标【典例】(2015·惠州高一检测)在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B 是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点B的坐标是______________.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B(x,-x+1,0),所以所以当时,|AB|取得最小值此时点答案:【防范措施】1.借助点的特征巧设点的坐标如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.。
空间两点间距离公式含详解
一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
[答案] B
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是
()
A．|a|
二、填空题 4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，B)＝，则点 A的坐标是____________． [答案] (0,0,0)或(2,0,0) [解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
解得x＝0或x＝2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是坐标原点)， 则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐 标满足的条件．
[解析] 设 P(x，y，z)， 则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2， PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. ∵PA＝PB， ∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. 化简得 6x－4y－13＝0. ∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标 系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、 B、C三点在同一条直线上．
[解析] d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21， d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21， d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21， ∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
高中数学课件空间两点间的距离公式
在本课件中，我们将介绍空间中两点间的距离公式，从什么是空间两点开始， 以及如何用公式计算两点之间的距离。让我们开始吧！
什么是空间两点？
空间中的两点是指在三维坐标系中确定的两个位置点。这两个点可以表示物体的位置、人的定位等等。 在数学中，我们可以使用坐标表示这两个点，例如：点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)。
4 地理信息系统
用于测绘、地理分析等领域，计算地物之间 的距离和相对位置。
结束语
通过本课件，我们学习了空间两点间的距离公式，了解了直线距离计算方法 和空间距离计算方法，并举例说明了其应用领域。 希望这些知识对你有所帮助，谢谢观看！
直线距离计算方法演示
让我们通过一个简单的示例演示直线距离计算方法：
1
Step 1
确定点A和点B的坐标：A(2, 3, 4d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)计算直线距离。
3
Step 3
代入点的坐标计算：d = √((5-2)² + (7-3)² + (1-4)²)。
如何用公式计算两点之间的距 离？
通过直线距离计算方法和空间距离计算方法，我们可以计算空间两点之间的 距离。
直线距离计算方法使用勾股定理，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)，其 中d表示两点之间的直线距离。
空间距离计算方法利用向量的知识，将两点按照向量形式表示后，计算两个 向量的模的差，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
4
Step 4
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4.3.2 空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法
3．情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计先推导特殊情况下空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
巩固练习
1．先在空间直角坐标系中标出A、B
的棱长为a，|AN| =
|BM| = 2|MC′|.备选例题。